专题01 线段与角中的分类讨论问题，动点问题及折叠中求角度的五大类型（高效培优专项训练）数学新教材人教版七年级上册
|
2份
|
50页
|
9人阅读
|
0人下载
内容正文：
专题01 线段与角中的分类讨论问题，动点问题及折叠中求角度
题型一 线段的分类讨论问题
题型二 线段中的动点问题
题型三 角中的分类讨论问题
题型四 角中的运动问题
题型五 折叠中求角的度数
题型一：线段的分类讨论问题
1．已知A、B、C在同一条直线上，线段，，则线段等于（ ）．
A． B． C．或 D．不能确定
2．已知线段，点是直线上的一点，．若是的中点，是的中点，则线段的长度是（ ）．
A．或 B． C． D．或
3．已知数轴上两点，A点表示的数是，B点表示的数是9，点C是数轴上一点，若，则线段AC的长为（ ）
A． B． C．或 D．
4．已知，点，，在同一条直线上，点，分别是，的中点，如果，．那么线段长度为（ ）
A． B． C．或 D．或
5．如图，数轴上点A和点B表示的数分别为和2，C是数轴上的一个点，且，则点C所表示的数为（ ）
A． B．5 C．或5 D．或8
6．已知线段，点C在直线上，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．或
7．线段，是直线上的一点，，则的长度为_____________．
8．如图，为线段上一点，为的中点，，．若点在线段上，且，则的长为________．
9．已知线段，直线上有一点C，且，点M是线段的中点，点N是线段的中点，则_______．
10．线段，点是的中点，点在直线上，若，则的长为________．
题型二：线段中的动点问题
11．如图，数轴上两点之间的距离为1个单位长度，两点之间的距离为3个单位长度．现有一动点P从点A开始沿该数轴的正方向运动，到达点C停止．若运动过程中，点P到三点的距离之和的最大值为x，最小值为y，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．如图，线段，动点从出发，以的速度沿运动，为的中点，为的中点．以下说法正确的是（ ）
①运动后，；
②的值随着运动时间的改变而改变；
③的值不变；
④当时，运动时间为．
A．①② B．②③ C．②④ D．②③④
13．如图，点是线段上一定点，，，两点分别从点，出发以，的速度在线段上运动，运动方向如图中箭头所示（点在线段上，点在线段上），若一个点到达终点时，运动停止．下列结论，错误的是（ ）
A．若，当点，运动了，此时，；
B．当点，运动了时，求的值为；
C．若点，运动时，总有，则；
D．若，是直线上一点，且，则．
14．已知有理数a，b满足：，如图，线段在直线上运动（点B在点C的左侧），，，下列结论中正确的是（ ）
①，；
②当点B与点O重合时，点C恰好为线段的中点；
③当点B与点A重合时，若点P是线段延长线上的点，则；
④在线段运动过程中，若点M为线段的中点，点N为线段的中点，则线段的长度不变．
A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④
15．如图，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，四点之中相邻两点之间的距离相等，光点P沿着直线从点A运动到点D，当光点P到A，B，C，D四点中至少两点的距离相等时，光点P就会发出红光，则光点P发出红光的次数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
16．如图，点、是直线上的两点，，点在线段上，且，点、点是直线上的两个动点，点的速度为，点的速度为，点、分别从点，同时出发沿某一方向在直线上运动，则经过______时，线段的长为．
17．数轴上的点、、、所表示的数如图所示，点为线段的中点，线段沿数轴以每秒2个单位长度向右平移，同时，点沿数轴以每秒个单位长度向左平移．当点和点重合时同时停止运动、若在运动过程中始终满足，则的值为_____．
18．如图，数轴上线段，，线段向右运动，同时线段以相同的速度向左运动，点M，N分别是和的中点，当点B在线段上且未到达中点时，的长为______．
19．已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）．
(1)若；当点 C、D运动了，此时 ， ．（直接填空）
(2)若，点C、D运动时是否存在？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由．
(3)若点C、D运动时，总有，N是直线上一点，且，则 （直接填空）．
20．已知：M是线段上一定点，C，D两点分别从M，B出发以，的速度沿直线向A，M运动，运动方向如箭头所示．
(1)若，当点C，D运动2秒时，求的值．
(2)若C，D运动时，总有，则____________
(3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，的值为__________．
题型三：角中的分类讨论问题
21．已知，过点作射线､，使，是的平分线，则的度数为（ ）
A． B．或 C． D．或
22．已知：在同一平面内，，，且是的角平分线，则（ ）
A． B． C．或 D．或
23．已知，在同一平面内，，射线在的外部，平分，平分，若，则的度数为（ ）
A． B．或 C．或 D．或
24．已知，，平分，则等于（ ）
A． B． C．或 D．或
25．已知，，平分，平分，则的度数是（ ）
A． B． C．或 D．或
26．已知平分，，则的度数为（ ）
A． B．或 C． D．或
27．若，，射线，分别是，的角平分线，则________．
28．若，，则____________；若是的平分线，是的平分线，则____________．
29．已知在同一平面内，，，是的平分线，则的度数为__________．
30．如图，，平分，若过点作射线，使，则的度数为______________．
题型四：角中的运动问题
31．如图1，一副三角板的两个直角重叠在一起，，．固定不动，绕着O点顺时针旋转，若绕着O点旋转到图2的位置，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
32．如图，将一副三角板角和角的顶点A叠放在一起，将三角板绕点A转动，在转动过程中三角板的边始终在的内部．对于下列结论，判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：的值保持不变；
结论Ⅱ：的值保持不变
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
33．如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度转动，同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度转动，直线保持不动，如图2，设转动时间为t（，单位：秒）当时，的度数是________；在转动过程中，当________时．
34．如图1，含有的直角三角板的边在直线上，如图2，将三角板绕点A以每秒的速度沿顺时针方向旋转t秒，旋转以后的射线记为，旋转以后的线段记为，当落在上时停止转动，在运动的过程中，射线平分，射线平分，当时，则t为______ ．
35．如图，，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针转动，经过后速度变为原来的一半，到达时停止；同时射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针转动，经过后速度变为原来的两倍，到达时停止，且其中一条射线停止后两条射线都停止运动．在运动过程中，当，，三条射线中其中一条平分另外两条射线构成的角时，所经过的时间为__________秒．
36．数学活动课上，小明用一副三角板进行如下操作：第一步：将一副直角三角板的两个顶点放在同一个点处，且边与边在同一直线上，如图所示；第二步：保持三角板不动，将三角板绕点逆时针转动，当与重合时停止转动．若在转动过程中，射线始终分别平分和，则除平角和三角板本身的角外，大小不会发生改变的角是__________，其度数为__________．
37．如图，为直线上一点，过点作射线，，将一直角三角板（）的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．经过______秒后，恰好评分；若三角板在转动的同时，射线也绕点以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图，那么经过______秒，平分？
38．一般地，从一个角的顶点引出的两条射线，把这个角分成三个相等的角，这两条射线称为这个角的三等分线．如图，直角三角板的直角顶点在直线上，过点作射线，使，将三角板绕点在直线上方转动，若转动到是的三等分线时，的度数为______．
39．问题情境
为直线上一点，将直角三角板和直角三角板的顶点重合在点处，其中，．
猜想证明
（1）将直角三角板按照如图1所示的方式放置，此时恰好是的平分线，求的度数．
拓展延伸
（2）如图2，数学小组的小明将三角板绕点顺时针旋转．
①当直角三角板的边与射线重合时，试说明．
②将图2中的直角三角板绕点逆时针转动（），使得，直接写出的度数．
40．大课间的广播操让我们感受到了一种整体的图形之美，小明和 小亮想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片（如图1）进行讨论．如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为A，B两点，两脚脚跟位置分别为C，D两点，A，B，C，D，O在同一平面内，O为定点，做操过程中将手脚运动看作A，B，C，D绕 点O进行转动，
（本题中的角均大于且小于或等于）
(1)如图2，已知A，O，B三点共线，且，则 °．
(2)如图3，第三节腿部运动中，小明发现手臂伸直使得A、O、B三点共线，，且时，动作最优美，求此时的度数．
(3)如图4，第四节体侧运动中，小亮发现，两腿左右等距张开，，平分，且．开始运动前A，O，B三点在同一水平线上，、同时绕点O顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒，当旋转到与重合时，运动停止．
①当运动停止时，请直接写出 °．
②在运动过程中，设运动时间为t．当时，是否存在常数m，使得为定值？若存在，求出常数m及该定值；若不存在，请说明理由
题型五：折叠中求角的度数
41．如图，在正方形中，E为边上一点，将正方形沿线段折叠，点C落在点F处，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
42．在折纸游戏中，小颖将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，为折痕，点，折叠后的对应点分别为，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
43．将长方形纸片的两个直角和沿直线折叠，得到如图，则互为余角的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
44．如图，把一张长方形的纸片按如图那样折叠后，C、D两点落在H、G点处，若得，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
45．如图，将长方形纸片的沿着折叠（点F在上，不与B，C重合），使点C落在线长方形内部点E处，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
46．如图1，在长方形中，点在边上，连接，，且，，分别沿直线，折叠并压平，如图2，则的度数为__________．
47．如图，将长方形纸片的一角作折叠，使顶点落在处，为折痕，将对折，使得落在直线上，得折痕，若恰好平分，则__________
48．如图①是一张正方形纸片，先将它对折，使得与重合，折痕是，再把这张正方形纸片展平，如图②所示，若点是线段上一点，然后沿着线段折叠，将线段折到的内部得线段，如图③所示．当时，的度数为________．（用含的代数式表示，结果可以不化简）
49．数学活动：折纸中的数学
【知识背景】我们在第六章《几何图形初步》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线．如图是教材第175页的探究，将纸片折叠使与重合，是折痕，此时与重合，所以，射线是的平分线．
【知识初探】
（1）如图（1），点P，Q分别是长方形纸片的对边上的点，连结，将和分别对折，使点A，B都分别落在上的和处，点C落在处，分别得折痕，则的度数是______；
【类比再探】
（2）如图（2），将长方形纸片分别沿直线，折叠，使点A，B分别落在点，处，，和不在同一条直线上，且被折叠的两部分没有重叠部分．
①若，，求的度数；
②若，求的度数（用含的式子表示）；
50．如图，长方形纸片中，为边上一点，为边上一点．沿折叠得，沿折叠得（、都在的内部），
记，，．
(1)直接写出，时，______；，时，______；
(2)求时，的值；
(3)当平分时，若，则______．（直接写出结果）
2 / 37
学科网（北京）股份有限公司
$
专题01 线段与角中的分类讨论问题，动点问题及折叠中求角度
题型一 线段的分类讨论问题
题型二 线段中的动点问题
题型三 角中的分类讨论问题
题型四 角中的运动问题
题型五 折叠中求角的度数
题型一：线段的分类讨论问题
1．已知A、B、C在同一条直线上，线段，，则线段等于（ ）．
A． B． C．或 D．不能确定
【答案】C
【详解】解：∵A、B、C三点共线，点C位置有两种可能，因此分情况计算：
当点C在线段的延长线上时；
当点C在线段上时；
综上，线段等于或．
2．已知线段，点是直线上的一点，．若是的中点，是的中点，则线段的长度是（ ）．
A．或 B． C． D．或
【答案】C
【详解】解：∵点是直线上一点，，，
∴分两种情况讨论：
①当点在点右侧时，，
∵是的中点，是的中点，
∴，，
∴；
②当点在点左侧时，
，
∵是的中点，是的中点，
∴，，
∴，
综上所述，线段的长度为．
3．已知数轴上两点，A点表示的数是，B点表示的数是9，点C是数轴上一点，若，则线段AC的长为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【详解】解：∵ A点表示的数是，B点表示的数是，
∴ ，
∵，
∴．
分两种情况讨论：
当点C在点B左侧时，；
当点C在点B右侧时，，
∴的长为或．
4．已知，点，，在同一条直线上，点，分别是，的中点，如果，．那么线段长度为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【详解】解：如图，当点在线段上时，
∵点是中点，点是中点，，，
∴，，
∴；
如图，当点在线段的延长线上时，
∵点是中点，点是中点，，，
∴，，
∴．
综上，线段的长度为或．
5．如图，数轴上点A和点B表示的数分别为和2，C是数轴上的一个点，且，则点C所表示的数为（ ）
A． B．5 C．或5 D．或8
【答案】D
【详解】解：由所给数轴可知，
因为数轴上点A和点B表示的数分别为和2，
所以．
因为，
所以，
则，，
所以点C表示的数为或8．
6．已知线段，点C在直线上，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【详解】解：①当点C在线段上时，
∵，，
∴；
②当点C在线段的延长线上时，
∵，，
∴；
综上，的长为或．
7．线段，是直线上的一点，，则的长度为_____________．
【答案】3或13
【详解】解：当点C在线段的延长线上，如图1，
∵，，
∴；
当点C在线段的延长线上，如图2，
∵，，
∴；
综上所述，的长度为或．
8．如图，为线段上一点，为的中点，，．若点在线段上，且，则的长为________．
【答案】4或8
【详解】解：∵，，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴或.
9．已知线段，直线上有一点C，且，点M是线段的中点，点N是线段的中点，则_______．
【答案】7或13
【详解】解：∵ 点是线段的中点，
∴ ；
∵ 点是线段的中点，
∴ ．
当点在线段上时，
；
当点在线段的延长线上时，
．
10．线段，点是的中点，点在直线上，若，则的长为________．
【答案】3或9/9或3
【详解】解：∵ ，，
∴
∵ 点是的中点，
∴ .
①当点在线段上时，.
②当点在的延长线上时，.
因此的长为或.
题型二：线段中的动点问题
11．如图，数轴上两点之间的距离为1个单位长度，两点之间的距离为3个单位长度．现有一动点P从点A开始沿该数轴的正方向运动，到达点C停止．若运动过程中，点P到三点的距离之和的最大值为x，最小值为y，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】解：由题意可知，
∵点在线段上运动，
∴，
∴点到，，三点的距离之和为，
当点与点重合时，取得最小值，此时距离之和最小，即，
当点运动到点时，取得最大值，此时距离之和最大，即，．
12．如图，线段，动点从出发，以的速度沿运动，为的中点，为的中点．以下说法正确的是（ ）
①运动后，；
②的值随着运动时间的改变而改变；
③的值不变；
④当时，运动时间为．
A．①② B．②③ C．②④ D．②③④
【答案】D
【详解】解：运动后，，，
M为的中点，
，
，故①错误；
设运动t秒，则，，
M为的中点，N为的中点，
，
，
的值随着运动时间的改变而改变，故②正确；
，，
，
的值不变，故③正确；
，，
，
解得：，故④正确．
综上可知，说法正确的是②③④．
13．如图，点是线段上一定点，，，两点分别从点，出发以，的速度在线段上运动，运动方向如图中箭头所示（点在线段上，点在线段上），若一个点到达终点时，运动停止．下列结论，错误的是（ ）
A．若，当点，运动了，此时，；
B．当点，运动了时，求的值为；
C．若点，运动时，总有，则；
D．若，是直线上一点，且，则．
【答案】D
【详解】解：A、∵，，
∴，
∵点，运动了，，两点分别从点，出发以，的速度在线段上运动，
∴，，
∴，，
∴不符合题意，故此选项错误；
B、∵点，运动了，
∴，，
∴，，
∴，
∴不符合题意，故此选项错误；
C、由，的运动速度可知，，
又∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴不符合题意，故此选项错误；
D、①如图所示，当点在线段上时，
∵，由C选项可知：，
又∵，，
∴，
∴，
∴；
②如图所示，当点在线段的延长线上时，
∵，
又∵，
∴，
∴，
综上可知，或，
∴符合题意，故此选项正确；
故选：D．
14．已知有理数a，b满足：，如图，线段在直线上运动（点B在点C的左侧），，，下列结论中正确的是（ ）
①，；
②当点B与点O重合时，点C恰好为线段的中点；
③当点B与点A重合时，若点P是线段延长线上的点，则；
④在线段运动过程中，若点M为线段的中点，点N为线段的中点，则线段的长度不变．
A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【详解】解：①∵，
∴，
∴，，
故①正确；
②当点B与点O重合时，
，
∴点C恰好为线段的中点，
故②正确；
③如图所示，点B与点A重合，
∴，
∴
，
故③正确；
④如图所示，令点对应数轴上的实数为0，则点对应数轴上的实数为4，
假设点对应数轴上的实数为，则点对应数轴上的实数为，
∵点M为线段的中点，
∴点对应数轴上的实数为；
∵点N为线段的中点，
∴点对应数轴上的实数为；
∴线段的长度为，
∴线段的长度不变，
故④正确；
综上，正确选项为①②③④，
故选：D．
15．如图，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，四点之中相邻两点之间的距离相等，光点P沿着直线从点A运动到点D，当光点P到A，B，C，D四点中至少两点的距离相等时，光点P就会发出红光，则光点P发出红光的次数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【详解】解：根据题意可知：
当点P经过任意一条线段中点时会发出红光，
∵图中共有线段、、、、、，
∵四点之中相邻两点之间的距离相等
∵和中点是同一个，
∴光点P发出红光的次数为5．
故选：C．
16．如图，点、是直线上的两点，，点在线段上，且，点、点是直线上的两个动点，点的速度为，点的速度为，点、分别从点，同时出发沿某一方向在直线上运动，则经过______时，线段的长为．
【答案】或或或
【详解】解：设经过秒时，线段的长为．
已知，，点的速度为，点的速度为，则，．
以点为原点，为单位长度，向右为正方向，则点的位置为．
①当点、均向右运动时，点的位置为，点的位置为，
∵，
∴，解得，(舍去)；；
②当点向左运动，点向右运动时，点的位置为，点的位置为，
∵，
∴，解得，(舍去)；；
③当点向右运动，点向左运动时，点的位置为，点的位置为，
∵，且，
∴，
当时，，解得；
当时，(舍去)；
④当点、均向左运动时，点的位置为，点的位置为，
∵，且，
∴，
当时，解得；
当时，(舍去)；
综上，满足条件的的值为或或或．
故答案为：或或或．
17．数轴上的点、、、所表示的数如图所示，点为线段的中点，线段沿数轴以每秒2个单位长度向右平移，同时，点沿数轴以每秒个单位长度向左平移．当点和点重合时同时停止运动、若在运动过程中始终满足，则的值为_____．
【答案】4
【详解】解：由题意得：开始运动前，点M 表示的数为：，，
开始运动后，，
∵，
∴，整理得：；
∵在运动过程中始终满足，
∴，解得：．
故答案为：4
18．如图，数轴上线段，，线段向右运动，同时线段以相同的速度向左运动，点M，N分别是和的中点，当点B在线段上且未到达中点时，的长为______．
【答案】6
【详解】解：设初始时点表示的数为，则点表示的数为，点表示的数为，则点表示的数为，
设线段和线段的运动速度为，运动时间为，
则运动后点表示的数为，则点表示的数为，点表示的数为，则点表示的数为．
点M，N分别是和的中点，
点M表示的数为，
点N表示的数为，
当点B在线段上且未到达中点时，
的长为．
故答案为：6．
19．已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）．
(1)若；当点 C、D运动了，此时 ， ．（直接填空）
(2)若，点C、D运动时是否存在？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由．
(3)若点C、D运动时，总有，N是直线上一点，且，则 （直接填空）．
【答案】(1)，；
(2)存在，；
(3)或
【详解】（1）解：当点 C、D运动了，，，
，，
，
；
（2）解：存在，
设运动时间为，则，，
，，
，，
，
，
解得：，
即点C、D运动时存在，运动时间为；
（3）解：设运动时间为，则，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，即，
点在点的右侧，
分两种情况讨论：
①当点在上时，，，
，
，
；
②当点在的延长线上时，，
，
，
；
综上可知，或．
20．已知：M是线段上一定点，C，D两点分别从M，B出发以，的速度沿直线向A，M运动，运动方向如箭头所示．
(1)若，当点C，D运动2秒时，求的值．
(2)若C，D运动时，总有，则____________
(3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，的值为__________．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【详解】（1）解：当点C、D运动了时，，，
，，，
．
（2）解：设运动时间为t，
则，，
，，
又，
，
即，
，
，
．
（3）解：当点N在线段 上时，如图
，
又，
，
，即．
当点N在线段 的延长线上时，如图：
，
又，
，即．
综上所述的值为或．
题型三：角中的分类讨论问题
21．已知，过点作射线､，使，是的平分线，则的度数为（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】B
【详解】解：根据题意得：
如图所示，当射线在内部时，
，，
，
是的平分线，
，
；
如图所示，当射线在外部时，
，，
，
是的平分线，
，
，
综上，或．
22．已知：在同一平面内，，，且是的角平分线，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【详解】解：当在的内部时，如图1所示，
，，
，
是的角平分线，
，
；
当在的外部时，如图2所示，
，，
，
是的角平分线，
，
；
综上所述，的度数为或．
23．已知，在同一平面内，，射线在的外部，平分，平分，若，则的度数为（ ）
A． B．或 C．或 D．或
【答案】B
【详解】解：由题意，分两种情况讨论：
①如图1，当和分别在两侧时，
∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴；
②如图2，当和分别在两侧时，
∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴；
综上，的度数为或．
24．已知，，平分，则等于（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【详解】解：①当在内部时，如图，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
②当在外部时，如图，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
综上，等于或，
故选：．
25．已知，，平分，平分，则的度数是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【详解】解：∵平分，，
∴，
∵平分，，
∴，
当射线和射线在射线的同侧时，则；
当射线和射线在射线的异侧时，则；
∴的度数是或．
故选：D．
26．已知平分，，则的度数为（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】D
【详解】解：∵，平分
∴．
情况1：当在外部时，如图，
∵
∴．
情况2：当在内部时
∵
∴．
综上，的度数为或，
故选：D．
27．若，，射线，分别是，的角平分线，则________．
【答案】或
【详解】解：分两种情况讨论：
当在内部时，
∵是的角平分线，，
∴，
∵是的角平分线，，
∴，
∴；
当在外部时，
∵是的角平分线，，
∴，
∵是的角平分线，，
∴，
∴，
综上，为或．
28．若，，则____________；若是的平分线，是的平分线，则____________．
【答案】 或 或
【详解】解：分两种情况讨论：
当在内部时，
，
平分，平分，
，，
；
当在外部时，
，
平分，平分，
，，
，
综上，或，或．
29．已知在同一平面内，，，是的平分线，则的度数为__________．
【答案】或
【详解】解：如图所示，当在的外部时，
则，
为的平分线，
；
如图所示，当在的内部时，
则，
为的平分线，
，
综上所述，的度数为或．
30．如图，，平分，若过点作射线，使，则的度数为______________．
【答案】或
【详解】解：，平分，
，
的位置分两种情况：
①在内部：
；
②在外部：
，
综上，答案为：或．
题型四：角中的运动问题
31．如图1，一副三角板的两个直角重叠在一起，，．固定不动，绕着O点顺时针旋转，若绕着O点旋转到图2的位置，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：根据题意得：，
∵，
∴，
∴．
32．如图，将一副三角板角和角的顶点A叠放在一起，将三角板绕点A转动，在转动过程中三角板的边始终在的内部．对于下列结论，判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：的值保持不变；
结论Ⅱ：的值保持不变
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
【答案】A
【详解】解：根据题意得：，
∴，，
∴，
∵在转动过程中三角板的边始终在的内部，
∴的值保持不变，故结论Ⅰ正确，
同理： ，，
∴，
∵在转动过程中三角板的边始终在的内部，
∴的值保持不变，故结论Ⅱ正确，
故选：A
33．如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度转动，同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度转动，直线保持不动，如图2，设转动时间为t（，单位：秒）当时，的度数是________；在转动过程中，当________时．
【答案】 150° 10或26或46
【详解】解：由题意，得，
当时，，
∴；
当在左侧时，此时，
即，
解得；
当在右侧时，此时，
即，
解得；
当和在两侧时，此时，
即，
解得，
在转动过程中，当或26,或46时，．
34．如图1，含有的直角三角板的边在直线上，如图2，将三角板绕点A以每秒的速度沿顺时针方向旋转t秒，旋转以后的射线记为，旋转以后的线段记为，当落在上时停止转动，在运动的过程中，射线平分，射线平分，当时，则t为______ ．
【答案】
【详解】解：，边在直线上，
，
，
，
当落在上时停止转动，则运动时间为，
如图所示，
由旋转的性质得：，，
，
射线平分，射线平分，
，，
，，
，
，
解得：．
35．如图，，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针转动，经过后速度变为原来的一半，到达时停止；同时射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针转动，经过后速度变为原来的两倍，到达时停止，且其中一条射线停止后两条射线都停止运动．在运动过程中，当，，三条射线中其中一条平分另外两条射线构成的角时，所经过的时间为__________秒．
【答案】或或
【详解】解：设运动时间为秒，
当运动到时的时间为（秒），
当运动到时的时间为（秒），
当运动到时的总时间为（秒），
当运动到时的总时间为（秒），
故当时两条射线停止运动．
（1）当射线运动到前，即时，
∵平分，
∴，
此时，
由题意得，无解，
∴此情况不成立；
（2）当射线运动到后，射线运动到前，即时，
如图1，平分，
∴，
此时，
由题意得，
解得；
如图2，平分，
∴，
∵，
∴，
解得；
（3）当射线运动到后，即时，
如图3，平分，
∴，
∵，
，
解得．
综上所述，满足题意的时间为或或秒．
36．数学活动课上，小明用一副三角板进行如下操作：第一步：将一副直角三角板的两个顶点放在同一个点处，且边与边在同一直线上，如图所示；第二步：保持三角板不动，将三角板绕点逆时针转动，当与重合时停止转动．若在转动过程中，射线始终分别平分和，则除平角和三角板本身的角外，大小不会发生改变的角是__________，其度数为__________．
【答案】 37.5
【详解】解：如图所示，随着的减小，可知也减小，先减小，后增大，逐渐减小，也在变化，逐渐增大；
当在上方时，
∵，
∴，
∴；
当在内部时，
∵，
∴，
∴；
当在下方时，
∵，
∴，
∴．
所以不变，其度数是．
故答案为：，37.5．
37．如图，为直线上一点，过点作射线，，将一直角三角板（）的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．经过______秒后，恰好评分；若三角板在转动的同时，射线也绕点以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图，那么经过______秒，平分？
【答案】 5
【详解】解：①如图2中，
∵∠AOC=30°，
∴∠BOC=180°∠AOC=150°，
∵OM平分∠BOC，
∴∠COM=∠BOM=∠BOC=75°，
∠AON=180°90°75°=15°，
∴s，
故答案为：5；
②根据题意，如图：OC平分∠MON；
∵∠MON=90°，
∴∠NOC=45°，
∴，
∵三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒5°的速度旋转，
设∠AON为3t，∠AOC为30°+5t，
∴，
解得：，
∴那么经过7.5秒，平分．
故答案为：7.5．
38．一般地，从一个角的顶点引出的两条射线，把这个角分成三个相等的角，这两条射线称为这个角的三等分线．如图，直角三角板的直角顶点在直线上，过点作射线，使，将三角板绕点在直线上方转动，若转动到是的三等分线时，的度数为______．
【答案】或
【详解】解：如图所示，当靠近时，则，
∴，
∵，
∴；
如图所示，当靠近时，则，
∴，
∵，
∴；
当靠近时，则或
∴或，此时均不符合题意；
综上所述，或，
故答案为：或．
39．问题情境
为直线上一点，将直角三角板和直角三角板的顶点重合在点处，其中，．
猜想证明
（1）将直角三角板按照如图1所示的方式放置，此时恰好是的平分线，求的度数．
拓展延伸
（2）如图2，数学小组的小明将三角板绕点顺时针旋转．
①当直角三角板的边与射线重合时，试说明．
②将图2中的直角三角板绕点逆时针转动（），使得，直接写出的度数．
【答案】（1）；
（2）①因为，，
所以．
因为，
所以，
所以．
②的度数为或
【详解】解：（1）因为，，
所以．
因为是的平分线，
所以．
因为，
所以．
（2）①略
②的度数为或．
当OD在OC的右侧时，如图1．
设，，
则，
所以，
所以，
所以；
当在的左侧时，如图2．
，
所以．
综上所述，当时，的度数为或．
40．大课间的广播操让我们感受到了一种整体的图形之美，小明和 小亮想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片（如图1）进行讨论．如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为A，B两点，两脚脚跟位置分别为C，D两点，A，B，C，D，O在同一平面内，O为定点，做操过程中将手脚运动看作A，B，C，D绕 点O进行转动，
（本题中的角均大于且小于或等于）
(1)如图2，已知A，O，B三点共线，且，则 °．
(2)如图3，第三节腿部运动中，小明发现手臂伸直使得A、O、B三点共线，，且时，动作最优美，求此时的度数．
(3)如图4，第四节体侧运动中，小亮发现，两腿左右等距张开，，平分，且．开始运动前A，O，B三点在同一水平线上，、同时绕点O顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒，当旋转到与重合时，运动停止．
①当运动停止时，请直接写出 °．
②在运动过程中，设运动时间为t．当时，是否存在常数m，使得为定值？若存在，求出常数m及该定值；若不存在，请说明理由
【答案】(1)90
(2)
(3)①105；②当时，存在常数，使得为定值．
【详解】（1）解：，，三点共线，
，
又，
，
解得：．
故答案为：90；
（2）解：∵，
设，则，
，，三点共线，
，
，
解得：，
，
；
（3）解：①平分，，
，
，
，，
，
的旋转时间为（秒），
运动停止时，旋转的角度为，
运动停止时，．
故答案为：105．
②当点、、三点共线时，（秒），
当时，，，
；
综上所述，当时，存在常数，使得为定值．
题型五：折叠中求角的度数
41．如图，在正方形中，E为边上一点，将正方形沿线段折叠，点C落在点F处，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由折叠可知，
，
，
，
．
故选：D．
42．在折纸游戏中，小颖将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，为折痕，点，折叠后的对应点分别为，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵折叠的性质，
∴，，
∴，
∴
∴，
故选B．
43．将长方形纸片的两个直角和沿直线折叠，得到如图，则互为余角的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】D
【详解】解：、根据题意得，原选项不符合题意；
、根据题意得，原选项不符合题意；
、根据题意得，原选项不符合题意；
、由题意得：得，，
∵，
∴，
∴与互余，符合题意；
故选：．
44．如图，把一张长方形的纸片按如图那样折叠后，C、D两点落在H、G点处，若得，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由折叠的性质得：，
，，
，
故选：A．
45．如图，将长方形纸片的沿着折叠（点F在上，不与B，C重合），使点C落在线长方形内部点E处，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由折叠可得，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
46．如图1，在长方形中，点在边上，连接，，且，，分别沿直线，折叠并压平，如图2，则的度数为__________．
【答案】
【详解】解：由折叠可得平分，平分，
∴，，
∴．
故答案为：．
47．如图，将长方形纸片的一角作折叠，使顶点落在处，为折痕，将对折，使得落在直线上，得折痕，若恰好平分，则__________
【答案】/30度
【详解】解：由翻折的性质可知：，，
恰好平分，
，
，
又，
，
又，
，
．
故答案为：．
48．如图①是一张正方形纸片，先将它对折，使得与重合，折痕是，再把这张正方形纸片展平，如图②所示，若点是线段上一点，然后沿着线段折叠，将线段折到的内部得线段，如图③所示．当时，的度数为________．（用含的代数式表示，结果可以不化简）
【答案】
【详解】解：由正方形可得
第一次折叠可得，
∴，
∴，
∴由第二次折叠可得，
∴
故答案为：．
49．数学活动：折纸中的数学
【知识背景】我们在第六章《几何图形初步》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线．如图是教材第175页的探究，将纸片折叠使与重合，是折痕，此时与重合，所以，射线是的平分线．
【知识初探】
（1）如图（1），点P，Q分别是长方形纸片的对边上的点，连结，将和分别对折，使点A，B都分别落在上的和处，点C落在处，分别得折痕，则的度数是______；
【类比再探】
（2）如图（2），将长方形纸片分别沿直线，折叠，使点A，B分别落在点，处，，和不在同一条直线上，且被折叠的两部分没有重叠部分．
①若，，求的度数；
②若，求的度数（用含的式子表示）；
【答案】（1）90°；（2）①；②
【详解】解：（1）由折叠可知：，
∵，
∴，
∴，
即：，
故答案为：；
（2）①由折叠可知：，
∵
∴
∴，
∴；
②若，
则，
∴，
∴；
50．如图，长方形纸片中，为边上一点，为边上一点．沿折叠得，沿折叠得（、都在的内部），
记，，．
(1)直接写出，时，______；，时，______；
(2)求时，的值；
(3)当平分时，若，则______．（直接写出结果）
【答案】(1)；
(2)或
(3)或
【详解】（1）解：由折叠可得：，，
，，
当，时，
，
即；
当，时，
，
即；
故答案为：；；
（2）当点在的左侧时，
，
，，
，
，
；
当点在的右侧时，
，
，，
，
，
，
或；
（3）平分，
，
由（2）知，当点在的左侧时，，
，
，
，
，
解得：；
由（2）知，当点在的右侧时，，
，
，
解得：；
综上所述，或，
故答案为：或．
2 / 37
学科网（北京）股份有限公司
$
资源预览图
