专题6.3.2 角的比较与运算（知识梳理+7个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共46题）-2025-2026学年人教版数学七年级上册同步培优讲练

专题6.3.2 角的比较与运算 （知识梳理+7个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共46题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：角度制及其换算 1 知识点梳理02：角的比较 2 知识点梳理03：角的和、差关系 2 知识点梳理04：角平分线 2 优选题型 考点讲练 3 考点1 角的比较 3 考点2 三角板中角度计算问题 5 考点3 几何图形中角度计算问题 10 考点4 角度的四则运算 15 考点5 实际问题中角度计算问题 18 考点6 角平分线的有关计算 21 考点7 角n等分线的有关计算 25 中考真题 实战演练 30 难度分层 拔尖冲刺 34 基础夯实 34 培优拔高 40 知识点梳理01：角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 【易错点拨】在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于60时要向高一位进位． 知识点梳理02：角的比较 角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′． 知识点梳理03：角的和、差关系 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 【易错点拨】(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 知识点梳理04：角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 【易错点拨】由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 考点1 角的比较 【典例精讲】（24-25七年级上·河北唐山·期末）按要求作答： (1)画图，以为端点，引条射线，，，使得； (2)在（1）中，若，比的倍少，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了角的定义，画射线，角的和差计算，一元一次方程的应用； （1）利用角的和差定义画出图形即可； （2）设，则，构建方程求解． 【规范解答】（1）解：如下图所示． （2）解：设，则， 因为， 所以，解得 所以． 【变式训练1】（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图所示的正方形网格中，点、、是格点，则 ．（填“”，“”或“”） 【答案】 【思路引导】本题考查了角的大小比较，熟练掌握网格特点和角的大小比较是解题关键．如图（见解析），根据网格特点可得，，，由此即可得． 【规范解答】解：如图，由网格可知，，，， 则， 故答案为：． 【变式训练2】（24-25七年级上·重庆江津·期末）如图，直角三角板的直角顶点在直线上，平分． (1)比较和的大小，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了角的比较大小和角平分线有关的计算，一元一次方程的应用，解决此题的关键是熟练运用角平分线的定义及角的和差列出方程式． （1）先说明，再说明，从而得出，再根据，即可得到； （2）根据，设，，则，列方程即可求得． 【规范解答】（1）解： ；理由如下： ， ， 平分， ， ， ， ； （2）解：， 设，， ， ， ， ． 考点2 三角板中角度计算问题 【典例精讲】（22-23七年级上·吉林白城·期末）如图所示，以直线上的一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一块直角三角板（）的直角顶点放在点处，且直角三角板在直线的上方．设 ． (1)当时，求的大小； (2)当恰好平分时，求的值； (3)当时，嘉嘉认为与的差为定值，淇淇认为与的和为定值，老师说，两人的说法都正确，但是需要对分别附加条件．请你补充完整下面的信息： 当时，__________； 当时，__________． 【答案】(1) (2) (3)； 【思路引导】（）先求出，再根据角的和差关系即可求解； （）由角平分线的定义可得，进而根据角的和差关系即可求解； （）根据的取值范围，分别画出图形，利用角的和差关系解答即可； 本题考查了角的和差，角平分线的定义，正确识图是解题的关键． 【规范解答】（1）解：当时，， ∴， ∵， ∴； （2）解：当恰好平分时，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：当时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：；． 【变式训练1】（24-25七年级上·江苏苏州·期末）点为直线上一点，在直线上方作射线，使，直角三角板的直角顶点放在处．将直角三角板绕点转动，在转动过程中，直角边始终保持在直线上或上方． (1)如图，若三角板的直角边在射线上，则______； (2)绕点转动三角板， ①如图，当恰好平分时，试说明平分； ②在转动过程中，试探究与之间的数量关系，并给出证明． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②当在上方时，；当在下方且在上方时，；当在下方且在下方时，，证明见解析 【思路引导】（）根据平角的定义解答即可； （）①设，可得，即得，，即得到，即可求证；②分三种情况：当在上方时；当在下方且在上方时；当在下方且在下方时，分别画出图形，利用角的和差关系解答即可求证； 本题考查了角的和差，角平分线的定义，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：①设， ∵恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分； ②当在上方时，． 证明：如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当在下方且在上方时，． 证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当在下方且在下方时，． 证明：如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式训练2】（21-22八年级上·贵州黔南·期末）直尺和三角板如图放置，三角板的直角顶点和直尺的一边重合，平分，测得，求的度数． 【答案】 【思路引导】本题考查与角平分线有关的计算，根据三角板得到，角的和差关系求出的度数，角平分线求出的度数即可得到的度数． 【规范解答】解：由题意知， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 考点3 几何图形中角度计算问题 【典例精讲】．（2025七年级上·全国·专题练习）如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使，将直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1中，______，______． (2)将图1中的三角板按图2的位置放置，使得在射线上，则______； (3)将上述直角三角板按图3的位置放置，使得在的内部，求的度数． 【答案】(1)，； (2)； (3)的度数为 【思路引导】本题考查角的计算，找出各个角之间的关系，与已知条件建立关系，然后求出所求角的度数是解题的关键． （1）根据平角的定义可知，结合已知条件，即可求出和的度数； （2）根据的度数和的度数可以得到的度数； （3）根据角的和差关系，分别用含有的式子表示出和，然后两者相减即可得到的度数． 【规范解答】（1）解：，， ,， 故答案为：，； （2）由（1）得，， ， ， 故答案为：； （3）由（1）得，， ， ， ， ， 即的度数为． 【变式训练1】（23-24七年级下·山东德州·开学考试）如图，点A，O，B在同一条直线上，将一直角三角尺如图1放置，使直角顶点重合于点O，是直角，平分． (1)若，求的度数．（写步骤） (2)若，则直接写出的度数为___________； (3)如图2放置，其他条件不变，直接写出和的度数之间的关系___________；如图3放置，其他条件不变，直接写出和的度数之间的关系___________． 【答案】(1)； (2)； (3)，． 【思路引导】本题考查了角的计算，角平分线，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）根据，可得和的度数，再根据角平分线的定义可得的度数，再根据求解即可； （2）根据，可得和的度数，再根据角平分线的定义可得的度数，再根据求解即可； （3）根据角平分线的定义可得的度数，再根据，可得，进一步计算即可，根据角平分线的定义可得的度数，再根据，可得，进一步计算即可． 【规范解答】（1）解：∵， ，， ∵平分， ， ； （2）解：，， ， ， ∵平分， ， ， 故答案为：； （3）解：， ∵平分， ， ， ，即 故答案为： ， ， ∵平分， ， ， ，即， 故答案为：． 【变式训练2】（24-25七年级上·贵州·期末）【综合与探究】如图①，将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起． (1)若，_______；若，则 ； (2)【大胆猜想】与的大小有何特殊关系是 ； (3)【问题解决】如图②，若是两个同样的三角尺锐角的顶点A重合在一起，则与的大小有何关系？请说明理由； (4)【拓展延伸】如图③，已知（，），若把它们的顶点O重合在一起，则与的大小有何关系？用字母和表示（不需要证明直接写出答案即可）． 【答案】(1)， (2) (3)，见解析 (4) 【思路引导】本题主要考查了几何图形中角度的计算． （1）先求出，进而求出；先求出，进而可得； （2）先求出，再求出，据此可得结论； （3）仿照（2）求解即可； （4）根据可得． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； ∵，，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：；； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：；理由如下 由题意得，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （4）解：，理由如下： ∵， ∴． 考点4 角度的四则运算 【典例精讲】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查角度的运算，熟练掌握度、分、秒的进制是解题的关键． （1）两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满，则转化为度； （2）首先将度转化为分，然后计算除法即可； （3）根据角度的乘法运算法则求解即可； （4）首先计算括号内加法，然后计算减法即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式训练1】（24-25七年级上·贵州·期末）计算与解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)9 (3) (4) 【思路引导】本题主要考查解一元一次方程，度数的加减运算，有理数的混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据度数的加减运算法则求解即可； （2）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减； （3）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （4）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，； （4）解： 整理得， 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 【变式训练2】（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)． (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，度分秒的计算，掌握运算法则是解题的关键． （1）利用乘法分配律展开，再进行加减计算； （2）先计算乘法和绝对值，再进行乘除法计算，最后进行加减计算； （3）根据度分秒的进制计算即可； （4）根据度分秒的进制计算即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解： ； （4）解： ． 考点5 实际问题中角度计算问题 【典例精讲】（22-23七年级上·河北保定·期末）已知：如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转；同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转．如图2，设旋转时间为t秒（）．下列说法正确的是（    ） A．整个运动过程中，不存在的情况 B．当时，两射线的旋转时间t一定为20秒 C．当t值为36秒时，射线恰好平分 D．当时，两射线的旋转时间t一定为40秒 【答案】C 【思路引导】由题意知，；当时，；当时，；令，计算求解可判断选项A的正误；令，，计算求解可判断选项B、D的正误；将代入，求出的值，然后根据求解的值，根据与的关系判断选项C的正误． 【规范解答】解：由题意知，；当时，；当时，； 令，即，解得秒， ∴存在的情况； 故A错误，不符合题意； 令，即，解得秒， 令，即，解得秒， ∴当时，两射线的旋转时间t不一定为20秒； 故B、D错误，不符合题意； 当时，， ∴， ∵， ∴射线恰好平分， 故C正确，符合题意； 故选C． 【考点剖析】本题主要考查了角的运算，角平分线等知识．解题的关键在于正确的表示各角度． 【变式训练1】（21-22七年级上·湖南长沙·期末）如图1，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，欢欢和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转： (1)填空：如图2，，，三点共线，且，则______° (2)第三节腿部运动中，如图3，欢欢发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且．她经过计算发现，的值为定值，请判断欢欢的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由； (3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图4 ①运动停止时，直接写出______； ②请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系． 【答案】(1)90 (2)正确，代数式的值为； (3)①；②当时，；当时，． 【思路引导】（1）由A，O，B三点共线，可得出，再由两角相等，可得出； （2）由，设，则，分别表达和，再求比值，可得结论； （3）①算出运动停止时的时间，求出运动的角度，进而求出的度数；②由的运动过程可知，需要分类讨论，在点C，O，A共线前，和共线后两种状态，分别求解即可． 【规范解答】（1）解：∵A，O，B三点共线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：90； （2）∵， 设，则， ∴，， ∴． ∴欢欢的发现是正确的，代数式的值为； （3）解：∵， ∴，， 设运动时间为，则，则． ①运动停止时，即时，OA旋转的角度为， ∴， 故答案为：； ②当点C，O，A三点共线时，； ∴当时，，， ∴； 当时，， ， ∴． 综上，当时，；当时，． 【考点剖析】本题主要考查角的和差的相关计算，发现图形中角之间的和差关系是解题关键． 【变式训练2】（21-22七年级上·重庆璧山·期末）双减政策实施后，我校调查到学生上床休息的时间一般在晚上9点50分，该时刻时针与分针的夹角是 度． 【答案】5 【思路引导】根据时针每小时转，每分钟转，得出9点50分时针转过，分针每分钟转，得出分针一共转过，据此即可求解． 【规范解答】解：时钟指示9时50分时，分针指到10，时针指到9与10之间． ∵时针从12到这个位置经过了50分钟，时针每小时转，每分钟转，因而转过， 分针每分钟转过，因而转过了， ∴时针和分针所成的夹角是． 故答案为：5． 【考点剖析】本题考查了钟面角，正确分析出钟表中时针与分针每分钟转过的度数是解题关键． 考点6 角平分线的有关计算 【典例精讲】如图，与的度数比为，平分，若，则的度数是 ．    【答案】/60度 【思路引导】本题考查了角平分线的定义、角的运算，设，，所以，由角平分线定义可得，则，然后求出的值即可，利用方程思想解决角度计算是解题的关键． 【规范解答】解：∵与的度数比为， ∴设，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 【变式训练1】（25-26七年级上·全国·单元测试）已知，，分别是和的平分线． (1)当射线在内部时，求的度数；的值随着在内转动是否变化，为什么？ (2)当在外部时，的值是否会随着的转变而变化？简单说明理由． 【答案】(1)；的值随着在内转动不会发生变化，理由见解析； (2)的值不会随着的转变而变化，理由见解析． 【思路引导】本题考查了角平分线定义，角的和差关系． （1）由，分别是和的平分线，可得从而可得答案；根据可得：不变，的大小不变； （2）据可得：不变，的大小不变． 【规范解答】（1）解：的值随着在内转动不会发生变化，理由如下： ，分别是和的平分线， ， ， ， ． 即的值随着在内转动不会发生变化； （2）解：的值不会随着的转变而变化，理由如下： 如图： ，分别是和的平分线， ， ， ， ． 即的值不会随着的转变而变化． 【变式训练2】（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）已知，，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)将绕点O按顺时针方向旋转到如图2所示的位置，若，求的度数（用含的代数式表示）； (3)继续将绕点O按顺时针方向旋转到如图3所示的位置，若，求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了角平分线的有关计算；能熟练用角的和差表示出所求的角是解题的关键． （1）由角的和差得 ，由角的平分线得，即可求解； （2）由角的和差得 ，由角的平分线得，即可求解； （3）由角的和差得 ，由角的平分线得，即可求解． 【规范解答】（1）解： ，， ， ， 平分， ， ； （2）解： ，， ， 平分， ， ； （3）解： ，， ， 平分， ， ． 考点7 角n等分线的有关计算 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图，已知内部有三条射线，OE平分，OF平分． (1)若，求的度数； (2)若将条件中的“OE平分，OF平分”改为“，”，且，求的度数． 【答案】(1)45°； (2)． 【思路引导】本题主要考查角的平分线以及角的和差关系的应用，通过角平分线的性质或给定的角的比例关系，结合已知角的度数或表达式来求解的度数． 【规范解答】（1）解：∵平分，OF平分 ∴， ∴ ∵ ∴ （2）解：∵ ∴ ∴ 【考点剖析】本题考查了角的和差与角平分线的应用，掌握利用角的和差关系结合角平分线性质或角的比例关系来推导角的度数的方法是解题的关键． 【变式训练1】（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）（分类讨论思想）射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图1，，则，称射线是射线的伴随线；同理，由于，称射线是射线的伴随线． (1)如图2， ，若射线是射线的伴随线，则 ； (2)如图3，若，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针转动，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针转动，射线与射线同时开始转动，当射线与射线重合时，运动停止（设运动时间为）． ①当t的值为 时， 的度数是 ； ②当t的值为 时，射线中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线． 【答案】(1) (2)①或；② 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，角的计算，解决本题的关键是利用分类讨论思想． （1）根据伴随线定义即可求解； （2）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后进行列式计算即可； ②利用分类讨论思想，分相遇之前和之后四个图形进行计算即可． 【规范解答】（1）解：如图2，，射线是射线的伴随线， 则； （2）解：射线与重合时，， ①当的度数是时，有两种可能： 若在相遇之前，则， ； 若在相遇之后，则， ； 所以，综上所述，当或时，的度数是． ②相遇之前： （i）如图1，是的伴随线时， 则， 即， ； （ii）如图2，是的伴随线时， 则， 即， ． 相遇之后： （iii）如图3，是的伴随线时， 则， 即， ； （iv）如图4， 是的伴随线时，则， 即， ， 所以，综上所述，当时，中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线． 【变式训练2】（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）探究学习，寻求真知 (1)特例感知：如图1，已知线段，线段在线段上运动时（点与点不重合，点与点不重合），点和点分别是的中点． ①若，则______； ②当线段在线段上运动时（点与点不重合，点与点不重合），试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出线段的长度？如果变化，请说明理由． (2)知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在的内部转动，射线和射线分别平分和，请你猜想和之间有怎样的数量关系，并说明理由． (3)类比探究：如图3，在的内部转动，当时，用含的式子表示和之间的数量关系（直接写出结果）． 【答案】(1)①21；②线段的长度不会发生变化，长度为19 (2) (3) 【思路引导】本题主要考查线段中点以及角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解决本题的关键． （1）①根据题意可得，再由线段中点的定义，可得，即可求解；②根据题意可得，再由线段中点的定义，可得，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，再由，即可求解； （3）根据，可得， 从而得到，再由，即可求解． 【规范解答】（1）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵点和点分别是的中点， ∴， ∴； 故答案为：21 ②∵， ∴， ∵点和点分别是的中点， ∴， ∴， ∴线段的长度不会发生变化，长度为19； （2）解：∵射线和射线分别平分和， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． 1．（2024·江苏南京·中考真题）如图，点在同一条直线上，是的平分线，是的平分线．若，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算，先求解，可得，可得，可得，再进一步结合角的和差运算可得答案． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ， ∴； 故答案为： 2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，度分秒的计算等，先利用垂直定义结合已知条件求出，然后利用平行线的性质以及度分秒的换算求解即可． 【规范解答】解∶∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选∶C． 3．（2023·湖北襄阳·中考真题）将含有角的三角板和直尺按如图方式叠放在一起，若，则度数（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据条件可得，再根据即可求解． 【规范解答】解：如图所示，    ∵， ， ∵， ， ， 故选：C． 【考点剖析】本题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解答此题的关键． 4．（2023·北京·中考真题）如图，，，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】由，，可求出的度数，再根据角与角之间的关系求解． 【规范解答】∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【考点剖析】本题考查的知识点是角的计算，注意此题的解题技巧：两个直角相加和相比，多加了． 5．（2024·广西百色·中考真题）如图，为的平分线，下列等式错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【规范解答】试题分析：∵AM为∠BAC的平分线， ∴∠BAC=∠BAM，∠BAM=∠CAM，∠BAM=∠CAM，2∠CAM=∠BAC． 故选C． 考点：角平分线的定义． 基础夯实 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，直线交于点O，射线平分，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了角平分线的定义．根据角平分线的定义求出的度数，然后根据平角等于列式计算即可得解． 【规范解答】解：，射线平分， ， ． 故选：C． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，，平分，平分，下列结论：①；②；③与可以拼成一个直角；④与可以拼成一个平角，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【思路引导】此题主要考查角平分线的定义，角的和差计算，解题的关键是熟知角平分线的定义． 根据角平分线的定义求出各角度数，再判断各选项即可． 【规范解答】∵，平分， ∴ ∵平分． ∴， ∴，， ∴①，正确； ②，正确； ③与可以拼成一个直角，正确； ④与可以拼成一个平角，正确， 故选：D． 3．（23-24七年级上·全国·期末）在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，同时轮船B在南偏东的方向，那么的大小为（     ） A． B．    C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了方向角以及角的和差，正确理解方向角的概念以及利用角的和差确定出的构成是解题的关键． 利用方向角的定义求解即可． 【规范解答】解：根据题意如图所示： ， 故选：C． 4．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期中）计算： ． 【答案】 【思路引导】本题考查了角度的计算；将度与度相加，分与分相加，再根据60分等于1度进行单位换算． 【规范解答】解：． 故答案为：． 5．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【思路引导】本题考查了角的度数大小比较，熟练掌握角度的单位进制是解题关键．根据，将转化为，由此即可得． 【规范解答】解：， ， 故， 故答案为：． 6．（25-26七年级上·四川德阳·阶段练习）如图，将长方形纸片沿直线、进行折叠后（点在边上），点刚好落在上，若折叠角，则另一个折叠角 ． 【答案】 【规范解答】本题主要考查了角的计算；熟练掌握折叠重合的性质是解决问题的关键．由折叠重合可得，即可得出结果． 【思路引导】解：由折叠重合得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：。 7．（25-26七年级上·全国·期末）如图，是直线上一点，，平分，． (1)求的度数； (2)是否平分?并说明理由． 【答案】(1) (2)平分，理由见解析 【思路引导】本题考查角的和差，角平分线的定义，垂直的定义． （1）根据角平分线的定义可求出，进而根据即可求解； （2）根据角的和差求得，即可解答． 【规范解答】（1）解：∵平分，， ∴ ， ∵， ∴； （2）解：平分，理由如下： 理由：∵，， ∴， ∴， ∴平分． 8．计算下列各式 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查角度的计算，注意度分秒的换算． （1）直接进行角度的加法运算，满进，满进； （2）先化为再进行角度的减法运算． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 9．（24-25七年级上·湖南永州·期末）许多历史故事蕴含着深邃的数学思想，如果我们用这些历史故事来启迪思维，就能获得数学的灵感，从而提升我们的数学素养和文化素养，比如鲁班造锯的故事，当鲁班的手不小心被丝茅草割破后，他仔细观察，发现丝茅草的叶子边缘布满小齿，由此产生了联想，发明了与丝茅草具有相同特征的锯子，本学期，我们学习了线段中点和角平分线这两个概念、接下来，我们将通过探究活动去探究线段中点和角平分线之间的联系，实现知识的横向迁移，并总结解题规律与经验． (1)探究一：如图，已知点在线段上，分别是线段的中点， ①若，求线段的长； ②若点为线段上任意一点，且满足，求线段的长（用含的代数式表示） (2)探究二：如图，已知，射线在内部，为的角平分线，为的角平分线，求的度数（用含的代数式表示） 【答案】(1)①；②； (2) 【思路引导】本题考查两点间的距离，角平分线，掌握线段中点的定义，角平分线定义是正确解答的关键． （1）①根据线段中点的定义进行计算即可； ②根据线段中点的定义进行计算即可； （2）根据角平分线的定义以及图形中角的和差关系进行计算即可． 【规范解答】（1）解：①因为点为中点，点为中点，且， 所以， 故 ； ②因为点为中点，点为中点， 所以， 故 ， 又因为，所以； （2）解：因为为角平分线，为角平分线， 所以， ． 10．（23-24七年级上·吉林辽源·期末）已知，是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图①，，求的度数； (2)在图①，，直接写出的度数；（用含的代数式表示） (3)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图②的位置，其它条件保持不变，探究与的度数之间的关系． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【思路引导】本题主要考查角的和差关系及角平分线的定义，熟练掌握角的和差关系及角平分线的定义是解题的关键； （1）由题意易得，，然后问题可求解； （2）根据（1）可直接进行求解； （3）由题意易得，然后根据角的和差关系可进行求解． 【规范解答】（1）解：由已知得， 又是直角，平分， ． （2）解：由（1）得， 即． （3）解：． 理由：，平分， ． 则得， 即． 培优拔高 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，直线相交于点O，在的内部，当时，则与的度数和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查的是几何图形中角度计算问题，解题的关键是熟练掌握角的和差计算． 先根据在的内部得，即可求解． 【规范解答】解：∵在的内部， ， ∴． 故选：B． 2．如图，两个直角共顶点，下列结论：①；②；③若平分，则平分；④的平分线与的平分线是同一条射线．其中不正确的个数有（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了角的计算，角平分线的定义，理解角平分线的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． ①依题意得，则，由此可对该结论进行判断； ②假设，则，进而得，根据已知条件无法判定，由此可对该结论进行判断； ③根据平分得，则，进而得，然后根据角平分线的定义可对该结论进行判断； ④设平分，则，再根据得，则平分，由此可对该结论进行判断；综上所述即可得出答案． 【规范解答】解：①∵和都是直角， ∴， ∴， ∴， 故结论①正确； ②假设， ， ， ∴， ， 根据已知条件无法判定， 故结论②不正确， ③∵平分，， ， 又， ， ， ∴平分， 故结论③正确； ④设平分，如图所示： ， ， ， ， ∴平分， 即的平分线与的平分线是同一条射线， 故结论④正确， 故选：A． 3．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）如图，射线在的内部，图中共有个角：，和，若其中一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“平衡线”若，且射线是的“平衡线”，则的度数为（    ） A． B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了角的计算、一元一次方程的应用等知识点，理解“平衡线”的定义以及分类讨论思想是解题的关键． 根据“平衡线”的定义，分、、三种情况，分别列出关于的方程求解即可． 【规范解答】解：根据“平衡线”的定义，可分三种情况讨论： ①当时，即，解得：； ②当时， ， ，解得：； ③当时， ， ，解得：； 综上，的度数为或或． 故选：D． 4．（25-26七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，直线相交于点O，平分，平分，，则 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，设，则由角平分线的定义得，根据平角的定义可建立方程求出，进而由平角的定义求出的度数，再由角平分线的定义和角的和差关系求出的度数即可得到答案． 【规范解答】解：设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（24-25七年级上·甘肃定西·期末）如图，已知是直线上一点，是一条射线，平分，在内，，， ． 【答案】/80度 【思路引导】本题考查了角平分线的定义，利用方程是解答本题的关键，难度适中． 先设为，为，根据角平分线的定义、与的关系建立方程解答即可． 【规范解答】解：设为，则为， 平分， ， 则可得， ， ， 则可得：， 解得， ， ． 6．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知，，是的平分线，的度数是 ． 【答案】/度 【思路引导】此题考查了角平分线的定义和角度和差，由角度和差得出，再通过角平分线定义即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·全国·单元测试）已知：O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1．若．求的度数； (2)在图1中，若，直接写出的度数（用含a的代数式表示）； (3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，探究和的度数之间的关系．写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【思路引导】本题考查了角的有关计算和角平分线定义的应用，主要考查学生的计算能力，求解过程类似． （1）求出，求出根据角平分线求出，代入求出即可． （2）类似（1）的解题过程可得出结论； （3）先根据角平分线的定义得出，再由即可得出结论． 【规范解答】（1）解：∵是直角，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：∵是直角，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴．即：． （3）解：． 理由如下：因为，平分， 所以． 所以． 8．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）综合与探究 【背景知识】 如图甲，已知线段，，线段 在线段上运动，E，F 分别是 ，的中点． 【知识探究】 （1）若，则 ； （2）当线段在线段上运动时，试判断 的长度是否发生变化？如果不变，请 求出的长度，如果变化，请说明理由； 【类比探究】 （3）对于角，也有和线段类似的规律． 如图乙，已知在内部转动，，分别平分和， ①若，则 ． ②试判断的大小是否发生变化？如果不变，请确定的大小，如果变化，请说明理由． 【答案】（1）；（2）的长度不变，，理由见解析；（3）①；②的大小不会变化，． 【思路引导】（1）根据线段中点分别求解，，从而可得的长度； （2）根据，再根据中点进行推导即可； （3）①根据再结合角平分线进行计算；②由①可以得到结论． 【规范解答】解：（1）解：∵，，， ∴， ∵E，F分别是，的中点， ∴，． ∴， 故答案为：； （2）的长度不变，，理由如下： ∵E，F分别是，的中点， ∴，． ∴ ； （3）①∵，分别平分和 ∴，． ∴ ∵ ∴ ， 故答案为：； ②的大小不会变化，理由如下： 由①知， ∴的大小不会变化，且． 【考点剖析】本题主要考查线段中点的含义，线段的和差，角平分线的定义，角的和差运算，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解决本题的关键． 9．现有纸板三角形，其中，点在直线上，过点作一条射线，使， (1)当纸板的位置如图①所示，恰好平分，求的度数； (2)当纸板的位置如图②所示，作射线、分别平分和，请直接写出的度数为___________； (3)若纸板旋转到时，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路引导】本题考查了角平分线的有关计算，角的和差计算，解题的关键是掌握分类讨论的思想． （1）根据角平分线得到，再由求解即可； （2）根据角平分线可设，则，化简得到，再由即可求解； （3）分两种情况讨论，在直线上方以及当在直线下方，利用角的和差计算即可． 【规范解答】（1）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵、分别平分和， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：如图， ①当在直线上方时， ， ∴； ②当在直线下方时， ， 综上：的度数为或． 10．（25-26七年级上·河北张家口·期中）如图1，先画出直线，然后将一副三角板拼接在一起，其中角（）的顶点与角（）的顶点重合，且边，都在直线上． (1) 度； (2)如图2，固定三角板不动，将三角板绕点按顺时针方向旋转一个角度，当边第一次落在射线上时停止． ①当平分时，求旋转角α的度数； ②如图3，当运动到内部时，是定值，求这个定值； ③当时， 直接写出旋转角α的度数为 ． 【答案】(1) (2)①；②；③或 【思路引导】本题考查了三角板中的角度计算，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想解决问题是关键． （1）根据角平分线的定义以及平角的定义进行计算即可； （2）①根据图形中角的和差关系进行计算即可； ②根据图形中角的和差关系进行计算即可； ③分两种情况，当在内部时，当在内部时，利用角的和差表示出和，然后根据列方程，解方程即可． 【规范解答】（1）解：（1）如图1，， 故答案为：； （2）解：①当平分时， ∴， ∴∠， 即旋转角； ②如图3，，理由如下： ； ③如图2，当在内部或与重合时，即， 由题意得，， ， 当时，即，解得． 如图3，当在内部与重合时，即， 当时，即，解得， 故答案为：或． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.3.2 角的比较与运算 （知识梳理+7个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共46题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：角度制及其换算 1 知识点梳理02：角的比较 2 知识点梳理03：角的和、差关系 2 知识点梳理04：角平分线 2 优选题型 考点讲练 3 考点1 角的比较 3 考点2 三角板中角度计算问题 4 考点3 几何图形中角度计算问题 5 考点4 角度的四则运算 7 考点5 实际问题中角度计算问题 8 考点6 角平分线的有关计算 10 考点7 角n等分线的有关计算 12 中考真题 实战演练 14 难度分层 拔尖冲刺 15 基础夯实 15 培优拔高 18 知识点梳理01：角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 【易错点拨】在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于60时要向高一位进位． 知识点梳理02：角的比较 角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′． 知识点梳理03：角的和、差关系 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 【易错点拨】(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 知识点梳理04：角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 【易错点拨】由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 考点1 角的比较 【典例精讲】（24-25七年级上·河北唐山·期末）按要求作答： (1)画图，以为端点，引条射线，，，使得； (2)在（1）中，若，比的倍少，求的度数． 【变式训练1】（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图所示的正方形网格中，点、、是格点，则 ．（填“”，“”或“”） 【变式训练2】（24-25七年级上·重庆江津·期末）如图，直角三角板的直角顶点在直线上，平分． (1)比较和的大小，并说明理由； (2)若，求的度数． 考点2 三角板中角度计算问题 【典例精讲】（22-23七年级上·吉林白城·期末）如图所示，以直线上的一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一块直角三角板（）的直角顶点放在点处，且直角三角板在直线的上方．设 ． (1)当时，求的大小； (2)当恰好平分时，求的值； (3)当时，嘉嘉认为与的差为定值，淇淇认为与的和为定值，老师说，两人的说法都正确，但是需要对分别附加条件．请你补充完整下面的信息： 当时，__________； 当时，__________． 【变式训练1】（24-25七年级上·江苏苏州·期末）点为直线上一点，在直线上方作射线，使，直角三角板的直角顶点放在处．将直角三角板绕点转动，在转动过程中，直角边始终保持在直线上或上方． (1)如图，若三角板的直角边在射线上，则______； (2)绕点转动三角板， ①如图，当恰好平分时，试说明平分； ②在转动过程中，试探究与之间的数量关系，并给出证明． 【变式训练2】（21-22八年级上·贵州黔南·期末）直尺和三角板如图放置，三角板的直角顶点和直尺的一边重合，平分，测得，求的度数． 考点3 几何图形中角度计算问题 【典例精讲】．（2025七年级上·全国·专题练习）如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使，将直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1中，______，______． (2)将图1中的三角板按图2的位置放置，使得在射线上，则______； (3)将上述直角三角板按图3的位置放置，使得在的内部，求的度数． 【变式训练1】（23-24七年级下·山东德州·开学考试）如图，点A，O，B在同一条直线上，将一直角三角尺如图1放置，使直角顶点重合于点O，是直角，平分． (1)若，求的度数．（写步骤） (2)若，则直接写出的度数为___________； (3)如图2放置，其他条件不变，直接写出和的度数之间的关系___________；如图3放置，其他条件不变，直接写出和的度数之间的关系___________． 【变式训练2】（24-25七年级上·贵州·期末）【综合与探究】如图①，将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起． (1)若，_______；若，则 ； (2)【大胆猜想】与的大小有何特殊关系是 ； (3)【问题解决】如图②，若是两个同样的三角尺锐角的顶点A重合在一起，则与的大小有何关系？请说明理由； (4)【拓展延伸】如图③，已知（，），若把它们的顶点O重合在一起，则与的大小有何关系？用字母和表示（不需要证明直接写出答案即可）． 考点4 角度的四则运算 【典例精讲】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练1】（24-25七年级上·贵州·期末）计算与解方程： (1) (2) (3) (4) 【变式训练2】（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1) ； (2)． (3)； (4) 考点5 实际问题中角度计算问题 【典例精讲】（22-23七年级上·河北保定·期末）已知：如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转；同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转．如图2，设旋转时间为t秒（）．下列说法正确的是（    ） A．整个运动过程中，不存在的情况 B．当时，两射线的旋转时间t一定为20秒 C．当t值为36秒时，射线恰好平分 D．当时，两射线的旋转时间t一定为40秒 【变式训练1】（21-22七年级上·湖南长沙·期末）如图1，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，欢欢和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转： (1)填空：如图2，，，三点共线，且，则______° (2)第三节腿部运动中，如图3，欢欢发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且．她经过计算发现，的值为定值，请判断欢欢的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由； (3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图4 ①运动停止时，直接写出______； ②请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系． 【变式训练2】（21-22七年级上·重庆璧山·期末）双减政策实施后，我校调查到学生上床休息的时间一般在晚上9点50分，该时刻时针与分针的夹角是 度． 考点6 角平分线的有关计算 【典例精讲】如图，与的度数比为，平分，若，则的度数是 ．    【变式训练1】（25-26七年级上·全国·单元测试）已知，，分别是和的平分线． (1)当射线在内部时，求的度数；的值随着在内转动是否变化，为什么？ (2)当在外部时，的值是否会随着的转变而变化？简单说明理由． 【变式训练2】（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）已知，，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)将绕点O按顺时针方向旋转到如图2所示的位置，若，求的度数（用含的代数式表示）； (3)继续将绕点O按顺时针方向旋转到如图3所示的位置，若，求的度数（用含的代数式表示）． 考点7 角n等分线的有关计算 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图，已知内部有三条射线，OE平分，OF平分． (1)若，求的度数； (2)若将条件中的“OE平分，OF平分”改为“，”，且，求的度数． 【变式训练1】（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）（分类讨论思想）射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图1，，则，称射线是射线的伴随线；同理，由于，称射线是射线的伴随线． (1)如图2， ，若射线是射线的伴随线，则 ； (2)如图3，若，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针转动，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针转动，射线与射线同时开始转动，当射线与射线重合时，运动停止（设运动时间为）． ①当t的值为 时， 的度数是 ； ②当t的值为 时，射线中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线． 【变式训练2】（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）探究学习，寻求真知 (1)特例感知：如图1，已知线段，线段在线段上运动时（点与点不重合，点与点不重合），点和点分别是的中点． ①若，则______； ②当线段在线段上运动时（点与点不重合，点与点不重合），试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出线段的长度？如果变化，请说明理由． (2)知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在的内部转动，射线和射线分别平分和，请你猜想和之间有怎样的数量关系，并说明理由． (3)类比探究：如图3，在的内部转动，当时，用含的式子表示和之间的数量关系（直接写出结果）． 1．（2024·江苏南京·中考真题）如图，点在同一条直线上，是的平分线，是的平分线．若，则 ． 2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·湖北襄阳·中考真题）将含有角的三角板和直尺按如图方式叠放在一起，若，则度数（   ）    A． B． C． D． 4．（2023·北京·中考真题）如图，，，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 5．（2024·广西百色·中考真题）如图，为的平分线，下列等式错误的是（ ） A． B． C． D． 基础夯实 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，直线交于点O，射线平分，若，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，，平分，平分，下列结论：①；②；③与可以拼成一个直角；④与可以拼成一个平角，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24七年级上·全国·期末）在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，同时轮船B在南偏东的方向，那么的大小为（     ） A． B．    C． D． 4．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期中）计算： ． 5．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）比较大小： ．（填“”“”或“”） 6．（25-26七年级上·四川德阳·阶段练习）如图，将长方形纸片沿直线、进行折叠后（点在边上），点刚好落在上，若折叠角，则另一个折叠角 ． 7．（25-26七年级上·全国·期末）如图，是直线上一点，，平分，． (1)求的度数； (2)是否平分?并说明理由． 8．计算下列各式 (1) (2) 9．（24-25七年级上·湖南永州·期末）许多历史故事蕴含着深邃的数学思想，如果我们用这些历史故事来启迪思维，就能获得数学的灵感，从而提升我们的数学素养和文化素养，比如鲁班造锯的故事，当鲁班的手不小心被丝茅草割破后，他仔细观察，发现丝茅草的叶子边缘布满小齿，由此产生了联想，发明了与丝茅草具有相同特征的锯子，本学期，我们学习了线段中点和角平分线这两个概念、接下来，我们将通过探究活动去探究线段中点和角平分线之间的联系，实现知识的横向迁移，并总结解题规律与经验． (1)探究一：如图，已知点在线段上，分别是线段的中点， ①若，求线段的长； ②若点为线段上任意一点，且满足，求线段的长（用含的代数式表示） (2)探究二：如图，已知，射线在内部，为的角平分线，为的角平分线，求的度数（用含的代数式表示） 10．（23-24七年级上·吉林辽源·期末）已知，是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图①，，求的度数； (2)在图①，，直接写出的度数；（用含的代数式表示） (3)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图②的位置，其它条件保持不变，探究与的度数之间的关系． 培优拔高 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，直线相交于点O，在的内部，当时，则与的度数和为（   ） A． B． C． D． 2．如图，两个直角共顶点，下列结论：①；②；③若平分，则平分；④的平分线与的平分线是同一条射线．其中不正确的个数有（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）如图，射线在的内部，图中共有个角：，和，若其中一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“平衡线”若，且射线是的“平衡线”，则的度数为（    ） A． B．或 C．或 D．或或 4．（25-26七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，直线相交于点O，平分，平分，，则 ． 5．（24-25七年级上·甘肃定西·期末）如图，已知是直线上一点，是一条射线，平分，在内，，， ． 6．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知，，是的平分线，的度数是 ． 7．（25-26七年级上·全国·单元测试）已知：O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1．若．求的度数； (2)在图1中，若，直接写出的度数（用含a的代数式表示）； (3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，探究和的度数之间的关系．写出你的结论，并说明理由． 8．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）综合与探究 【背景知识】 如图甲，已知线段，，线段 在线段上运动，E，F 分别是 ，的中点． 【知识探究】 （1）若，则 ； （2）当线段在线段上运动时，试判断 的长度是否发生变化？如果不变，请 求出的长度，如果变化，请说明理由； 【类比探究】 （3）对于角，也有和线段类似的规律． 如图乙，已知在内部转动，，分别平分和， ①若，则 ． ②试判断的大小是否发生变化？如果不变，请确定的大小，如果变化，请说明理由． 9．现有纸板三角形，其中，点在直线上，过点作一条射线，使， (1)当纸板的位置如图①所示，恰好平分，求的度数； (2)当纸板的位置如图②所示，作射线、分别平分和，请直接写出的度数为___________； (3)若纸板旋转到时，求的度数． 10．（25-26七年级上·河北张家口·期中）如图1，先画出直线，然后将一副三角板拼接在一起，其中角（）的顶点与角（）的顶点重合，且边，都在直线上． (1) 度； (2)如图2，固定三角板不动，将三角板绕点按顺时针方向旋转一个角度，当边第一次落在射线上时停止． ①当平分时，求旋转角α的度数； ②如图3，当运动到内部时，是定值，求这个定值； ③当时， 直接写出旋转角α的度数为 ． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $