6.1.2 点、线、面、体 同步课堂 2025-2026学年人教版（2024）七年级 数学上册

本讲义聚焦初中数学“点、线、面、体”核心知识点，系统梳理从概念（体、面、线、点的定义及分类）到关系（点动成线、线动成面、面动成体），再到应用（几何体表面积体积计算、欧拉公式、组合图形正方体个数、展开图相对面判断）的递进学习支架。 资料通过旋转平面图形形成几何体、书房笔筒等实例培养几何直观与空间观念（数学眼光），结合欧拉公式应用、三视图计算发展推理意识与运算能力（数学思维），生活情境例题助力用数学语言表达现实世界。结构清晰，例题习题搭配，课中辅助教学，课后帮助查漏补缺。

►第六章 几何图形初步 6.1.2 点、线、面、体 ■重点01 点、线、面、体的应用 1 ■重点02 计算几何体的表面积或体积 5 ■难点01 立体图形的顶点数、面数与棱数的关系 8 ■难点02 判断组合图形中正方体的个数 12 ■易错点 判断正方体展开图中相对的面 15 ■重点01 点、线、面、体的应用 1．体：几何体也简称体． 长方体、圆柱体、球、圆锥等都是几何体． 2．面：包围着体的是面．面分为平面和曲面两种． 如下图的圆锥体有2个面，一个是平面，另一个是曲面． 如下图的六棱柱有8个面，它们都是平面． 如下图的圆柱有3个面，2个是平面，另一个是曲面． 3．线：面与面相交的地方形成线． 线分为直线和曲线两种．如圆锥体的两个面相交形成曲线． 4．点：线与线相交的地方形成点． 1．点动成线，线动成面，面动成体．点是构成图形的基本元素，点、线、面、体经过运动变化，就组成了各种各样的几何图形． 2．几何体有简单几何体和组合几何体．如正方体、长方体、圆柱、圆锥、球等都是简单几何体．简单几何体组合在一起，就构成了组合几何体． 3．平面图形绕着不同的边旋转时会形成不同的几何体． 【例】　（2025秋•海安市月考）如图的图形绕虚线旋转一周，可以得到的几何体是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形绕一条直角边旋转一周可得几何体是圆锥． 【解答】解：根据直角三角形绕一条直角边旋转一周可得几何体可得： 如图的图形绕虚线旋转一周，可以得到的几何体是圆锥． 故选：B． 【练1】　（2024秋•岳池县期末）将如图所示的平面图形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据面动成体以及圆台的特点进行逐一分析，能求出结果． 【解答】解：根据题意可知，平面图形绕直线l旋转一周，得到的立体图形为：圆台． 故选：C． 【练2】　（2025秋•荔湾区期末）如图所示的是悦悦书房的笔筒，把下列图形绕直线l旋转一周，能大致形成这个笔筒的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“面动成体”进行解答即可． 【解答】解：笔筒可以近似看作圆柱体， 选项C中的平面图形绕直线l旋转一周，可以得到圆柱体， 故选：C． 【练3】　（2024秋•陕西期末）如图，将平面图形绕虚线旋转一周得到的几何体是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点、线、面、体之间的关系即可求解． 【解答】解：由点、线、面、体之间的关系及图形的旋转性质，可知将平面图形绕虚线旋转一周得到的几何体是C． 故选：C． ■重点02 计算几何体的表面积或体积 1．先根据从三个方向看到的形状图，想象出几何体的形状． 2．由形状图中标出的数据找出几何体对应的数据． 3．根据体积公式或面积公式进行计算． 常见的几种几何体的表面积的计算公式： （1）圆柱体表面积：2πR2+2πRh（R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高） （2）圆锥体表面积：πr2+（r为圆锥体底面圆半径，h为其高，n为圆锥侧面展开图中扇形的圆心角） （3）长方体表面积：2（ab+ah+bh）（a为长方体的长，b为长方体的宽，h为长方体的高） （4）正方体表面积：6a2（a为正方体棱长）． 【例】　（2025秋•中站区期中）如图是一个几何体的三视图，根据图中提供的数据，计算这个几何体的表面积是　　 ． 【答案】60π+48． 【分析】由三视图知，该几何体是底面半径为4、高为6的圆柱被沿高的方向切掉一个圆的几何体，再列式计算其侧面积和底面积的和即可． 【解答】解：由三视图知，该几何体是底面半径为4、高为6的圆柱被沿高的方向切掉一个圆的几何体， 所以其表面积为 ＝60π+48， 故答案为：60π+48． 【练1】　（2025秋•通川区校级期中）如图，图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，，，已知S俯＝6，则x的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】解决此题的关键是根据三视图的面积得到长方体的长和宽用x表示出来，得到关于x的一元二次方程求解即可． 【解答】解：∵，， 又∵长方体的高为x， ∴长方体的长为x+2，宽为x+1， ∴S俯＝（x+2）（x+1）＝6， 即x2+3x+2＝6， 解得：x1＝﹣4，x2＝1， ∵x为正数， ∴取x＝1， 故选：A． 【练2】　（2025秋•济阳区期中）用卡纸做长方体无盖纸盒，已经在卡纸上画出了两个相邻的面（如图）．按这样的规格制作，可以做出不同的纸盒．其中用卡纸面积最多的纸盒需要卡纸总面积为（粘接处忽略不计）（　　） A．188cm2 B．208cm2 C．224cm2 D．248cm2 【答案】C 【分析】画出用卡纸面积最多的展开图，由展开图的面积计算即可． 【解答】解：如图，此时用卡纸面积最多，10×6×2+10×4×2+4×6＝224（cm2）， 故选：C． 【练3】　（2025秋•迎泽区校级月考）一个长方体的主视图与左视图如图所示，则这个长方体的体积为　　 cm3． 【答案】60． 【分析】由所给的视图判断出长方体的长、宽、高，根据长方体的体积公式计算即可． 【解答】解：由主视图可知，这个长方体的长和高分别为5和3， 由左视图可知，这个长方体的宽和高分别为4和3， 因此这个长方体的长、宽、高分别为5、4、3， 因此这个长方体的体积为5×4×3＝60（cm3）． 故答案为：60． ■难点01 立体图形的顶点数、面数与棱数的关系 1．柱体及由柱体经切割后形成的几何体，它们的顶点数、棱数、面数之间有一定的关系，通过观察具体图形，可发现一般规律，应用一般规律，也可以解决其他相关的问题．图形中顶点数、棱数、面数等的规律一般是某种和、差、倍的关系． 2．简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间的关系为：V+F﹣E＝2．这个公式叫欧拉公式．公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律． 柱体及由柱体经切割后形成的几何体，它们的顶点数、棱数、面数之间有一定的关系，通过观察具体图形，可发现一般规律，应用一般规律，也可以解决其他相关的问题．图形中顶点数、棱数、面数等的规律一般是某种和、差、倍的关系． 【例】　（2015秋•游仙区校级期末）欧拉公式中，多面体的面数F，棱数E，顶点数V之间的正确关系是（　　） A．F+V﹣E＝2 B．F+E﹣V＝2 C．E+V﹣F＝2 D．E﹣V﹣F＝2 【答案】A 【分析】根据欧拉公式进行解答即可． 【解答】解：凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E满足如下关系：V+F﹣E＝2 故选：A． 【练1】　（2025秋•陕西期中）七棱柱的顶点数、棱数、面数依次为（　　） A．7、14、9 B．14、21、9 C．14、14、7 D．21、14、7 【答案】B 【分析】n棱柱的顶点数为2n，棱数为3n，面数为n+2，据此即可求解． 【解答】解：∵n棱柱的顶点数为2n，面数为n+2，棱数为3n， 故七棱柱的顶点数＝2×7＝14、面数＝7+2＝9，棱数＝3×7＝21． 故选：B． 【练2】　（2024秋•海州区校级月考）十八世纪数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（v），面数（f），棱数（e）之间存在一个有趣的数量关系：v+f﹣e＝2，这就是著名的欧拉定理．某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形拼接而成，且有28个顶点，每个顶点都3条棱，设该多面体外表面三角形个数是x个，八边形的个数是y，则x+y＝ 　　 ． 【答案】16． 【分析】得到多面体的棱数，求得面数即为x+y的值． 【解答】解：∵多面体有28个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线； ∴多面体共有28×3÷2＝42条棱， 由顶点数（v），面数（f），棱数（e）之间存在一个有趣的数量关系：v+f﹣e＝2， 得28+f﹣42＝2，解得f＝16， ∴x+y＝16． 故答案为：16． 【练3】　（2025秋•稷山县校级月考）综合与实践 【问题背景】十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： 【解决问题】 （1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 　4　 　4　 　6　 长方体 　8　 　6　 　12　 正八面体 　6　 　8　 　12　 正十二面体 　20　 　12　 　30　 【发现规律】 （2）你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是　 ． 【规律运用】 （3）一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，求这个多面体的顶点数？ 【答案】（1）表格如下： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 （2）V+F﹣E＝2； （3）20． 【分析】（1）数出各个多面体的顶点、面、棱的数量填入表格即可，其中正十二面体的顶点和棱比较难数，正十二面体是由12个正五边形面组成的，每顶点连着3个面，所以顶点数为12×5÷3＝20个，每条棱连着两个面，所以棱数为12×5÷2＝30个； （2）从表格观察发现：顶点数+面数﹣棱数＝2； （3）由一个多面体的面数比顶点数小8可得顶点数（V）、面数（F）的关系，代入顶点数+面数﹣棱数＝2即可求解． 【解答】解：（1）填入表格如下： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 （2）观察发现：V+F﹣E＝2， 故答案为：V+F﹣E＝2； （3）由条件可知F＝V﹣8， ∴V+V﹣8﹣30＝2， 解得V＝20， 故这个多面体的顶点数为20个． ■难点02 判断组合图形中正方体的个数 1．先根据从上面和从左面看到的形状图确定层数及列数，再判断每层由多少个小正方体组成． 2．由不完整的形状图推测小正方体的个数时，先根据已知形状图判断能确定的层数和某层中小正方体的个数，对于不能确定的小正方体的个数和层数，进行分类讨论． 从不同方向看小正方体组合体的方法： （1）从前面看，所得的形状图反映几何体的左右列数和每一列的上下层数． （2）从左面看，所得的形状图反映几何体的前后行数和每一行的上下层数． （3）从上面看，所得的形状图反映几何体的前后行数和每一行的左右列数． 【例】　（2024秋•垦利区校级月考）下面这个几何体，是由10个小正方体组成的．想一想，至少再摆上 　　 个小立方体，它就能拼成一个长方体了． 【答案】8． 【分析】根据几何体特征即可求解． 【解答】解：这个几何体是由10个小正方形组成的， 3×3×2﹣10＝8（个） 至少再摆上8个小立方体，它就能拼成一个长方体了， 故答案为：8． 【练1】　（2023秋•市北区校级月考）由若干个相同的小正方体搭成的几何体如图所示，若要围成一个长方体，则至少还需要再添加 　　 个这样的小正方体．若要围成一个正方体，则至少还需要再添加 　　 个这样的小正方体． 【答案】5；20． 【分析】由视图可知围城长方体与正方体需要添加的小正方体数． 【解答】解：由若干个相同的小正方体搭成的几何体如图所示，若要围成一个长方体，则至少还需要再添加5个这样的小正方体．若要围成一个正方体，则至少还需要再添加 20个这样的小正方体． 故答案为：5；20． 【练2】　（2025秋•介休市期中）一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，从左面和上面看这个几何体的形状如图所示，则搭成该几何体最多需要小正方体（　　）个． A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【分析】首先由从上面看到的几何体的形状可知，最底层小正方体的个数，由从左面看到的几何体的形状可知，从上面看到的几何体中，各个位置的层数，即可得出答案． 【解答】解：根据题意可知：从上面看到的几何体形状中各个位置的层数，如图所示： ∴3+3+3+2+2+1＝14（个）． 搭成该几何体最多需要小正方体个数为14个， 故选：B． 【练3】　（2025春•红河州期末）如图的几何体由7个相同的小正方体搭成，从正面看到的平面图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据从正面看所得到的图形判断即可． 【解答】解：从正面看到的平面图形为：． 故选：A． ■易错点 判断正方体展开图中相对的面 正方体展开图找对面的规律： 通过正方体展开图找相对面时，首先在同一层四个或三个连续相连的正方形中隔一面寻找再在异层中隔两面寻找，剩下的两面自然相对． 1．对于“141”型展开图，在中间4个正方形中，第一和第三、第二和第四个正方形在原正方体中是相对的面，两边的两个正方形是相对的面． 2．立体图形中相对的两个面在展开图中既没有公共边，也没有公共点． 【例】　（2024秋•乌兰察布期末）同学参观完集宁战役红色纪念园，制作了一个写着“传承红色文化”六个字的正方体表面展开图后，在拼成正方体后，“红”的对面是（　　） A．传 B．承 C．文 D．化 【答案】D 【分析】正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答． 【解答】解：在拼成正方体后，“红”的对面是“化”． 故选：D． 【练1】　（2025秋•朝阳区校级期中）将“中国航天精神”这六个汉字分别写在某正方体的表面上，“中”的对面是“精”，下面是它的平面展开图的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法：一线隔一个，即可解答． 【解答】解：将“中国航天精神”这六个汉字分别写在某正方体的表面上，“中”的对面是“精”，下面是它的平面展开图的是： 故选：B． 【练2】　（2024秋•夏津县期末）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“设”字一面的相对面上的字是（　　） A．美 B．丽 C．夏 D．津 【答案】C 【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 【解答】解：由题意可得可得：有“设”字一面的相对面上的字是“夏”， 故选：C． 【练3】　（2024秋•巴音郭楞州期末）已知将下面的图形折成一个正方体纸盒后，数字“9”与其相对面上的数互为相反数，数字“﹣13”与其相对面上的数互为倒数，数字“5”与其相对面上的数的和为﹣3，则a﹣3b﹣26c的值为（　　） A．﹣3 B．﹣15 C．﹣11 D．1 【答案】D 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间相隔一个正方形，根据这一特点确定9的相对面是a+b，﹣13的相对面是c，5的相对面是a﹣1，再根据题意求出a，b，c的值，然后求解即可． 【解答】解：由图可得9的相对面是a+b，﹣13的相对面是c，5的相对面是a﹣1， 由题意可得：a+b＝﹣9，，5+a﹣1＝﹣3， 解得a＝﹣7，b＝﹣2，， ∴， 故选：D． 学科网（北京）股份有限公司 $