专题6.2.1 直线、射线、线段（高效培优讲义）数学新教材人教版七年级上册

专题6.2.1 直线、射线、线段 教学目标 1. 认识点、线、面、体这些几何基本元素，理解静态关系：体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点；理解动态关系：点动成线，线动成面，面动成体；知道平面图形可通过平移、旋转得到立体图形，旋转轴不同，形成的几何体不同。 2. 通过观察实例、动手操作、想象感知等活动，体会平面图形与立体图形的转化，发展空间想象能力、几何直观，建立运动变化的几何观点。 3. 从生活现象中发现点线面体，感受几何来源于生活，激发空间图形学习兴趣，养成观察、想象、验证的思维习惯。 教学重难点 1.重点 认识点、线、面、体；掌握点动成线、线动成面、面动成体；理解面与面相交成线，线与线相交成点；了解平面图形平移、旋转可以形成立体图形。 2.难点 想象动态形成几何体的过程；区分旋转轴不同带来几何体的变化；理解曲面、曲线相交的情况。 知识点01 直线、射线、线段 1. 直线、射线、线段 定义 图示 表示方法 特点 直线 可以朝两边无限延伸的线叫做直线 ①用一个小写字母来表示。即表示为 。 ②用直线上的两个大写字母表示。即表示为 。 ①无限延伸 ②没有端点 ③无长度，无法度量，无法比较 射线 直线上一点和它一旁的部分叫做射线，这个点叫做射线的 。 ①用一个小写字母表示。即表示为 。 ②用含端点的两个大写字母表示。且表示 在前。即表示为 。 ①朝一端无限延伸 ②有一个端点 ③有方向 ④无长短，无法度量，无法比较。 注意：端点相同，延伸方向相同的射线是同一条射线。 线段 直线上两点及两点间的部分是线段。 ①用一个小写字母表示。即表示为 。 ②用表示端点的两个大写字母表示。即表示为 或 。 ①无法延伸 ②两个端点 ③有长度，可度量，可比较。 2. 直线与线段的基本事实： ①经过两点 1条直线。简单说成 。经过一点有 条直线。线段的基本事实： ②两点之间，线段 。即连接两点间的所有连线中， 是最短的。这条线段的 叫做这两点间的距离。 3. 点与直线的位置关系： 点与直线有 种位置关系，分别是点在 和点在 。如右图：点A在直线上，点B在直线外。 4. 直线的相交： 当两条不同的直线有 时，我们称这两条直线 ，这个点叫做他们的 。 【即学即练】 下列关于直线、射线、线段的说法正确的是（     ） A．用直尺可以画一条长的直线 B．射线与射线表示同一条射线 C．直线没有端点，射线有一个端点，线段有两个端点 D．过平面内三点中的每两点画直线，一定可以画3条 知识点02 画线段、延长线以及反向延长线 画线段、延长线及反向延长线 文字语言 作法 图示 连接AB 画出一A、B为端点的线段 延长线段AB 按照从端点A到B的方向延长 反向延长线段AB 按照从端点B到A的方向延长 【即学即练】 如图，在同一平面内有，，，四个点，利用尺规，按下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)作直线； (2)作射线； (3)连接，交于点． 题型01 直线、射线、线段的联系与区别 【典例1】下列结论正确的是（     ） A．直线比射线长 B．射线比线段长 C．过三点一定能作三条直线 D．过两点有且只有一条直线 【变式1】如图，下列说法正确的是（     ） A．射线和射线是同一条射线 B．直线和直线不是同一条直线 C．线段和线段不是同一条线段 D．点在线段的延长线上 【变式2】给出下列说法：①射线与射线是同一条射线；②连接两点之间的线段，叫做这两点间的距离；③若，则点是线段的中点；④角的大小与角的两边的长短无关．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】下列几何图形与相应语言描述相符的是（    ） A．如图1，延长线段到 B．如图2，射线经过点 C．如图3，直线和直线相交于点 D．如图4，射线和线段没有交点 【变式4】下列几何图形与相应语言描述相符的是（    ） A．如图，点在线段上 B．如图，点在射线上 C．如图，线段和射线有一个交点 D．如图，直线的延长线与直线的延长线相交于点 题型02 直线、射线、线段的数量问题 【典例1】如图所示，若图中共有a条线段，b条射线，c条直线，则_______． 设：同一条直线上一共有n个点 1. 直线：只要这些点都在同一直线上，直线永远只有1条。 公理：两点确定一条直线，多个共线点只属于同一条直线。 2. 射线：直线上每一个点，向左右两个方向各分出1条射线 射线总条数：2n 判断两条射线相同的条件：端点相同+方向相同 注意：如果题目不是“一条直线上的点”，而是从同一个顶点出发散开的射线（角的那种），不能用2n，一条一条数！ 3. 线段 线段是两个端点组成，不看方向，不重复。 方法一：累加计数法（适合理解）(n-1)+(n-2)+…+2+1) 方法二：公式法（快速计算） 线段条数= 【变式1】如果乘火车从北京到上海，沿途共有25个车站（包括北京和上海在内），那么共需要准备多少种不同的车票（    ） A．400 B．25 C．300 D．100 【变式2】数一数，如图中一共有（     ）条线段． A． B． C． D． 【变式3】有6个点，每两个点之间连一条线段，6个点最多可以连成___________条不同的线段． 【变式4】在如图所示的图形中，共有 _____条线段，以B为端点的线段有 _____． 题型03 直线相交的交点个数问题 【典例1】某城市新区规划建设8条主干道（道路近似于直线），为有效引导车流，交通运输局计划每条主干道交汇点处设置一组交通信号灯，则交通运输局需要准备的交通信号灯组数最多为________． 基础模型：任意两条直线都不平行、任意三条直线不共点（交点最多的情况，必考） 含义：每两条直线都产生一个新交点，没有三条直线交于同一点 n 条直线，最多交点个数公式： 最多交点数= 推导理解： 第1条直线：0个交点 第2条和第1条相交：+1 第3条和前面2条都相交：+2 第4条和前面3条都相交：+3 …… 第n条和前面n-1条都相交：+(n-1) 累加：1+2+3+\dots+(n-1)= 最少交点个数 全部直线互相平行：0 个交点 所有直线交于同一个点：1 个交点 所以：≥2条直线，最少交点可以是0或者1，看条件 【变式1】观察如图，并阅读图形下面的相关文字：两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；4条直线相交，最多有6个交点……像这样，20条直线相交，交点最多的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2】我们知道，2条直线相交只有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点，5条直线两两相交最多能有10个交点，…20条直线两两相交最多能有（   ）个交点 A．170 B．190 C．210 D．360 【变式3】观察下列直线相交的情况： (1)两条直线相交，有1个交点；三条直线相交，最多有多少个交点？ (2)四条直线相交，最多有多少个交点？ (3)请你写出n条直线相交，最多有多少个交点的规律（用含n的代数式表示）． 【变式4】如图，我们知道，2条直线相交只有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点…那么条直线两两相交最多能有的交点个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型04 直线、射线、线段的作图 【典例1】读下列语句，并画出相应的图形： (1)点A在直线l上，点B在直线l外 (2)任意画一点P，过点P画直线． (3)任意画A、B两点，过A、B两点画直线． (4)任意画A、B、C三点，过A、C两点画直线l，此时点B是否一定在这条直线上？ 【变式1】如图，有A、B、C、O四个点，分别画出以点O为端点，经过A、B、C各点的射线． 【变式2】如图，在平面内有、、三点，根据下列语句画图： (1)画直线，线段，射线； (2)在线段上任取一点（不同于点、），连接线段； (3)数数看，此时图中线段共有________条． 【变式3】如图，一条直线经过点A，借助直尺或三角板，判断这条直线是（     ） A． B． C． D． 【变式4】下列四个图中的线段（或直线、射线）能相交的是（    ） A． B． C． D． 1．如图，下列语句描述不正确的是（     ） A．点在直线上 B．直线与射线相交于点 C．点在直线上 D．点在线段的反向延长线上 2．小丁通过举例推理，探究出多条直线两两相交时，交点数量的变化规律（如图）．按照这个规律计算，当直线两两相交最多出现190个交点时，直线的数量是（     ）    直线的条数 2 3 4 5 … 交点的个数 1 3 6 … … A．17 B．18 C．19 D．20 3．过平面上五个点中的任意两点画一条直线，最多可以画（     ）条． A．11 B．10 C．9 D．8 4．下列说法中正确的是（     ） A．直线相交于点 B．点P在直线的延长线上 C．射线和射线是同一条射线 D．线段和线段是同一条线段 5．下面是某同学按要求分别画出的四个图形：①直线经过点；②点在直线外；③经过点的3条线段，，；④线段，相交于点．他所画的图形中，正确的个数是________． 6．《红楼梦》第回中有这么一句话，“自古道：‘千里姻缘一线牵’．管姻缘的有一位月下老人，预先注定，暗里只用一根红丝，把这两个人的脚绊住．”请问，这里所说的“丝”若是直的，则在数学中指的应是________． 7．往返于甲、乙两地的列车，若运行途中停靠三个站，则需要为这次列车制作_________张车票． 8．观察下图，并解决下列问题： 【模型构建】 (1)图中共有__________条线段； (2)若线段上标记了个点（含线段的两个端点），则该线段中共有___________条线段； (3)【模型应用】 某社团组织若干名成员参加趣味活动，活动设置了多项互动环节．已知每两名成员之间要合作完成一次双人游戏，总共完成了次双人游戏．若每个成员都送给其他成员一枚自制徽章，求总共要送出多少枚徽章？ 9．如图，已知四个点A、B、C、D，根据下列要求画图： (1)画线段； (2)画射线，与线段的延长线交于点E； (3)找一点P，使P既在直线上，又在直线上． 10．如图，已知点在线段上．若，，． (1)图中共有______条线段； (2)求的长度． 1．以下说法中正确的是（     ） A．延长射线 B．延长线段到 C．直线的端点之一是 D．延长射线到 2．2026年，中国获得了国际射联射击世界杯的举办权，自40年前许海峰在亚运会上射落4枚金牌后，射击逐渐成为中国队的优势项目，射击时，确保缺口、准星、目标三点一线即可命中目标．如图，设计枪械时，瞄准部件仅需缺口和准星即可，其原理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．以上说法都不对 3．下列几何图形与相应语言描述不相符的是（     ）． A．如图乙所示，直线与直线交于点 B．如图甲所示，直线不经过点 C．如图丁所示，线段与射线一定相交 D．如图丙所示，点在线段上 4．墨斗是中国传统木工行业中画直线的常用工具．如图，木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点上，另一端固定在另一点上，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线．其蕴含的数学道理是（    ） A．两点之间线段最短 B．垂线段最短 C．三角形内角和定理 D．两点确定一条直线 5．如图，，，三点在一条直线上，则图中共有射线__________条． 6．盐泰锡常宜铁路是“六纵六横”高速铁路网中盐杭通道的重要线路．其中泰兴至太湖两个站点之间有靖江、江阴、惠山三个站点，如果往返于泰兴和太湖两地，且每两站间距离各不相等，则需要准备_________种不同的车票． 7．平面上的条直线恰有2011个交点，则的最小值为________． 8．现在有10个城市在地图上的位置恰好构成一个十边形，为了确保任意两个城市之间都有直飞航班，一共需要准备________种不同的飞机票． 9．连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，如图1，四边形的对角线有条． (1)在图2、图3中分别画出五边形、六边形的对角线，并写出五边形、六边形各有几条对角线； (2)随着多边形边数的增加，其对角线的条数随之变化，则边形的对角线有（    ）条． A．    B．    C．    D． 10．某数学兴趣小组学习“两点确定一条直线”后，想继续探究平面内有3点、4点……n点时，过两点画直线的情况，并进行了以下操作探究： (1)【操作·思考】画出下面两种情况的所有直线： ①当3点在同一条直线上时，如图1 ②当3点不在同一条直线上时，如图2 (2)【思考·提升】类比以上方法，继续探究不在同一条直线上的4点、5点、6点……画直线的情况．总结规律解决问题：过在同一平面内的10个点最多可作多少条直线？过在同一平面内的n个点最多可作多少条直线？ (3)【提升·拓展】某校组织了“迎新”活动． ①七年级举行单循环篮球赛，全年级8个班共打了几场比赛？ ②有50人参加了本次“迎新”活动，活动结束后参与人员需互送贺卡，共送出了多少张贺卡？ 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.2.1 直线、射线、线段 教学目标 1. 认识点、线、面、体这些几何基本元素，理解静态关系：体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点；理解动态关系：点动成线，线动成面，面动成体；知道平面图形可通过平移、旋转得到立体图形，旋转轴不同，形成的几何体不同。 2. 通过观察实例、动手操作、想象感知等活动，体会平面图形与立体图形的转化，发展空间想象能力、几何直观，建立运动变化的几何观点。 3. 从生活现象中发现点线面体，感受几何来源于生活，激发空间图形学习兴趣，养成观察、想象、验证的思维习惯。 教学重难点 1.重点 认识点、线、面、体；掌握点动成线、线动成面、面动成体；理解面与面相交成线，线与线相交成点；了解平面图形平移、旋转可以形成立体图形。 2.难点 想象动态形成几何体的过程；区分旋转轴不同带来几何体的变化；理解曲面、曲线相交的情况。 知识点01 直线、射线、线段 1. 直线、射线、线段 定义 图示 表示方法 特点 直线 可以朝两边无限延伸的线叫做直线 ①用一个小写字母来表示。即表示为直线l。 ②用直线上的两个大写字母表示。即表示为直线AB 。 ①无限延伸 ②没有端点 ③无长度，无法度量，无法比较 射线 直线上一点和它一旁的部分叫做射线，这个点叫做射线的端点。 ①用一个小写字母表示。即表示为 射线l。 ②用含端点的两个大写字母表示。且表示端点字母在前。即表示为 射线AB。 ①朝一端无限延伸 ②有一个端点 ③有方向 ④无长短，无法度量，无法比较。 注意：端点相同，延伸方向相同的射线是同一条射线。 线段 直线上两点及两点间的部分是线段。 ①用一个小写字母表示。即表示为 线段a。 ②用表示端点的两个大写字母表示。即表示为线段AB或 线段BA。 ①无法延伸 ②两个端点 ③有长度，可度量，可比较。 2. 直线与线段的基本事实： ①经过两点有且只有1条直线。简单说成两点确定一条直线。经过一点有无数条直线。线段的基本事实： ②两点之间，线段最短。即连接两点间的所有连线中，线段是最短的。这条线段的长度叫做这两点间的距离。 3. 点与直线的位置关系： 点与直线有2种位置关系，分别是点在直线上和点在直线外。如右图：点A在直线上，点B在直线外。 4. 直线的相交： 当两条不同的直线有公共点时，我们称这两条直线相交，这个点叫做他们的交点。 【即学即练】 下列关于直线、射线、线段的说法正确的是（     ） A．用直尺可以画一条长的直线 B．射线与射线表示同一条射线 C．直线没有端点，射线有一个端点，线段有两个端点 D．过平面内三点中的每两点画直线，一定可以画3条 【答案】C 【详解】解：选项A：∵直线向两方无限延伸，无固定长度， ∴无法画出长的直线，A错误． 选项B：∵射线的端点为，向点的方向延伸，射线的端点为，向点的方向延伸，端点与延伸方向均不同， ∴它们不是同一条射线，B错误． 选项C：∵直线没有端点，射线有一个端点，线段有两个端点，符合三者定义， ∴C正确． 选项D：∵若平面内三点共线，过每两点画直线只能画1条，并非一定能画3条， ∴D错误． 知识点02 画线段、延长线以及反向延长线 画线段、延长线及反向延长线 文字语言 作法 图示 连接AB 画出一A、B为端点的线段 延长线段AB 按照从端点A到B的方向延长 反向延长线段AB 按照从端点B到A的方向延长 【即学即练】 如图，在同一平面内有，，，四个点，利用尺规，按下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)作直线； (2)作射线； (3)连接，交于点． 【答案】(1)所作直线如图所示： (2)所作射线如图所示： (3)所作交点E如图所示： 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型01 直线、射线、线段的联系与区别 【典例1】下列结论正确的是（     ） A．直线比射线长 B．射线比线段长 C．过三点一定能作三条直线 D．过两点有且只有一条直线 【答案】D 【详解】解：A、B选项，直线、射线不可度量，无法比较长短，均错误； C选项，若三点共线，仅能作1条直线，错误； D选项，过两点有且只有一条直线，正确． 【变式1】如图，下列说法正确的是（     ） A．射线和射线是同一条射线 B．直线和直线不是同一条直线 C．线段和线段不是同一条线段 D．点在线段的延长线上 【答案】A 【详解】解：A、射线和射线是同一条射线，说法正确，符合题意； B、直线和直线是同一条直线，该选项说法错误，不符合题意； C、线段和线段是同一条线段，该选项说法错误，不符合题意； D、点在线段的反向延长线上，该选项说法错误，不符合题意． 【变式2】给出下列说法：①射线与射线是同一条射线；②连接两点之间的线段，叫做这两点间的距离；③若，则点是线段的中点；④角的大小与角的两边的长短无关．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：①射线端点为，向方向延伸，射线端点为，向方向延伸，端点不同，延伸方向不同，不是同一条射线，故①错误； ②两点间距离的定义是连接两点之间的线段的长度叫作这两点间的距离，不是线段本身，故②错误； ③若，当点不在线段上时，点不是线段的中点，故③错误； ④角的大小只与角两边张开的程度有关，与角两边的长短无关，故④正确； 综上，正确的说法只有1个． 【变式3】下列几何图形与相应语言描述相符的是（    ） A．如图1，延长线段到 B．如图2，射线经过点 C．如图3，直线和直线相交于点 D．如图4，射线和线段没有交点 【答案】C 【详解】解：A、应为“点在射线上”，描述不相符，不符合题意； B、应为“射线不经过点”，描述不相符，不符合题意； C、描述相符，符合题意； D、射线和线段有交点，描述不相符，不符合题意． 故选：C． 【变式4】下列几何图形与相应语言描述相符的是（    ） A．如图，点在线段上 B．如图，点在射线上 C．如图，线段和射线有一个交点 D．如图，直线的延长线与直线的延长线相交于点 【答案】C 【详解】解：A、点在线段的延长线上，不在线段上，故原说法错误，不符合题意； B、点在直线上，不在射线上，故原说法错误，不符合题意； C、线段和射线有一个交点，故原说法正确，符合题意； D、直线没有延长线，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 题型02 直线、射线、线段的数量问题 【典例1】如图所示，若图中共有a条线段，b条射线，c条直线，则_______． 【答案】30 【详解】解：如图，图中有线段，共条，即， 图中以为端点的射线有条，以为端点的射线有条，以为端点的射线有条，以为端点的射线有条，共条，即， 图中有直线，共条，即， ． 设：同一条直线上一共有n个点 1. 直线：只要这些点都在同一直线上，直线永远只有1条。 公理：两点确定一条直线，多个共线点只属于同一条直线。 2. 射线：直线上每一个点，向左右两个方向各分出1条射线 射线总条数：2n 判断两条射线相同的条件：端点相同+方向相同 注意：如果题目不是“一条直线上的点”，而是从同一个顶点出发散开的射线（角的那种），不能用2n，一条一条数！ 3. 线段 线段是两个端点组成，不看方向，不重复。 方法一：累加计数法（适合理解）(n-1)+(n-2)+…+2+1) 方法二：公式法（快速计算） 线段条数= 【变式1】如果乘火车从北京到上海，沿途共有25个车站（包括北京和上海在内），那么共需要准备多少种不同的车票（    ） A．400 B．25 C．300 D．100 【答案】C 【详解】解：∵乘火车从北京到上海为单向行程，任意两个车站间对应一种车票，等价于求25个点构成的线段总条数， ∴车票种数为． 【变式2】数一数，如图中一共有（     ）条线段． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：图中的线段有：，共条． 【变式3】有6个点，每两个点之间连一条线段，6个点最多可以连成___________条不同的线段． 【答案】 【详解】解：要连成最多不同线段，需要任意三个点不共线，任意两点可连一条不同线段，按顺序统计不重复线段：第一个点可和其余个点连条线段，第二个点已和第一个点连线，可再连条不重复的新线段，第三个点已和前两个点连线，可再连条不重复的新线段，第四个点可再连条不重复的新线段，第五个点可再连条不重复的新线段，第六个点已和所有点完成连线，没有新线段，总线段数为 ． 【变式4】在如图所示的图形中，共有 _____条线段，以B为端点的线段有 _____． 【答案】 10 4条 【详解】解：如图所示的图形中，共有线段10条，分别是，，，，，，，，，， 以B为端点的线段有4条，分别是，，，． 题型03 直线相交的交点个数问题 【典例1】某城市新区规划建设8条主干道（道路近似于直线），为有效引导车流，交通运输局计划每条主干道交汇点处设置一组交通信号灯，则交通运输局需要准备的交通信号灯组数最多为________． 【答案】28 【详解】解：两条直线相交，最多有1个交点， 三条直线相交，最多有个交点， 四条直线相交，最多有个交点， 可得规律：条直线相交，最多的交点个数为， 将代入公式得： 即最多需要准备28组交通信号灯． 基础模型：任意两条直线都不平行、任意三条直线不共点（交点最多的情况，必考） 含义：每两条直线都产生一个新交点，没有三条直线交于同一点 n 条直线，最多交点个数公式： 最多交点数= 推导理解： 第1条直线：0个交点 第2条和第1条相交：+1 第3条和前面2条都相交：+2 第4条和前面3条都相交：+3 …… 第n条和前面n-1条都相交：+(n-1) 累加：1+2+3+\dots+(n-1)= 最少交点个数 全部直线互相平行：0 个交点 所有直线交于同一个点：1 个交点 所以：≥2条直线，最少交点可以是0或者1，看条件 【变式1】观察如图，并阅读图形下面的相关文字：两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；4条直线相交，最多有6个交点……像这样，20条直线相交，交点最多的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】解：2条直线相交最多有1个交点，， 3条直线相交最多有3个交点，， 4条直线相交最多有个交点，， 5条直线相交最多有个交点，， … n条直线相交最多有交点的个数是：． 20条直线相交最多有交点的个数是：． 【变式2】我们知道，2条直线相交只有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点，5条直线两两相交最多能有10个交点，…20条直线两两相交最多能有（   ）个交点 A．170 B．190 C．210 D．360 【答案】B 【详解】解：由题意可得， ∵2条直线相交交点数为， 3条直线两两相交最多交点数为， 4条直线两两相交最多交点数为， 5条直线两两相交最多交点数为， ∴可得n条直线两两相交最多交点数的规律为， 当时，代入得． 【变式3】观察下列直线相交的情况： (1)两条直线相交，有1个交点；三条直线相交，最多有多少个交点？ (2)四条直线相交，最多有多少个交点？ (3)请你写出n条直线相交，最多有多少个交点的规律（用含n的代数式表示）． 【答案】(1)三条直线相交，最多有3个交点 (2)四条直线相交，最多有6个交点 (3)n条直线相交，最多有个交点 【详解】（1）解：如题图，三条直线相交，最多有3个交点； （2）解：如题图，四条直线相交，最多有6个交点； （3）解：两条直线相交，有1个交点； 三条直线相交，最多有个交点； 四条直线相交，最多有个交点； 依次类推， 写出n条直线相交，最多有个交点． 【变式4】如图，我们知道，2条直线相交只有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点…那么条直线两两相交最多能有的交点个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【详解】解：由题意可得： 3条直线两两相交最多有3个交点，即， 4条直线两两相交最多有6个交点，即， 5条直线两两相交最多有10个交点，即， 6条直线两两相交最多有15个交点，即， … ∴条直线两两相交最多能有个交点． 故选：D． 题型04 直线、射线、线段的作图 【典例1】读下列语句，并画出相应的图形： (1)点A在直线l上，点B在直线l外 (2)任意画一点P，过点P画直线． (3)任意画A、B两点，过A、B两点画直线． (4)任意画A、B、C三点，过A、C两点画直线l，此时点B是否一定在这条直线上？ 【答案】(1) (2) (3) (4)或，点B不一定在这条直线上． 【详解】（1）解：如图所示，点A，B即为所求；图略． （2）解：如图所示，直线即为所求；图略． （3）解：如图所示，直线即为所求；图略． （4）解：如图所示，直线，点B即为所求．图略． ∴点B不一定在这条直线上． 【变式1】如图，有A、B、C、O四个点，分别画出以点O为端点，经过A、B、C各点的射线． 【答案】 【详解】解：如图所示，射线、射线、射线即为所求．图略． 【变式2】如图，在平面内有、、三点，根据下列语句画图： (1)画直线，线段，射线； (2)在线段上任取一点（不同于点、），连接线段； (3)数数看，此时图中线段共有________条． 【答案】(1)解：如图所示． (2)解：如图所示． (3)6 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：图中有线段，一共6条． 【变式3】如图，一条直线经过点A，借助直尺或三角板，判断这条直线是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：分别延长各直线，如图， 经过点A的直线是b． 【变式4】下列四个图中的线段（或直线、射线）能相交的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A．直线与直线能相交，故符合题意； B．直线与射线不能相交，故不符合题意； C．线段与射线不能相交，故不符合题意； D．线段与线段不能相交，故不符合题意． 1．如图，下列语句描述不正确的是（     ） A．点在直线上 B．直线与射线相交于点 C．点在直线上 D．点在线段的反向延长线上 【答案】C 【详解】解：A、点在直线上，原说法正确，不符合题意； B、直线与射线相交于点，原说法正确，不符合题意； C、点不在直线上，原说法错误，符合题意； D、点在线段的反向延长线上，原说法正确，不符合题意． 2．小丁通过举例推理，探究出多条直线两两相交时，交点数量的变化规律（如图）．按照这个规律计算，当直线两两相交最多出现190个交点时，直线的数量是（     ）    直线的条数 2 3 4 5 … 交点的个数 1 3 6 … … A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】D 【详解】解：设直线的数量是，由表格规律可知，条直线两两相交最多有个交点， 根据题意得， 整理得， ∵且为正整数， ∴． 即直线的数量是． 3．过平面上五个点中的任意两点画一条直线，最多可以画（     ）条． A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【详解】解：∵ 要使画出的直线数量最多， ∴ 五个点中任意三点不能共线 ∵ 每个点可与其余4个点各画1条直线，5个点共计算得条 又∵ 每条直线被两个点分别计算1次，存在重复 ∴ 实际最多可画条 4．下列说法中正确的是（     ） A．直线相交于点 B．点P在直线的延长线上 C．射线和射线是同一条射线 D．线段和线段是同一条线段 【答案】D 【详解】解：对于选项A，∵点的表示应使用大写英文字母，∴点表示错误，A错误． 对于选项B，∵直线本身向两方无限延伸，不存在延长线，∴B错误． 对于选项C，∵射线的端点为，射线的端点为，端点不同，不是同一条射线，∴C错误． 对于选项D，∵线段仅由两个端点确定，与端点顺序无关， ∴线段和线段是同一条线段，D正确． 5．下面是某同学按要求分别画出的四个图形：①直线经过点；②点在直线外；③经过点的3条线段，，；④线段，相交于点．他所画的图形中，正确的个数是________． 【答案】3个 【详解】解：图①中，直线经过点，正确； 图②中，点在直线外，正确； 图③中，这三条线段都经过点O，正确； 图④中，线段不相交于点，错误． 6．《红楼梦》第回中有这么一句话，“自古道：‘千里姻缘一线牵’．管姻缘的有一位月下老人，预先注定，暗里只用一根红丝，把这两个人的脚绊住．”请问，这里所说的“丝”若是直的，则在数学中指的应是________． 【答案】线段 【详解】解：∵红丝的两端分别系在两个人的脚上， ∴有两个明确的端点， ∵“丝”若是直的 ∴符合线段的定义，因此这里的“丝”在数学中指线段． 7．往返于甲、乙两地的列车，若运行途中停靠三个站，则需要为这次列车制作_________张车票． 【答案】20 【详解】解：根据题意，将列车运行路线看作一条线段， 所有停靠站点看作线段上的点，运行途中停靠个站，加上起点甲和终点乙，总共有个站点， 不同站点间的路线总数为： ， 因为往返车票方向不同，属于不同车票，因此总车票数为： ． 8．观察下图，并解决下列问题： 【模型构建】 (1)图中共有__________条线段； (2)若线段上标记了个点（含线段的两个端点），则该线段中共有___________条线段； (3)【模型应用】 某社团组织若干名成员参加趣味活动，活动设置了多项互动环节．已知每两名成员之间要合作完成一次双人游戏，总共完成了次双人游戏．若每个成员都送给其他成员一枚自制徽章，求总共要送出多少枚徽章？ 【答案】(1)； (2)； (3)枚徽章． 【详解】（1）解：图中线段为：，，，，，，，，，，共条， 故答案为：； （2）解：该线段中共有， 故答案为：； （3）解：设共有名成员参加活动，由题意得，， 所以要送出的徽章总数为， 答：总共要送出枚徽章． 9．如图，已知四个点A、B、C、D，根据下列要求画图： (1)画线段； (2)画射线，与线段的延长线交于点E； (3)找一点P，使P既在直线上，又在直线上． 【答案】(1)解：如图，连接，线段即为所求； (2)解：如图，连接并延长交线段的延长线于点E，射线，点E即为所求； (3)解：如图，直线与直线交于点P，点P即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 10．如图，已知点在线段上．若，，． (1)图中共有______条线段； (2)求的长度． 【答案】(1)6 (2)9 【详解】（1）解： 图中有共6条线段． 故答案为：6； （2）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． 1．以下说法中正确的是（     ） A．延长射线 B．延长线段到 C．直线的端点之一是 D．延长射线到 【答案】B 【详解】解：∵ 射线的端已无限延伸，不能延长，故A错误． ∵ 线段长度有限，可以延长线段到C，故B正确． ∴ 正确选项为B． ∵ 直线没有端点，故C错误． ∵ 射线的端已无限延伸，不能延长到，故D错误． 2．2026年，中国获得了国际射联射击世界杯的举办权，自40年前许海峰在亚运会上射落4枚金牌后，射击逐渐成为中国队的优势项目，射击时，确保缺口、准星、目标三点一线即可命中目标．如图，设计枪械时，瞄准部件仅需缺口和准星即可，其原理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．以上说法都不对 【答案】C 【详解】解：设计枪械时，瞄准部件仅需缺口和准星即可，其原理是两点确定一条直线． 3．下列几何图形与相应语言描述不相符的是（     ）． A．如图乙所示，直线与直线交于点 B．如图甲所示，直线不经过点 C．如图丁所示，线段与射线一定相交 D．如图丙所示，点在线段上 【答案】D 【详解】A、B、C选项描述均正确，故不符合题意， D选项描述不正确，应为“如图丙所示，点在直线上”，故符合题意． 4．墨斗是中国传统木工行业中画直线的常用工具．如图，木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点上，另一端固定在另一点上，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线．其蕴含的数学道理是（    ） A．两点之间线段最短 B．垂线段最短 C．三角形内角和定理 D．两点确定一条直线 【答案】D 【详解】解：木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点上，另一端固定在另一点上，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线， ∴其蕴含的数学道理是两点确定一条直线． 5．如图，，，三点在一条直线上，则图中共有射线__________条． 【答案】6 【详解】解：一个点有2条射线， 所以图中共有射线条． 6．盐泰锡常宜铁路是“六纵六横”高速铁路网中盐杭通道的重要线路．其中泰兴至太湖两个站点之间有靖江、江阴、惠山三个站点，如果往返于泰兴和太湖两地，且每两站间距离各不相等，则需要准备_________种不同的车票． 【答案】 【详解】解：由题意可知，线路两端分别为泰兴和太湖，加上中间的3个站点，总站点数为 个． ∵任意两站间往返车票不同， ∴每个站点可到达其余个站点， ∴不同车票的总数为． 7．平面上的条直线恰有2011个交点，则的最小值为________． 【答案】64 【详解】解：∵（，且为整数）条直线在同一平面内两两相交时，最多有个交点， 由题意可得， 当时，最大交点数为， 当时，最大交点数为， ∴平面上的条直线恰有2011个交点时，的最小值为64， 故答案为：64． 8．现在有10个城市在地图上的位置恰好构成一个十边形，为了确保任意两个城市之间都有直飞航班，一共需要准备________种不同的飞机票． 【答案】 【详解】解： (种)， 即一共需要准备种不同的飞机票， 故答案为：． 9．连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，如图1，四边形的对角线有条． (1)在图2、图3中分别画出五边形、六边形的对角线，并写出五边形、六边形各有几条对角线； (2)随着多边形边数的增加，其对角线的条数随之变化，则边形的对角线有（    ）条． A．    B．    C．    D． 【答案】(1)对角线如图所示， 五边形有条对角线，六边形有条对角线； (2)D 【详解】（1）略 （2）解：从边形任意一个顶点出发，可作条对角线，则从所有顶点出发所作的对角线总数为．由于交换线段的两端为同一条线段，即有一半是重复的，因此边形的对角线有条． 10．某数学兴趣小组学习“两点确定一条直线”后，想继续探究平面内有3点、4点……n点时，过两点画直线的情况，并进行了以下操作探究： (1)【操作·思考】画出下面两种情况的所有直线： ①当3点在同一条直线上时，如图1 ②当3点不在同一条直线上时，如图2 (2)【思考·提升】类比以上方法，继续探究不在同一条直线上的4点、5点、6点……画直线的情况．总结规律解决问题：过在同一平面内的10个点最多可作多少条直线？过在同一平面内的n个点最多可作多少条直线？ (3)【提升·拓展】某校组织了“迎新”活动． ①七年级举行单循环篮球赛，全年级8个班共打了几场比赛？ ②有50人参加了本次“迎新”活动，活动结束后参与人员需互送贺卡，共送出了多少张贺卡？ 【答案】(1) 解：如图1， 如图2， (2)过在同一平面内的10个点最多可作条直线，过在同一平面内的n个点最多可作条直线； (3)①全年级8个班共打了场比赛；②共送出了张贺卡． 【详解】（1）略 （2）解：过在同一直线上的3个点，一共可以画条直线； 过在同一直线上的4个点，一共可以画条直线； 过在同一直线上的5个点，一共可以画条直线； 过在同一直线上的6个点，一共可以画条直线； ； 则过在同一直线上的n个点，一共可以画条直线； 过不在同一直线上的3个点，一共可以画条直线； 过不在同一直线上的4个点，一共可以画条直线； 过不在同一直线上的5个点，一共可以画条直线； 过不在同一直线上的6个点，一共可以画条直线； ； 则过不在同一直线上的n个点，一共可以画条直线； 综上，过在同一平面内的10个点最多可作条直线，过在同一平面内的n个点最多可作条直线； （3）解：①（场） 答：全年级8个班共打了场比赛； ②（张） 答：共送出了张贺卡． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $