第六章 几何图形初步全章高频重难点题型突破（十大高频+六大重难题型，专项训练）数学新教材人教版七年级上册
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内容正文：
第六章 几何图形初步全章高频重难点题型突破
基础拿分：高频题型归纳
题型1 几何体的识别、展开图与截面 题型2 点、线、面、体
题型3 直线、射线、线段的表示与计数 题型4 “两点之间线段最短”及其应用
题型5 线段的和差与中点计算 题型6 角的度量、换算与钟面角
题型7 角的比较、角平分线 题型8 余角与补角
题型9 方位角及其应用 题型10尺规作图与作图语言
核心提升·重难题型归纳
题型1正方体展开图 题型2 欧拉公式
题型3 直线相交问题的交点个数问题 题型4 双中点与n等分点模型与动点问题
题型5 双角平分线与n等分线模型 题型6 三角板拼角、叠放与动角问题
综合攻坚·知能拔高
◆题型1 几何体的识别、展开图与截面
1．（26-27七年级上·广东佛山·期中）下列四个几何体中，是棱柱的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A是圆柱，B是三棱锥，C是球，D是三棱柱，
根据棱柱的定义可知D符合题意．
2．（26-27七年级上·陕西汉中·阶段检测）如图为小敏同学的几何体素描作品，该作品中不包含的几何体为（ ）
A．棱柱 B．球 C．圆锥 D．圆柱
【答案】D
【详解】解：观察素描作品可知，作品中含有球、六棱柱、正方体和圆锥四个几何体．
因为正方体和六棱柱的底面都是多边形，所以它们都是棱柱，即作品中包含棱柱、球和圆锥；而圆柱的上、下底面是圆，侧面是曲面，作品中没有这样的几何体．
所以该作品中不包含的几何体为圆柱．
3．（26-27七年级上·山东淄博·期中）如图，圆柱的高为，底面周长为，在外侧距离下底的点处有一只蚂蚁，它想吃到与点相对、且在圆柱外侧离上底面的点处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路径示意图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图所示，蚂蚁需爬行的最短距离为线段，
故选：A．
4．（26-27七年级上·山东青岛·期中）下列关于六棱柱的描述，错误的是（ ）
A．它的底面是六边形 B．它的所有棱长都相等
C．它是由8个面围成 D．它有12个顶点
【答案】B
【详解】解：．它的底面是六边形，说法正确，故该选项不符合题意；
．它的所有侧棱长都相等，所有棱长不一定相等，说法错误，故该选项符合题意；
．它是由8个面围成，说法正确，故该选项不符合题意；
．它有12个顶点，说法正确，故该选项不符合题意．
5．（26-27七年级上·山东青岛·期中）下列说法不正确的是（ ）
A．用一个平面去截一个正方体可能截得五边形
B．五棱柱有10个顶点
C．沿直角三角形某条边所在的直线旋转一周，所得的几何体为圆柱
D．用圆规画圆，属于“点动成线”的现象
【答案】C
【详解】解：A．因为正方体有六个面，所以用一个平面去截一个正方体，可能截得五边形，该说法正确；
B．棱柱有个顶点，五棱柱的顶点数为，该说法正确；
C．沿直角三角形的直角边所在直线旋转一周得圆锥，沿斜边所在直线旋转一周得两个同底圆锥的组合体，均不是圆柱，该说法错误；
D．用圆规画圆属于“点动成线”的现象，该说法正确．
6．（26-27七年级上·山东青岛·期中）用一个平面去截一个正方体，如果截去的几何体是三棱锥，则剩下的几何体的顶点最少有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】C
【详解】解：正方体原有8个顶点．
∵截去的几何体是三棱锥，截面为三角形，
∴三棱锥的4个顶点中3个在截面上，仅1个在截去侧.要使剩下的顶点最少，需新增顶点最少且去掉的原顶点最多．
∵当截面经过正方体的3个顶点时，新增顶点数为0，且截去侧的顶点为原正方体顶点，
∴仅去掉1个原顶点，剩下的顶点数为个．
7．（26-27七年级上·甘肃兰州·期中）一个漂亮的礼盒是底面为六边形的棱柱，那么它共有_____个顶点，_____个面，总棱数为______条．
【答案】
【详解】解：∵ 该棱柱的底面为六边形，即该几何体为六棱柱，
∴ 其结构包含上下两个全等的六边形底面，以及连接两底面的侧面与侧棱．
∵ 单个六边形底面有个顶点，
∴ 两个底面的顶点总数为 ．
∵ 棱柱包含个底面，侧面数量与底面边数相等，共个侧面，
∴ 总面数为 ．
∵ 单个六边形底面有条边，两个底面的棱总数为 ，
∵ 连接上下底面对应顶点的侧棱数量与底面边数相等，共条侧棱．
∴ 总棱数为 ．
8．（26-27七年级上·山东济南·期中）在航天科技领域，为了给航天器内的精密仪器设计冷却管道，工程师绘制出了如图所示的管道表面展开图．
(1)该几何体的名称是______________；
(2)根据图中所给信息，求该几何体的体积．（结果保留π）
【答案】(1)圆柱
(2)
【详解】（1）解：该几何体的名称是圆柱；
（2）解：底面圆的面积，
圆柱的体积．
9．（26-27七年级上·陕西·期中）某公司生产一种仿蜂巢形状的直立式储物箱，如图所示，它是一种常见的几何体，底面边长都是，侧棱长是，请解答下列问题：
(1)该几何体的名称是______棱柱，共有______个面；
(2)若用丝带给这个储物箱的每条棱上都包上边，所需丝带的长度是多少？
【答案】(1)六，8
(2)所需丝带的长为
【详解】（1）解：该几何体的名称是六棱柱，共有个面；
（2）解：若用丝带给这个几何体的每条棱上都缠上边所需丝带的长为：，
答：所需丝带的长为．
10．（26-27七年级上·陕西·期中）如图，这是一个几何体的表面展开图．
(1)用一个平面去截该几何体，截面形状可能是______填序号．
①三角形②四边形③六边形④七边形
(2)求该几何体的体积．
【答案】(1)①②③
(2)立方米
【详解】（1）解：根据几何体的展开图共有个面，且各面有长方形，
此几何体为长方体．
长方体有六个面，
用平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，
用一个平面去截长方体，截面的形状可能是三角形、四边形、六边形．
（2）解：立方米．
11．（26-27七年级上·陕西汉中·阶段检测）已知一个直棱柱有8个面，它的底面边长都是，侧棱长都是．
(1)该几何体的名称是 棱柱，共有 条棱；
(2)用一个平面去截这个几何体，截面形状可能是 ；（填序号）
①六边形；②七边形；③八边形；④九边形
(3)用丝带给这个几何体的每条棱上都缠上边，所需丝带的长度是多少厘米？
(4)这个棱柱的所有侧面的面积之和是多少？
【答案】(1)六，18
(2)①②③
(3)84厘米
(4)
【详解】（1）解：∵直棱柱有8个面，其中2个是底面，
∴侧面有6个，
∴该几何体的名称是六棱柱，共有条棱；
（2）解：用一个平面去截这个几何体，截面形状可能是六边形、七边形、八边形，不可能是九边形；
（3）解：若用丝带给这个几何体的每条棱上都缠上边所需丝带的长为，
．
答∶所需丝带的长为．
（4）解：因为六棱柱的底面边长都是，侧棱长都是，
所以每个侧面的面积为
因此侧面积为，
答：这个棱柱的所有侧面的面积之和是．
◆题型2 点、线、面、体
12．（26-27七年级上·河北石家庄·期中）下雨时汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净属于下列哪个选项的实际应用（ ）
A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对
【答案】B
【详解】解：雨刷可看作一条线，其运动时扫过的区域为面，属于线动成面的实际应用．
13．（26-27七年级上·甘肃兰州·期中）2026年神舟飞船返回舱返回地球，返回舱飞行划过的轨迹，体现的数学原理是（ ）
A．线动成面 B．面动成体 C．点动成线 D．以上都不对
【答案】C
【详解】解：将返回舱抽象为一个点，其飞行划过的轨迹为线，体现点动成线的数学原理．
14．（26-27七年级上·山东青岛·期中）下列现象中，能说明“点动成线”的是（ ）
A．钟面上秒针绕中心旋转一周 B．汽车雨刷在挡风玻璃上摆动
C．直角三角尺绕直角边旋转一周 D．用圆规画圆弧
【答案】D
【详解】解：A、B中，秒针、雨刷均可看作线段，运动后扫过平面区域，属于线动成面，不符合题意．
C中，直角三角尺可看作平面图形，绕直角边旋转一周形成立体图形，属于面动成体，不符合题意．
D中，圆规笔尖可看作点，画圆弧时点的运动轨迹为线，属于点动成线，符合题意．
15．（26-27七年级上·山东烟台·期中）汽车的雨刷器能把前挡风玻璃上的雨水刮干净，这一现象说明的数学事实是_______．①点动成线；②线动成面；③面动成体．（请填入正确答案的序号）
【答案】②
【详解】解：∵ 雨刷器的形态可抽象为一条线段，属于线的范畴，
又∵ 雨刷器摆动时扫过的区域是具有面积的平面区域，属于面的范畴，
∴ 该现象对应的数学事实为线动成面，即序号②．
16．（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）探究：有一长6cm，宽4cm的矩形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴，旋转180°，得到一个圆柱，现可按照两种方案进行操作：
方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图①；
方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图②．
(1)旋转后形成的几何体是_____，这体现了____________（点线面之间的关系）
(2)请通过计算说明哪种方法构造的圆柱体积大？
【详解】（1）解：旋转后的几何体为圆柱，体现了面动成体.
(2)解：根据圆柱的体积公式可得：
方案一：，
方案二：，
∵，
∴方案一构造的圆柱的体积大
◆题型3 直线、射线、线段的表示与计数
17．（25-26七年级上·福建福州·期末）下列几何图形与相应语言描述不相符的是（ ）．
A．如图乙所示，直线与直线交于点 B．如图甲所示，直线不经过点
C．如图丁所示，线段与射线一定相交 D．如图丙所示，点在线段上
【答案】D
【详解】A、B、C选项描述均正确，故不符合题意，
D选项描述不正确，应为“如图丙所示，点在直线上”，故符合题意．
18．（26-27七年级上·辽宁沈阳·开学考试）数一数，如图中一共有（ ）条线段．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：图中的线段有：，共条．
19．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）兰州市某公交线路上共设6个车站，则在这条线路上往返行车需要设计车票有（ ）
A．25种 B．15种 C．30种 D．21种
【答案】C
【详解】解：如图所示，兰州市某公交线路上共设6个车站，可看作六个点，则线段的总条数是，
因为要有往返车票，即两点之间是两种车票，所以应设计（种）．
故选：C．
20．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）某列车往返于武汉站与南昌西站，途经鄂州、黄石北与庐山站，列车迷贤哥想收集该列车所有不同的车票（起点或终点不一样都算不同的车票），则他需要购买（ ）张车票
A．6 B．10 C．15 D．20
【答案】D
【详解】解：将不同站点的车票抽象为线段，如下图所示：
上图共有线段（条），
因为起点或终点不一样都算不同的车票，
所以所有不同的车票有（张），
故选：D．
21．（26-27七年级上·四川成都·期中）如图所示，若图中共有a条线段，b条射线，c条直线，则_______．
【答案】30
【详解】解：如图，图中有线段，共条，即，
图中以为端点的射线有条，以为端点的射线有条，以为端点的射线有条，以为端点的射线有条，共条，即，
图中有直线，共条，即，
．
22．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）有6个点，每两个点之间连一条线段，6个点最多可以连成___________条不同的线段．
【答案】
【详解】解：要连成最多不同线段，需要任意三个点不共线，任意两点可连一条不同线段，按顺序统计不重复线段：第一个点可和其余个点连条线段，第二个点已和第一个点连线，可再连条不重复的新线段，第三个点已和前两个点连线，可再连条不重复的新线段，第四个点可再连条不重复的新线段，第五个点可再连条不重复的新线段，第六个点已和所有点完成连线，没有新线段，总线段数为 ．
◆题型4 “两点之间线段最短”及其应用
23．（25-26七年级上·四川南充·期末）小蕊认为从A地到B地，第③条路径最短，理由是（ ）
A．直线比曲线短 B．两点之间线段最短
C．两点之间直线最短 D．两点确定一条直线
【答案】B
【详解】解：如图，最短路径是③的理由是：两点之间线段最短．
24．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）年月日，汾石高速公路正式通车，标志着山西省提前一年完成“县县通高速”．施工过程中，修建桥梁、打通隧道都缩短了路程，其中体现的数学原理是________．
【答案】两点之间线段最短
【详解】解：由题意可知，修建桥梁、打通隧道是将原本弯曲的路线变为直的路线，根据线段的性质，在连接两点的所有线中，线段最短， 所以体现的数学原理是两点之间线段最短．
25．（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）操作题：如图，有一个正方体形状的桌子，正方形是它朝上的桌面，点是正方形的四个顶点，桌高是．
(1)一只蚂蚁要从正方形桌面的点爬行到点，请在图①中画出蚂蚁爬行的最短路线，并说明理由：_______；
(2)另有一只蚂蚁要从桌子脚的点（图中正方体的一个顶点）沿正方体桌子的外表面爬行到点，怎样爬行路线最短？请在图③中的横线上画出最短路线示意图．（画出一种即可）
【详解】(1)如图，连接，则为蚂蚁爬行的最短路线；理由为：两点之间线段最短；
故答案为：两点之间线段最短．
(2)如图，即为所求最短路线．
或或或
26．（24-25七年级上·湖北咸宁·期末）如图，甲、乙两个圆柱体，底面半径分别为，高均为．
(1)请分别画出它们的侧面展开图并标注各边长；
(2)请用代数式表示两个圆柱体的侧面的面积之和______________；
(3)如果一只蚂蚁从点A沿甲圆柱体侧面爬行两圈到达点，另一只蚂蚁从点沿乙圆柱体侧面爬行一圈到达点，均沿最短路线爬行，请猜想：它们的路线长是否相等？请在（1）问所画的侧面展开图基础上，用虚线画出最短路线．
【详解】(1)下图所示实线部分为此工件的侧面展开图：
（2）；
故答案为：；
(3)它们爬行的路线长相等，图中虚线即为最短路线长
◆题型5 线段的和差与中点计算
27．（25-26七年级上·四川遂宁·期中）已知线段，直线上有一点C，且，点D是线段的中点，则线段的长（ ）．
A．3 B．6 C．3或7 D．3或6
【答案】C
【详解】解：分两种情况讨论.
当点C在线段上时，
∵，点D是的中点，
∴.
∵，
∴．
当点C在线段的延长线上时，
∵，，
∴．
综上，线段DC的长为或．
28．（26-27七年级上·四川成都·期中）如图，线段，M是线段的中点．
(1)求线段、线段的长度；
(2)在线段上取一点N，使得，求线段的长．
【答案】(1)
(2)20
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵M是线段的中点，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
由（1）得
∴．
29．（26-27七年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）如图，已知点，，都是线段上的点，线段，，点为线段的中点．
(1)若，求线段的长；
(2)在（1）的条件下，点在线段上，且，求的长．
【答案】(1)线段的长为3
(2)的长为23或31
【详解】（1）解：∵，，，
∴，，
∴，
∴．
∵点为线段的中点，
∴，
∴．
（2）由（1）得，
点在线段上，且，分两种情况：
情况一：当F在点E左侧时，；
情况二：当F在点E右侧时，；
综上，的长为23或31．
◆题型6 角的度量、换算与钟面角
30．（24-25七年级上·河南信阳·阶段检测）下列换算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：A选项，，，换算正确．
B选项，，，换算错误．
C选项，，，，换算正确．
D选项，，，，换算正确．
31．（26-27七年级上·江西·期中）计算：______．
【答案】
【详解】解：．
32．（25-26七年级上·广东·阶段检测）下午点分时，时针与分针的夹角是___________°．
【答案】
【详解】解：点分，时针在与正中间，即；
分针在，即；
夹角．
33．（26-27七年级上·山东济南·期中）___________．
【答案】
【详解】解：∵角度单位换算关系为
∴
◆题型7 角的比较、角平分线
34．（25-26七年级上·福建福州·期末）若，，则________．（填“”或“”或“”）
【答案】>
【详解】解：因为，
所以，
则.
又因为，，
所以．
故答案为：>．
35．（25-26七年级上·四川广元·期末）如图，若，，则的度数为________．
【答案】
【详解】解：∵，，
∴.
36．（25-26六年级下·山东东营·阶段检测）已知点O为直线上一点，将直角三角板如图所示放置，且直角顶点在O处，在内部作射线，且恰好平分．若，则的度数为__________．
【答案】
【详解】解：平分，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
点为直线上一点，
，
．
37．（25-26七年级上·甘肃白银·期末）如图，射线平分，射线平分，则下列等式中成立的有______（填序号）
①；②；③；④．
【答案】①
【详解】解：∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
故①正确；
∵，
∴，
故②错误；
∵，
∴，
∴，
∴，
故③错误；
∵，，
∴，
故④错误；
综上所述，等式中成立的只有①．
◆题型8 余角与补角
38．（25-26七年级上·广东·阶段检测）已知，则的余角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：的余角是．
39．（25-26七年级上·广东湛江·期末）已知一个角的度数是，则这个角的补角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：这个角的补角等于．
40．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，射线、、、、分别对应量角器上外圈的，，，， 刻度，则关于与的关系可表述为____________．
【答案】互余
【详解】由题意可知：，，，
∴，
∴，即与互余．
41．（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）一块三角板的直角顶点落在直尺上，按如图所示放置．
(1)___________°．
(2)若的补角比的2倍多，求的度数．
【答案】(1)90
(2)
【详解】（1）解：根据题意，得，
∴；
（2）解：设，则，
根据题意，得，
解得，
．
42．（25-26七年级上·北京·阶段检测）完成以下问题
(1)如图1，，点D是线段的中点，点C是线段上一点，且，求线段的长．
(2)如图2，是内部的两条射线，，求的度数．
(3)如图3，点O是直线上的一点，与互余，求的度数．
【答案】(1)3或7
(2)
(3)
【详解】（1）解：因为，且点D是的中点，
所以．
当点C在上时，；
当点C在上时，，
所以线段的长为3或7；
（2）解：因为，
所以，．
因为，
所以，
解得；
（3）解：因为与互余，
所以，
所以．
◆题型9 方位角及其应用
43．（25-26七年级上·山东滨州·期末）如图，某海域有三个小岛、、，在小岛处观测到小岛在它北偏东的方向上，观测到小岛在它南偏东的方向上，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：
．
44．（25-26七年级上·福建莆田·期末）如图，下列说法错误的是（ ）
A．的方向是东南方向 B．的方向是南偏西
C．的方向是北偏西 D．的方向是北偏东
【答案】D
【详解】解：A．与正南方向的夹角为，方向是东南方向(南偏东)，说法正确；
B．由图可知，与正南方向的夹角为，则的方向是南偏西，说法正确；
C．与正西方向的夹角为，则与正北方向的夹角为，方向是北偏西，说法正确；
D．的方向与正东方向的夹角为，则与正北方向的夹角为，是北偏东，说法错误；
故选：D．
45．（25-26七年级上·四川南充·期末）如图，在处观察时，点在点的北偏西方向上，已知，则点在点的（ ）
A．南偏东方向上 B．北偏东方向上
C．东偏北方向上 D．北偏东方向上
【答案】B
【详解】解：如图，在轴正半轴取一点，
点在点的北偏西方向上，
，
，
，
点在点的北偏东方向上．
故选：．
46．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）如图，是北偏东方向的一条射线，若，则的方向是南偏东______________________＇．
【答案】
【详解】如图所示，
是北偏东方向的一条射线，
，
，
，
则的方向是南偏东．
故答案为：；．
47．（26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）学校运动会期间，小凯坐在看台点处观看比赛．如图，教学楼在看台的西偏北方向上，体育馆在看台的东偏南方向上．
(1)求从看台看教学楼和体育馆的视角（即）的度数；
(2)实验楼在的平分线上，则实验楼在看台的________方向上．
【答案】(1)
(2)东北（或东偏北）
【详解】（1）解：如图，教学楼在看台的西偏北方向上，体育馆在看台的东偏南方向上，
∴，，
∴
；
（2）解：∵平分，
∴，
∴．
∴实验楼在看台的东北（或东偏北）方向上．
◆题型10 尺规作图与作图语言
48．（26-27七年级上·山东烟台·期中）小明在家用剪刀剪开了一个底面是正方形的长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分如图所示．
根据你所学的知识，回答下列问题：
(1)小明想将剪断的纸条重新粘贴到一起，而且经过折叠以后，仍然可以还原成原来的长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到图中的什么位置？请你帮助小明在图上补全．（一种情况即可）
(2)已知这个长方体纸盒高为，所有棱长的和是，求这个长方体纸盒的体积．
【详解】(1)，，，
（2）解：设底面的边长为，
∵长方体纸盒的底面是一个正方形，长方体纸盒高为，
则可得，
解得，
即底面的边长为，
所以这个长方体纸盒的体积为．
49．（26-27七年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）如图，点在线段上，点在线段外，完成以下问题：
(1)尺规作图：作直线，作射线，在射线上截取（保留作图痕迹，不写结论）；
(2)根据（1）所画图形，图中共有线段________条．
【详解】(1)如图，直线，射线，以及线段即为所求作；
（2）解：线段上的线段：、、，共3条；直线上新增的线段：、、，共3条；连接点C形成的线段：，共1条；还有线段，一条．将所有线段相加：条．
50．（26-27七年级上·福建厦门·阶段检测）点，，在同一条直线上，，．
(1)用直尺和圆规在射线上作线段，使．（尺规作图，保留作图痕迹）
(2)若，．根据题意画出示意图，并求的长．
【详解】(1)如图，线段即为所求；
（2）解：如图，当点B在点A，C之间时，
∵，
∴；
如图，当点C在点A，B之间时，
∵，
∴；
综上所述，的长为或．
51．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，射线位于的内部．在的外部作射线，使．
(1)请根据题意补全图形，并填空：______（用“>”“=”或“<”）；
(2)作的平分线，若，，求的度数．
【答案】(1)如图所示； = ，
(2)如图所示；
【详解】（1）解：由题意得，即，
故答案为：；
（2）解：∵，，
∴，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴．
52．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面上有三个点A，B，C，根据下列要求画图并作答：
(1)作直线，射线；
(2)作线段，延长至点，使得；
(3)比较线段长短：_______，比较角的大小：_______（填“”，“”或“”）．
【详解】(1)如图所示；
(2)如图所示；
（3）由题意得，．
故填：，
◆题型1 正方体展开图
1.（25-26七年级上·福建泉州·期末）在图中的①②③④的任意一个位置上，放置一个相同的小正方形后所组成的图形不能折成一个正方体，则该放置的位置是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【详解】将小正方形放在①②④的任意一个位置后所组成的图形均能折成正方体，
放在③处时，折叠后有两个面重叠，不能折成正方体．
故选：C．
2．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）春节快到了，小明同学准备了一份礼物送给自己的好朋友．如图所示，他设计了一个正方体盒子进行包装，由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子．
(1)共有 种弥补方法；
(2)任意画出一种成功的设计图（在图中补充），并将，，，，，这些数字分别填入六个小正方形中，使得折成的正方体相对面上的两个数相加得（直接在图中填上即可）．
【详解】（1）解：根据正方体展开图特点知，中间四连方，则两侧各一个，即在中间四个正方形下面添加一个小正方形都符合题意，即共4种弥补方法．
故答案为：4；
（2）如图所示，即为所求．
3．（26-27七年级上·山东济南·期中）综合与实践
问题情境：学校综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒．
操作探究：
(1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图中的_______经过折叠能围成无盖正方体纸盒；
A． B． C． D．
(2)图1是小槐同学的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后，底面上的字是_______；
(3)图2是一张边长为的正方形废弃宣传单，小荫同学准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒．若四角各剪去一个边长为的小正方形：
①请你在图2中补全裁剪与折叠的痕迹（用实线表示裁剪线，虚线表示折痕）；
②求出这个纸盒的体积．
【详解】（1）解：由正方体表面展开图的“一线不过四，田凹应弃之”可知，选项A、选项D不符合题意，而选项B只有4个面，不符合题意；而选项C可以折叠成无盖的正方体的盒子；
（2）解：由图可得：底面上的字是“环”；
（3）解：①如图所示：
②当小正方形的边长为时，所折叠成的长方体纸盒的底面是边长为的正方形，高是，
所以体积为：．
4．（26-27七年级上·四川达州·阶段检测）综合与实践
【问题情境】某综合实践小组计划用废弃的宣传单制作一个无盖纸盒．
【操作探究】在如图所示的四个图形中，图形 经过折叠能围成无盖正方体纸盒填字母
(1)【拓展延伸】如图，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒．
(2)
①请你在图中画出示意图，用实线表示剪切痕迹，虚线表示折痕；
②当四个角剪去的小正方形的边长都为时，求该纸盒的底面积与容积
【详解】（1）解：选项A为“田”字形，折叠后缺少有效面，故不能折叠成无盖的正方体纸盒；
选项C为“L”字形，折叠后会出现面的重叠，故不能折叠成无盖的正方体纸盒；
选项D为“凹”字形，折叠后会出现面的重叠，故不能折叠成无盖的正方体纸盒；
而选项B为“Z”字形，折叠后符合无盖正方体的特征，故可以折叠成无盖的正方体纸盒；
（2）解：①所画出的图形如图所示：
②纸盒的底面积为
纸盒的容积为
答：纸盒的底面积为，容积为．
5．（26-27七年级上·福建漳州·阶段检测）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的正方形卡纸，要求大家利用它制作一个无盖的正方体纸盒．小明按照图2的方式裁剪掉阴影部分，恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个无盖的礼品盒，如图3所示．
(1)如果正方形的边长为6，直接写出的值；
(2)小明在设计无盖正方体纸盒展开图（图2）时的方法是在正方形卡纸的四个直角的位置上分别剪去大小相等的小正方形．如果把正方形卡纸换成如图4所示的长方形卡纸，且规格为（单位：）．请你参考小明的方法，在图4的卡纸上进行设计，用阴影画出裁剪部分，用实线画出裁剪线，使剩下部分刚好是一个长为，宽为，高为的无盖长方体盒子（如图5所示）的展开图；
(3)今有一张如图6所示的长方形卡纸，且规格为（单位：）．现以你设计的纸盒展开图（图4）为基本样式，请你在图6的卡纸中画出设计示意图（包括这张卡纸可制作几个无盖的长方体盒子，其展开图在卡纸上的分布情况）．（要求：本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”给分，设计出的展开图个数最多才能得满分）
【答案】【详解】（1）解：：由题意得：．
(2)所作图形如下：
(3)所作图形如下：
◆题型2 欧拉公式
6．（25-26七年级上·浙江·期末）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察图中几种简单多面体模型，解答下列问题：
(1)根据图中的多面体模型，填写表格中的空格：
多面体
顶点数（V）
面数（F）
棱数（E）
四面体
4
4
6
正方体
8
6
八面体
8
12
十二面体
20
12
30
(2)根据上面的表格，猜想顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是______（用所给的字母表示）．
(3)若一个多面体的面数比顶点数少14，且有48条棱，则这个多面体的面数是______．
(4)有一个玻璃饰品的外形是简单多面体，它共有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体的面数为，求的值．
【答案】(1)12；6
(2)
(3)18
(4)
【详解】（1）解：观察图形，正方体的棱数为12，正八面体的顶点数为6．
故答案为：12；6．
（2）解：观察图形和表格可以看出：顶点数＋面数－棱数，
即．
故答案为：．
（3）解：由题意得，，
解得，．
故答案为：18．
（4）解：因为该多面体的顶点数，且每个顶点处有3条棱，
所以该多面体的棱数．
因为，
所以，
解得，．
答：的值为．
7．（25-26七年级下·福建泉州·期末）【项目式学习】根据素材，探索完成任务：
材料：十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在着一个关系式，被称为欧拉公式，其实，你也可以做到！
名称
四面体
三棱柱
正八面体
正十二面体
图形
顶点数V
4
6
6
20
面数F
4
5
8
12
棱数E
6
9
12
30
(1)任务一：通过表格，你发现简单多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的数量关系式是______________________________；
(2)任务二：某设计师创作了一款多面体形状的灯具，已知它的面数比顶点数多10，且棱数比面数多8，求这个多面体的面数；
(3)任务三：如图，有一种足球是由若干块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮的是正五边形，白皮的是正六边形．它们的边长都相等并且每个正五边形周围连着5个正六边形，每个正六边形周围又连着3个正五边形和3个正六边形，求正五边形和正六边形的个数．
【答案】(1)
(2)这个多面体的面数为20
(3)正五边形有12个，正六边形有20个
【详解】（1）解：由表格可知，简单多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的数量关系式是；
（2）解：设顶点数为V，则面数，棱数．
代入欧拉公式得：，
解得：，
，
答：这个多面体的面数为20；
（3）解：设正五边形有x个，正六边形y个，
则顶点数为；面数；棱数．
代入欧拉公式得：，
解得：，
∵，
∴，
把代入得：，所以．
答：正五边形有12个，正六边形有20个．
8．（25-26七年级上·江苏南京·期末）小明在参观科技馆时，发现很多矿物的结晶体有着其独特的几何形态和内在规律．黄铁矿的晶体（如图1）是一个正方体：它由六个面组成，每个面都是全等的正方形，每个顶点都连接3条棱．小明查阅资料后了解到，这种各面都是完全相同的正n边形，且各顶点连接r条棱的立体图形称为正多面体，如正方体又称为正六面体．
一个正F面体的每个面都是全等的正n边形，有V个顶点，E条棱，且每个顶点都连接r条棱．小明对部分正F面体（如图2）进行了观察，列出以下数据．
正多面体
F
n
V
E
r
正四面体
4
3
4
6
3
正方体
6
4
8
12
3
正八面体
8
3
6
12
4
(1)根据表中的数据，请写出F，V，E之间存在的等量关系式：________．
(2)小明进一步发现，正F面体中棱数与各面的边数之和以及棱数与各面的顶点数之和存在着一定的关系．
①从面出发：以正方体为例，它有6个面，每个面都有4条边，则六个面的边数之和为24．又因为正方体的两个面共用一条边，所以正方体的棱数为12．正F面体的棱数________；（用含n，F的代数式表示）
②从顶点出发：正F面体的棱数________．（用含r，V的代数式表示）
(3)已知一个正多面体有30条棱，且每个顶点连接5条棱，求这个正多面体的一个面是几边形．
【答案】(1)
(2)①；②
(3)三角形
【详解】（1）解：根据观察可得．
故答案为：．
（2）解：①正F面体，它有F个面，每个面都有n条边，则F个面的边数之和为，
又∵正F面体的两个面共用一条边，
∴正F面体的棱数为．
故答案为：．
②正F面体，它有V个顶点，且每个顶点都连接r条棱，则V个顶点的棱数之和为，
又因为正F面体的一条棱连接两个顶点，所以正F面体的棱数为．
故答案为：．
（3）解：由题意可得：，
∴,
∴，
根据（1）中公式可得，可得，解得：，
∴这个正多面体的面数为20．
∵，
∴.
∴这个正多面体的一个面是三角形．
9．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）通过第六章的学习，我们了解到简单多面体中顶点数、面数、棱数之间存在的一个有趣的关系（称为欧拉公式）．足球的表面是一个球面，在实际构造中，皮革片是弯曲的．但在数学建模时，我们可以将其近似为一个由平面多边形拼接而成的多面体，基于这个模型，数学兴趣小组想分析其顶点、面和棱的数量关系是否也满足欧拉公式．
(1)买来一个足球（图1）观察：发现这个足球是由12块黑色的正五边形和20块白色的正六边形构成的，每个顶点处有1个正五边形和2个正六边形．所以顶点数等于所有正五边形的顶点数或所有正六边形的顶点数的一半；因为每条棱连着两个面，所以棱数是正六边形和正五边形的边数之和的一半，发现也满足欧拉公式，请完成下表．
块数
一个顶点处的块数
边数
正五边形
12
1
正六边形
20
2
多面体
面数：32
顶点数：________
棱数：________
(2)查阅资料发现，也可以用正五边形、正方形和正三角形制作足球，如图2所示，每个顶点处有1个正五边形、2个正方形和1个正三角形，已知这个多面体有60个顶点，计算这个多面体的面数和棱数，并验证是否满足欧拉公式．
【答案】(1)60，90
(2)面数为，棱数；满足欧拉公式，
验证欧拉公式：
，，满足．
【详解】（1）解：多面体的顶点数：，
多面体的棱数：，
（2）解：由正五边形、正方形和正三角形构成的多面体
已知顶点数60，每个顶点处有1个正五边形、2个正方形和1个正三角形
正五边形数量：
正方形数量：
正三角形数量：
因此，面数
计算棱数：法一：每个顶点有4条棱，则棱数为：
法二：所有面的边数之和为，
每条棱被两个面共享，故棱数．
10．（25-26七年级上·江苏南京·期末）数学课上，鲍老师提出问题：观察下面几种简单多面体，每个多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间有怎样的数量关系？
同学们的思考如下：
多面体
顶点数（V）
面数（F）
棱数（E）
四面体
4
4
6
六面体
8
6
________
正八面体
________
8
12
正十二面体
20
12
30
我通过观察，根据表格数据猜想V、E、F之间的数量关系式是________
(1)完成以上解答．
(2)某玻璃饰品厂生产的一种玻璃饰品是一个简单多面体，它的外表面是由三角形构成，且面数与顶点数的比值，那么这个玻璃饰品是几面体？
(3)如果一个简单多面体的各个面为相同的正多边形，且各个顶点处结构完全相同，这样的多面体称为正多面体又称柏拉图立体，那么柏拉图立体共有________种．
【答案】(1)12；6；
(2)这个玻璃饰品是二十面体
(3)5
【详解】（1）解：；
；
∴顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是；
故答案为：12；6；；
（2）解：设这个玻璃饰品的面数为F，顶点数为V，
已知面数与顶点数的比值为，则可得，即，
因为该多面体外表面是由三角形构成，每个三角形有3条边，每一条棱被两个面共用，所以棱数，
根据欧拉公式，得，
解得，
答：这个玻璃饰品是二十面体；
（3）解：1、正四面体：正四面体的每个面都是正三角形，且每个顶点处有3个面相交，满足正多面体的定义；
2、正六面体(正方体)：正六面体的每个面都是正方形，每个顶点处有3个面相交，符合正多面体的条件；
3、正八面体：正八面体的每个面都是正三角形，每个顶点处有4个面相交，是正多面体的一种；
4、正十二面体：正十二面体的每个面都是正五边形，每个顶点处有3个面相交，满足正多面体的要求；
5、正二十面体：正二十面体的每个面都是正三角形，每个顶点处有5个面相交，属于正多面体；
综上，柏拉图立体共有5种；
故答案为：5．
◆题型3直线相交问题的交点个数问题
11．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）如图1，2条直线相交最多1个交点；如图2，3条直线相交最多3个交点；如图3，4条直线相交最多6个交点；那么10条直线交叉最多有_______个交点．
【答案】45
【详解】解：由所给图形可知，
两条直线相交，最多的交点个数为：1，
三条直线相交，最多的交点个数为：，
四条直线相交，最多的交点个数为：，
…，
所以条直线相交，最多的交点个数为：．
当时，．
即10条直线相交，最多的交点个数为45个．
故答案为：45．
12．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，2条直线相交最多有1个交点，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点……，若n条直线两两相交最多有55个交点，则n的值是________．
【答案】
【详解】解：2条直线相交最多有个交点，
3条直线两两相交最多有个交点，
4条直线两两相交最多有个交点，
……，
由此发现，n条直线两两相交最多有个交点，
∵n条直线两两相交最多有55个交点，
∴，
解得：，
即n的值是．
故答案为：．
13．（25-26七年级上·河南许昌·期末）观察下列直线相交的情况：
(1)两条直线相交，有1个交点；三条直线相交，最多有多少个交点？
(2)四条直线相交，最多有多少个交点？
(3)请你写出n条直线相交，最多有多少个交点的规律（用含n的代数式表示）．
【答案】(1)三条直线相交，最多有3个交点
(2)四条直线相交，最多有6个交点
(3)n条直线相交，最多有个交点
【详解】（1）解：如题图，三条直线相交，最多有3个交点；
（2）解：如题图，四条直线相交，最多有6个交点；
（3）解：两条直线相交，有1个交点；
三条直线相交，最多有个交点；
四条直线相交，最多有个交点；
依次类推，
写出n条直线相交，最多有个交点．
14．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）我校始终秉承“发现每一个学生，成就每一个学生”的教育理念．在推进“学习即生活”作业设计大赛过程中，七年级某班学习小组“逐光组”在设计城市规划方案过程中遇到了一些有趣的问题，让我们一起来探究吧！
【问题探究】：
如图1，一条直线可以把平面分割成2个区域；如图2、图3，两条直线既可以把平面分割成3个区域，又可以分割成4个区域；如图4、图5、图6、图7三条直线可以把平面分割成4个、6个或7个区域．
（1）在一个平面内任意画直线，如果分割成的区域有四边形，则至少要画_____条直线．
（2）在（1）的条件下，这些直线可以把平面分割成_____个区域．
【解决问题】：
该“逐光组”想用最少的笔直道路围出一个五边形区域用于建造休闲娱乐活动中心，则这些道路会分割出_____个区域，至少需要建设_____个红绿灯．（注：直线交点个数等于红绿灯个数）
【答案】（1）4 （2）9或10或11 解决问题：14，8
【详解】解：（1）分割成的区域有四边形，则至少要画4条直线，
故答案为：4；
（2）①如图所示，，
此时，4条直线可以把平面分割成9个区域；
②如图所示，，
此时，4条直线可以把平面分割成10个区域；
③如图所示，
此时，4条直线可以把平面分割成11个区域；
故答案为：9或10或11；
解决问题：如图所示，，
这些道路会分割出14个区域，至少需要建设8个红绿灯，
故答案为：14，8．
◆题型4 双中点与n等分点模型与动点问题
15．（25-26七年级上·广东·阶段检测）如图，点、、在同一直线上，在、之间，是的中点，是的中点，，，是的中点．
(1)求线段的长；
(2)求线段的长；
(3)求线段的长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：∵点、、在同一直线上，在、之间，
∴，
∵，，
∴．
（2）解：是中点，是中点，
，
，
，
．
（3）解：是的中点，，
，
是中点，，
，
．
16．（26-27七年级上·江西宜春·阶段检测）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为．
【问题情境】数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向匀速运动，当点到达终点后，，两点都停止运动，设运动时间为秒（）．
(1)填空：，两点间的距离_________，线段的中点表示的数为_________．
(2)填空：当时，则点表示的数为____________，点表示的数为____________．
(3)当点到达终点时，运动时间为多少？此时线段的中点表示的数是多少？
【实践探究】
(4)利用数轴求出的最小值，并写出此时可取哪些整数值？
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
(4)最小值为，此时的取值为：、、、．
【详解】（1）解：，两点间的距离，
线段的中点表示的数为；
（2）解：∵点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动，
且数轴上点表示的数为，
∴当时，则点表示的数为；
∵点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向匀速运动，且点表示的数为6，
∴当时，则点表示的数为；
（3）解：点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向匀速运动，且，
当点到达终点时，运动时间为（秒），
此时点表示的数为，
线段的中点表示的数是；
（4）解：由题意知，表示数轴上数与数的距离及数与数的距离之和，
当数在数与数之间时，最小，最小值为，
此时可取整数值为：、、、．
17．（26-27七年级上·吉林长春·期中）如图①，点把线段分成和两条线段，当时，称点是线段的内二倍分割点；如图②，当时，称点是线段的内二倍分割点．例如：如图③，数轴上，点、、、分别表示数、2、1、0，则点是线段的内二倍分割点，点是线段的内二倍分割点．
(1)如图④，、为数轴上的两点，点所表示的数为，点所表示的数为7，线段的内二倍分割点表示的数是_______，线段的内二倍分割点表示的数是_______；
(2)数轴上，点所表示的数为，点所表示的数为20．点从点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向左运动，设运动时间为秒．
（ⅰ）线段的长为_______；（用含的式子表示）
（ⅱ）当为_______时，、、三个点中恰有一个点为其余两点连成线段的内二倍分割点？
【答案】(1)；
(2)或或或
【详解】（1）解：设线段的内二倍分割点表示的数是，
则，
解得，
即线段的内二倍分割点表示的数是；
设线段的内二倍分割点表示的数是，
则，
解得，
即线段的内二倍分割点表示的数是；
（2）解：（ⅰ）由题意得，线段的长为；
（ⅱ）由（ⅰ）知线段的长为，
点所表示的数为，点所表示的数为20，
，
当点在之间时，
若，即点是线段的内二倍分割点,
此时，，
则，解得；
若，即点是线段的内二倍分割点,
此时，，
则，解得；
当点在点左侧时，
若，即点是线段的内二倍分割点,
此时，，
则，解得；
若，即点是线段的内二倍分割点,
此时，，
则，解得；
综上，当为或或或时，、、三个点中恰有一个点为其余两点连成线段的内二倍分割点．
18．（25-26七年级上·陕西榆林·阶段检测）琪琪在学习了比较线段的长短时对下面问题产生了探究的兴趣．
如图1，图2，点C在线段上，M，N分别是，的中点．若，，求的长．
(1)根据题意，琪琪求得 ；
(2)琪琪在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊规律，于是她先将题中的条件一般化，并开始深入探究．
已知，C是线段上任意一点（不与点A，B重合），琪琪提出了如下三个问题，请你帮助琪琪解答：
①如图1，M，N分别是，的中点，则 ；
②如图2，M，N分别为靠近A、B的，的三等分点，即，，求的长；
③若M，N分别为靠近A、B的，的n等分点，即，，则 ．
【答案】(1)5
(2)①；②；③
【详解】（1）解：∵，，
，
点、分别是、的中点，
，，
；
故答案为：；
（2）①因为、分别是、的中点，
，，
，
，
；
故答案为：；
②，，
，，
，
，
；
③，，
，，
，
，
，
故答案为：．
19．（26-27七年级上·北京东城·期中）对于数轴上的点，，，，点，分别是线段，的中点，若，则将的值称为线段，的相对离散度，特别地，当点，重合时，规定．设数轴上的点表示的数是0，点表示的数是2．（参考材料：1、计算时，可利用乘法分配律得到，再次利用乘法分配律即可；2、若，则．其中，且；3、如图：点把线段分成相等的两条线段与，点叫作线段的中点）
(1)若数轴上点，，，表示的数分别是，，3，6，则线段的中点表示的数是_______，线段，的相对离散度是_______；
(2)数轴上，动点从点出发，沿数轴向正方向运动，速度为每秒2个单位；与此同时，动点从点出发，沿数轴向正方向运动，速度为每秒3个单位，当，的相对离散度，求运动时间的值；
(3)数轴上点，都在点的右侧（其中，不重合），点是线段的中点，设线段，的相对离散度为，线段，的相对离散度为，当时，直接写出所表示的数的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【详解】（1）解：设点，分别是线段，的中点，
∵数轴上点，，，表示的数分别是，，3，6，
∴，，
∴线段的中点M表示的数是，线段的中点N表示的数是，
∴，
∵，
∴，
解得：；
（2）解：设线段，的中点分别为点L，K，
根据题意得：点E表示的数为，点F表示的数为，则，
∴点L表示的数为，点K表示的数为，
∴，
∵，的相对离散度，且，
∴，即，
∴或，
解得：或（舍去），
即t的值为；
（3）解：设点P，Q对应的数分别为m，n，
∵数轴上点，都在点的右侧（其中，不重合），
∴，且，
∴，
∵点是线段的中点，
∴点R表示的数为，
设线段，的中点分别为M，N，则点M对应的数为，点N对应的数为，
∴，
∵线段，的相对离散度为，，
∴，
∴，
同理，
∵，
∴，
当时，此时，
解得：，不符合题意；
当时，此时，
解得：；
当时，此时，
解得：；
当时，此时，
解得：，不符合题意；
∵，，
∴，
∴，
∴r的取值范围为．
◆题型5 双角平分线与n等分线模型
20．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）如图，已知点O为直线上一点，，是的平分线．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，是的平分线，求的度数．
【答案】(1)的度数为
(2)的度数为
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴；
（2）解：∵是的平分线，，
∴，
∵是的平分线，，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
即．
21．（25-26七年级上·山西朔州·期末）综合与实践
在第六章《几何图形初步》的学习中，我们类比线段的研究内容和方法研究了角的有关问题．下面我们继续由特殊到一般类比探究以下问题：
已知点，在线段上，，分别是，的中点．
(1)特例感知：如图①，点在点的左侧，如果，，那么
①线段的长为__________；
②若，求线段的长；
(2)规律探索：如果，，则线段的长为__________；（用含，的代数式表示，结果最简）
(3)迁移应用：已知，射线在内部．
①如图②，如果，那么为____________________；
②如果射线也在内部，，射线在内部，且，射线在内部，且，请你直接写出的度数．
【答案】(1)①6；②5
(2)
(3)①23；36；②的度数为或.
【详解】（1）解：①∵，，
∴；
②由①知：，
∵，
∴，
∵，，分别是，的中点，
∴，，
∴；
（2）解：∵，分别是，的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
（3）解：①，射线在内部，，
∴；
②解：设，则；
当射线在内部时，则，
∵，，
∴，，
∴；
当射线在内部时，则，
∵，，
∴，，
∴；
综上：的度数为或.
22．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）通过本学期的学习，我们已经知道“如果从角的顶点出发的一条射线把这个角分成两个相等角，那么这条射线叫做这个角的平分线”．类似，我们规定：“如果从角的顶点出发的两条射线把这个角分成三个相等角，那么这两条射线都称为这个角的三等分线”．例如：如图，射线，在内，且，那么是的三等分线，也是的三等分线．
(1)如图，，，判断是否是的三等分线，并说明理由．
(2)在（）的条件下，若是的三等分线，求的度数．
(3)在（）的条件下，如图，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，到达后停止．在射线出发秒后，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，到达后立即绕逆时针旋转，速度不变，到达后停止运动．当从出发时，开始计时，设时间为秒．当为的三等分线时，直接写出的值．
【答案】（1）见解析(2)的度数为或；(3)的值为或或或．
【详解】（1）解：是的三等分线，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的三等分线；
（2）解：由（）得，，
如图，当，
∴；
如图，当，
∴；
综上可得：的度数为或；
（3）解：依题意得，，
∴，
当未到达时，即，则，
当时，即，
∴，解得：；
当时，即，
∴，解得：；
当从转向且未达到时，即，则，
当时，即，
∴，解得：（舍去）；
当时，即，
∴，解得：；
当从转向且已达到时，即，则，此时，
当时，即，
∴，解得；
当时，即，
∴，解得（舍去）；
综上可得：的值为或或或．
23．（25-26七年级上·福建福州·期末）（1）特例感知：如图①，已知线段，，线段在线段上运动（点A不超过点M，点B不超过点N），点C和点D分别是的中点．
①若，则_________；
②线段运动时，试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由；
（2）知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线和射线分别平分和．
①若，，则_________度；
②若，，求的值；
（3）类比探究：如图③，在内部转动，若，，，，则的度数为_________．（用含有、的式子表示）
【答案】（1）①；②不变，；（2）①；②；（3）．
【详解】解：（1）①，，，
，
点C和点D分别是的中点，
，
；
故答案为：．
②不变，
，，
，
点C和点D分别是的中点，
，
；
（2）①射线和射线分别平分和，
，
则
，
，，
，
，
故答案为：；
②由①同理可知，，
，，
，
解得，
，
．
（3），，
，
，
，，
，
；
故答案为：．
24．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．类似的我们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的三分线；从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的四分线．显然，一个角的三分线、四分线都有两条．例如：如图1，若，则是的一条三分线；若，则是的另一条三分线．
(1)如图2，是的三分线，，若，则 ；
(2)如图3，，是的四分线，，过点O作射线，当刚好为的三分线时，求的度数；
(3)如图4，，射线是的两条三分线，将射线同时绕点O沿顺时针方向旋转，在旋转的过程中，若射线中恰好有一条射线是其它两条射线组成夹角的四分线，请直接写出的值．
【答案】(1)
(2)或
(3)或或或
【详解】（1）解：∵是的三分线，，若，
∴．
故答案为：．
（2）解：∵，是的四分线，，
，
∵是三分线，
∴①如图：当时，，
；
②如图：当时，，
．
综上，的度数为或．
（3）解：∵，射线、是的两条三分线
∴，
①如图，当是的四分线时，，
∴，解得：，
∴，
∴；
②如图，当是的四分线且时，
∴，
∴；
③如图，当是的四分线且时，
∴，
∴；
④如图，当是的四分线时，，
∴，解得：，
∴．
∴的值为或或或．
◆题型6 三角板拼角、叠放与动角问题
25．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，一副三角板（）按图中的位置摆放时，恰有，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
26．（25-26七年级上·福建厦门·期末）数学活动课上，小明用一副三角板进行如下操作：第一步：将一副直角三角板的两个顶点放在同一个点处，且边与边在同一直线上，如图所示；第二步：保持三角板不动，将三角板绕点逆时针转动，当与重合时停止转动．若在转动过程中，射线始终分别平分和，则除平角和三角板本身的角外，大小不会发生改变的角是__________，其度数为__________．
【答案】 37.5
【详解】解：如图所示，随着的减小，可知也减小，先减小，后增大，逐渐减小，也在变化，逐渐增大；
当在上方时，
∵，
∴，
∴；
当在内部时，
∵，
∴，
∴；
当在下方时，
∵，
∴，
∴．
所以不变，其度数是．
故答案为：，37.5．
27．（25-26七年级上·四川广元·期末）已知和互为邻补角，，将一个三角板的直角顶点放在点处（注：，）．
(1)如图①，使三角板的短直角边与射线重合，求的度数．
(2)将图①的三角板在的上方绕点逆时针转动，如图②，在转动过程中，当时，求的度数．
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：设，则，
如图，当在内部时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
如图，当在外部时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述，当时，的度数为或．
28．（26-27七年级上·河北石家庄·期中）综合与实践：
【实践操作】
在数学实践活动课上，励志小组准备研究如下问题：如图，点，，在同一条直线上，将一直角三角尺如图1放置，直角顶点与点重合，是直角，平分．
(1)若，则的度数为；
(2)将这一直角三角尺如图2放置，其他条件不变，若，求的度数；
(3)将这一直角三角尺如图3放置，其他条件不变，试探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
(4)将直角三角尺绕点顺时针旋转，旋转过程中始终平分，当时，请直接写的度数．
【答案】(1) (2) (3)见解析 (4)或
【详解】（1）解：是直角，，
，
平分，
，
∵点，，在同一条直线上，
；
（2）解：是直角，，
，
平分，
，
∵点，，在同一条直线上，
；
（3）解：和的度数之间的关系是：，理由如下：
平分，
∴设，
，
∵点，，在同一条直线上，
，
是直角，
，
；
（4）解依题意有以下两种情况：
①当在直线的上方时，如图4①所示：
∵点，，在同一条直线上，，
，
平分，
，
是直角，
；
②当在直线的下方时，如图4②所示：
同①得：，
∴，
综上，的度数为或．
29．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图1，点在直线上，过点引一条射线，使，将一个直角三角尺的直角顶点放在点处，直角边在射线上，另一边在直线的下方．
【操作一】：将图1中的三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转，当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为秒．
(1)的度数是__________．
(2)三角尺的边旋转的度数可表示为__________（用含的代数式表示）；当__________时，．
【操作二】：如图2，射线与射线重合．如图3，在三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，射线绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，当三角尺完成旋转一周时停止，射线也停止旋转，设旋转的时间为秒．
(3)当为何值时，，并说明理由？
(4)试探索：在三角尺与射线旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得？若存在，请求出所有满足题意的的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) (2)；或 （3）见解析 (4)存在；或
【详解】（1）解：根据题意，得，且，
故;
（2）解：三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转，旋转的时间为秒，
故旋转角．
当且在的上方时，
根据题意，得，，
，
，
解得；
当且在的下方时，
根据题意，得，，
，
，
解得；
（3）或 理由如下：根据题意，得，，
，
，
解得；
根据题意，得，，
，
解得；
（4）解：根据题意，当在的左侧时，
此时，
根据题意，得，
整理，得，
解得；
当在的右侧时，
此时，
根据题意，得，
整理，得，
解得；
故当t为或时，;
一、单选题
1．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）在下列现象中，不能用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（ ）
A．木匠弹墨线 B．打靶瞄准
C．弯曲公路改直 D．拉绳插秧
【答案】C
【详解】解：选项A、B、D可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释，
选项C利用的是“两点之间线段最短”的知识．
2．（25-26七年级上·山西朔州·期末）将一副三角尺按下列四种不同位置摆放，其中与互余的摆放方式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A、，互为补角，故不合题意．
B、与都是同一个角的余角，则，故不合题意；
C、，互为补角，故不合题意．
D、，与互余，故符合题意；
故选：D．
3．（26-27七年级上·四川达州·阶段检测）用硬卡纸做一个骰子，使该骰子的任意两个相对面的点数之和均为7，其表面的展开图如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．点数为2的面的相对面是A面 B．B面的点数为3
C．C面的点数为6 D．A，C两个面的点数之和为9
【答案】D
【详解】解：由图可知：点数的对面是面，故的点数为，
故A选项，B选项均错误；
点数的对面是面，故的点数为，
故C选项错误；
点数1的对面是面，故的点数为；
∴，两个面的点数和为，
故D选项正确．
4．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）小丁通过举例推理，探究出多条直线两两相交时，交点数量的变化规律（如图）．按照这个规律计算，当直线两两相交最多出现190个交点时，直线的数量是（ ）
直线的条数
2
3
4
5
…
交点的个数
1
3
6
…
…
A．17 B．18 C．19 D．20
【答案】D
【详解】解：设直线的数量是，由表格规律可知，条直线两两相交最多有个交点，
根据题意得，
整理得，
∵且为正整数，
∴．
即直线的数量是．
5．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）一个正方体切掉一个角后，剩下的几何体顶点的个数是（ ）
A．7或8 B．8或9 C．7或8或9 D．7或8或9或10
【答案】D
【详解】解：∵正方体原有8个顶点，切掉一个角可分4种情况讨论，
①当切割面经过原正方体的3个顶点时，切掉1个原顶点，无新增顶点，
∴顶点个数为 ；
②当切割面经过被切掉角所在的三条棱中的两个顶点和第三条棱上的一个非顶点时，切掉1个原顶点，新增1个顶点，
∴顶点个数为 ；
③当切割面经过被切掉角所在的三条棱中的一个顶点和另外两条棱上的两个非顶点时，切掉1个原顶点，新增2个顶点，
∴顶点个数为 ；
④当切割面与被切掉角所在的三条棱相交于三个非顶点时，切掉1个原顶点，新增3个顶点，
∴顶点个数为 ；
∴剩下几何体顶点的个数是7或8或9或10，
故选：D．
二、填空题
6．（26-27七年级上·四川达州·阶段检测）如图是某正方体的展开图，在顶点处标有数字，当把它折成正方体时，与重合的数字是______．
【答案】和
【详解】解：当把这个平面图形折成正方体时，左面五个正方形折成一个无盖的正方体，此时，与重合，与重合，与重合，与重合，右面一个正方形折成正方体的盖，此时与、的重合点重合，与、的重合点重合．
7．（26-27七年级上·四川达州·期中）如图，点、、是线段上的三个点，已知，，求图中以、、、，这5个点为端点的所有线段的和为 _______ ．
【答案】58
【详解】解：图中以、、、、 这5个点为端点的线段共有10条，分别为：，， ，，，，，，，，
所有线段的和为：，
将各项重新组合得：，
∵，，，，
∴，
即，
∵，，
∴．
8．（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）如图，一个正方体的六个面分别写着六个连续的整数，且相对面上的两个整数的和都相等．将这个正方体放在桌面，将其以如图所示的方式滚动，每滚动算一次，请问滚动2027次后，正方体贴在桌面一面的数字是______．
【答案】9
【详解】解：观察图形知道第一次数10和数9相对，第二次7和12相对，第三次9和10相对，第四次12和7相对，第五次10和9相对，且四次一循环，
，
∴滚动第2027次后与第三次相同，
∴朝下的数字是9．
9．（25-26七年级上·湖南怀化·期末）一副直角三角板如图1放置：直角三角板的边与直角三角板的边重合，点在线段的延长线上．如图2，将图1的直角三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转(当射线与射线重合时停止)，在旋转过程中始终平分，当满足时，三角板的运动时间为________秒．
【答案】
【详解】解：设三角板的运动时间为秒．
∵三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴旋转秒后，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
根据题意，代入得：
，解得：．
∵当射线与射线重合时停止，此时，解得，，符合题意．
故答案为：．
10．（25-26七年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，已知为直线上一点，以为端点作射线，，将射线绕点逆时针旋转，旋转速度为，旋转后对应射线为，旋转时间为秒，当与重合时运动停止，射线为的角平分线，射线为的四等分线，即，当时，的值为___________或___________．
【答案】
【详解】解：由题意得，，
射线为的四等分线，
，
当旋转到的延长线上时，如图，此时，则，
①当时，如图，
则，
∵射线为的角平分线，
∴，
∵，
∴，即，
则有，即，
解得或，
由，可得；
当旋转到与重合时，则，
②当时，如图，
则，
∵射线为的角平分线，
∴，
∵，
∴，即，
则有，即，
解得或，
由，可得；
综上所述，的值为或28．
三、解答题
11．（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）综合与实践
【问题情境】在一次数学实践活动课上，同学们利用一张边长为的正方形纸板开展了“长方体纸盒的制作”实践活动
(1)图1中，是无盖正方体的表面展开图的是______．（填序号）
【操作探究】如图2，勤学小组的同学先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，制成了一个无盖的长方体纸盒．
如图3，善思小组的同学先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，制成了一个有盖的长方体纸盒．
【计算分析】
(2)①图2中的长方体纸盒的底面周长为______；
②图3中的长方体纸盒的体积为多少？（写出计算过程）
【答案】(1)①③ (2)①40； （3）见解析
【详解】（1）解：无盖正方体一共有5个面．图①和图③折叠后可以拼成无盖正方体；图②的五个正方形折叠时，下方两个正方形会折到同一个侧面位置，发生面的重叠，因此不能折成无盖正方体．
（2）解：①纸板边长，四角剪去边长的小正方形，折成无盖长方体．
底面正方形边长为，
底面周长为．
②纸板边长，剪去两个边长小正方形和两个小长方形，折成有盖长方体．
所以长方体的高为，
长方体的长为
长方体的宽为
长方体体积为．
12．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，C，B两点在线段上（点C在点B左侧），点E在线段上，点F在线段上．
(1)如图1，点E为线段中点，点F为线段中点．
①若，，则的长为______；
②若，，求的长；
(2)如图2，当，时，，求的值．
【答案】(1)①５；②５； (2)．
【详解】（1）解：①∵,,
∴,
∵点E为线段中点，点F为线段中点，
∴, ,
∴,
∴．
②设，
则，，
∵点E为线段中点，点F为线段中点，
∴, ,
∴．
（2）解：∵，，，
∴设，则，
设，则，，
设，
则，，，
∵，
∴，
整理得，
∴．
13．（26-27七年级上·四川达州·期中）若，则称是的“余倍角”，例如：若，，则是的“余倍角”，但不是的“余倍角”．
(1)如图1，已知，在内存在一条射线，使得是的“余倍角”，此时 ；（直接填写答案）
(2)如图2，已知，若平面内存在射线、（在直线的上方），使得是的“余倍角”，且，求的大小；
(3)如图3，若，射线从出发绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线从出发绕点O以每秒的速度顺时针旋转，平分，平分，运动时间为t秒（）．若是的“余倍角”，求出此时t的值．
【答案】(1)
(2)或
(3)2或14或
【详解】（1）解：已知，
∴，则，
∵是的“余倍角”，
∴，
∴，
解得，
（2）解：如图所示，当在外部时，
∴，
∴，
∵是的“余倍角”，
∴，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图所示，当在内部时，
由（1）可得，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上所述，的度数为或；
（3）解：∵，是的“余倍角”，
∴，
∴，
由题意可得，，
∵平分，平分，
∴，
①当未转过，未转过，即时，如图所示，
∴，
∴，
解得；
②当旋转超过，旋转未超过时，即时，
由题意可得，转了，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，如图所示，
∴，
∴，
∴，
解得；
③当旋转超过，旋转超过时，即时，
由题意可得，转了，转了，
∴，
∵平分，平分，
∴，，如图所示，
∴，
∴，
解得
综上所述，t的值为2或14或．
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第六章 几何图形初步全章高频重难点题型突破
基础拿分：高频题型归纳
题型1 几何体的识别、展开图与截面 题型2 点、线、面、体
题型3 直线、射线、线段的表示与计数 题型4 “两点之间线段最短”及其应用
题型5 线段的和差与中点计算 题型6 角的度量、换算与钟面角
题型7 角的比较、角平分线 题型8 余角与补角
题型9 方位角及其应用 题型10尺规作图与作图语言
核心提升·重难题型归纳
题型1正方体展开图 题型2 欧拉公式
题型3 直线相交问题的交点个数问题 题型4 双中点与n等分点模型与动点问题
题型5 双角平分线与n等分线模型 题型6 三角板拼角、叠放与动角问题
综合攻坚·知能拔高
◆题型1 几何体的识别、展开图与截面
1．（26-27七年级上·广东佛山·期中）下列四个几何体中，是棱柱的是（ ）
A． B． C． D．
2．（26-27七年级上·陕西汉中·阶段检测）如图为小敏同学的几何体素描作品，该作品中不包含的几何体为（ ）
A．棱柱 B．球 C．圆锥 D．圆柱
3．（26-27七年级上·山东淄博·期中）如图，圆柱的高为，底面周长为，在外侧距离下底的点处有一只蚂蚁，它想吃到与点相对、且在圆柱外侧离上底面的点处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路径示意图是（ ）
A． B． C． D．
4．（26-27七年级上·山东青岛·期中）下列关于六棱柱的描述，错误的是（ ）
A．它的底面是六边形 B．它的所有棱长都相等
C．它是由8个面围成 D．它有12个顶点
5．（26-27七年级上·山东青岛·期中）下列说法不正确的是（ ）
A．用一个平面去截一个正方体可能截得五边形
B．五棱柱有10个顶点
C．沿直角三角形某条边所在的直线旋转一周，所得的几何体为圆柱
D．用圆规画圆，属于“点动成线”的现象
6．（26-27七年级上·山东青岛·期中）用一个平面去截一个正方体，如果截去的几何体是三棱锥，则剩下的几何体的顶点最少有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
7．（26-27七年级上·甘肃兰州·期中）一个漂亮的礼盒是底面为六边形的棱柱，那么它共有_____个顶点，_____个面，总棱数为______条．
8．（26-27七年级上·山东济南·期中）在航天科技领域，为了给航天器内的精密仪器设计冷却管道，工程师绘制出了如图所示的管道表面展开图．
(1)该几何体的名称是______________；
(2)根据图中所给信息，求该几何体的体积．（结果保留π）
9．（26-27七年级上·陕西·期中）某公司生产一种仿蜂巢形状的直立式储物箱，如图所示，它是一种常见的几何体，底面边长都是，侧棱长是，请解答下列问题：
(1)该几何体的名称是______棱柱，共有______个面；
(2)若用丝带给这个储物箱的每条棱上都包上边，所需丝带的长度是多少？
10．（26-27七年级上·陕西·期中）如图，这是一个几何体的表面展开图．
(1)用一个平面去截该几何体，截面形状可能是______填序号．
①三角形②四边形③六边形④七边形
(2)求该几何体的体积．
11．（26-27七年级上·陕西汉中·阶段检测）已知一个直棱柱有8个面，它的底面边长都是，侧棱长都是．
(1)该几何体的名称是 棱柱，共有 条棱；
(2)用一个平面去截这个几何体，截面形状可能是 ；（填序号）
①六边形；②七边形；③八边形；④九边形
(3)用丝带给这个几何体的每条棱上都缠上边，所需丝带的长度是多少厘米？
(4)这个棱柱的所有侧面的面积之和是多少？
◆题型2 点、线、面、体
12．（26-27七年级上·河北石家庄·期中）下雨时汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净属于下列哪个选项的实际应用（ ）
A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对
13．（26-27七年级上·甘肃兰州·期中）2026年神舟飞船返回舱返回地球，返回舱飞行划过的轨迹，体现的数学原理是（ ）
A．线动成面 B．面动成体 C．点动成线 D．以上都不对
14．（26-27七年级上·山东青岛·期中）下列现象中，能说明“点动成线”的是（ ）
A．钟面上秒针绕中心旋转一周 B．汽车雨刷在挡风玻璃上摆动
C．直角三角尺绕直角边旋转一周 D．用圆规画圆弧
15．（26-27七年级上·山东烟台·期中）汽车的雨刷器能把前挡风玻璃上的雨水刮干净，这一现象说明的数学事实是_______．①点动成线；②线动成面；③面动成体．（请填入正确答案的序号）
16．（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）探究：有一长6cm，宽4cm的矩形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴，旋转180°，得到一个圆柱，现可按照两种方案进行操作：
方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图①；
方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图②．
(1)旋转后形成的几何体是_____，这体现了____________（点线面之间的关系）
(2)请通过计算说明哪种方法构造的圆柱体积大？
◆题型3 直线、射线、线段的表示与计数
17．（25-26七年级上·福建福州·期末）下列几何图形与相应语言描述不相符的是（ ）．
A．如图乙所示，直线与直线交于点 B．如图甲所示，直线不经过点
C．如图丁所示，线段与射线一定相交 D．如图丙所示，点在线段上
18．（26-27七年级上·辽宁沈阳·开学考试）数一数，如图中一共有（ ）条线段．
A． B． C． D．
19．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）兰州市某公交线路上共设6个车站，则在这条线路上往返行车需要设计车票有（ ）
A．25种 B．15种 C．30种 D．21种
20．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）某列车往返于武汉站与南昌西站，途经鄂州、黄石北与庐山站，列车迷贤哥想收集该列车所有不同的车票（起点或终点不一样都算不同的车票），则他需要购买（ ）张车票
A．6 B．10 C．15 D．20
21．（26-27七年级上·四川成都·期中）如图所示，若图中共有a条线段，b条射线，c条直线，则_______．
22．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）有6个点，每两个点之间连一条线段，6个点最多可以连成___________条不同的线段．
◆题型4 “两点之间线段最短”及其应用
23．（25-26七年级上·四川南充·期末）小蕊认为从A地到B地，第③条路径最短，理由是（ ）
A．直线比曲线短 B．两点之间线段最短
C．两点之间直线最短 D．两点确定一条直线
24．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）年月日，汾石高速公路正式通车，标志着山西省提前一年完成“县县通高速”．施工过程中，修建桥梁、打通隧道都缩短了路程，其中体现的数学原理是________．
25．（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）操作题：如图，有一个正方体形状的桌子，正方形是它朝上的桌面，点是正方形的四个顶点，桌高是．
(1)一只蚂蚁要从正方形桌面的点爬行到点，请在图①中画出蚂蚁爬行的最短路线，并说明理由：_______；
(2)另有一只蚂蚁要从桌子脚的点（图中正方体的一个顶点）沿正方体桌子的外表面爬行到点，怎样爬行路线最短？请在图③中的横线上画出最短路线示意图．（画出一种即可）
26．（24-25七年级上·湖北咸宁·期末）如图，甲、乙两个圆柱体，底面半径分别为，高均为．
(1)请分别画出它们的侧面展开图并标注各边长；
(2)请用代数式表示两个圆柱体的侧面的面积之和______________；
(3)如果一只蚂蚁从点A沿甲圆柱体侧面爬行两圈到达点，另一只蚂蚁从点沿乙圆柱体侧面爬行一圈到达点，均沿最短路线爬行，请猜想：它们的路线长是否相等？请在（1）问所画的侧面展开图基础上，用虚线画出最短路线．
◆题型5 线段的和差与中点计算
27．（25-26七年级上·四川遂宁·期中）已知线段，直线上有一点C，且，点D是线段的中点，则线段的长（ ）．
A．3 B．6 C．3或7 D．3或6
28．（26-27七年级上·四川成都·期中）如图，线段，M是线段的中点．
(1)求线段、线段的长度；
(2)在线段上取一点N，使得，求线段的长．
29．（26-27七年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）如图，已知点，，都是线段上的点，线段，，点为线段的中点．
(1)若，求线段的长；
(2)在（1）的条件下，点在线段上，且，求的长．
◆题型6 角的度量、换算与钟面角
30．（24-25七年级上·河南信阳·阶段检测）下列换算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
31．（26-27七年级上·江西·期中）计算：______．
32．（25-26七年级上·广东·阶段检测）下午点分时，时针与分针的夹角是___________°．
33．（26-27七年级上·山东济南·期中）___________．
◆题型7 角的比较、角平分线
34．（25-26七年级上·福建福州·期末）若，，则________．（填“”或“”或“”）
35．（25-26七年级上·四川广元·期末）如图，若，，则的度数为________．
36．（25-26六年级下·山东东营·阶段检测）已知点O为直线上一点，将直角三角板如图所示放置，且直角顶点在O处，在内部作射线，且恰好平分．若，则的度数为__________．
37．（25-26七年级上·甘肃白银·期末）如图，射线平分，射线平分，则下列等式中成立的有______（填序号）
①；②；③；④．
◆题型8 余角与补角
38．（25-26七年级上·广东·阶段检测）已知，则的余角是（ ）
A． B． C． D．
39．（25-26七年级上·广东湛江·期末）已知一个角的度数是，则这个角的补角的度数是（ ）
A． B． C． D．
40．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，射线、、、、分别对应量角器上外圈的，，，， 刻度，则关于与的关系可表述为____________．
41．（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）一块三角板的直角顶点落在直尺上，按如图所示放置．
(1)___________°．
(2)若的补角比的2倍多，求的度数．
42．（25-26七年级上·北京·阶段检测）完成以下问题
(1)如图1，，点D是线段的中点，点C是线段上一点，且，求线段的长．
(2)如图2，是内部的两条射线，，求的度数．
(3)如图3，点O是直线上的一点，与互余，求的度数．
◆题型9 方位角及其应用
43．（25-26七年级上·山东滨州·期末）如图，某海域有三个小岛、、，在小岛处观测到小岛在它北偏东的方向上，观测到小岛在它南偏东的方向上，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
44．（25-26七年级上·福建莆田·期末）如图，下列说法错误的是（ ）
A．的方向是东南方向 B．的方向是南偏西
C．的方向是北偏西 D．的方向是北偏东
45．（25-26七年级上·四川南充·期末）如图，在处观察时，点在点的北偏西方向上，已知，则点在点的（ ）
A．南偏东方向上 B．北偏东方向上
C．东偏北方向上 D．北偏东方向上
46．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）如图，是北偏东方向的一条射线，若，则的方向是南偏东______________________＇．
47．（26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）学校运动会期间，小凯坐在看台点处观看比赛．如图，教学楼在看台的西偏北方向上，体育馆在看台的东偏南方向上．
(1)求从看台看教学楼和体育馆的视角（即）的度数；
(2)实验楼在的平分线上，则实验楼在看台的________方向上．
◆题型10 尺规作图与作图语言
48．（26-27七年级上·山东烟台·期中）小明在家用剪刀剪开了一个底面是正方形的长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分如图所示．
根据你所学的知识，回答下列问题：
(1)小明想将剪断的纸条重新粘贴到一起，而且经过折叠以后，仍然可以还原成原来的长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到图中的什么位置？请你帮助小明在图上补全．（一种情况即可）
(2)已知这个长方体纸盒高为，所有棱长的和是，求这个长方体纸盒的体积．
49．（26-27七年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）如图，点在线段上，点在线段外，完成以下问题：
(1)尺规作图：作直线，作射线，在射线上截取（保留作图痕迹，不写结论）；
(2)根据（1）所画图形，图中共有线段________条．
50．（26-27七年级上·福建厦门·阶段检测）点，，在同一条直线上，，．
(1)用直尺和圆规在射线上作线段，使．（尺规作图，保留作图痕迹）
(2)若，．根据题意画出示意图，并求的长．
51．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，射线位于的内部．在的外部作射线，使．
(1)请根据题意补全图形，并填空：______（用“>”“=”或“<”）；
(2)作的平分线，若，，求的度数．
52．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面上有三个点A，B，C，根据下列要求画图并作答：
(1)作直线，射线；
(2)作线段，延长至点，使得；
(3)比较线段长短：_______，比较角的大小：_______（填“”，“”或“”）．
◆题型1 正方体展开图
1.（25-26七年级上·福建泉州·期末）在图中的①②③④的任意一个位置上，放置一个相同的小正方形后所组成的图形不能折成一个正方体，则该放置的位置是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
2．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）春节快到了，小明同学准备了一份礼物送给自己的好朋友．如图所示，他设计了一个正方体盒子进行包装，由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子．
(1)共有 种弥补方法；
(2)任意画出一种成功的设计图（在图中补充），并将，，，，，这些数字分别填入六个小正方形中，使得折成的正方体相对面上的两个数相加得（直接在图中填上即可）．
3．（26-27七年级上·山东济南·期中）综合与实践
问题情境：学校综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒．
操作探究：
(1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图中的_______经过折叠能围成无盖正方体纸盒；
A． B． C． D．
(2)图1是小槐同学的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后，底面上的字是_______；
(3)图2是一张边长为的正方形废弃宣传单，小荫同学准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒．若四角各剪去一个边长为的小正方形：
①请你在图2中补全裁剪与折叠的痕迹（用实线表示裁剪线，虚线表示折痕）；
②求出这个纸盒的体积．
4．（26-27七年级上·四川达州·阶段检测）综合与实践
【问题情境】某综合实践小组计划用废弃的宣传单制作一个无盖纸盒．
【操作探究】在如图所示的四个图形中，图形 经过折叠能围成无盖正方体纸盒填字母
(1)【拓展延伸】如图，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒．
(2)
①请你在图中画出示意图，用实线表示剪切痕迹，虚线表示折痕；
②当四个角剪去的小正方形的边长都为时，求该纸盒的底面积与容积
5．（26-27七年级上·福建漳州·阶段检测）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的正方形卡纸，要求大家利用它制作一个无盖的正方体纸盒．小明按照图2的方式裁剪掉阴影部分，恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个无盖的礼品盒，如图3所示．
(1)如果正方形的边长为6，直接写出的值；
(2)小明在设计无盖正方体纸盒展开图（图2）时的方法是在正方形卡纸的四个直角的位置上分别剪去大小相等的小正方形．如果把正方形卡纸换成如图4所示的长方形卡纸，且规格为（单位：）．请你参考小明的方法，在图4的卡纸上进行设计，用阴影画出裁剪部分，用实线画出裁剪线，使剩下部分刚好是一个长为，宽为，高为的无盖长方体盒子（如图5所示）的展开图；
(3)今有一张如图6所示的长方形卡纸，且规格为（单位：）．现以你设计的纸盒展开图（图4）为基本样式，请你在图6的卡纸中画出设计示意图（包括这张卡纸可制作几个无盖的长方体盒子，其展开图在卡纸上的分布情况）．（要求：本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”给分，设计出的展开图个数最多才能得满分）
◆题型2 欧拉公式
6．（25-26七年级上·浙江·期末）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察图中几种简单多面体模型，解答下列问题：
(1)根据图中的多面体模型，填写表格中的空格：
多面体
顶点数（V）
面数（F）
棱数（E）
四面体
4
4
6
正方体
8
6
八面体
8
12
十二面体
20
12
30
(2)根据上面的表格，猜想顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是______（用所给的字母表示）．
(3)若一个多面体的面数比顶点数少14，且有48条棱，则这个多面体的面数是______．
(4)有一个玻璃饰品的外形是简单多面体，它共有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体的面数为，求的值．
7．（25-26七年级下·福建泉州·期末）【项目式学习】根据素材，探索完成任务：
材料：十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在着一个关系式，被称为欧拉公式，其实，你也可以做到！
名称
四面体
三棱柱
正八面体
正十二面体
图形
顶点数V
4
6
6
20
面数F
4
5
8
12
棱数E
6
9
12
30
(1)任务一：通过表格，你发现简单多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的数量关系式是______________________________；
(2)任务二：某设计师创作了一款多面体形状的灯具，已知它的面数比顶点数多10，且棱数比面数多8，求这个多面体的面数；
(3)任务三：如图，有一种足球是由若干块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮的是正五边形，白皮的是正六边形．它们的边长都相等并且每个正五边形周围连着5个正六边形，每个正六边形周围又连着3个正五边形和3个正六边形，求正五边形和正六边形的个数．
8．（25-26七年级上·江苏南京·期末）小明在参观科技馆时，发现很多矿物的结晶体有着其独特的几何形态和内在规律．黄铁矿的晶体（如图1）是一个正方体：它由六个面组成，每个面都是全等的正方形，每个顶点都连接3条棱．小明查阅资料后了解到，这种各面都是完全相同的正n边形，且各顶点连接r条棱的立体图形称为正多面体，如正方体又称为正六面体．
一个正F面体的每个面都是全等的正n边形，有V个顶点，E条棱，且每个顶点都连接r条棱．小明对部分正F面体（如图2）进行了观察，列出以下数据．
正多面体
F
n
V
E
r
正四面体
4
3
4
6
3
正方体
6
4
8
12
3
正八面体
8
3
6
12
4
(1)根据表中的数据，请写出F，V，E之间存在的等量关系式：________．
(2)小明进一步发现，正F面体中棱数与各面的边数之和以及棱数与各面的顶点数之和存在着一定的关系．
①从面出发：以正方体为例，它有6个面，每个面都有4条边，则六个面的边数之和为24．又因为正方体的两个面共用一条边，所以正方体的棱数为12．正F面体的棱数________；（用含n，F的代数式表示）
②从顶点出发：正F面体的棱数________．（用含r，V的代数式表示）
(3)已知一个正多面体有30条棱，且每个顶点连接5条棱，求这个正多面体的一个面是几边形．
9．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）通过第六章的学习，我们了解到简单多面体中顶点数、面数、棱数之间存在的一个有趣的关系（称为欧拉公式）．足球的表面是一个球面，在实际构造中，皮革片是弯曲的．但在数学建模时，我们可以将其近似为一个由平面多边形拼接而成的多面体，基于这个模型，数学兴趣小组想分析其顶点、面和棱的数量关系是否也满足欧拉公式．
(1)买来一个足球（图1）观察：发现这个足球是由12块黑色的正五边形和20块白色的正六边形构成的，每个顶点处有1个正五边形和2个正六边形．所以顶点数等于所有正五边形的顶点数或所有正六边形的顶点数的一半；因为每条棱连着两个面，所以棱数是正六边形和正五边形的边数之和的一半，发现也满足欧拉公式，请完成下表．
块数
一个顶点处的块数
边数
正五边形
12
1
正六边形
20
2
多面体
面数：32
顶点数：________
棱数：________
(2)查阅资料发现，也可以用正五边形、正方形和正三角形制作足球，如图2所示，每个顶点处有1个正五边形、2个正方形和1个正三角形，已知这个多面体有60个顶点，计算这个多面体的面数和棱数，并验证是否满足欧拉公式．
10．（25-26七年级上·江苏南京·期末）数学课上，鲍老师提出问题：观察下面几种简单多面体，每个多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间有怎样的数量关系？
同学们的思考如下：
多面体
顶点数（V）
面数（F）
棱数（E）
四面体
4
4
6
六面体
8
6
________
正八面体
________
8
12
正十二面体
20
12
30
我通过观察，根据表格数据猜想V、E、F之间的数量关系式是________
(1)完成以上解答．
(2)某玻璃饰品厂生产的一种玻璃饰品是一个简单多面体，它的外表面是由三角形构成，且面数与顶点数的比值，那么这个玻璃饰品是几面体？
(3)如果一个简单多面体的各个面为相同的正多边形，且各个顶点处结构完全相同，这样的多面体称为正多面体又称柏拉图立体，那么柏拉图立体共有________种．
◆题型3直线相交问题的交点个数问题
11．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）如图1，2条直线相交最多1个交点；如图2，3条直线相交最多3个交点；如图3，4条直线相交最多6个交点；那么10条直线交叉最多有_______个交点．
12．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，2条直线相交最多有1个交点，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点……，若n条直线两两相交最多有55个交点，则n的值是________．
13．（25-26七年级上·河南许昌·期末）观察下列直线相交的情况：
(1)两条直线相交，有1个交点；三条直线相交，最多有多少个交点？
(2)四条直线相交，最多有多少个交点？
(3)请你写出n条直线相交，最多有多少个交点的规律（用含n的代数式表示）．
14．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）我校始终秉承“发现每一个学生，成就每一个学生”的教育理念．在推进“学习即生活”作业设计大赛过程中，七年级某班学习小组“逐光组”在设计城市规划方案过程中遇到了一些有趣的问题，让我们一起来探究吧！
【问题探究】：
如图1，一条直线可以把平面分割成2个区域；如图2、图3，两条直线既可以把平面分割成3个区域，又可以分割成4个区域；如图4、图5、图6、图7三条直线可以把平面分割成4个、6个或7个区域．
（1）在一个平面内任意画直线，如果分割成的区域有四边形，则至少要画_____条直线．
（2）在（1）的条件下，这些直线可以把平面分割成_____个区域．
【解决问题】：
该“逐光组”想用最少的笔直道路围出一个五边形区域用于建造休闲娱乐活动中心，则这些道路会分割出_____个区域，至少需要建设_____个红绿灯．（注：直线交点个数等于红绿灯个数）
◆题型4 双中点与n等分点模型与动点问题
15．（25-26七年级上·广东·阶段检测）如图，点、、在同一直线上，在、之间，是的中点，是的中点，，，是的中点．
(1)求线段的长；
(2)求线段的长；
(3)求线段的长．
16．（26-27七年级上·江西宜春·阶段检测）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为．
【问题情境】数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向匀速运动，当点到达终点后，，两点都停止运动，设运动时间为秒（）．
(1)填空：，两点间的距离_________，线段的中点表示的数为_________．
(2)填空：当时，则点表示的数为____________，点表示的数为____________．
(3)当点到达终点时，运动时间为多少？此时线段的中点表示的数是多少？
【实践探究】
(4)利用数轴求出的最小值，并写出此时可取哪些整数值？
17．（26-27七年级上·吉林长春·期中）如图①，点把线段分成和两条线段，当时，称点是线段的内二倍分割点；如图②，当时，称点是线段的内二倍分割点．例如：如图③，数轴上，点、、、分别表示数、2、1、0，则点是线段的内二倍分割点，点是线段的内二倍分割点．
(1)如图④，、为数轴上的两点，点所表示的数为，点所表示的数为7，线段的内二倍分割点表示的数是_______，线段的内二倍分割点表示的数是_______；
(2)数轴上，点所表示的数为，点所表示的数为20．点从点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向左运动，设运动时间为秒．
（ⅰ）线段的长为_______；（用含的式子表示）
（ⅱ）当为_______时，、、三个点中恰有一个点为其余两点连成线段的内二倍分割点？
18．（25-26七年级上·陕西榆林·阶段检测）琪琪在学习了比较线段的长短时对下面问题产生了探究的兴趣．
如图1，图2，点C在线段上，M，N分别是，的中点．若，，求的长．
(1)根据题意，琪琪求得 ；
(2)琪琪在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊规律，于是她先将题中的条件一般化，并开始深入探究．
已知，C是线段上任意一点（不与点A，B重合），琪琪提出了如下三个问题，请你帮助琪琪解答：
①如图1，M，N分别是，的中点，则 ；
②如图2，M，N分别为靠近A、B的，的三等分点，即，，求的长；
③若M，N分别为靠近A、B的，的n等分点，即，，则 ．
19．（26-27七年级上·北京东城·期中）对于数轴上的点，，，，点，分别是线段，的中点，若，则将的值称为线段，的相对离散度，特别地，当点，重合时，规定．设数轴上的点表示的数是0，点表示的数是2．（参考材料：1、计算时，可利用乘法分配律得到，再次利用乘法分配律即可；2、若，则．其中，且；3、如图：点把线段分成相等的两条线段与，点叫作线段的中点）
(1)若数轴上点，，，表示的数分别是，，3，6，则线段的中点表示的数是_______，线段，的相对离散度是_______；
(2)数轴上，动点从点出发，沿数轴向正方向运动，速度为每秒2个单位；与此同时，动点从点出发，沿数轴向正方向运动，速度为每秒3个单位，当，的相对离散度，求运动时间的值；
(3)数轴上点，都在点的右侧（其中，不重合），点是线段的中点，设线段，的相对离散度为，线段，的相对离散度为，当时，直接写出所表示的数的取值范围．
◆题型5 双角平分线与n等分线模型
20．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）如图，已知点O为直线上一点，，是的平分线．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，是的平分线，求的度数．
21．（25-26七年级上·山西朔州·期末）综合与实践
在第六章《几何图形初步》的学习中，我们类比线段的研究内容和方法研究了角的有关问题．下面我们继续由特殊到一般类比探究以下问题：
已知点，在线段上，，分别是，的中点．
(1)特例感知：如图①，点在点的左侧，如果，，那么
①线段的长为__________；
②若，求线段的长；
(2)规律探索：如果，，则线段的长为__________；（用含，的代数式表示，结果最简）
(3)迁移应用：已知，射线在内部．
①如图②，如果，那么为____________________；
②如果射线也在内部，，射线在内部，且，射线在内部，且，请你直接写出的度数．
22．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）通过本学期的学习，我们已经知道“如果从角的顶点出发的一条射线把这个角分成两个相等角，那么这条射线叫做这个角的平分线”．类似，我们规定：“如果从角的顶点出发的两条射线把这个角分成三个相等角，那么这两条射线都称为这个角的三等分线”．例如：如图，射线，在内，且，那么是的三等分线，也是的三等分线．
(1)如图，，，判断是否是的三等分线，并说明理由．
(2)在（）的条件下，若是的三等分线，求的度数．
(3)在（）的条件下，如图，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，到达后停止．在射线出发秒后，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，到达后立即绕逆时针旋转，速度不变，到达后停止运动．当从出发时，开始计时，设时间为秒．当为的三等分线时，直接写出的值．
23．（25-26七年级上·福建福州·期末）（1）特例感知：如图①，已知线段，，线段在线段上运动（点A不超过点M，点B不超过点N），点C和点D分别是的中点．
①若，则_________；
②线段运动时，试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由；
（2）知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线和射线分别平分和．
①若，，则_________度；
②若，，求的值；
（3）类比探究：如图③，在内部转动，若，，，，则的度数为_________．（用含有、的式子表示）
24．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．类似的我们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的三分线；从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的四分线．显然，一个角的三分线、四分线都有两条．例如：如图1，若，则是的一条三分线；若，则是的另一条三分线．
(1)如图2，是的三分线，，若，则 ；
(2)如图3，，是的四分线，，过点O作射线，当刚好为的三分线时，求的度数；
(3)如图4，，射线是的两条三分线，将射线同时绕点O沿顺时针方向旋转，在旋转的过程中，若射线中恰好有一条射线是其它两条射线组成夹角的四分线，请直接写出的值．
◆题型6 三角板拼角、叠放与动角问题
25．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，一副三角板（）按图中的位置摆放时，恰有，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
26．（25-26七年级上·福建厦门·期末）数学活动课上，小明用一副三角板进行如下操作：第一步：将一副直角三角板的两个顶点放在同一个点处，且边与边在同一直线上，如图所示；第二步：保持三角板不动，将三角板绕点逆时针转动，当与重合时停止转动．若在转动过程中，射线始终分别平分和，则除平角和三角板本身的角外，大小不会发生改变的角是__________，其度数为__________．
27．（25-26七年级上·四川广元·期末）已知和互为邻补角，，将一个三角板的直角顶点放在点处（注：，）．
(1)如图①，使三角板的短直角边与射线重合，求的度数．
(2)将图①的三角板在的上方绕点逆时针转动，如图②，在转动过程中，当时，求的度数．
28．（26-27七年级上·河北石家庄·期中）综合与实践：
【实践操作】
在数学实践活动课上，励志小组准备研究如下问题：如图，点，，在同一条直线上，将一直角三角尺如图1放置，直角顶点与点重合，是直角，平分．
(1)若，则的度数为；
(2)将这一直角三角尺如图2放置，其他条件不变，若，求的度数；
(3)将这一直角三角尺如图3放置，其他条件不变，试探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
(4)将直角三角尺绕点顺时针旋转，旋转过程中始终平分，当时，请直接写的度数．
29．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图1，点在直线上，过点引一条射线，使，将一个直角三角尺的直角顶点放在点处，直角边在射线上，另一边在直线的下方．
【操作一】：将图1中的三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转，当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为秒．
(1)的度数是__________．
(2)三角尺的边旋转的度数可表示为__________（用含的代数式表示）；当__________时，．
【操作二】：如图2，射线与射线重合．如图3，在三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，射线绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，当三角尺完成旋转一周时停止，射线也停止旋转，设旋转的时间为秒．
(3)当为何值时，，并说明理由？
(4)试探索：在三角尺与射线旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得？若存在，请求出所有满足题意的的值；若不存在，请说明理由．
一、单选题
1．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）在下列现象中，不能用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（ ）
A．木匠弹墨线 B．打靶瞄准
C．弯曲公路改直 D．拉绳插秧
2．（25-26七年级上·山西朔州·期末）将一副三角尺按下列四种不同位置摆放，其中与互余的摆放方式是（ ）
A． B． C． D．
3．（26-27七年级上·四川达州·阶段检测）用硬卡纸做一个骰子，使该骰子的任意两个相对面的点数之和均为7，其表面的展开图如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．点数为2的面的相对面是A面 B．B面的点数为3
C．C面的点数为6 D．A，C两个面的点数之和为9
4．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）小丁通过举例推理，探究出多条直线两两相交时，交点数量的变化规律（如图）．按照这个规律计算，当直线两两相交最多出现190个交点时，直线的数量是（ ）
直线的条数
2
3
4
5
…
交点的个数
1
3
6
…
…
A．17 B．18 C．19 D．20
5．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）一个正方体切掉一个角后，剩下的几何体顶点的个数是（ ）
A．7或8 B．8或9 C．7或8或9 D．7或8或9或10
二、填空题
6．（26-27七年级上·四川达州·阶段检测）如图是某正方体的展开图，在顶点处标有数字，当把它折成正方体时，与重合的数字是______．
7．（26-27七年级上·四川达州·期中）如图，点、、是线段上的三个点，已知，，求图中以、、、，这5个点为端点的所有线段的和为 _______ ．
8．（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）如图，一个正方体的六个面分别写着六个连续的整数，且相对面上的两个整数的和都相等．将这个正方体放在桌面，将其以如图所示的方式滚动，每滚动算一次，请问滚动2027次后，正方体贴在桌面一面的数字是______．
9．（25-26七年级上·湖南怀化·期末）一副直角三角板如图1放置：直角三角板的边与直角三角板的边重合，点在线段的延长线上．如图2，将图1的直角三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转(当射线与射线重合时停止)，在旋转过程中始终平分，当满足时，三角板的运动时间为________秒．
10．（25-26七年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，已知为直线上一点，以为端点作射线，，将射线绕点逆时针旋转，旋转速度为，旋转后对应射线为，旋转时间为秒，当与重合时运动停止，射线为的角平分线，射线为的四等分线，即，当时，的值为___________或___________．
三、解答题
11．（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）综合与实践
【问题情境】在一次数学实践活动课上，同学们利用一张边长为的正方形纸板开展了“长方体纸盒的制作”实践活动
(1)图1中，是无盖正方体的表面展开图的是______．（填序号）
【操作探究】如图2，勤学小组的同学先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，制成了一个无盖的长方体纸盒．
如图3，善思小组的同学先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，制成了一个有盖的长方体纸盒．
【计算分析】
(2)①图2中的长方体纸盒的底面周长为______；
②图3中的长方体纸盒的体积为多少？（写出计算过程）
12．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，C，B两点在线段上（点C在点B左侧），点E在线段上，点F在线段上．
(1)如图1，点E为线段中点，点F为线段中点．
①若，，则的长为______；
②若，，求的长；
(2)如图2，当，时，，求的值．
13．（26-27七年级上·四川达州·期中）若，则称是的“余倍角”，例如：若，，则是的“余倍角”，但不是的“余倍角”．
(1)如图1，已知，在内存在一条射线，使得是的“余倍角”，此时 ；（直接填写答案）
(2)如图2，已知，若平面内存在射线、（在直线的上方），使得是的“余倍角”，且，求的大小；
(3)如图3，若，射线从出发绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线从出发绕点O以每秒的速度顺时针旋转，平分，平分，运动时间为t秒（）．若是的“余倍角”，求出此时t的值．
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