专题6.1.4 点、线、面、体（高效培优讲义）数学新教材人教版七年级上册

专题6.1.4 点、线、面、体 教学目标 1. 认识点、线、面、体这些几何基本元素，理解静态关系：体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点；理解动态关系：点动成线，线动成面，面动成体；知道平面图形可通过平移、旋转得到立体图形，旋转轴不同，形成的几何体不同。 2. 通过观察实例、动手操作、想象感知等活动，体会平面图形与立体图形的转化，发展空间想象能力、几何直观，建立运动变化的几何观点。 3. 从生活现象中发现点线面体，感受几何来源于生活，激发空间图形学习兴趣，养成观察、想象、验证的思维习惯。 教学重难点 1.重点 认识点、线、面、体；掌握点动成线、线动成面、面动成体；理解面与面相交成线，线与线相交成点；了解平面图形平移、旋转可以形成立体图形。 2.难点 想象动态形成几何体的过程；区分旋转轴不同带来几何体的变化；理解曲面、曲线相交的情况。 知识点01 点、线、面、体 点、线、面、体之间的关系： 体与体相交成 ，面与面相交成 ，线与线相交成 。或点动成 ，线动成 ，面动成 。面可以经过 或 成为体。点、线、面、体组成几何图形。 【即学即练】 下雨时汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净属于下列哪个选项的实际应用（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对 知识点02 由平面图形得到立体图形 平面图形旋转而成立体： 平面图形不仅可以通过 得到几何体，还可以通过 得到几何体。在旋转平面图形时，旋转轴不同则得到的几何体也不同。 【即学即练】 如图，将长方形绕虚线旋转一周，得到的几何体是（     ） A． B． C． D． 题型01 点、线、面、体四者之间的关系 【典例1】汽车的雨刷器能把前挡风玻璃上的雨水刮干净，这一现象说明的数学事实是_______．①点动成线；②线动成面；③面动成体．（请填入正确答案的序号） 技巧 1：抓主语，看谁在动 题目给例子，先找“谁”是运动的源头： 技巧2：区分 “平的面” 和 “曲的面” 面分为平面、曲面；线分为直线、曲线 曲面相交，交线是曲线（比如球面和圆柱面相交，交线是圆） 平面相交，交线一定是直线 技巧3：静态相交题判断 正方体两个面碰在一起，那条棱就是：面与面相交成线 正方体棱和棱碰在一起的顶点：线与线相交成点 【变式1】下列现象中，能说明“点动成线”的是（     ） A．钟面上秒针绕中心旋转一周 B．汽车雨刷在挡风玻璃上摆动 C．直角三角尺绕直角边旋转一周 D．用圆规画圆弧 【变式2】2026年神舟飞船返回舱返回地球，返回舱飞行划过的轨迹，体现的数学原理是（     ） A．线动成面 B．面动成体 C．点动成线 D．以上都不对 【变式3】固定圆规尖，把带有笔尖的一端旋转，画出弧（如图），能正确解释这一现象的数学知识是（     ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．线线相交形成点 【变式4】下列现象中，能用“面动成体”来解释的是（     ） A．流星划过夜空，留下一道明亮的光迹 B．钟面上分针的转动，扫过一个圆面 C．半圆形纸片绕它的直径所在的直线旋转一周，形成一个球 D．汽车雨刷的摆动，扫过一个扇形区域 题型02 平面图形旋转后所得的立体图形 【典例1】观察下图，把左边的图形绕着给定的直线旋转一周后，可能形成的立体图形是（     ） A． B． C． D． 技巧：旋转题：平面图形绕轴旋转 长方形绕一边旋转 → 圆柱 直角三角形绕一条直角边旋转 → 圆锥 半圆绕直径旋转 → 球 直角梯形绕垂直底边的腰旋转 → 圆台 坑：同一个图形，旋转轴不一样，结果不一样！ 长方形绕长边转：矮粗圆柱；绕短边转：高细圆柱。 【变式1】将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到图中所示的立体图形是（     ） A． B． C． D． 【变式2】下列各选项中的图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆锥的是（     ） A． B． C． D． 【变式3】下列图形分别绕虚线旋转一周，能得到如图所示的几何体的是（     ） A． B． C． D． 【变式4】将下图所示的平面图形绕虚线旋转一周，得到的立体图形是（     ） A． B． C． D． 题型03 关于几何体的简单计算 【典例1】已知长方形的长为、宽为，将其绕它的一边所在的直线旋转一周，得到一个几何体，求此几何体的体积和表面积．（结果保留π） 1. 旋转图形是什么 长方形 → 圆柱 直角三角形 → 圆锥（绕直角边） 半圆 → 球（绕直径） 直角梯形 → 圆台（绕垂直底边的腰） 斜着的边当轴、普通三角形旋转，得到的是组合体（一般七年级不考） 3. 旋转轴是哪一条 核心规则：贴着轴的这条线段 = 几何体的高；到轴垂直距离 = 底面半径 r 口诀：绕谁，谁为高；邻边垂直，就是半径 如果题目没有指定旋转轴，必须分类讨论，多种情况全部写出 4. 分清2类基础模型 + 公式 模型1：长方形绕一边旋转 → 圆柱 V=πr2 h 全表面积（上下底 + 侧面）：S=2πr2+2πr h 侧面积：S侧=2πr h 模型 2：直角三角形绕一条直角边旋转 → 圆锥 V=πr2 h 全表面积（底面 + 侧面）：S=πr2+πr l（l是母线，斜边长度；） 【变式1】直角三角形两条直角边分别是和，绕其一条直角边所在直线旋转一周得到的几何体的体积是________． 【变式2】如图，在长方形中，，现绕这个长方形的一边所在直线旋转一周得到一个几何体． (1)写出旋转得到的几何体的名称． (2)如果用一个平面去截旋转得到的几何体，那么截面有哪些形状？（至少写出2种） (3)求旋转得到的几何体的表面积．（结果保留π） 【变式3】如图所示，已知直角三角形纸板，直角边，．若直角三角形纸板绕三角形的直角边所在的直线旋转一周，得到一个几何体． (1)这个几何体的名称是 ，这一过程体现了 ．（填序号） ①点动成线；②线动成面；③面动成体． (2)求得到的这个几何体的体积（结果保留）． 【变式4】如图是一张长方形纸片，长为，长为．若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周， (1)得到的几何体是___________；这个现象用数学知识解释为___________； (2)求形成的几何体的体积．（结果保留π） (3)求形成的几何体的表面积（结果保留π） 题型04 截一个几何体 【典例1】一个透明的正方体水箱里装了一些水，小华不断改变水箱的倾斜方式，观察水面形状．下列哪种形状他一定观察不到（     ） A．三角形 B．正方形 C．六边形 D．七边形 1. 正方体 正方体6个面 可以截出：锐角三角形、四边形（长 / 正方、梯形、平行四边形）、五边形、六边形 绝对截不出：直角三角形、钝角三角形 小结论：正方体的三角形截面，只能是锐角三角形。 快速判断： 平面斜着只切过 3 个相邻顶点 → 三角形 平行于某个面去截 → 正方形 斜着穿过上下一组对边，不平行棱 → 梯形 依次穿过 6 个面 → 六边形 2. 圆柱 圆柱：2 个圆形底面（平面）+1 个侧面（曲面） 平行于底面截 → 圆 垂直于底面截（沿着高）→ 长方形（正方形） 斜着截，不碰上下底面 → 椭圆 斜着截，只碰到一个底面 + 侧面 → 拱形（类似半个椭圆） 3. 圆锥 圆锥：1 个底面（平面圆）+1 个曲面侧面 平行底面截 → 小圆 沿着圆锥的高竖直切（过顶点）→ 等腰三角形 斜着截，不碰底面 → 椭圆 斜着截碰到底面 → 拱形 4. 球 无论从哪个方向、怎么截，截面永远是圆，只有大小差别，没有别的图形。 【变式1】用一个平面去截下列几何体，截面形状不可能是三角形的是（     ） A．三棱柱 B．长方体 C．圆锥 D．球 【变式2】用一个平面去截一个几何体，截面不可能是圆的几何体是___________．（填序号） 【变式3】用一个平面去截下面的几何体，截面是四边形的几何体有______．（填序号） 【变式4】若用一个平面去截六棱柱，则边数最多的截面的形状是（     ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 1．下列选项中，说法正确的是（     ） A．五棱柱有7个面和10条侧棱 B．圆锥的侧面展开图是一个三角形 C．用一个平面去截圆柱，截面不可能是正方形 D．用一个平面去截正方体，其截面可能是三角形 2．先把直角三角形按放大，若都以直角边所在的直线为轴旋转一周，放大后旋转形成的立体图形体积是原来三角形旋转形成的立体图形体积的（     ）倍． A．3 B．6 C．9 D．27 3．用一个平面去截四棱锥，截面不可能是（     ） A． B． C． D． 4．将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到下图中所示的立体图形是（     ） A． B． C． D． 5．用一个平面去截下列几何体，截面的形状不可能是长方形的是（     ） A． B． C． D． 6．如图，已知长方形的长为a、宽为b，将这个长方形分别绕它的长和宽旋转一周可以得到两个圆柱，这两个圆柱的侧面积分别记为和，则______．（填“>”、“<”或“=”） 7．有下列几何体，其中截面可能是长方形的有___________．（填序号） 8．如图，是一个食品包装盒的表面展开图（长度单位：）． (1)请写出这个包装盒的几何体名称：________；它有________条棱，有________个顶点； (2)用一个平面去截该几何体，截面形状不可能是________（填序号）：①三角形；②长方形；③五边形；④六边形． (3)求该几何体所有侧面面积之和． 9．按要求完成下列各题： (1)如图1所示的六棱柱中，它的底面边长都是，侧棱长为，这个棱柱共有___________个面，___________条棱，它的侧面积是___________ (2)如图2，有一个长，宽的长方形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴旋转180°，可按两种方案进行操作． 方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图（1）； 方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图（2）． 请通过计算说明哪种方案得到的几何体的体积大． 10．如图，某车间制作一种直立式储物构件，它的所有棱长均为2cm，请解答下列问题： (1)该几何体的名称是________棱柱，共有________个顶点，________条棱，________个面． (2)用一个平面去截这个六棱柱，截面形状可能是________、________（写出你认为可能的两种形状）． (3)若要给这个储物构件的所有侧面都喷上红色的漆，计算喷漆的面积． 1．元宵节是我国重要的传统节日之一，各地以“闹”为主题的活动形式多样，有踩高跷、猜灯谜等民俗活动，其节令特色食品是“元宵”．如果“元宵”可以看成一个球，用一个平面去截该几何体，那么截面的形状是（     ） A．正方形 B．圆 C．三角形 D．长方形 2．把一个棱长为的正方体切成两个长方体，这两个长方体表面积的和是（    ） A． B． C． D．不能确定 3．下列结论中，说法正确的是（     ） A．长方体的截面形状一定是长方形 B．正方体的截面可能是七边形 C．棱柱侧面的形状可能是一个三角形 D．一个棱柱有12条棱，则这个棱柱有6个面 4．用一个平面去截如图所示的五棱柱，得到的截面形状不可能是（     ） A．三角形 B．八边形 C．六边形 D．五边形 5．“像牛毛，像花针，像细丝，密密地斜织着”，朱自清把雨比作“牛毛”“花针”和“细丝”，形象地说明了（     ） A．点是由线与线相交而成 B．面动成体 C．线动成面 D．点动成线 6．如图是圆柱被一个平面斜切后得到的几何体，几何体的体积为_____．（结果保留） 7．一个直角三角形两条直角边长分别是和，以其中一条直角边为轴旋转一周，得到几何体的体积为________． 8．在2025年举行的纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵仪式中，空军八一飞行表演队飞过后留下的彩烟轨迹，以其精美的设计和深刻的寓意，成为空中梯队最绚丽的风景，这一现象用数学知识可解释为___． 9．某公司生产一种仿蜂巢形状的直立式储物箱，如图所示，它是一种常见的几何体，底面边长都是，侧棱长是，请解答下列问题： (1)该几何体的名称是______棱柱，共有______个面； (2)用一个平面去截这个几何体，截面形状可能是______，______（写出你认为可能的两种形状）； (3)若用丝带给这个储物箱的每条棱上都包上边，所需丝带的长度是多少？ 10．某大厦的旋转门（图1）内部由三块宽为、高为的长方形玻璃隔板组成，图2所示的长方形是其中一块隔板的示意图． (1)将图2的长方形绕轴旋转一周形成的几何体是_______________； (2)则（1）中能说明的事实是______________（选择正确的一项填入）． A．点动成线    B．线动成面    C．面动成体 (3)求图2的长方形绕轴旋转一周形成的几何体的体积．（结果保留） 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.1.4 点、线、面、体 教学目标 1. 认识点、线、面、体这些几何基本元素，理解静态关系：体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点；理解动态关系：点动成线，线动成面，面动成体；知道平面图形可通过平移、旋转得到立体图形，旋转轴不同，形成的几何体不同。 2. 通过观察实例、动手操作、想象感知等活动，体会平面图形与立体图形的转化，发展空间想象能力、几何直观，建立运动变化的几何观点。 3. 从生活现象中发现点线面体，感受几何来源于生活，激发空间图形学习兴趣，养成观察、想象、验证的思维习惯。 教学重难点 1.重点 认识点、线、面、体；掌握点动成线、线动成面、面动成体；理解面与面相交成线，线与线相交成点；了解平面图形平移、旋转可以形成立体图形。 2.难点 想象动态形成几何体的过程；区分旋转轴不同带来几何体的变化；理解曲面、曲线相交的情况。 知识点01 点、线、面、体 点、线、面、体之间的关系： 体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点。或点动成线，线动成面，面动成体。面可以经过移动或旋转成为体。点、线、面、体组成几何图形。 【即学即练】 下雨时汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净属于下列哪个选项的实际应用（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对 【答案】B 【详解】解：雨刷可看作一条线，其运动时扫过的区域为面，属于线动成面的实际应用． 知识点02 由平面图形得到立体图形 平面图形旋转而成立体： 平面图形不仅可以通过平移得到几何体，还可以通过旋转得到几何体。在旋转平面图形时，旋转轴不同则得到的几何体也不同。 【即学即练】 如图，将长方形绕虚线旋转一周，得到的几何体是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意得：长方形旋转一周后是一个圆柱． 题型01 点、线、面、体四者之间的关系 【典例1】汽车的雨刷器能把前挡风玻璃上的雨水刮干净，这一现象说明的数学事实是_______．①点动成线；②线动成面；③面动成体．（请填入正确答案的序号） 【答案】② 【详解】解：∵ 雨刷器的形态可抽象为一条线段，属于线的范畴， 又∵ 雨刷器摆动时扫过的区域是具有面积的平面区域，属于面的范畴， ∴ 该现象对应的数学事实为线动成面，即序号②． 技巧 1：抓主语，看谁在动 题目给例子，先找“谁”是运动的源头： 技巧2：区分 “平的面” 和 “曲的面” 面分为平面、曲面；线分为直线、曲线 曲面相交，交线是曲线（比如球面和圆柱面相交，交线是圆） 平面相交，交线一定是直线 技巧3：静态相交题判断 正方体两个面碰在一起，那条棱就是：面与面相交成线 正方体棱和棱碰在一起的顶点：线与线相交成点 【变式1】下列现象中，能说明“点动成线”的是（     ） A．钟面上秒针绕中心旋转一周 B．汽车雨刷在挡风玻璃上摆动 C．直角三角尺绕直角边旋转一周 D．用圆规画圆弧 【答案】D 【详解】解：A、B中，秒针、雨刷均可看作线段，运动后扫过平面区域，属于线动成面，不符合题意． C中，直角三角尺可看作平面图形，绕直角边旋转一周形成立体图形，属于面动成体，不符合题意． D中，圆规笔尖可看作点，画圆弧时点的运动轨迹为线，属于点动成线，符合题意． 【变式2】2026年神舟飞船返回舱返回地球，返回舱飞行划过的轨迹，体现的数学原理是（     ） A．线动成面 B．面动成体 C．点动成线 D．以上都不对 【答案】C 【详解】解：将返回舱抽象为一个点，其飞行划过的轨迹为线，体现点动成线的数学原理． 【变式3】固定圆规尖，把带有笔尖的一端旋转，画出弧（如图），能正确解释这一现象的数学知识是（     ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．线线相交形成点 【答案】A 【详解】解：根据题意，可得是点动成线，故选项A符合题意. 【变式4】下列现象中，能用“面动成体”来解释的是（     ） A．流星划过夜空，留下一道明亮的光迹 B．钟面上分针的转动，扫过一个圆面 C．半圆形纸片绕它的直径所在的直线旋转一周，形成一个球 D．汽车雨刷的摆动，扫过一个扇形区域 【答案】C 【详解】解：A. 流星可看作点，运动后形成线，不符合题意； B. 分针可看作线，转动后形成圆面，不符合题意； C. 半圆形纸片是面，绕直径所在直线旋转一周形成球，符合题意； D. 汽车雨刷可看作线，摆动后形成扇形区域，不符合题意． 题型02 平面图形旋转后所得的立体图形 【典例1】观察下图，把左边的图形绕着给定的直线旋转一周后，可能形成的立体图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由图形可以看出，图中长方形的竖直两个边与已知的直线平行，则这两条边旋转形成两个柱形表面，因而旋转一周后可能形成的立体图形是一个管状的物体，即从大圆柱体中挖去一个小圆柱体，故C选项符合题意． 技巧：旋转题：平面图形绕轴旋转 长方形绕一边旋转 → 圆柱 直角三角形绕一条直角边旋转 → 圆锥 半圆绕直径旋转 → 球 直角梯形绕垂直底边的腰旋转 → 圆台 坑：同一个图形，旋转轴不一样，结果不一样！ 长方形绕长边转：矮粗圆柱；绕短边转：高细圆柱。 【变式1】将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到图中所示的立体图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：观察立体图形可知，该几何体侧面中间细、上头没有下头粗，但是都比中间粗， A、绕轴旋转一周，得不到图中所示的立体图形，不符合题意； B、绕轴旋转一周，得不到图中所示的立体图形，不符合题意； C、绕轴旋转一周，得不到图中所示的立体图形，不符合题意； D、绕轴旋转一周，可得到图中所示的立体图形，符合题意 【变式2】下列各选项中的图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆锥的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是球体，不符合题意； B、图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆锥，符合题意； C、图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆柱，不符合题意； D、图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆台，不符合题意． 【变式3】下列图形分别绕虚线旋转一周，能得到如图所示的几何体的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：．直角梯形绕腰旋转可得到一个圆台，故该选项不符合题意； ．锐角三角形绕一边旋转得到两个底面合在一起的圆锥，故该选项不符合题意； ．直角三角形绕一直角边旋转得到一个圆锥，故该选项符合题意； ．长方形绕一边旋转得到一个圆柱，故该选项不符合题意． 【变式4】将下图所示的平面图形绕虚线旋转一周，得到的立体图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：旋转一周得到的立体图形是 故选：D． 题型03 关于几何体的简单计算 【典例1】已知长方形的长为、宽为，将其绕它的一边所在的直线旋转一周，得到一个几何体，求此几何体的体积和表面积．（结果保留π） 【答案】，或， 【详解】解：当绕长所在直线旋转时，圆柱的高，底面半径． 体积； 表面积 当绕宽所在直线旋转时，圆柱的高，底面半径． 体积； 表面积 1. 旋转图形是什么 长方形 → 圆柱 直角三角形 → 圆锥（绕直角边） 半圆 → 球（绕直径） 直角梯形 → 圆台（绕垂直底边的腰） 斜着的边当轴、普通三角形旋转，得到的是组合体（一般七年级不考） 3. 旋转轴是哪一条 核心规则：贴着轴的这条线段 = 几何体的高；到轴垂直距离 = 底面半径 r 口诀：绕谁，谁为高；邻边垂直，就是半径 如果题目没有指定旋转轴，必须分类讨论，多种情况全部写出 4. 分清2类基础模型 + 公式 模型1：长方形绕一边旋转 → 圆柱 V=πr2 h 全表面积（上下底 + 侧面）：S=2πr2+2πr h 侧面积：S侧=2πr h 模型 2：直角三角形绕一条直角边旋转 → 圆锥 V=πr2 h 全表面积（底面 + 侧面）：S=πr2+πr l（l是母线，斜边长度；） 【变式1】直角三角形两条直角边分别是和，绕其一条直角边所在直线旋转一周得到的几何体的体积是________． 【答案】或 【详解】解：直角三角形绕直角边所在直线旋转一周得到的几何体为圆锥，分两种情况计算体积： 当绕长的直角边所在直线旋转时， ∵作为旋转轴的直角边是圆锥的高，另一条直角边是圆锥底面的半径， ∴圆锥的高，底面半径， 根据圆锥体积公式，代入得， 当绕长的直角边所在直线旋转时， ∵作为旋转轴的直角边是圆锥的高，另一条直角边是圆锥底面的半径， ∴圆锥的高，底面半径， 代入体积公式得． ∴几何体的体积是或． 【变式2】如图，在长方形中，，现绕这个长方形的一边所在直线旋转一周得到一个几何体． (1)写出旋转得到的几何体的名称． (2)如果用一个平面去截旋转得到的几何体，那么截面有哪些形状？（至少写出2种） (3)求旋转得到的几何体的表面积．（结果保留π） 【答案】(1)圆柱 (2)圆形，长方形（答案不唯一，椭圆也可） (3)或 【详解】（1）解：由图形旋转性质可知，绕长方形的一边所在直线旋转一周后所得几何体为柱体、底面为圆，因此得到的几何体是圆柱； （2）解：当截面平行于底面时，截面是圆形；当截面垂直于底面时，截面是长方形；当截面与底面不平行时，截面是椭圆； （3）解：由题意可知，长方形绕一边旋转有两种情况： 当绕边旋转时，底面半径，高． 表面积 当绕边旋转时，底面半径，高 表面积 答：旋转得到的几何体的表面积为或． 【变式3】如图所示，已知直角三角形纸板，直角边，．若直角三角形纸板绕三角形的直角边所在的直线旋转一周，得到一个几何体． (1)这个几何体的名称是 ，这一过程体现了 ．（填序号） ①点动成线；②线动成面；③面动成体． (2)求得到的这个几何体的体积（结果保留）． 【答案】(1)圆锥，③ (2)或 【详解】（1）略 （2）解：若绕所在的直线旋转一周，得到圆底面半径为，高为的圆锥， 该圆锥的体积为； 若绕所在的直线旋转一周，得到圆底面半径为，高为的圆锥， 该圆锥的体积为：． 综上所述，得到的这个几何体的体积为或． 【变式4】如图是一张长方形纸片，长为，长为．若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周， (1)得到的几何体是___________；这个现象用数学知识解释为___________； (2)求形成的几何体的体积．（结果保留π） (3)求形成的几何体的表面积（结果保留π） 【答案】(1)圆柱；面动成体； (2)或． (3)或． 【详解】（1）解：得到的几何体是圆柱；这个现象用数学知识解释为面动成体； （2）解：①当长方形纸片绕所在直线旋转一周时，得到的圆柱半径为，高为， 则体积为； ②当长方形纸片绕所在直线旋转一周时，得到的圆柱半径为，高为， 则体积为； 综上可知，几何体的体积为或． （3）解：①当长方形纸片绕所在直线旋转一周时，得到的圆柱半径为，高为， 则表面积为； ②当长方形纸片绕所在直线旋转一周时，得到的圆柱半径为，高为， 则表面积为； 综上可知，几何体的表面积为或． 题型04 截一个几何体 【典例1】一个透明的正方体水箱里装了一些水，小华不断改变水箱的倾斜方式，观察水面形状．下列哪种形状他一定观察不到（     ） A．三角形 B．正方形 C．六边形 D．七边形 【答案】D 【详解】解：正方体有六个面，注水的过程中，可将容器任意放置，水平面形状最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形， 所得水平面形状可能是三角形、四边形、五边形和六边形，不可能出现七边形． 1. 正方体 正方体6个面 可以截出：锐角三角形、四边形（长 / 正方、梯形、平行四边形）、五边形、六边形 绝对截不出：直角三角形、钝角三角形 小结论：正方体的三角形截面，只能是锐角三角形。 快速判断： 平面斜着只切过 3 个相邻顶点 → 三角形 平行于某个面去截 → 正方形 斜着穿过上下一组对边，不平行棱 → 梯形 依次穿过 6 个面 → 六边形 2. 圆柱 圆柱：2 个圆形底面（平面）+1 个侧面（曲面） 平行于底面截 → 圆 垂直于底面截（沿着高）→ 长方形（正方形） 斜着截，不碰上下底面 → 椭圆 斜着截，只碰到一个底面 + 侧面 → 拱形（类似半个椭圆） 3. 圆锥 圆锥：1 个底面（平面圆）+1 个曲面侧面 平行底面截 → 小圆 沿着圆锥的高竖直切（过顶点）→ 等腰三角形 斜着截，不碰底面 → 椭圆 斜着截碰到底面 → 拱形 4. 球 无论从哪个方向、怎么截，截面永远是圆，只有大小差别，没有别的图形。 【变式1】用一个平面去截下列几何体，截面形状不可能是三角形的是（     ） A．三棱柱 B．长方体 C．圆锥 D．球 【答案】D 【详解】解：三棱柱、长方体均为多面体，用平面截这两个几何体时，若截面经过个面，可得三角形截面，故不符合题意；用平面截圆锥，若截面过顶点且垂直于底面，可得等腰三角形截面，故不符合题意；用平面截球，所得截面始终为圆形，不可能是三角形，故符合题意. 【变式2】用一个平面去截一个几何体，截面不可能是圆的几何体是___________．（填序号） 【答案】③ 【详解】解：圆柱，用平行于底面的平面去截，截面是圆； 圆锥，用平行于底面的平面去截，截面是圆； 正方体，用平面去截，截面只能是多边形，不可能是圆； 球，用任意平面去截，截面都是圆； 综上所述，截面不可能是圆的几何体是正方体． 【变式3】用一个平面去截下面的几何体，截面是四边形的几何体有______．（填序号） 【答案】①④⑤⑥ 【详解】解：用一个平面去截下面的几何体，截面是四边形的几何体有①④⑤⑥． 【变式4】若用一个平面去截六棱柱，则边数最多的截面的形状是（     ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【答案】C 【详解】解：用一个平面去截六棱柱时，最多与八个面相交得八边形，所以边数最多的截面形状是八边形． 1．下列选项中，说法正确的是（     ） A．五棱柱有7个面和10条侧棱 B．圆锥的侧面展开图是一个三角形 C．用一个平面去截圆柱，截面不可能是正方形 D．用一个平面去截正方体，其截面可能是三角形 【答案】D 【详解】解：A.∵五棱柱有7个面，但侧棱共5条， ∴A错误； B.∵圆锥的侧面展开图是扇形，不是三角形， ∴B错误； C.∵当圆柱的高等于底面直径时，用垂直于底面的平面截圆柱，截面可为正方形， ∴C错误； D.∵用平面截正方体的一个角时，截面可以是三角形， ∴D正确． 2．先把直角三角形按放大，若都以直角边所在的直线为轴旋转一周，放大后旋转形成的立体图形体积是原来三角形旋转形成的立体图形体积的（     ）倍． A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】D 【详解】解：直角三角形以直角边为轴旋转一周得到圆锥，其中为圆锥的高，另一条直角边为圆锥的底面半径， 按放大后，三角形的各边均变为原来的3倍，即圆锥的底面半径和高均变为原来的3倍， 由圆锥体积公式，得体积变为原来的倍． 3．用一个平面去截四棱锥，截面不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：四棱锥共有5个面，用平面去截四棱锥，截面多边形的边数最多为5，最少为3， 即截面可能是三角形、四边形或五边形，不可能是六边形． 4．将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到下图中所示的立体图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图， 可知得到所示的立体图形是． 5．用一个平面去截下列几何体，截面的形状不可能是长方形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：用一个平面去截球，截面都是圆，不可能是长方形，因此选项B符合题意． 6．如图，已知长方形的长为a、宽为b，将这个长方形分别绕它的长和宽旋转一周可以得到两个圆柱，这两个圆柱的侧面积分别记为和，则______．（填“>”、“<”或“=”） 【答案】 【详解】解：分别计算出和，得： 、， ∴． 7．有下列几何体，其中截面可能是长方形的有___________．（填序号） 【答案】①②③ 【详解】解：逐个分析每个几何体的截面可能性： ①正方体：沿着平行于正方体任意一个面的方向斜切/竖切，都可以截出长方形（特殊情况可得到正方形，正方形属于特殊的长方形），符合要求． ②圆柱：沿着竖直方向、平行于圆柱轴线的平面去截圆柱，得到的截面就是长方形，符合要求． ③长方体：沿着平行于长方体任意一个面的方向切割，很容易截出长方形，符合要求． ④球：无论用什么平面去截球，得到的截面只能是圆形，不可能出现长方形． ⑤圆锥：它的截面只可能是圆、椭圆、三角形，无法得到长方形． 因此截面可能是长方形的是①②③． 8．如图，是一个食品包装盒的表面展开图（长度单位：）． (1)请写出这个包装盒的几何体名称：________；它有________条棱，有________个顶点； (2)用一个平面去截该几何体，截面形状不可能是________（填序号）：①三角形；②长方形；③五边形；④六边形． (3)求该几何体所有侧面面积之和． 【答案】(1)三棱柱，9，6 (2)④ (3) 【详解】（1）解：根据展开图，该几何体是三棱柱，它有9条棱，有6个顶点； （2）解：∵三棱柱有5个面， ∴用一个平面去截该三棱柱，截面形状可以是三角形，长方形，五边形，不可能是六边形， 故④符合题意； （3）解：， 答：该几何体所有侧面面积之和为． 9．按要求完成下列各题： (1)如图1所示的六棱柱中，它的底面边长都是，侧棱长为，这个棱柱共有___________个面，___________条棱，它的侧面积是___________ (2)如图2，有一个长，宽的长方形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴旋转180°，可按两种方案进行操作． 方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图（1）； 方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图（2）． 请通过计算说明哪种方案得到的几何体的体积大． 【答案】(1)8，18，192 (2)方案一： 方案二： ． 方案一构造的圆柱的体积大． 【详解】（1）解：这个棱柱共有8个面，条棱， 侧面积为； （2）略 10．如图，某车间制作一种直立式储物构件，它的所有棱长均为2cm，请解答下列问题： (1)该几何体的名称是________棱柱，共有________个顶点，________条棱，________个面． (2)用一个平面去截这个六棱柱，截面形状可能是________、________（写出你认为可能的两种形状）． (3)若要给这个储物构件的所有侧面都喷上红色的漆，计算喷漆的面积． 【答案】(1)六；；；． (2)三角形、六边形（答案不唯一，四边形、五边形亦可）． (3)喷漆面积为 ． 【详解】（1）解：由图可知该几何体为六棱柱． 顶点数 ；棱数 ；面数 ． （2）解：用一个平面去截六棱柱，若平面只与三个相邻侧面相交，截面为三角形；若平面平行于底面去截，截面为六边形． 因此截面形状可能是三角形、六边形（也可以是四边形、五边形）． （3）解：六棱柱共有 个侧面，每个侧面都是长、宽均为 的正方形． 每个侧面的面积为 ． 所以喷漆面积为 ． 1．元宵节是我国重要的传统节日之一，各地以“闹”为主题的活动形式多样，有踩高跷、猜灯谜等民俗活动，其节令特色食品是“元宵”．如果“元宵”可以看成一个球，用一个平面去截该几何体，那么截面的形状是（     ） A．正方形 B．圆 C．三角形 D．长方形 【答案】B 【详解】解：根据球体的几何性质，用一个平面去截球，所得截面的形状总是圆． 当平面通过球心时，截面是最大的圆（大圆）； 当平面不通过球心时，截面是较小的圆． 截面是圆． 2．把一个棱长为的正方体切成两个长方体，这两个长方体表面积的和是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【详解】解：原正方体表面积为，新增切面的总面积为， 两个长方体表面积的和为. 3．下列结论中，说法正确的是（     ） A．长方体的截面形状一定是长方形 B．正方体的截面可能是七边形 C．棱柱侧面的形状可能是一个三角形 D．一个棱柱有12条棱，则这个棱柱有6个面 【答案】D 【详解】解：A选项，长方体的截面形状随截取角度和位置变化，可能为三角形、梯形、五边形、六边形等，并非一定是长方形，故A不符合题意； B选项，正方体共有6个面，平面截正方体时，截面多边形的边数最多等于正方体的面数，即最多为六边形，不可能是七边形，故B不符合题意； C选项，根据棱柱的定义，棱柱的所有侧面均为四边形，不可能是三角形，故C不符合题意； D选项，棱柱的总棱数为条，已知棱柱有条棱，可得，解得，即该棱柱为四棱柱，棱柱的面数为，代入得面数为，故D符合题意． 4．用一个平面去截如图所示的五棱柱，得到的截面形状不可能是（     ） A．三角形 B．八边形 C．六边形 D．五边形 【答案】B 【详解】解：五棱柱有5个侧面和2个底面，共7个面； ∵截面多边形的边数不超过立体图形的面数； ∴截面多边形的边数最多为7； ∵八边形有8条边，； ∴截面形状不可能是八边形. 5．“像牛毛，像花针，像细丝，密密地斜织着”，朱自清把雨比作“牛毛”“花针”和“细丝”，形象地说明了（     ） A．点是由线与线相交而成 B．面动成体 C．线动成面 D．点动成线 【答案】D 【详解】解：单个雨滴可看作点，雨滴下落的运动轨迹形成线，与题干中“牛毛”“花针”“细丝”的线的形态对应，符合点动成线的结论. 6．如图是圆柱被一个平面斜切后得到的几何体，几何体的体积为_____．（结果保留） 【答案】 【详解】解：由图可知，两个完全相同的该几何体倒置拼合，可以组成一个底面半径为，高为的圆柱，那么该几何体的体积就为拼合后圆柱体积的一半， 几何体的体积. 7．一个直角三角形两条直角边长分别是和，以其中一条直角边为轴旋转一周，得到几何体的体积为________． 【答案】或 【详解】解：旋转后得到的几何体为圆锥，分两种情况计算体积： 当以的直角边为轴旋转时，圆锥底面半径，高，圆锥体积公式为，代入得； 当以的直角边为轴旋转时，圆锥底面半径，高，代入体积公式得； 因此所得几何体的体积为或. 8．在2025年举行的纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵仪式中，空军八一飞行表演队飞过后留下的彩烟轨迹，以其精美的设计和深刻的寓意，成为空中梯队最绚丽的风景，这一现象用数学知识可解释为___． 【答案】点动成线 【详解】解：飞机在空中飞行时，可视为一个点在运动，其留下的彩烟轨迹就是该点运动所形成的图形，即线，这体现了点动成线的数学知识． 9．某公司生产一种仿蜂巢形状的直立式储物箱，如图所示，它是一种常见的几何体，底面边长都是，侧棱长是，请解答下列问题： (1)该几何体的名称是______棱柱，共有______个面； (2)用一个平面去截这个几何体，截面形状可能是______，______（写出你认为可能的两种形状）； (3)若用丝带给这个储物箱的每条棱上都包上边，所需丝带的长度是多少？ 【答案】(1)六，8 (2)三角形，四边形（答案不唯一） (3)所需丝带的长为 【详解】（1）解：该几何体的名称是六棱柱，共有个面； （2）解：用一个平面去截这个几何体，截面形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形、七边形，八边形，不可能是九边形； （3）解：若用丝带给这个几何体的每条棱上都缠上边所需丝带的长为：， 答：所需丝带的长为． 10．某大厦的旋转门（图1）内部由三块宽为、高为的长方形玻璃隔板组成，图2所示的长方形是其中一块隔板的示意图． (1)将图2的长方形绕轴旋转一周形成的几何体是_______________； (2)则（1）中能说明的事实是______________（选择正确的一项填入）． A．点动成线    B．线动成面    C．面动成体 (3)求图2的长方形绕轴旋转一周形成的几何体的体积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱 (2)C (3) 【详解】（1）解：将图2的长方形绕轴旋转一周形成的几何体是圆柱． （2）解：（1）中能说明的事实是面动成体． （3）解：图2的长方形绕轴旋转一周形成的几何体是圆柱，其体积为， 答：图2的长方形绕轴旋转一周形成的几何体的体积为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $