专题16 角的计算（重难点讲义）数学新教材人教版七年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题16角的计算 攻 重难目标 1.掌握角平分线、余角、补角的定义和性质： 2.熟练进行角的和差计算，能用方程思想解角度问题。 重难知识 一、角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。若OC平分∠AOB, 则∠AOC=∠COB=1/2∠AOB。 二、余角与补角（课本重难点） 余角：两个角的和等于90°，互为余角： 补角：两个角的和等于180°，互为补角： 核心性质：同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等。 重难题型 题型01角的和差运算 【典例】如图，若∠3=3445'，∠2=80°，则∠1的度数为 【变式】如图所示，已知∠COD=30°，∠AOC=∠BOD=90°，则∠AOB的度数是() B A.130° B.140° C.150° D.1609 1/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型02角平分线的相关运算 【典例】已知在同-平面内，∠A0B=60°，∠BOC=20°，OM是∠AOC的平分线，则∠AOM的度数为 【变式】如图所示，已知OC平分∠BOD,且∠BOC=20°，OB是∠AOD的平分线，求∠AOD的度数. D 题型03与余角、补角有关的计算 【典例】己已知La和∠P互为余角，且∠：∠B=2:3,则La的补角是(). A.360 B.54° C.126° D.144° 【变式】如图，点B、C、D分别为∠AOE内部三点，连接OB、OC、OD,I=∠2，∠3=∠4， ∠AOD=90°，∠1=20°，则∠AOE的补角的度数为 D 题型04方程思想 【典例】如图，直线AB和CD相交于点O,OE把∠AOC分成两部分，且∠AOE:∠EOC=2:5,OF平分 ∠BOE,∠BOF=∠AOC+10°，则∠EOF的度数为() A.78 B.70 C.80 D.88 【变式】如图，OC平分∠AOB,∠AOD:∠BOD=3:5，,己知∠COD=15°，则∠AOB的度数为 218 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 0 练 分层训练 【巩固训练】 1.如图，∠AOC为直角，OC是∠B0D的平分线，且∠A0B=35°，则∠AOD的度数为() ic D B A.125° B.135° C.145° D.1550 2.如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC,OM,ON,且ON始终在OM的右侧，若OM平 分∠BOC,∠BOC=112°，∠MON=70°，则∠BON的度数为() M A.14° B.16° C.24° D.28 3.如图，点0在直线AB上，OC⊥OD,若∠AOC=110°，则∠BOD的大小为() D A.40° B.30° C.20° D.10° 4.如图，已知 ∠4BD=Bx,∠DBE-(30-,∠CBE=(2x+18°，且∠ABC=108,那么∠CBE= 318 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C 5.如图，直线AB,CD相交于点O,OF平分∠AOD,∠A0C=∠AOF-15°，∠DOE:∠D0B=4:5,则 ∠EOF的度数为， B 6.如图，射线OC平分∠AOB,射线OD平分∠BOC,则下列等式中成立的有 一（填序号) ①∠COD=∠AOD-∠BOC:②LCOD=∠AOD-∠BOD;③∠COD=2∠AOD-∠AOB:④ ∠COD=∠AOB 3 A D B 7.如图，已知O为直线AB上一点，∠BOC=2∠COD,∠BOC+∠DOE=90°，且OF平分∠AOE, ∠BOC=28°.求∠DOF的度数. -B 8.如图，己知O为直线AB上一点，过点O向直线AB上方引三条射线OC、OD、OE,若OE平分 ∠AOD,∠B0C=3∠C0D,∠COE=70°，求∠B0C的度数. 418 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B 9.如图，OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的平分线. B A (1)若∠B0C=100°，∠B0A=40°，求∠D0E的度数. (2)若∠A0C=150°，求∠D0E的度数. 10.如图，点O在直线AB上，∠BOD与∠COD互补，∠BOC=3∠EOC B (1)若∠A0D=30°，则∠D0E的度数为_ (2)若∠AOD+∠BOE=110°，求∠AOD的度数. 【强化训练】 1.如图，点A,O,B在一条直线上，∠EOD=90°，且∠EOC与∠EOB互余，∠EOC=63°，那么∠BOD 的大小为() E B A.107° B.117° C.127 D.153 2.已知∠AOC=110°，过点O作射线OB、OM,使∠AOB=20°，OM是∠BOC的平分线，则∠AOM的 度数为() A.350 B.45°或65° C.40° D.55°或65° 518 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.如图，∠COD=50°，OE平分∠AOC,OF平分∠BOD,则LEOF的度数为. D B 4.如图，直线AB、CD相交于点O,OE平分∠BOD,OF平分∠COE,且∠I:∠2=1：4，求∠BOF的度 数 5.如图，己知点0为直线AB上一点，∠C0D=90°，OE是∠AOD的平分线. D A B 图1 图2 (1)如图1，若∠C0E=55°，求∠B0D的度数： (2)如图2，OF是∠B0C的平分线，求∠EOF的度数. 6.如图，直线AB,CD相交于点O,OE⊥CD于点O,OF平分∠BOC. E D (1)若∠BOD=40°，求∠AOF的度数： (2)若∠A0C:∠A0E=12,求∠C0F的度数. 7.如图，点O在直线AB上，射线OC.OD,OE都在直线AB的上方，射线OF在直线AB的下方. C0⊥D0,垂足为点O,OE在∠COD的内部，∠COE=35°. 618 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：∠AOC与∠BOD互为余角： (2)若∠A0C=25°，∠C0E与∠B0F互为余角，求∠D0F的度数. 8.如图，OE平分∠AOC,OF平分∠BOC. B (1)如果∠AOB=80°，∠BOC=30°，那么∠BOE是多少度？ (2)如果∠AOB=a,∠BOC=B,通过计算说明：∠AOB=2∠EOF】 9.在一节综合实践课上，老师与同学们以“三角尺中的数学”为问题背景展开探究，某位同学将含有60°， 45°的三角板按照图1放置在直线I上，∠B=60°，∠C=45°，EA,AD与直线I重合. D B E D A D 图1 图2 (1)求∠BAC的度数. (2)将三角尺ACD绕点A逆时针以10°1s的速度转动（如图2），转动的时间为t,当CA边与直线I重合时停 止 ①用含t的代数式表示运动过程中∠BAC的度数. ②在转动过程中，当AC恰好是∠BAE的角平分线时，求t的值. 10.己知∠AOB=120°，∠COD=30°，OM平分∠A0C,ON平分∠BOD. 718 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A M A M B(C) B N D D 图1 图2 (1)如图1，当射线OB与射线OC重合时，求∠AOM-∠BON的值： (2)如图2，当∠COD从图1开始，绕点O以每秒2°的速度顺时针旋转秒时(0<1<15)，在旋转过程中， ∠AOM-∠BON的值是否会因的变化而变化？若无变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由： (3)在(2)的条件下，当∠CON=10°时，求1的值. 818函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题16角的计算 攻 重难目标 1.掌握角平分线、余角、补角的定义和性质： 2.熟练进行角的和差计算，能用方程思想解角度问题。 重难知识 一、角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。若OC平分∠AOB, 则∠AOC=∠COB=1/2LAOB。 二、余角与补角（课本重难点） 余角：两个角的和等于90°，互为余角： 补角：两个角的和等于180°，互为补角： 核心性质：同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等。 重难题型 题型01角的和差运算 【典例】如图，若∠3=3445'，∠2=80°，则∠1的度数为 【答案】 651565.25° 【详解】解：，∠3=3445，∠2=80°， ∠1=180°-∠2-∠3=6515 【变式】如图所示，已知∠COD=30°，∠A0C=∠BOD=90°，则∠A0B的度数是() 1/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 B A.130° B.140° C.150° D.160 【答案】C 【详解】解：：∠COD=30°，∠AOC=∠BOD=90°， .∠A0D=∠A0C-∠C0D=90°-30°=60°， .∠AOB=∠AOD+∠BOD=60°+90°=150° 题型02角平分线的相关运算 【典例】已知在同一平面内，∠A0B=60°，∠BOC=20°，OM是∠AOC的平分线，则∠AOM的度数为 【答案】40°或20° 【详解】解：如图所示，当OC在∠AOB的外部时， M B 则∠A0C=∠A0B+∠B0C=60°+20°=80°， :OM为∠AOC的平分线， ∠A0M= 2∠40C=40° 如图所示，当OC在∠AOB的内部时， M 则∠A0C=∠A0B-∠B0C=60°-20°=40°， 2/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :OM为∠AOC的平分线， :∠A0M=∠40C=20° 综上所述，∠AOM的度数为40°或20° 【变式】如图所示，已知OC平分∠BOD,且∠BOC=20°，OB是∠AOD的平分线，求∠AOD的度数. A D 【答案】∠AOD的度数为80° 【详解】解：：OC平分∠BOD,且∠BOC=20°， ∴.∠B0D=2∠B0C=2×20°=40°」 :OB是∠AOD的平分线， .∠AOD=2∠BOD=2×40°=80° 题型03与余角、补角有关的计算 【典例】已知La和∠P互为余角，且∠a:∠B=2:3,则∠a的补角是(). A.36° B.54° C.126° D.144° 【答案】D 【详解】解：La与∠B互为余角， :.∠a+∠B=90° :∠a:∠B-2:3 ÷∠a=90x、2 =36° 2+3 ∴.∠a的补角为180°-36°=144° 【变式】如图，点B、C、D分别为∠AOE内部三点，连接OB、OC、OD,∠I=∠2，∠3=∠4， ∠AOD=90°，∠1=20°，则∠AOE的补角的度数为 3/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】40° 【详解】解：，∠1=20°，∠1=∠2， ∠2=20°， ∴.∠A0C=∠1+∠2=40°， ,∠AOD=90 :∠3=∠A0D-∠A0C=50°， ,∠3=∠4， .∠4=50°. ∴.∠A0E=∠AOD+∠4=140° .∠A0E的补角为180°-140°=40° 题型04方程思想 【典例】如图，直线AB和CD相交于点O,OE把∠AOC分成两部分，且∠AOE:∠EOC=2:5,OF平分 ∠BOE,∠BOF=∠AOC+1O°，则∠EOF的度数为() A.78° B.70° C.80 D.88 【答案】C 【详解】解：设∠AOE=2x°， :∠AOE:∠EOC=2:5 .∠EOC=5x°，∠AOC=∠AOE+∠EOC=7x°， :∠AOE+∠BOE=180° .∠B0E=180°-2x°， 4/20 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OF平分∠BOE, ∠B0F=∠BOF=5∠BOE=90-、 :∠BOF=∠AOC+10°， ∴.90-x=7x+10. 解得x=10, ∴.∠E0F=90°-10°=80° 【变式】如图，OC平分∠AOB,∠AOD:∠BOD=3:5,己知∠COD=15°，则∠AOB的度数为 B 【答案】 120°/120度 【详解】解：设∠AOD=3x,则∠BOD=5x, .∠AOB=∠AOD+∠BOD=3x+5x=8x, :OC平分∠AOB, &240C-a08-×8x=4 2 ∴.∠COD=∠A0C-∠A0D=4x-3x=x. :∠C0D=15°， x=15°. .∠A0B=8x=8×15°=120° 练 分层训练 【巩固训练】 1.如图，∠A0C为直角，OC是∠BOD的平分线，且∠A0B=35°，则∠AOD的度数为() 5/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B A A.125° B.135° C.145° D.155° 【答案】C 【详解】解：：∠AOC为直角，∠A0B=35°， .∠B0C=90°-∠A0B=55°， .OC是∠BOD的平分线， .∠BOD=2∠BOC=110°， ∴.∠AOD=∠BOD+∠AOB=145° 2.如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC,OM,ON,且ON始终在OM的右侧，若OM平 分∠BOC,∠BOC=112°，∠MON=70°，则∠BON的度数为() M B A.14° B.16° C.24° D.28 【答案】A 【详解】解：：∠B0C=112°，OM平分∠BOC, &∠B0M-号B0c=56° ∠MON=70°， :.∠BON=∠MON-∠BOM=14° 3.如图，点O在直线AB上，0C⊥OD,若∠AOC=110°，则∠BOD的大小为() B D A.40° B.30° C.20 D.10° 6/20 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】C 【详解】解：由题意得，∠BOC=180°-∠AOC =180°-110° =70°， .OC LOD, .∠BOD=90°-∠BOC =90°-70° =20° 4.如图，已知 ABD=(3x°∠DBE=(30-x°，∠CBE=(2x+18)°，且∠ABC=108°，那么∠CBE- 0 D E 【答案】 48 【详解1∠4BD=(6°，∠DBE=(60-小，∠CBE=(2x+18°，且<ABC=108 ∠ABC=∠ABD+∠DBE+∠CBE=(3x)°+(30-x)°+(2x+18)°=108 解得x=15° ∠CBE=(2x+18)°=(2×15+18)°=48 5.如图，直线AB,CD相交于点O,OF平分∠AOD,∠A0C=∠AOF-15,∠D0E:∠D0B=4:5,则 ∠EOF的度数为 7/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】105 【详解】解：“∠D0E:∠D0B=4:5,设∠D0E=4x,则∠D0B=5x, .∠AOC=∠DOB=5x, :∠AOC+∠AOD=180°， .∠A0D=180°-∠AOC=180°-5x, :OF平分∠AOD, ∠40r=∠D0F=5<40D=080-5)=0-25x, :∠AOC=∠AOF-15°， .5x=90°-2.5x-15°， 解得：x=10 .∠D0E=4×10°=40°， ∠D0F=90°-2.5×10°=65° ∴.∠E0F=∠DOF+∠D0E=65°+40°=105° 6.如图，射线OC平分∠AOB,射线OD平分∠BOC,则下列等式中成立的有 (填序号) ①∠COD=∠AOD-∠BOC:②LCOD=∠AOD-∠BOD:③∠COD=2∠AOD-∠AOB;④ ∠COD=1∠AOB】 3 A D B 【答案】① 【详解】解：，OC平分∠AOB,OD平分∠BOC, :.∠AOC=∠BOC,∠COD=∠BOD. 8/20 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠COD=∠AOD-∠AOC, :.∠COD=∠AOD-∠BOC, 故①正确： :∠BOD≠∠BOC, .∠COD≠∠AOD-∠BOD, 故②错误： .∠AOD=∠AOC+∠COD. 2∠AOD=2(∠AOC+∠COD)=∠AOB+2∠COD ∴.2∠AOD-∠A0B=∠AOB+2LCOD-∠AOB=2∠COD, .2∠COD=2∠AOD-∠AOB. 故③错误： :∠COD=)∠BOC,∠BOC=∠AOB 2 2 11 1 :∠COD=)×5∠AOB=∠AOB, 22 4 故④错误： 综上所述，等式中成立的只有① 7.如图，已知O为直线AB上一点，∠B0C=2∠COD,∠BOC+∠D0E=90°，且OF平分∠AOE, ∠BOC=28°.求∠DOF的度数. B 【答案】100° 【详解】解：∠BOC=28°，∠BOC=2∠COD, .∠C0D=14°， 又∠BOC+∠D0E=90°. ∴∠D0E=90°-∠B0C=62°. :∠BOC+∠COD+∠DOE+∠AOE=180° .∠A0E=180°-28°-14°-62°=76°， 9/20 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ~OF平分∠AOE, ∠E0F=1∠A0E=x76°=380 :∠DOF=∠DOE+∠EOF, .∠D0F=62°+38°=100° 8.如图，己知O为直线AB上一点，过点O向直线AB上方引三条射线OC、OD、OE,若OE平分 ∠AOD.∠B0C=3∠COD,LCOE=70°，求∠BOC的度数. A B 【答案】60 【详解】解：设∠COD的度数为x,则∠BOC=3∠COD=3x, :∠COE=∠COD+∠DOE=70°， .∠D0E=70°-x, :OE平分∠AOD, .∠AOE=∠DOE=70°-x :∠BOC+∠COD+∠DOE+∠AOE=180°， 3x+x+(70°-x)+(70°-x)=180° 解得x=20° :.∠B0C=3x=60° 答：∠BOC的度数为60° 9.如图，OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的平分线. (1)若∠B0C=100°，∠B0A=40°，求∠D0E的度数. (2)若∠A0C=150°，求∠D0E的度数. 【答案】(1)70 (2)75 10120 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：：OD是∠AOB的平分线，OE是∠B0C的平分线，∠B0C=100°，∠BOA=40°， :∠B0E=)∠B0C=50∠B0D=∠40B=20° 2 2 .∠DOE=∠BOE+∠BOD=70°， (2)解：：OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的平分线， A∠BOE=)∠BOC,∠BOD=∠AOB 2 2 :∠DOE=∠BOE+∠BOD=∠BOC+ 2 ∠AOB <B0c+∠A08) LAOC 21 =75° 10.如图，点O在直线AB上，∠BOD与∠COD互补，∠BOC=3∠EOC, (1)若∠AOD=30°，则∠D0E的度数为. (2)若∠A0D+∠B0E=I10°，求∠AOD的度数. 【答案】(1)70° (230° 【详解】(1)解：，∠AOD=30°， .∠B0D=180°-30°=150°， .∠BOD与∠COD互补， .∠C0D=30°， ∴.∠B0C=180°-30°-30°=120°， .∠BOC=3∠EOC, :.∠E0C=号×120°=40° 3 .∠D0E=∠D0C+∠C0E=30°+40°=70°； 11/20 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：：∠AOD+∠B0E=110°， ∴∠D0E=180°-110°=70°， 设∠AOD=x°， ∠B0E=110°-x°， :∠BOD与∠COD互补，即∠BOD+∠COD=110°， 又：∠BOD+∠AOD=180°， ∴.∠COD=∠AOD=x° :∠BOC=3LEOC,且∠BOC=∠BOE+∠EOC, .∠BOE=2∠EOC, ∠B0C=)∠B0E=)010-). ∠A0D+∠C0D+∠B0C+∠B0E=+r+010-r+00-r)=l80。 解得x=30 ∴∠AOD的度数为30°. 【强化训练】 1.如图，点A,O,B在一条直线上，∠EOD=90°，且∠EOC与∠EOB互余，∠EOC=63°，那么∠BOD 的大小为() D A.107° B.117 C.127° D.153o 【答案】B 【详解】解：∠EOD=90°，∠EOC=63°， .∠C0D=90°-63°=27°， :∠EOC与∠EOB互余 :、.∠EOC+∠EOB=∠BOC=90°， .∠B0D=∠B0C+∠COD=90°+27°=117° 12/20 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.己知∠AOC=110°，过点O作射线OB、OM,使∠AOB=20°，OM是∠B0C的平分线，则∠AOM的 度数为() A.350 B.45°或65° C.40° D.55°或65° 【答案】B 【详解】解：根据题意得： 如图所示，当射线OB在∠AOC内部时， M B A 0 :∠AOC=110°∠AOB=20° ∴.∠BOC=∠AOC-∠AOB=90°， :OM是∠BOC的平分线， ∠COM=∠B0c=450 2 .∠AOM=∠AOC-∠COM=65°： 如图所示，当射线OB在∠AOC外部时， M 0 B ∠AOC=110°∠A0B=20° ∴.∠BOC=∠AOC+∠AOB=130°」 :OM是∠BOC的平分线， ∠BOM 2∠B0C=65°， .∠AOM=∠BOM-∠AOB=45°， 13120 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 综上，∠A0M=65°或45° 3.如图，∠COD=50°，OE平分∠AOC,OF平分∠BOD,则∠EOF的度数为一 B 【答案】11515度 【详解】解：，OE平分∠AOC,OF平分∠BOD, :.∠AOC=2∠EOC,∠BOD=2∠DOF, :∠COD=50°，∠AOC+∠COD+∠BOD=180°. .2∠E0C+2∠D0F=180°-50°=130°， .∠E0C+∠D0F=65°， .∠E0F=∠E0C+∠COD+∠DOF=65°+50°=115° 4.如图，直线AB、CD相交于点O,OE平分∠BOD,OF平分∠COE,且∠I:∠2=1：4，求∠BOF的度 数 D 【答案】45° 【详解】解：OE平分∠BOD, .∠1=∠DOE ,∠1：∠2=1：4，∠1+∠D0E+∠A0D=180°， .∠1=∠DOE 1 1+1+4×180°=30°，∠B0C=∠2=180°-2x30=120°， .∠C0E=∠C0B+∠1=120°+30°=150°， :OF平分∠COE, LEOF-COE- ×150°=750 2 ∴.∠B0F=∠E0F-∠1=75°-30°=45° 5.如图，己知点O为直线AB上一点，∠COD=90°，OE是∠A0D的平分线， 14/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 图1 图2 (1)如图1，若∠C0E=55°，求∠B0D的度数： (2)如图2，OF是∠BOC的平分线，求∠EOF的度数. 【答案】(1)∠BOD的度数为110° (2)∠E0F的度数为45° 【详解】(1)解：：∠C0D=90°，∠COE=55°， .∠DOE=∠COD-∠COE=35°， ,OE是∠AOD的平分线， .∠AOD=2∠DOE=70°， :.∠B0D=180°-∠A0D=180°-70°=110°： (2)解：：OE是∠AOD的平分线，∠COD=90°， &∠40E=40D=240c+2C0D)=(40c+0). :OF是∠B0C的平分线，∠COD=90°， ∠B0F-B0C-∠B0D+∠C0D)-(∠B0D+90). &∠B0F=180P-∠A0E-∠B0F=90P-(∠A0C+∠B0D). .∠AOC+∠BOD=180°-∠COD, ,∠COD=90°. .∠A0C+∠BOD=180°-90°=90°. &∠E0F=90°-1 ×90°=45° 21 即∠EOF=45° 6.如图，直线AB,CD相交于点O,OE⊥CD于点O,OF平分∠BOC. 15120 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E、 (1)若∠BOD=40°，求∠AOF的度数： (2)若∠A0C:∠A0E=1:2,求∠COF的度数. 【答案】(1)110 (2)75° 【详解】(1)解：：∠B0D=40°， .∠B0C=180°-∠B0D=140°， ,OF平分∠BOC, :∠B0F=)∠B0C=70 2 .∠AOF=180°-∠BOF=110°： (2)解：，OE⊥CD. .∠C0E=90°， .∠AOC+∠AOE=90° :∠A0C:∠AOE=1:2, .∠AOE=2∠AOC, .∠A0C+∠A0E=3LA0C=90°， :.∠A0C=30°， :.∠B0C=180°-∠A0C=150° .OF平分∠BOC, :∠C0F=)∠B0C=750 21 7.如图，点O在直线AB上，射线OCOD、OE都在直线AB的上方，射线OF在直线AB的下方. C0⊥D0,垂足为点O,OE在∠COD的内部，∠COE=35°. 16120 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：∠AOC与∠BOD互为余角： (2)若∠A0C=25°，∠C0E与∠B0F互为余角，求∠D0F的度数. 【答案】(1)见解析 (2)120 【详解】(1)证明：：CO⊥DO, .∠C0D=90° 则∠A0C+∠B0D=180°-90°=90°， :.∠AOC与∠BOD互为余角 (2)解：：∠A0C=25°，由(1)可得，∠B0D=65° :∠COE与LB0F互为余角，∠COE=35°， .∠B0F=90°-35°=55° ∴.∠D0F=∠BOD+∠BOF=65°+55°=120° 8.如图，OE平分∠AOC,OF平分∠BOC E B (1)如果∠A0B=80°，∠B0C=30°，那么∠B0E是多少度？ (2)如果∠AOB=a,∠BOC=P,通过计算说明：∠AOB=2∠EOF 【答案】(1)25° (2) :∠AOB=a,∠BOC=B, ·.∠A0C=∠AOB+∠B0C=a+B, 17120 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :射线OF平分∠BOC, ,OE平分∠AOC, B 1 ∴ZE0F=∠COE-∠CoF=a+}A B= a ∴.∠AOB=2∠EOF 【详解】(1)解：∠A0B=80°，∠B0C=30°， .∠AOC=∠AOB+∠BOC=80°+30°=110°， ,OE平分∠AOC, :∠C0E=)∠A0C=50 :.∠BOE=∠E0C-∠BOC=55°-30°=25° (2)解：略 9.在一节综合实践课上，老师与同学们以“三角尺中的数学”为问题背景展开探究，某位同学将含有60°， 45°的三角板按照图1放置在直线I上，∠B=60°，∠C=45°，EA,AD与直线I重合. D B B A A D 图1 图2 (1)求∠BAC的度数. (2)将三角尺ACD绕点A逆时针以10°Is的速度转动（如图2），转动的时间为t,当CA边与直线I重合时停 止 18120 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①用含t的代数式表示运动过程中∠BAC的度数， ②在转动过程中，当AC恰好是∠BAE的角平分线时，求t的值. 【答案】(1)∠BAC=105° (2)14BAC= 105°-101(0≤t≤10.5) 10°-10510.5<t≤13.5)：②1的值为12 【详解】(1)解：“∠B=60°，∠C=45°，∠BEA=∠CDA=90°， .∠BAE=90°-∠B=90°-60°=30°，∠CAD=90°-∠C=90°-45°=45°， .∠BAC=180°-∠BAE-∠CAD=180°-30°-45°=105°： (2)解：0105°÷10°=10.5（秒）.(180-45)÷10=13.5（秒 当0≤t≤10.5时，∠BAC=105°-101°： 当10.5<t≤13.5时，∠BAC=101°-105°， .∠BAC= 105°-10(0≤1≤10.5) 101°-10510.5<1≤13.5)： ②根据题意得：10r°-105°=×30° 解得：t=12. 答：t的值为l2秒 10.已知∠AOB=120°，∠C0D=30°，OM平分∠A0C,ON平分∠B0D M B(C) B D 图1 图2 (1)如图1，当射线OB与射线OC重合时，求∠AOM-∠BON的值： (2)如图2，当∠C0D从图1开始，绕点0以每秒2°的速度顺时针旋转秒时(0<1<15)，在旋转过程中， ∠AOM-∠BON的值是否会因‘的变化而变化？若无变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由： (3)在(2)的条件下，当∠CON=10°时，求t的值. 【答案】(1)45 19120 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)∠AOM-∠BON的值不变，45° (3)5 【详解】(1)解：：OM平分∠AOC,ON平分∠BOD,射线OB与射线OC重合，∠AOB=120°， ∠C0D=30°， :∠40M=40B-=12=60.∠B0w=c00=x30=1°， .∠A0M-∠B0N=60°-15°=45°： (2)解：∠AOM-∠BON的值不变，∠AOM-∠BON=45°， 由题意，得∠B0C=21°， ∴.∠AOC=∠A0B+∠B0C=120°+21°，∠BOD=∠COD+∠BOC=30°+21°， ∠40M=X20+2r)=(60+小°，∠0N-×30+2r）=(5+40小， ∠AOM-∠B0N=(60+t)°-(15+t)°=45° (3)解：由(2)知∠B0C=2°，∠B0N=(5+)小°， ∠CON=∠BON-∠B0C=(15+)°-2°=10° 解得1=5，即1的值为5 20120