6.3.3 余角和补角 教学设计 2026-2027学年人教版七年级数学上册

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教龄

授课时间

课题

6.3.3 余角和补角（人教版《义务教育教科书·数学》七年级上册 第六章 第 3 节）

教材分析

本节研究两个角之间的一种特殊数量关系。教材由三角尺的两个锐角拼成直角、两个角拼成平角等实例，抽象出互余（和为 90°）与互补（和为 180°）的概念，并推出“同角（或等角）的余角相等、补角相等”这一性质；再通过例 4 在“点 A、O、B 共线，OD、OE 分别平分 ∠AOC、∠BOC”的图形中，证明 ∠COD+∠COE=90°，把互余关系与角平分线、平角结合起来。本节是初中第一次用“因为……所以……”书写推理过程，是几何证明的启蒙。

核心素养目标

1. 抽象能力：能从实例中抽象出互余、互补的概念，说出它们的区别与联系。

2. 运算能力：会用 90°−∠α、180°−∠α 求一个角的余角与补角。

3. 推理能力：能证明“同角（等角）的余角相等、补角相等”，并能用这一性质进行简单的说理与计算。

4. 应用意识：能用余角、补角解决方位角、钟面等实际问题。

教学重点

互余与互补的概念；余角、补角的性质；用性质进行推理与计算。

教学难点

“互为”的理解（两个角相互依存）；余角与补角性质的推理书写；含角平分线的图形中把多个角转化为同一个角的余角或补角。

学情分析

学生容易把“互余”理解成“两个角加起来是 90°”而忽略“互为”；求出余角后常忘记写单位或写反（把补角当余角）；第一次写推理过程时，往往只写结论不写依据。因此本设计用“定义—性质—推理”三级台阶，把每一步的依据写在黑板上。

教学方法

实例抽象、推理示范、变式训练相结合；以“和为 90° 或 180°”为判据，以“同角的余角相等”为推理主线。

课时安排

1 课时（40 分钟）

教学资源

教材图 6.3-13 至图 6.3-16、例 4 图；本设计自制的互余与互补示意图、例 4 图、作业 4 与作业 7 的图形；三角尺、量角器、多媒体课件。

教学流程设计

任务/环节

教学内容与问题设计

教师活动

学生活动

学习评价设计

环节一

情境导入

发现关系

一副三角尺中，两个锐角的和是多少度？把两个角拼在一起，能拼成直角或平角吗？

让学生用三角尺拼角：两个锐角拼成直角；再拼成一个平角，为互余、互补的定义提供直观原型。

动手拼摆，量出两角之和；发现“有的和是 90°，有的和是 180°”。

能否拼出直角与平角并量出度数；能否说出“和”的特点。

设计意图：用拼角活动制造“和是定值”的直观经验，让概念有出处。

环节二

互余与互补

两个角的和等于 90°，这两个角叫什么关系？和等于 180° 呢？

给出定义：和为 90° 的两个角互为余角（简称互余）；和为 180° 的两个角互为补角（简称互补）；强调“互为”表示两个角相互依存，不能单独说某个角是余角。

复述定义并指出关键词“互为”；判断“∠1 是余角”这种说法是否规范；举例说明两个角互为余角、互为补角。

能否准确说出定义；能否理解并运用“互为”。

设计意图：“互为”是概念的关键，用不规范说法作反例最有效。

环节三

求余角与补角

若 ∠α=35°，它的余角、补角各是多少？用式子怎样表示一般情形？

板书 ∠α 的余角 = 90°−∠α，补角 = 180°−∠α；示范 35° 的余角 55°、补角 145°；追问：一个角的补角比它的余角大多少度？

计算并发现（180°−∠α）−（90°−∠α） = 90°，即一个角的补角总比它的余角大 90°。

能否正确求余角与补角；能否发现并说明两者相差 90°。

设计意图：从具体数到一般式，是本节第一次符号化；“差 90°”这一结论可直接用于判断与速算。

环节四

性质与推理

∠1 与 ∠2 互余，∠1 与 ∠3 互余，∠2 与 ∠3 有什么关系？为什么？

板书推理：因为 ∠1+∠2 = 90°，∠1+∠3 = 90°，所以 ∠2 = 90°−∠1，∠3 = 90°−∠1，所以 ∠2 = ∠3。归纳同角（或等角）的余角相等；补角同理。

跟着写出完整推理；用同样的方法说明“同角的补角相等”；把结论改写成“若……则……”的形式。

能否写出带依据的推理过程；能否说出结论成立的理由。

设计意图：这是初中第一次规范书写推理，教师必须给出可模仿的范式。