第12讲·直线、射线、线段· 培优讲义 ·2026-2027学年人教版七年级数学上册

第12讲·直线、射线、线段·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年人教版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解直线、射线、线段的概念及其区别与联系，掌握两点确定一条直线、两点之间线段最短两个基本事实 · 会用尺规作一条线段等于已知线段，会画直线、射线、线段并正确表示 · 掌握线段的和、差运算，理解线段中点的概念并会进行有关计算 · 能解决数轴上的线段中点、两点距离及动点问题，建立线段与数轴的关联 · 会数图形中直线、射线、线段的数量，掌握分类计数与规律总结的方法 📚 知识梳理 ☆ 1.直线、射线、线段的概念与表示 直线：向两方无限延伸，无端点，可用一个小写字母或直线上两点表示，如直线l、直线AB 射线：由一个端点向一方无限延伸，表示时端点字母在前，如射线OA；线段：有两个端点，如线段AB或线段a 基本事实1：经过两点有且只有一条直线（两点确定一条直线）；基本事实2：两点之间线段最短，两点间线段的长度叫做两点间的距离 点与直线的位置关系：点在直线上或点在直线外；直线、射线、线段三者的区别在于端点个数与延伸性 概念辨析例题：将一根细木条固定在墙上，最少需要2个钉子，其中的道理可以解释为（　　） 答案：B．两点确定一条直线 解析：两个钉子相当于两个点，把木条固定需要经过这两个点的一条直线，故依据是「两点确定一条直线」，选B。 ☆ 2.线段的和、差与线段的中点 线段的和：两条线段首尾相接，其长度等于两线段长度之和；线段的差：较长线段去掉较短线段部分 线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点叫做这条线段的中点，若M是AB的中点，则AM=MB=AB 线段n等分点：把线段分成n条相等线段的点，三等分点把线段分为AB的3段 计算线段长度常用「设未知数列方程」法：把线段看成整体，按比例或倍数关系列式求解 概念辨析例题：如图，点C是线段AB的中点，点D是线段CB的中点，若AB=8，则AD的长为（　　） 答案：6 解析：因为C是AB的中点，AC=CB=AB=4；又D是CB的中点，CD=DB=CB=2，所以AD=AC+CD=4+2=6。 ☆ 3.画直线、射线、线段与尺规作图 画图语言：连接AB、延长AB到C、在射线OA上截取OB=a、过点P作直线l的垂线等 尺规作图：只用无刻度的直尺和圆规作图，作一条线段等于已知线段是基本作图 作线段的和与差：在一条射线上顺次截取各线段得和，反向截取得差 尺规作图的痕迹保留：作图后保留弧线痕迹，标注必要的字母与结论 概念辨析例题：用尺规作图作一条线段，使它等于已知线段a，正确的作图步骤是（　　） 答案：先用射线一端为圆心、线段a的长为半径画弧，交射线于一点，则该点到端点的线段即为所求 解析：作线段等于已知线段：任画一条射线，以端点为圆心、已知线段长为半径画弧，弧与射线的交点到端点的线段长度即等于已知线段a。 ☆ 4.直线、射线、线段的数量问题与数轴动点 数直线（线段）的条数：平面内n个点（任意三点不共线）两两相连，共有条线段 数射线的条数：直线上有n个点时，每个点向两个方向各确定一条射线，共2n条射线 数轴上的线段中点：数轴上两点A、B对应数a、b，AB的中点对应的数为，两点距离为|a-b| 数轴动点问题：用含时间t的式子表示动点位置，按「中点、相距、重合」等关系列方程求解 概念辨析例题：数轴上点A表示的数是2，点B表示的数是8，则线段AB的中点C表示的数是（　　） 答案：5 解析：数轴上两点对应数a、b，其中点对应的数为。这里a=2，b=8，中点C对应的数为=5。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 直线、射线、线段 直线无端点、射线1个端点、线段2个端点 射线表示时端点字母在前 基本事实 两点确定一条直线；两点之间线段最短 两点间距离是线段的长度 线段的中点 AM=MB=AB 中点把线段分成长度相等的两段 线段的和差 和：顺次拼接；差：长线段截去短线段 长度单位需统一 尺规作图 作线段等于已知线段；作线段的和与差 保留作图痕迹 数轴中点 AB中点对应数；距离|a-b| 动点位置用含t式子表示 ⚠️ 核心考点 【考点1】直线、射线、线段的概念与基本事实（第1-11题） · 区分直线、射线、线段看端点和延伸性：直线无端点向两方延伸，射线一个端点向一方延伸，线段两个端点 · 「两点确定一条直线」用于固定、钉钉子、站队等问题；「两点之间线段最短」用于最短路线、架桥等问题 · 点与直线的位置关系分「点在直线上」「点在直线外」两种情况，数图形中线段条数按序不重不漏 1．（24-25七年级上·河南周口·期末）下列说法正确的是（   ） A．若，则为线段的中点 B．用两个钉子把木条固定在墙上，数学原理是“两点之间，线段最短” C．已知、、三点在一条直线上，若，，则 D．直线、相交于点 【答案】D 【知识点】两点确定一条直线、线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查线段的中点，直线和线段的性质，作图语言，线段的和与差，根据相应知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、若，且点在线段上，则为线段的中点，原说法错误，不符合题意； B、用两个钉子把木条固定在墙上，数学原理是“两点确定一条直线”，原说法错误，不符合题意； C、已知、、三点在一条直线上，若，，则或，原说法错误，不符合题意； D、直线、相交于点，原说法正确，符合题意； 故选D． 2．（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图，小金同学根据图形写出了三个结论：①图中共有6条线段；②图中共有1条直线；③图中射线与射线不是同一条射线．其中结论正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别、直线、线段、射线的数量问题 【分析】此题主要考查了线段、射线、直线的定义，准确识图，理解线段、射线、直线的定义是解决问题的关键． 【详解】解：图中有线段，，，，，共6条， ∴结论①正确； 图中共有一条直线， ∴结论②正确； 图中射线可表示为射线， ∴图中射线与射线是同一条射线， ∴结论③不正确． 综上所述：正确的结论是①②． 故选：A． 3．（25-26七年级上·北京石景山·期末）下列生活实例中，能用“两点确定一条直线”解释的是（　　） A．建筑工人砌墙时，通常先在墙的两端立桩拉线，然后沿着拉线砌墙 B．从地到地架设电线，沿着线段架设会节省材料费用 C．把原本弯曲的河道改直，河道的长度会变短 D．写字时将笔尖看作一个点，这个点在纸上运动就形成了线 【答案】A 【知识点】两点确定一条直线、两点之间线段最短 【分析】本题考查对“两点确定一条直线”几何公理的理解．选项A中，通过两个桩拉线砌墙，直接体现了该公理；选项B和C涉及“两点之间线段最短”；选项D涉及“点动成线”． 【详解】解：选项A中在墙的两端立桩拉线，利用两点确定一条直线来指导砌墙，故选项A正确； 选项B和C均基于“两点之间线段最短”的原理，与题意不符； 选项D描述的是点动成线的现象，与题意不符． 故选：A． 4．（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列语句正确的是（   ） A．画直线厘米 B．画射线厘米 C．在射线上截取厘米 D．延长线段到点C，使得 【答案】D 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别 【分析】本题主要考查直线、射线、线段，熟练掌握直线、射线、线段的概念是解决本题的关键． 根据直线、射线、线段的概念逐项判定即可解决此题． 【详解】解：A、直线两端无限延伸，即直线无长度，所以画直线厘米错误，故此选项不符合题意． B、射线一端有固定的顶点，另一端无限延伸，即射线无长度，所以画射线厘米错误，故此选项不符合题意． C、射线是向一方无限延伸的，要截取长为2厘米的线段，应以射线端点O为线段的一个端点，即截取厘米，原说法错误，故此选项不符合题意； D、延长线段到点C，当B为的中点时，可使得，所以延长线段到点C，使得正确，故此选项符合题意． 故选：D． 5．（24-25七年级上·北京西城·期末）如图，已知点P与直线l，用适当的语句表述图中点P与直线l的关系：________． 【答案】点P在直线l外 【知识点】点与线的位置关系 【分析】本题考查点和直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外．根据点与直线的位置关系可得答案． 【详解】解：由图知，点P在直线l外， 故答案为：点P在直线l外． 6．（23-24七年级上·河南南阳·阶段检测）已知1条直线将平面分割为2个区域，2条直线两两相交最多可将平面分割成4个区域，则3条直线两两相交最多可将平面分割成_________个区域． 【答案】7 【知识点】直线、线段、射线的数量问题 【分析】本题考查相交线，根据题意作图即可解答． 【详解】如图，直线a，b，c两两相交，将平面分割成7个区域．    故答案为：7 7．（22-23七年级上·内蒙古·期末）往返于南昌市和A之间的某高速客车在途中共有两个停车点，那么客车应该准备车票______种． 【答案】12 【知识点】直线、线段、射线的数量问题 【分析】本题考查求线段的数量，根据题意，求出线段的数量，再根据往返车票不同，进行求解即可． 【详解】解：设南昌用表示，中途两个停车点用表示， 由题意，得：客车应该准备车票种； 故答案为：12． 8．（23-24七年级上·贵州贵阳·期末）墨斗被认为是“百作手艺祖师爷”鲁班的发明，是木匠用来弹、放各种线记的重要工具，以其“绳之以墨”的功能成为了文人墨客心中正直的化身．如图，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线_____． 【答案】两点确定一条直线 【知识点】两点确定一条直线 【分析】本题考查的是直线的性质，熟知两点确定一条直线是解题的关键． 根据直线的性质解答即可． 【详解】解：经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，能解释这一实际应用的数学知识是两点确定一条直线， 故答案为：两点确定一条直线． 【考点2】两点之间线段最短与两点间的距离（第12-20题） · 涉及「最短」「最近」「最短路径」时优先考虑两点之间线段最短 · 两点间的距离是两点之间线段的长度（数值），不是线段本身（图形） · 曲线、折线长度都大于两点间线段长，实际问题可转化为线段比较 9．（25-26七年级上·四川成都·期中）下列说法正确的个数是（    ） ①线段就是点与点之间的距离； ②倒数等于本身的数是； ③八棱柱有条棱，个顶点； ④两点之间直线最短． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】倒数、几何体中的点、棱、面、两点之间线段最短、两点间的距离 【分析】本题考查几何概念、倒数、棱柱性质及距离公理，熟记相关的概念和性质，是解题的关键．据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：①点与点之间的距离指线段的长度，而非线段本身，说法错误； ②设数为，则，解得，，说法正确； ③八棱柱有条棱，但顶点数为个，非个，说法错误； ④两点之间线段最短，直线是无限延伸的，说法错误． 综上，只有②正确，故正确个数为个． 故选：A． 10．（23-24七年级上·江苏南通·期末）如图，，，，点是平面内一点，且满足，则的最小值是______． 【答案】 【知识点】两点之间线段最短 【分析】本题考查了线段之和最小值问题，将转化为求的最小值，当、、在同一直线上时，有最小值，最小值为，由此即可得出答案，解题的关键是学会灵活运用两点之间线段最短解决最小值问题． 【详解】解：， ， 当、、在同一直线上时，有最小值，最小值为， 的最小值为， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·山东枣庄·期末）如图，某同学从地图上得知地与地之间的距离是20公里，但导航提供的路线长分别是22公里，24.5公里，26公里，请你用数学的思维思考其中蕴含的数学道理是_____________． 【答案】两点之间，线段最短 【知识点】两点之间线段最短 【分析】本题考查的是线段的性质，根据两点之间，线段最短即可解答，熟知两点之间，线段最短是解题的关键． 【详解】解：， 两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间，线段最短． 12．（23-24七年级上·江苏南京·阶段检测）下列说法中正确的有______． 过两点有且只有一条直线； 连接两点的线段叫两点的距离； 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角； 如果，则点是的中点． 【答案】/③① 【知识点】两点之间线段最短、两点间的距离、线段中点的有关计算、角的概念理解 【分析】此题主要考查了直线的性质，两点间距离的定义，角的定义，线段中点的定义，正确理解直线的性质，两点间距离的定义，角的定义，线段中点的定义是解决问题的关键． 根据直线的性质可对进行判断；根据两点间距离的定义可对进行判断；根据角的定义可对进行判断；根据线段中点的定义可对进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：过两点有且只有一条直线， 正确； 连接两点的线段的长度叫两点间的距离， 不正确； 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角， 正确 如果，当点，，在同一条直线上时，则点是的中点． 不正确． 正确的有． 故答案为：． 13．（23-24七年级上·河南郑州·期中）如图所示，在直线l上有若干个点、、…、，每相邻两点之间的距离都为1，点P是线段上的一个动点．    （1）当时，当点P在点____________（填、或）的位置时，点P分别到点、，的距离之和最小； （2）当时，则点P分别到点、、…、的距离之和的最小值是______________ 【答案】 12 【知识点】线段的和与差、两点之间线段最短 【分析】本题考查的是两点之间的距离的含义，掌握“奇点偶段”是解本题的关键； （1）根据“奇点偶段”可得当P在处，点P到点、，的距离之和最小； （2）根据“奇点偶段”可得当P点的位置时，点P分别到点、、…、的距离之和最小，再求解最小值即可． 【详解】解：（1）当P在处， ∴， ∴点P到点、，的距离之和最小； （2）如图，当点P在点的位置时，点P分别到点、、…、的距离之和最小，    最小值为 ， 故答案为：、12． 14．（24-25七年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，已知平面上四个点 A ，B ，C ，D ，根据下列语句画图： (1)画直线和射线； (2)延长交直线于点F； (3)请在射线上确定一点O ，使点O到点A与点 D的距离之和最小，并说明其中的道理． 【答案】(1)如图所示； (2)如图所示； (3)如图，点O即为所求， 其中的道理为两点之间线段最短 【知识点】两点之间线段最短、画出直线、射线、线段 【分析】本题考查作图—复杂作图、直线、射线、线段、两点间的距离，熟练掌握直线、射线、线段的定义、两点间的距离是解答本题的关键． （1）根据直线、射线的定义画图即可； （2）根据射线、直线的定义画图即可； （3）连接，交射线于点O，结合两点之间线段最短可知，点O即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：连接，交射线于点O， 此时点O到点A和点D的距离和为，为最小值， 则点O即为所求， 其中的道理为两点之间线段最短． 【考点3】线段的和与差（第21-32题） · 线段和差列式：较长线段=两段之和，或整体=各部分之和，逐段表示再合并 · 图形中线段较多时，用字母表示关键线段，按和差关系建立方程 · 注意中点、比例、倍数的转化：AM=MB则AM=AB，AM:MB=2:1可设AM=2x、MB=x 15．（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）如图，点C是线段上的点，点M、N分别是、的中点，若，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算，线段的和差，由题意可得，，再由线段的和差得出，计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵点M、N分别是、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 16．（25-26七年级上·山西大同·期末）如图，点M是的中点，点N是的中点，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了与线段的中点有关的线段的和差计算，解题的关键是熟练掌握线段中点的定义． 根据线段中点的定义即可进行解答． 【详解】解：∵，点M是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵点N是的中点， ∴， ∴． 故选：D． 17．（24-25七年级上·陕西西安·阶段检测）在直线l上顺次取三点A、B、C，使线段，，则线段的长为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【知识点】线段的和与差 【分析】本题考查了线段的和差运算，根据在直线上顺次取三点A、B、C，得出，再代数计算，即可作答． 【详解】∵在直线l上顺次取三点A、B、C， ， ，， ， 故选: D． 18．（22-23七年级上·新疆博尔塔拉·期末）如图，，D为的中点，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】先根据已知等式得出与的等量关系，再根据线段的中点定义可得出的长， 求得的长． 【详解】解：∵ ∴，即， ∵D为的中点，， ∴， ∴． 19．（24-25七年级上·贵州铜仁·期末）如图，点在同一直线上，为的中点，为的中点，为的中点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①③ B．①③④ C．①②④ D．②④ 【答案】B 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，根据线段的中点的定义，结合线段之间的和差关系，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵为的中点，为的中点，为的中点， ∴， ∴，故②错误； ∴；故①正确； ∵， ∴；故③正确； ∵， ∴；故④正确； 故选B． 20．（23-24七年级上·重庆奉节·期末）如图，已知线段，若点在直线上，且满足，则线段的长度是（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【知识点】线段的和与差 【分析】本题考查了线段的和差，根据题意，分两种情况讨论进行求解，应用分类讨论及数形结合进行解答是解题的关键． 【详解】解：当点位于点间时，如图， ∵， ∴， ∴； 当点位于点右侧时，如图， ∵， ∴， ∴； 综上，的长度是或， 故选：． 21．（24-25七年级上·四川广元·期末）如图， 点在同一直线上，为的中点， 为的中点， 为的中点，则下列说法： ， ， ， 其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了中点的有关计算，线段和差，由为的中点， 为的中点，为的中点，则，，，然后结合图形，进行计算，即可判断，掌握线段中点的概念和性质，灵活运用数形结合思想是解题的关键． 【详解】∵为的中点， 为的中点，为的中点， ∴，，， ∴， ∴，正确，错误； ，正确； ，正确， 综上可知：正确，共个， 故选：． 22．（22-23七年级上·广西百色·期末）已知线段，C是线段所在直线上一点．下列说法：①若C为线段的中点，则；②若，则C为线段的中点；③若，则点C一定在线段的延长线上；④线段与的长度和一定不小于．其中正确的说法是（     ） A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【知识点】线段的和与差、两点间的距离、线段中点的有关计算 【分析】本题考查线段、中点，根据中点的定义可判断①②；举反例可判断③；根据线段的和差关系可判断④． 【详解】解：若C为线段的中点，则，故①正确； 若，且C在线段上时，则C为线段的中点，故②错误； 若，则点C可能在线段的延长线上，也可能在线段上，故③错误； ，线段与的长度和一定不小于，故④正确； 综上可知，正确的说法是①④， 故选D． 23．（25-26七年级上·山东聊城·期末）如图，点在同一直线上，为的中点，为的中点，为的中点，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段中点的意义，线段的和差计算，设，，则，得到，进而得到，可判断A，由线段中点的意义和线段的和差可得，可判断B，由和可判断C，由和，可判断D，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【详解】解：A、设，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵为的中点，为的中点， ∴， ∴， ∴，故选项不符合题意； B、∵， ∴，故选项不符合题意； C、∵， 又∵ ∴，故选项不符合题意； D、∵， 又∵， ∴，故选项符合题意； 故选：D． 【考点4】线段的中点与等分点（第33-47题） · 中点性质：AM=MB=AB；三等分点将线段三等分，每段为AB · 多个中点连用：先求较小线段，再逐步代入整体长度；也可设未知数列方程 · 注意分情况讨论：点在线段上还是延长线上，中点可能在左侧也可能在右侧 24．（25-26六年级上·上海·期末）如图，已知点是线段的中点，点在线段上，且，如果，则______． 【答案】 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、线段之间的数量关系 【分析】本题考查线段中点的定义和线段的和差计算． 首先根据已知的比例关系求出的长度，再根据线段中点的性质得出的长度． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点是线段的中点， ∴. 故答案为：． 25．（24-25七年级上·陕西榆林·期末）已知三点在同一直线上，，，若点分别为线段的中点，则长为_______． 【答案】或 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段的和差计算，中点的定义及计算，掌握中点的定义及线段的和差计算方法是解题的关键． 根据题意，作图分析，分类讨论：点在点的左边；点在点的右边；根据中点的计算方法即可求解． 【详解】解：如图所示，点在点的左边， ∵，点是的中点， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∴； 如图所示，点在点的右边， ∴； 所述所述，长为或， 故答案为：或 ． 26．（25-26七年级上·广东深圳·期末）如图，线段长，点是线段的中点，点是线段的中点，则线段的长为_____． 【答案】2 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查线段的中点，熟练运用线段的中点求线段长是解题的关键． 由点是线段的中点，点是线段的中点，可得，即可求得答案． 【详解】解：∵点是线段的中点， ， ∵点是线段的中点， ， ， 故答案为：2． 27．（24-25七年级上·河北廊坊·期末）已知点M，N在线段上，，，若，则的长为_____． 【答案】4 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了两点间距离，先根据，求出，再结合求出，最后根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解：∵，，点M在线段上， ∴， ∵， ∴， ∵点M，N在线段上， ∴， ∴， 故答案为：4． 28．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）将长度分别为12、8的两条线段一端重合放置在同一条直线上，此时这两条线段中点之间的距离为_____． 【答案】或 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段的中点定义，线段的和差，解题的关键在于要分情况讨论，其中作出图形更形象直观．记长度为12、8的两条线段分别为，；，分别为线段，的中点，再结合线段的中点定义，分情况①当，不重合时，②当，重合时，讨论求解，即可解题． 【详解】解：记长度为12、8的两条线段分别为，， ，分别为线段，的中点， 所以，， ①当，不重合时， 此时这两条线段中点之间的距离为， ②当，重合时， 此时这两条线段中点之间的距离为， 故答案为：或． 29．（21-22七年级上·贵州铜仁·阶段检测）已知线段，C是直线上一点，．若M是的中点，N是的中点，则线段的长度是 _____． 【答案】5 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题需要分两种情况讨论，①当点在线段上时，②当点在线段的延长线上时，根据线段中点的定义，计算即可． 【详解】解：如图，当点在线段上时，则， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴； 如图，当点在线段的延长线上时，则， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， 综上所述，段的长度是． 30．（24-25七年级上·浙江温州·期末）都江堰李冰石人的肩部和脚部通常被用作测量水位．洪水水位与枯水水位分别位于整尊石人的六等分点处，，已知，则整尊石人的高度________． 【答案】 【知识点】线段的和与差、线段n等分点的有关计算 【分析】本题考查了线段的和与差，熟练掌握六等分点的含义是解题的关键； 根据与分别是的六等分点处，得出，然后结合几何根据线段和和与差求出即可． 【详解】解：∵洪水水位与枯水水位分别位于整尊石人的六等分点处，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 31．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）已知线段长为12，点是线段的三等分点，点是线段上一点，且满足，则________． 【答案】或 【知识点】线段的和与差、线段n等分点的有关计算 【分析】本题考查线段的和与差，分和当两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当时，如图： ∵， ∴； 当时，如图： 则：， ∵， ∴， ∴； 综上：或； 故答案为：或． 32．（25-26七年级上·河北衡水·阶段检测）如图，点，在线段上，，点是的中点，是的中点，若，，则________ ． 【答案】 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段的和差，线段中点的性质，根据线段的和差关系求得 ．进而根据中点的性质求得的长，再根据，即可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵，点是的中点，是的中点， ∴，， ∴， 故答案为：． 33．（23-24七年级上·辽宁盘锦·期末）已知线段，点是直线上一点，，若是的中点，则线段的长度是________． 【答案】3或7 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查线段中点和线段的和与差，分情况讨论是解题的关键．根据题意可分类讨论，当点C在点B左侧时和当点C在点B右侧时，画出图形，分别计算出的长度．再根据M是的中点，计算出的长，最后根据图形求出即可． 【详解】解：分类讨论：①当点C在点B左侧时，如图， 根据图可知， ∵M是的中点， ∴， ∴；     ②当点C在点B右侧时，如图， 根据图可知， ∵M是的中点， ∴， ∴． 故答案为：3或7． 34．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）如图，点E是线段的中点，C是线段上一点，． (1)若F为的中点，且，求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】（1）根据线段中点的定义得到，再根据为的中点，得到，再由即可得解； （2）设，则，，根据线段中点的定义得到，，得到，于是得到结论； 本题考查了两点间的距离，解题的关键是结合图形，利用线段的和与差即可解答． 【详解】（1），， ， 点E是线段的中点， ， 为的中点， ， ； （2）， 设，则，， 点E是线段的中点， ，， ， ， ． 35．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）如图，点在线段上，，，点、分别是、的中点，求线段的长； 【答案】 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算，线段的和与差等知识点，熟练掌握线段之间的和差关系是解题的关键． 由线段中点的定义可得，，然后由线段之间的和差关系可得，由此即可求出线段的长． 【详解】解：由，，点、分别是、的中点，得： ， ， 由线段之间的和差关系可得： ， 线段的长为． 【考点5】画直线、射线、线段与尺规作图（第48-55题） · 画图按要求顺序操作：先画直线/射线/线段，再按要求延长或截取 · 尺规作图保留作图痕迹，作线段等于已知线段以射线为底、圆规截取 · 作图题注意书写结论（「如图所示，……即为所求」），标注字母 36．（24-25七年级上·云南保山·期末）如图，在同一平面内有四个点A，B，C，D，请按要求完成下列问题（不要求写出画法）． (1)画直线，射线； (2)画直线与射线相交于点O； (3)分别连接，． 【答案】(1) 解：如图所示：直线，射线即为所求； (2) 解：如图所示：直线与射线相交于点O即为所求； (3) 解：如图所示：线段，即为所求． 【知识点】画出直线、射线、线段 【分析】本题考查了作图知识及把几何语言转化为几何图形的能力，熟练掌握直线、射线、线段的定义是解答本题的关键． （1）根据直线、射线的定义画图即可． （2）根据直线、射线的定义画图即可． （3）根据线段的定义画图即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 37．（23-24七年级上·甘肃平凉·期末）如图，平面内有A，B，， 四点，按下列语句画图： (1)画射线，直线，线段； (2)延长； (3)连接与相交于点E. 【答案】(1) 解：如图所示， (2) 解：如图所示， (3) 解：如图所示， 【知识点】画出直线、射线、线段 【分析】本题考查了直线、射线和线段的概念，解决本题的入手点在于根据题目条件画图， （1）根据射线，直线，线段的定义画图即可； （2）根据题意延长； （3）按题目要求标出点E即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 38．（2024七年级上·全国·专题练习）尺规作图． (1)如图，已知线段，，请求作线段，使得． (2)如图，已知线段，画出一条线段，使它等于． 【答案】(1) 线段即为所求． (2) 线段即为所求． 【知识点】作线段(尺规作图) 【分析】本题主要考查尺规作图画线段： （1）作射线，先在射线上截取，再在线段上截取． （2）以点为端点作射线，在射线上顺次截取，，． 【详解】（1）略 （2）略 39．（23-24七年级上·广东云浮·期末）如图，已知四点A、B、C、D． (1)用圆规和无刻度的直尺按下列要求与步骤画出图形： ①画直线． ②画射线． ③延长线段至点E，使．（保留作图痕迹） ④在上找一点P，使的值最小，并说明作图依据． (2)在（1）中所画图形中，若，，点F为线段的中点，求的长． 【答案】(1) ①如图，直线即为所求作的直线； ②如图，射线即为所求作的射线； ③如图，； ④如图，点即为所求作的点 (2) 【知识点】线段的和与差、画出直线、射线、线段、线段中点的有关计算 【分析】（1）根据直线、射线、线段的定义作直线、射线和线段，根据“两点之间线段最短”即可作出P点． （2）根据中点的定义和线段的和差即可求出的长． 本题主要考查了直线、射线、线段的定义和“两点之间线段最短”的性质，以及中点的定义和线段的和差．熟练掌握以上知识，正确的作出图形是解题的关键． 【详解】（1）④连接交于P点，则的值最小，理由是：两点之间线段最短． （2） ∵，， ． 又， ． ∵点F为线段的中点， ， ． 40．（23-24七年级上·重庆丰都·期末）如图，已知三点在同一直线上，按下列要求作图． (1)画射线； (2)在射线上点的右侧作线段，使； (3)在（2）的条件下，已知点是线段的中点，，求线段的长． 【答案】(1) 如图所示： (2) 如图所示： (3) 【知识点】作线段(尺规作图)、线段的和与差、画出直线、射线、线段、线段中点的有关计算 【分析】本题考查作射线、线段及求线段长，涉及射线定义、尺规作图作相等线段、线段中点等知识，掌握射线及相等线段的做法，数形结合即可得到答案． （1）根据射线定义直接作图即可得到答案； （2）先以为圆心、为半径画弧交射线于，再以为圆心、为半径画弧交射线于即可得到答案； （3）由（2）中所作图形，利用线段中点定义，数形结合，准确表示线段和差倍分关系，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图所示： ，， ， ， 点是线段的中点， ，则． 41．（25-26七年级上·广东广州·期末）如图，点为线段上一点，且，． (1)尺规作图：延长至点，使得点是的中点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，完成以下问题： ①求的长； ②若点在直线上，且，求的长． 【答案】(1) 如图，点D即为所求； (2)①；②或 【知识点】作线段(尺规作图)、线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了线段间的数量关系，尺规作线段，线段中点定义，熟练掌握线段中点的定义，是解题的关键． （1）以点B为圆心，为半径画弧，交的延长线于点D； （2）①先根据中点定义得出，再根据线段间数量关系，求出结果即可； ②分两种情况：当点E在点A右侧时，当点E在点A左侧时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：①∵点是的中点，， ∴， ∴； ②当点E在点A右侧时，如图所示： ∵，， ∴； 当点E在点A左侧时，如图所示： ∵，， ∴； 综上，或． 【考点6】数轴动点与线段综合（第56-70题） · 数轴中点公式：a、b两点中点对应数；两点距离|a-b| · 动点位置：点P以速度v从数a处运动t秒后对应数a±vt（方向决定正负） · 建立方程：按「中点重合」「相距某长度」「动点到某点距离相等」列方程求解，注意检验t的范围 42．（23-24七年级上·河北邢台·阶段检测）如图，数轴上的点A，B分别表示数，2，C，D分别是线段AB，AC的中点，则点D表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、线段中点的有关计算 【分析】本题考查数轴上的点表示数，数轴上两点间的距离，线段的中点． 由题意可得的长度，然后利用线段的中点求得的长度，再结合数轴即可求得点D表示的数． 【详解】∵数轴上的点A，B分别表示数，2， ∴， ∵C，D分别是线段AB，AC的中点， ∴， ， ∴点D表示的数为：． 故选：B 43．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是，C是数轴上的任意一点．当A，B，C三点中有一点是另两点所连线段的中点时，点C表示的数可能是________． 【答案】或或 【知识点】数轴上两点之间的距离、线段中点的有关计算 【分析】本题需要分三种情况讨论：点是的中点；点是的中点；点是的中点。根据数轴上中点的坐标公式来计算点表示的数． 【详解】设点表示的数为 情况一：点是的中点 根据中点公式 先将化为 方程变为 两边同时乘以2得 移项可得 情况二：点是的中点 根据中点公式 先将化为 方程变为 两边同时乘以2得 移项可得 情况三：点是的中点 根据中点公式 计算分子 所以 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了数轴上的中点问题，掌握数轴上若点是点的中点，则表示的数为，分三种中点情况利用该公式计算点表示的数是解题的关键． 44．（24-25七年级上·河南开封·阶段检测）如图，数轴上点A，B，D表示的数分别是，，1，且点C为线段的中点，点O为原点，点E在数轴上，点F为线段的中点．若，则的长为__________________． 【答案】或 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了数轴上的点以及数轴上两点的距离，根据题意分两种情况讨论，当点E在D的右侧时和当点E在D的左侧时，然后根据点F为的中点，分别计算出F点代数的数，然后计算即可． 【详解】解：当点E在D的右侧时，如下图： ∵，D表示的数是1． ∴点E表示的数是4， ∵点为线段的中点． ∴， ∴点F表示的数是， ∵点B表示的数是， ∴． 当点E在D的左侧时，如下图： ∵，D表示的数是1 ∴点E表示的数是， ∵点为线段的中点． ∴， ∴点F表示的数是， ∵点B表示的数是， ∴． 故答案为：或． 45．（25-26七年级上·云南昆明·期末）如图，点在线段上，，为中点，求的长． 【答案】6 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、线段之间的数量关系 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差倍分关系，熟练掌握线段的中点是解题的关键． 由题意得，继而得，再根据线段中点的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵D为中点， ∴， 故答案为：6． 46．（24-25七年级上·全国·单元复习）如图，E、F分别是线段的中点，若，求的长． 【答案】 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】本题考查了两点间的距离，根据线段的中点，可得与的关系，与的关系，根据线段的和差，可得答案． 【详解】解：因为E、F分别是线段的中点， 所以，． 因为， ∴ 47．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）如图，已知，点C，E在线段上，点 D 为的中点， (1)求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、线段之间的数量关系 【分析】本题考查了两点间的距离，线段和差、线段中点的性质等知识． （1）根据线段中点的定义得到，由线段的和差即可得到结论； （2）由线段中点的定义得到，再求出，然后根据即可得到结论． 【详解】（1）解：点为线段的中点，， ， ， ； （2）解： 点为线段的中点，， ， ， ∵， ∴， ． 48．（24-25七年级上·江西九江·阶段检测）如图，是线段上一点，分别是的中点． (1)若，求线段的长． (2)若线段与线段的长度之比为，且线段，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，解题的关键是掌握线段中点的性质． （1）根据中点的性质得出和的长即可； （2）由和的比例关系及的长，求出的长，再根据线段中点的性质求出和的长，即可求出的长． 【详解】（1）解：∵M，N分别是 的中点，， ∴， ∴． 答：线段的长为． （2）解：∵线段与线段的长度之比为，且线段， ∴线段． ∵M，N分别是的中点， ∴， ∴． 答：线段的长为． 49．（24-25七年级上·四川资阳·期末）如图，已知为的中点，点P在上，N为的中点． (1)图中共有 条线段； (2)若，求的长； (3)若，求的长． 【答案】(1)10； (2)6 (3)12 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、线段之间的数量关系 【分析】本题考查的是两点间的距离,熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键； （1）根据线段的定义数线段即可； （2）分别求出，再相减即可； （3）分别求出，进而即可求解 【详解】（1）解：图中线段有：共10条， 故答案为：10； （2）解：∵，N为的中点， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵N为的中点． ∴， ∵为的中点， ∴， ∴ 50．（黑龙江省齐齐哈尔市第三中学校和齐齐哈尔第二十八中联考2025-2026学年七年级上学期12月月考数学试题）线段，点C是上一点，，点D是的中点，求线段的长度． 【答案】线段的长度为． 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义以及图形中线段的和差关系是正确解答的关键．根据比例求出，根据中点求出，依据线段和差关系，由，代入数据计算即得． 【详解】解：∵， ∴，， ∵点D是的中点， ∴， ∴， 线段的长度为． 51．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）如图1，已知数轴上两点A，B对应的数分别为，5，点为数轴上的一动点，其对应的数为． (1)若是线段的中点，求的值． (2)若，求的值． (3)如图2，点以每秒个单位的速度向左运动，同时点以每秒个单位的速度向右运动，点以每秒个单位的速度从点向右运动，且，在运动过程中，M，N分别是、的中点，试探究的值是否发生变化？若不变，求其值，若改变，请说明理由． 【答案】(1) (2)数轴上存在点，使，此时x的值为或． (3)的值不发生变化，为定值2． 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、整式加减的应用、线段中点的有关计算 【分析】（1）根据中点公式求解即可； （2）分点P在两点之间，点在点的右边和点在点的左边三种情况，讨论求解即可； （3）设运动时间为t分钟，用含t的式子分别表示出点A，点P，点B表示的数，进而求出的长，再由中点公式求出点M，点N表示的数，进而求出的长，再计算即可得到结论． 【详解】（1）解：∵两点A，B对应的数分别为，5，点为数轴上的一动点，其对应的数为． 是线段的中点， ∴． （2）解：①当点在两点之间时，，不符合题意，舍去； ②当点在点的右边时，，， ， 解得； ③当点在点的左边时， ， 解得． 综上所述，数轴上存在点，使，此时x的值为或． （3）解：的值不发生变化，为定值2，理由如下： 设运动时间为t秒，则点A表示的数为，点P表示的数为，点B表示的数为， ∴，， ∵M，N分别是、的中点， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∵， ∴， ∴， ∴的值不发生变化，为定值2． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离计算，整式的加减运算，一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离公式是解题的关键． 52．（24-25九年级上·河南平顶山·期末）已知一条线段的长度是另一条线段长度的3倍，则较短线段与较长线段的比值为______． 【答案】 【知识点】线段之间的数量关系 【分析】本题考查线段之间的数量关系，根据一条线段的长度是另一条线段长度的3倍，即可得出结果． 【详解】解：∵较长线段的长度是较短线段长度的3倍， ∴较短线段与较长线段的比值为； 故答案为：． 💯 课后巩固 复习建议 · 概念先行：分清直线、射线、线段的端点与延伸性，熟记两个基本事实及其应用场景 · 中点与等分点：AM=MB=AB、三等分点每段为AB，多个中点连用时逐步代入 · 线段和差：把图形线段用字母表示，按整体=部分之和列式，比例问题设份数求解 · 数轴工具：中点公式、距离|a-b|、动点a±vt，把几何问题代数化 · 画图与尺规：按顺序作图、保留痕迹、书写结论，数量问题按序计数不重不漏 【作业1】．（24-25六年级下·山东淄博·阶段检测）将一根细木条固定在墙上，最少需要2个钉子，其中的道理可以解释为（   ） A．线段有两个端点 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．线段可以比较大小 【答案】B 【知识点】两点确定一条直线 【分析】根据直线的性质，分析将细木条固定在墙上最少用2个钉子的原理，从而选择正确选项．本题主要考查了直线的性质，熟练掌握“两点确定一条直线”是解题的关键． 【详解】解：因为两点确定一条直线，所以用2个钉子能将细木条固定在墙上，使其位置确定． 故选：B． 【作业2】．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）爸爸准备从家出发去杭州奥体中心体育场，打开导航，显示两地的直线距离为，但导航提供的三条可选路线长却分别为，，（如图），能解释这一现象最合理的数学知识是（　　） A．两点之间，线段最短 B．两点之间，直线最短 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】A 【知识点】两点之间线段最短 【分析】本题主要考查了线段的性质，掌握两点之间、线段最短并灵活应用是解题的关键．根据线段的性质两点之间、线段最短即可解答． 【详解】解：从家出发去杭州奥体中心体育场，打开导航，显示两地的直线距离为，但导航提供的三条可选路线长却分别为，，，能解释这一现象的数学知识是：两点之间，线段最短． 故选：A． 【作业3】．（23-24七年级上·陕西宝鸡·期末）如图，已知点M在线段上，，点P、Q分别为线段、上的两点，若，，，则线段的长为（    ） A． B． C． D．8 【答案】C 【知识点】线段的和与差 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，先求出，进而得到，再求出，，进而得到，则． 【详解】解；∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选C． 【作业4】．（25-26七年级上·山西晋中·期末）如图，点在线段上，点是的中点，，，在线段上取一点，使得，则线段的长是（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】B 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，与线段中点有关的计算，正确理解题意理清线段之间的关系是解题的关键． 先根据线段的和差关系求出，由线段中点的定义即可求出，再根据线段之间的关系求出的长即可得到答案． 【详解】解：，， ． ∵点是的中点， ． ， ， ． 故选：B． 【作业5】．（24-25七年级上·甘肃白银·期末）在木匠弹墨线、打靶瞄准、弯曲公路改直这三种实践方式中，不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（    ） A．0种 B．1种 C．2种 D．3种 【答案】B 【知识点】两点确定一条直线、两点之间线段最短 【分析】本题主要考查了两点确定一条直线，两点之间线段最短，直接利用直线的性质以及线段的性质分析得出答案． 【详解】解：木匠弹墨线、打靶瞄准可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释，弯曲公路改直可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释， 故选：B． 【作业6】．（25-26七年级上·河南平顶山·期末）如图，点、点在线段上，是线段的中点，，若，则的长为（   ）    A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、线段之间的数量关系 【分析】本题考查线段的中点性质与线段和差的计算，关键是先利用中点定义求出线段的长度，再根据与的数量关系求出的长度，最后通过线段差计算的长．首先根据线段中点的定义求出的长度；再结合和的关系，求出的长度；最后用减去得到的长度． 【详解】解：∵是线段的中点，， ∴； ∵，且， ∴，即，解得， ∴； ∴； 故选：C． 【作业7】．（23-24七年级上·北京顺义·期末）要把一根木条在墙上钉牢，至少要钉_____枚钉子，能解释这一实际应用的数学知识是_____． 【答案】 ； 两点确定一条直线． 【知识点】两点确定一条直线 【分析】本题考查了直线的性质，根据两点确定一条直线解答即可，熟练掌握两点确定一条直线是解题的关键． 【详解】要把一根木条在墙上钉牢，至少要钉颗钉子，这一实际应用的数学知识是两点确定一条直线， 故答案为：；两点确定一条直线． 【作业8】．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）如图，小明从A点到B点有①号和②号两条线路供选择，小明为了尽快到达不假思索地选择①号线路．小亮问小明：“为什么不选择另一条？”答：“因为走①号线路节省时间．”“为什么节省时间呢？”“因为走直路比走弯路过去来得近．”“为什么会近呢？”小明：“……”由此可见，“在所有连接两点的线中，线段最短”这是一个不争的事实，是自然界的真理，为人人所公认，像这样的真命题称为 _______ 【答案】公理 【知识点】两点之间线段最短 【分析】本题考查了对数学中公理的理解，两点之间、线段最短，根据公理的定义即可得解，熟练掌握公理的定义是解此题的关键． 【详解】解：“在所有连接两点的线中，线段最短”这是一个不争的事实，是自然界的真理，为人人所公认，像这样的真命题称为公理， 故答案为：公理． 【作业9】．（25-26六年级上·上海普陀·期末）已知线段，点是线段的中点，直线上有一点，满足，那么线段的长为_____cm． 【答案】或 【知识点】线段的和与差 【分析】本题考查了线段的和差．根据点在直线上的位置分情况讨论：当在线段上时；当在的延长线上时．设，利用和线段和差关系列方程求解． 【详解】解： ，点是的中点， ． 设，则． 当点在线段上时，， 即，解得， ． 当点在的延长线上时，， 即， 解得，． 【作业10】．（25-26七年级上·山东德州·期末）如图，线段，点C在线段上，P，Q是线段的三等分点，M，N是线段的三等分点，则线段的长为：_________． 【答案】 【知识点】线段的和与差、线段n等分点的有关计算 【分析】本题考查了两点间的距离，n等分点的定义，数形结合是解题的关键．由三等分点的定义得，，然后由两点间的距离求解即可． 【详解】解：∵P，Q是线段的三等分点，M，N是线段的三等分点， ∴，， ∴． 故答案为：． 【作业11】．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知线段m，作一条线段使它等于2m． 作法： （1）作________AD． （2）用圆规在________上截取________ （3）用圆规在________上截取________，线段________就是所求作的线段． 【答案】 射线 AD m BD m AC 【知识点】作线段(尺规作图)、线段的和与差 【分析】根据图形的作图痕迹可知：此题是作一条线段等于已知线段，按作一条线段等于已知线段即可． 【详解】解：先作一条射线，故①填写“射线”，再以射线端点为线段一个端点，在射线方向上作一条线段等于已知线段，故  ②填写  ③填写 ，然后以线段另一个端点沿射线方向再作一条线段等于已知线段，故 ④填写BD  ⑤填写m，最后要写答，故 ⑥填写AC． 故答案为：①射线  ②AD  ③m  ④BD  ⑤m  ⑥AC． 【点睛】本题考查了用无刻度的直尺和圆规作图题，掌握作一条线段等于已知线段是本题的关键． 【作业12】．（25-26七年级上·四川广安·期末）如图，已知直线l上的三条线段分别为，，，将线段固定不动，线段以每秒4个单位长度的速度向右运动，，分别为， 的中点，设线段的运动时间为 秒，当时，的值为_______． 【答案】或 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、线段中点的有关计算 【分析】根据题意，看成数轴动点问题，设点位置以及线段和差的关系建立等量关系即可求解． 本题考查一元一次方程的应用，线段的和差关系，以及数轴上的动点问题，解题的关键熟练掌握以上知识点． 【详解】解：∵，，，，分别为， 的中点， 设当时，点代表的数为， 则点代表的数为，点代表的数为，点代表的数为，点代表的数为，点代表的数为， 则线段以每秒4个单位长度的速度向右运动时， 则点为，点为，点为， 则，， 当时， 则 解得：或． 故答案为：或． 【作业13】．（25-26七年级上·江西吉安·期末）若在数轴上表示的数分别为、3、，当一个点是另外两个点的中点时，则的值为_____． 【答案】或或 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、线段中点的有关计算 【分析】本题考查数轴上的距离相等关系，关键是分三种情况讨论哪个点是另外两点的中点，利用中点到两个端点距离的相等关系列方程求解． 【详解】解：根据题意，分三种情况讨论： ①若点是点、的中点，则，解得； ②若点是点、的中点，则，解得； ③若点是点、的中点，则，解得； 综上，的值为或或． 故答案为：或或． 【作业14】．（25-26七年级上·山东济南·期末）如图，正方形网格中有四个点，它们都在网格线的交点上，请利用网格，只使用没有刻度的直尺，按照下列要求画图及回答问题： (1)画出直线，并找出线段的中点； (2)画出射线和射线，并连接． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 如图，即为所求； 【知识点】画出直线、射线、线段、线段中点的有关计算 【分析】本题考查作直线、线段、射线，格点作图，掌握直线、线段、射线的定义是解题的关键． （1）连接点A，点B并向两边延伸，可得直线，利用格点可得中点； （2）连接，并延长，可得射线和射线，再连接． 【详解】（1）略 （2）略 【作业15】．（25-26七年级上·天津滨海新区·期末）【新知学习】通常我们利用如下的方法来求数轴上线段的中点表示的数：如果数轴上两点和分别表示数，，点是线段的中点，那么点表示的数为． 【问题探究】已知一条数轴上有、、、四个点，分别表示的数为、、、，又知，且，，、分别为6和8． (1)求、的值； (2)若、两点同时以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒，那么为何值时，线段的中点与线段的中点距离为3个单位长度； (3)在（2）的条件下，满足什么条件时，、两点都在线段上． 【答案】(1)，； (2)当为3或4秒时，两个中点的距离为3个单位长度； (3)当时，、两点都在线段上． 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、求一个数的绝对值、线段中点的有关计算 【分析】本题考查绝对值的计算，利用中点公式求解，解题的关键是找出运动状态的分界点； （1）由，得，结合即可解答； （2）求出线段表示的数，表示出运动中线段的中点的代数式，根据两点间的距离公式列方程解答即可； （3）表示出、两点同时向左运动时的代数式，列出不等式组解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴，； （2）解：∵，；、分别为6和8， ∴线段的中点表示的数为. 线段的中点表示的数为， 当、同时向左匀速运动秒时，其中点也同时向左匀速运动秒， ∴其中点此时表示的数为. ∵两个中点距离为3个单位长度， ∴， ∴， 即， 或4， ∴当为3或4秒时，两个中点的距离为3个单位长度； （3）解：当、两点同时向左运动时，表示的数分别为和， 当、两点都在线段上时， 、两点表示的数需满足, 解得， ∴当时，、两点都在线段上． 【作业16】．（24-25七年级上·四川自贡·期末）根据下列语句，画出图形．如图，已知四点 (1)连接，相交于点； (2)画射线，相交于点； (3)画直线． 【答案】(1) 如图所示，，相交于点； (2) 如图所示，射线，相交于点； (3) 如图所示，直线． 【知识点】作线段(尺规作图) 【分析】本题考查了画图，解题关键是准确理解题意，画出射线、线段和直线； （1）连接即可； （2）画射线，写出交点即可； （3）画出直线即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【作业17】．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知线段，延长至点C，使． (1)请补全图形，并求的长． (2)若点D为线段上一点，且，求的长． 【答案】(1)如图， (2)或 【知识点】线段的和与差 【分析】本题考查两点间的距离，掌握图形中线段的和差关系是正确解答的关键． （1）根据题意画图即可，再根据线段之间的和差关系进行计算即可； （2）分两种情况，即点D在点B的左侧或右侧，根据图形中线段的和差关系进行计算即可． 【详解】（1）解： 因为，， 所以， 所以； （2）解：由于， 当点D在点B的左侧时，， 当点D在点B的右侧时，， 所以或． 【作业18】．（23-24七年级上·江西九江·期末）如图，已知平面上四点A，B，C，D，按要求完成下列作图． (1)画直线、射线、线段． (2)在线段上确定点，使线段与线段的和最小，并说明理由． 【答案】(1) 直线、射线、线段即为所求： (2)如图所示；两点之间，线段最短． 【知识点】两点之间线段最短、画出直线、射线、线段 【分析】本题主要考查作图，解题的关键是掌握直线、射线、线段的概念． （1）根据直线、射线、线段的概念作图即可； （2）根据线段的性质作图即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，交于一点，该点即为所求作的点E，如图所示． 因为两点之间，线段最短，所以此时线段与线段的和最小． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲·直线、射线、线段·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年人教版七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解直线、射线、线段的概念及其区别与联系，掌握两点确定一条直线、两点之间线段最短两个基本事实 · 会用尺规作一条线段等于已知线段，会画直线、射线、线段并正确表示 · 掌握线段的和、差运算，理解线段中点的概念并会进行有关计算 · 能解决数轴上的线段中点、两点距离及动点问题，建立线段与数轴的关联 · 会数图形中直线、射线、线段的数量，掌握分类计数与规律总结的方法 📚 知识梳理 ☆ 1.直线、射线、线段的概念与表示 直线：向两方无限延伸，无端点，可用一个小写字母或直线上两点表示，如直线l、直线AB 射线：由一个端点向一方无限延伸，表示时端点字母在前，如射线OA；线段：有两个端点，如线段AB或线段a 基本事实1：经过两点有且只有一条直线（两点确定一条直线）；基本事实2：两点之间线段最短，两点间线段的长度叫做两点间的距离 点与直线的位置关系：点在直线上或点在直线外；直线、射线、线段三者的区别在于端点个数与延伸性 概念辨析例题：将一根细木条固定在墙上，最少需要2个钉子，其中的道理可以解释为（　　） 答案：B．两点确定一条直线 解析：两个钉子相当于两个点，把木条固定需要经过这两个点的一条直线，故依据是「两点确定一条直线」，选B。 ☆ 2.线段的和、差与线段的中点 线段的和：两条线段首尾相接，其长度等于两线段长度之和；线段的差：较长线段去掉较短线段部分 线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点叫做这条线段的中点，若M是AB的中点，则AM=MB=AB 线段n等分点：把线段分成n条相等线段的点，三等分点把线段分为AB的3段 计算线段长度常用「设未知数列方程」法：把线段看成整体，按比例或倍数关系列式求解 概念辨析例题：如图，点C是线段AB的中点，点D是线段CB的中点，若AB=8，则AD的长为（　　） 答案：6 解析：因为C是AB的中点，AC=CB=AB=4；又D是CB的中点，CD=DB=CB=2，所以AD=AC+CD=4+2=6。 ☆ 3.画直线、射线、线段与尺规作图 画图语言：连接AB、延长AB到C、在射线OA上截取OB=a、过点P作直线l的垂线等 尺规作图：只用无刻度的直尺和圆规作图，作一条线段等于已知线段是基本作图 作线段的和与差：在一条射线上顺次截取各线段得和，反向截取得差 尺规作图的痕迹保留：作图后保留弧线痕迹，标注必要的字母与结论 概念辨析例题：用尺规作图作一条线段，使它等于已知线段a，正确的作图步骤是（　　） 答案：先用射线一端为圆心、线段a的长为半径画弧，交射线于一点，则该点到端点的线段即为所求 解析：作线段等于已知线段：任画一条射线，以端点为圆心、已知线段长为半径画弧，弧与射线的交点到端点的线段长度即等于已知线段a。 ☆ 4.直线、射线、线段的数量问题与数轴动点 数直线（线段）的条数：平面内n个点（任意三点不共线）两两相连，共有条线段 数射线的条数：直线上有n个点时，每个点向两个方向各确定一条射线，共2n条射线 数轴上的线段中点：数轴上两点A、B对应数a、b，AB的中点对应的数为，两点距离为|a-b| 数轴动点问题：用含时间t的式子表示动点位置，按「中点、相距、重合」等关系列方程求解 概念辨析例题：数轴上点A表示的数是2，点B表示的数是8，则线段AB的中点C表示的数是（　　） 答案：5 解析：数轴上两点对应数a、b，其中点对应的数为。这里a=2，b=8，中点C对应的数为=5。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 直线、射线、线段 直线无端点、射线1个端点、线段2个端点 射线表示时端点字母在前 基本事实 两点确定一条直线；两点之间线段最短 两点间距离是线段的长度 线段的中点 AM=MB=AB 中点把线段分成长度相等的两段 线段的和差 和：顺次拼接；差：长线段截去短线段 长度单位需统一 尺规作图 作线段等于已知线段；作线段的和与差 保留作图痕迹 数轴中点 AB中点对应数；距离|a-b| 动点位置用含t式子表示 ⚠️ 核心考点 【考点1】直线、射线、线段的概念与基本事实（第1-11题） · 区分直线、射线、线段看端点和延伸性：直线无端点向两方延伸，射线一个端点向一方延伸，线段两个端点 · 「两点确定一条直线」用于固定、钉钉子、站队等问题；「两点之间线段最短」用于最短路线、架桥等问题 · 点与直线的位置关系分「点在直线上」「点在直线外」两种情况，数图形中线段条数按序不重不漏 1．（24-25七年级上·河南周口·期末）下列说法正确的是（   ） A．若，则为线段的中点 B．用两个钉子把木条固定在墙上，数学原理是“两点之间，线段最短” C．已知、、三点在一条直线上，若，，则 D．直线、相交于点 2．（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图，小金同学根据图形写出了三个结论：①图中共有6条线段；②图中共有1条直线；③图中射线与射线不是同一条射线．其中结论正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．（25-26七年级上·北京石景山·期末）下列生活实例中，能用“两点确定一条直线”解释的是（　　） A．建筑工人砌墙时，通常先在墙的两端立桩拉线，然后沿着拉线砌墙 B．从地到地架设电线，沿着线段架设会节省材料费用 C．把原本弯曲的河道改直，河道的长度会变短 D．写字时将笔尖看作一个点，这个点在纸上运动就形成了线 4．（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列语句正确的是（   ） A．画直线厘米 B．画射线厘米 C．在射线上截取厘米 D．延长线段到点C，使得 5．（24-25七年级上·北京西城·期末）如图，已知点P与直线l，用适当的语句表述图中点P与直线l的关系：________． 6．（23-24七年级上·河南南阳·阶段检测）已知1条直线将平面分割为2个区域，2条直线两两相交最多可将平面分割成4个区域，则3条直线两两相交最多可将平面分割成_________个区域． 7．（22-23七年级上·内蒙古·期末）往返于南昌市和A之间的某高速客车在途中共有两个停车点，那么客车应该准备车票______种． 8．（23-24七年级上·贵州贵阳·期末）墨斗被认为是“百作手艺祖师爷”鲁班的发明，是木匠用来弹、放各种线记的重要工具，以其“绳之以墨”的功能成为了文人墨客心中正直的化身．如图，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线_____． 【考点2】两点之间线段最短与两点间的距离（第12-20题） · 涉及「最短」「最近」「最短路径」时优先考虑两点之间线段最短 · 两点间的距离是两点之间线段的长度（数值），不是线段本身（图形） · 曲线、折线长度都大于两点间线段长，实际问题可转化为线段比较 9．（25-26七年级上·四川成都·期中）下列说法正确的个数是（    ） ①线段就是点与点之间的距离； ②倒数等于本身的数是； ③八棱柱有条棱，个顶点； ④两点之间直线最短． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（23-24七年级上·江苏南通·期末）如图，，，，点是平面内一点，且满足，则的最小值是______． 11．（24-25七年级上·山东枣庄·期末）如图，某同学从地图上得知地与地之间的距离是20公里，但导航提供的路线长分别是22公里，24.5公里，26公里，请你用数学的思维思考其中蕴含的数学道理是_____________． 12．（23-24七年级上·江苏南京·阶段检测）下列说法中正确的有______． 过两点有且只有一条直线； 连接两点的线段叫两点的距离； 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角； 如果，则点是的中点． 13．（23-24七年级上·河南郑州·期中）如图所示，在直线l上有若干个点、、…、，每相邻两点之间的距离都为1，点P是线段上的一个动点．    （1）当时，当点P在点____________（填、或）的位置时，点P分别到点、，的距离之和最小； （2）当时，则点P分别到点、、…、的距离之和的最小值是______________ 14．（24-25七年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，已知平面上四个点 A ，B ，C ，D ，根据下列语句画图： (1)画直线和射线； (2)延长交直线于点F； (3)请在射线上确定一点O ，使点O到点A与点 D的距离之和最小，并说明其中的道理． 【考点3】线段的和与差（第21-32题） · 线段和差列式：较长线段=两段之和，或整体=各部分之和，逐段表示再合并 · 图形中线段较多时，用字母表示关键线段，按和差关系建立方程 · 注意中点、比例、倍数的转化：AM=MB则AM=AB，AM:MB=2:1可设AM=2x、MB=x 15．（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）如图，点C是线段上的点，点M、N分别是、的中点，若，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 16．（25-26七年级上·山西大同·期末）如图，点M是的中点，点N是的中点，，则的长为（   ） A． B． C． D． 17．（24-25七年级上·陕西西安·阶段检测）在直线l上顺次取三点A、B、C，使线段，，则线段的长为（   ） A． B．或 C． D． 18．（22-23七年级上·新疆博尔塔拉·期末）如图，，D为的中点，，则的长是（     ） A． B． C． D． 19．（24-25七年级上·贵州铜仁·期末）如图，点在同一直线上，为的中点，为的中点，为的中点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①③ B．①③④ C．①②④ D．②④ 20．（23-24七年级上·重庆奉节·期末）如图，已知线段，若点在直线上，且满足，则线段的长度是（   ） A．或 B． C．或 D． 21．（24-25七年级上·四川广元·期末）如图， 点在同一直线上，为的中点， 为的中点， 为的中点，则下列说法： ， ， ， 其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 22．（22-23七年级上·广西百色·期末）已知线段，C是线段所在直线上一点．下列说法：①若C为线段的中点，则；②若，则C为线段的中点；③若，则点C一定在线段的延长线上；④线段与的长度和一定不小于．其中正确的说法是（     ） A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 23．（25-26七年级上·山东聊城·期末）如图，点在同一直线上，为的中点，为的中点，为的中点，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【考点4】线段的中点与等分点（第33-47题） · 中点性质：AM=MB=AB；三等分点将线段三等分，每段为AB · 多个中点连用：先求较小线段，再逐步代入整体长度；也可设未知数列方程 · 注意分情况讨论：点在线段上还是延长线上，中点可能在左侧也可能在右侧 24．（25-26六年级上·上海·期末）如图，已知点是线段的中点，点在线段上，且，如果，则______． 25．（24-25七年级上·陕西榆林·期末）已知三点在同一直线上，，，若点分别为线段的中点，则长为_______． 26．（25-26七年级上·广东深圳·期末）如图，线段长，点是线段的中点，点是线段的中点，则线段的长为_____． 27．（24-25七年级上·河北廊坊·期末）已知点M，N在线段上，，，若，则的长为_____． 28．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）将长度分别为12、8的两条线段一端重合放置在同一条直线上，此时这两条线段中点之间的距离为_____． 29．（21-22七年级上·贵州铜仁·阶段检测）已知线段，C是直线上一点，．若M是的中点，N是的中点，则线段的长度是 _____． 30．（24-25七年级上·浙江温州·期末）都江堰李冰石人的肩部和脚部通常被用作测量水位．洪水水位与枯水水位分别位于整尊石人的六等分点处，，已知，则整尊石人的高度________． 31．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）已知线段长为12，点是线段的三等分点，点是线段上一点，且满足，则________． 32．（25-26七年级上·河北衡水·阶段检测）如图，点，在线段上，，点是的中点，是的中点，若，，则________ ． 33．（23-24七年级上·辽宁盘锦·期末）已知线段，点是直线上一点，，若是的中点，则线段的长度是________． 34．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）如图，点E是线段的中点，C是线段上一点，． (1)若F为的中点，且，求的长； (2)若，求的长． 35．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）如图，点在线段上，，，点、分别是、的中点，求线段的长； 【考点5】画直线、射线、线段与尺规作图（第48-55题） · 画图按要求顺序操作：先画直线/射线/线段，再按要求延长或截取 · 尺规作图保留作图痕迹，作线段等于已知线段以射线为底、圆规截取 · 作图题注意书写结论（「如图所示，……即为所求」），标注字母 36．（24-25七年级上·云南保山·期末）如图，在同一平面内有四个点A，B，C，D，请按要求完成下列问题（不要求写出画法）． (1)画直线，射线； (2)画直线与射线相交于点O； (3)分别连接，． 37．（23-24七年级上·甘肃平凉·期末）如图，平面内有A，B，， 四点，按下列语句画图： (1)画射线，直线，线段； (2)延长； (3)连接与相交于点E. 38．（2024七年级上·全国·专题练习）尺规作图． (1)如图，已知线段，，请求作线段，使得． (2)如图，已知线段，画出一条线段，使它等于． 39．（23-24七年级上·广东云浮·期末）如图，已知四点A、B、C、D． (1)用圆规和无刻度的直尺按下列要求与步骤画出图形： ①画直线． ②画射线． ③延长线段至点E，使．（保留作图痕迹） ④在上找一点P，使的值最小，并说明作图依据． (2)在（1）中所画图形中，若，，点F为线段的中点，求的长． 40．（23-24七年级上·重庆丰都·期末）如图，已知三点在同一直线上，按下列要求作图． (1)画射线； (2)在射线上点的右侧作线段，使； (3)在（2）的条件下，已知点是线段的中点，，求线段的长． 41．（25-26七年级上·广东广州·期末）如图，点为线段上一点，且，． (1)尺规作图：延长至点，使得点是的中点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，完成以下问题： ①求的长； ②若点在直线上，且，求的长． 【考点6】数轴动点与线段综合（第56-70题） · 数轴中点公式：a、b两点中点对应数；两点距离|a-b| · 动点位置：点P以速度v从数a处运动t秒后对应数a±vt（方向决定正负） · 建立方程：按「中点重合」「相距某长度」「动点到某点距离相等」列方程求解，注意检验t的范围 42．（23-24七年级上·河北邢台·阶段检测）如图，数轴上的点A，B分别表示数，2，C，D分别是线段AB，AC的中点，则点D表示的数是（    ） A． B． C． D． 43．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是，C是数轴上的任意一点．当A，B，C三点中有一点是另两点所连线段的中点时，点C表示的数可能是________． 44．（24-25七年级上·河南开封·阶段检测）如图，数轴上点A，B，D表示的数分别是，，1，且点C为线段的中点，点O为原点，点E在数轴上，点F为线段的中点．若，则的长为__________________． 45．（25-26七年级上·云南昆明·期末）如图，点在线段上，，为中点，求的长． 46．（24-25七年级上·全国·单元复习）如图，E、F分别是线段的中点，若，求的长． 47．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）如图，已知，点C，E在线段上，点 D 为的中点， (1)求的长； (2)若，求的长． 48．（24-25七年级上·江西九江·阶段检测）如图，是线段上一点，分别是的中点． (1)若，求线段的长． (2)若线段与线段的长度之比为，且线段，求线段的长． 49．（24-25七年级上·四川资阳·期末）如图，已知为的中点，点P在上，N为的中点． (1)图中共有 条线段； (2)若，求的长； (3)若，求的长． 50．（黑龙江省齐齐哈尔市第三中学校和齐齐哈尔第二十八中联考2025-2026学年七年级上学期12月月考数学试题）线段，点C是上一点，，点D是的中点，求线段的长度． 51．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）如图1，已知数轴上两点A，B对应的数分别为，5，点为数轴上的一动点，其对应的数为． (1)若是线段的中点，求的值． (2)若，求的值． (3)如图2，点以每秒个单位的速度向左运动，同时点以每秒个单位的速度向右运动，点以每秒个单位的速度从点向右运动，且，在运动过程中，M，N分别是、的中点，试探究的值是否发生变化？若不变，求其值，若改变，请说明理由． 52．（24-25九年级上·河南平顶山·期末）已知一条线段的长度是另一条线段长度的3倍，则较短线段与较长线段的比值为______． 💯 课后巩固 复习建议 · 概念先行：分清直线、射线、线段的端点与延伸性，熟记两个基本事实及其应用场景 · 中点与等分点：AM=MB=AB、三等分点每段为AB，多个中点连用时逐步代入 · 线段和差：把图形线段用字母表示，按整体=部分之和列式，比例问题设份数求解 · 数轴工具：中点公式、距离|a-b|、动点a±vt，把几何问题代数化 · 画图与尺规：按顺序作图、保留痕迹、书写结论，数量问题按序计数不重不漏 【作业1】．（24-25六年级下·山东淄博·阶段检测）将一根细木条固定在墙上，最少需要2个钉子，其中的道理可以解释为（   ） A．线段有两个端点 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．线段可以比较大小 【作业2】．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）爸爸准备从家出发去杭州奥体中心体育场，打开导航，显示两地的直线距离为，但导航提供的三条可选路线长却分别为，，（如图），能解释这一现象最合理的数学知识是（　　） A．两点之间，线段最短 B．两点之间，直线最短 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 【作业3】．（23-24七年级上·陕西宝鸡·期末）如图，已知点M在线段上，，点P、Q分别为线段、上的两点，若，，，则线段的长为（    ） A． B． C． D．8 【作业4】．（25-26七年级上·山西晋中·期末）如图，点在线段上，点是的中点，，，在线段上取一点，使得，则线段的长是（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【作业5】．（24-25七年级上·甘肃白银·期末）在木匠弹墨线、打靶瞄准、弯曲公路改直这三种实践方式中，不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（    ） A．0种 B．1种 C．2种 D．3种 【作业6】．（25-26七年级上·河南平顶山·期末）如图，点、点在线段上，是线段的中点，，若，则的长为（   ）    A．3 B． C．2 D． 【作业7】．（23-24七年级上·北京顺义·期末）要把一根木条在墙上钉牢，至少要钉_____枚钉子，能解释这一实际应用的数学知识是_____． 【作业8】．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）如图，小明从A点到B点有①号和②号两条线路供选择，小明为了尽快到达不假思索地选择①号线路．小亮问小明：“为什么不选择另一条？”答：“因为走①号线路节省时间．”“为什么节省时间呢？”“因为走直路比走弯路过去来得近．”“为什么会近呢？”小明：“……”由此可见，“在所有连接两点的线中，线段最短”这是一个不争的事实，是自然界的真理，为人人所公认，像这样的真命题称为 _______ 【作业9】．（25-26六年级上·上海普陀·期末）已知线段，点是线段的中点，直线上有一点，满足，那么线段的长为_____cm． 【作业10】．（25-26七年级上·山东德州·期末）如图，线段，点C在线段上，P，Q是线段的三等分点，M，N是线段的三等分点，则线段的长为：_________． 【作业11】．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知线段m，作一条线段使它等于2m． 作法： （1）作________AD． （2）用圆规在________上截取________ （3）用圆规在________上截取________，线段________就是所求作的线段． 【作业12】．（25-26七年级上·四川广安·期末）如图，已知直线l上的三条线段分别为，，，将线段固定不动，线段以每秒4个单位长度的速度向右运动，，分别为， 的中点，设线段的运动时间为 秒，当时，的值为_______． 【作业13】．（25-26七年级上·江西吉安·期末）若在数轴上表示的数分别为、3、，当一个点是另外两个点的中点时，则的值为_____． 【作业14】．（25-26七年级上·山东济南·期末）如图，正方形网格中有四个点，它们都在网格线的交点上，请利用网格，只使用没有刻度的直尺，按照下列要求画图及回答问题： (1)画出直线，并找出线段的中点； (2)画出射线和射线，并连接． 【作业15】．（25-26七年级上·天津滨海新区·期末）【新知学习】通常我们利用如下的方法来求数轴上线段的中点表示的数：如果数轴上两点和分别表示数，，点是线段的中点，那么点表示的数为． 【问题探究】已知一条数轴上有、、、四个点，分别表示的数为、、、，又知，且，，、分别为6和8． (1)求、的值； (2)若、两点同时以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒，那么为何值时，线段的中点与线段的中点距离为3个单位长度； (3)在（2）的条件下，满足什么条件时，、两点都在线段上． 【作业16】．（24-25七年级上·四川自贡·期末）根据下列语句，画出图形．如图，已知四点 (1)连接，相交于点； (2)画射线，相交于点； (3)画直线． 【作业17】．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知线段，延长至点C，使． (1)请补全图形，并求的长． (2)若点D为线段上一点，且，求的长． 【作业18】．（23-24七年级上·江西九江·期末）如图，已知平面上四点A，B，C，D，按要求完成下列作图． (1)画直线、射线、线段． (2)在线段上确定点，使线段与线段的和最小，并说明理由． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $