第六章 几何图形初步（高效培优单元测试·提升卷）数学新教材人教版七年级上册

第六章 几何图形初步（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B B D A B C D B C B D B 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．18 14．7或13 15．7 16． 17． 7 /128立方厘米 18． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 20．（8分） 【答案】(1)， (2)1 【详解】（1）解：由题意得， ∴，． （2）解：∵，． ∴原式． 21．（8分） 【答案】(1) (2)东北（或东偏北） 【详解】（1）解：如图，教学楼在看台的西偏北方向上，体育馆在看台的东偏南方向上， ∴，， ∴ ； （2）解：∵平分， ∴， ∴． ∴实验楼在看台的东北（或东偏北）方向上． 22．（8分） 【答案】(1) (2)4，1 【详解】（1）解：从正面看：共3列，从左到右每列的小正方形层数依次为3层、1层、2层，对应画出3列高度分别为3、1、2的正方形组合． 从左面看：共3列（对应几何体从左到右的前后行），从左到右每列的小正方形层数依次为3层、2层、1层，和题干给出的左视图特征一致． 从上面看：共3行3列，所有有底层小正方体的位置都画出1个小正方形，形状为：第一行（最靠前行）仅最左列有正方形，第二行左、中列有正方形，第三行（最靠后行）左、中、右列有正方形，总共6个小正方形． （2）解：求最多添加的数量： 先根据“从上面看”的图形，确定底层固定有6个占位位置；再结合“从左面看”的要求：最前行（对应左视图第一列）最多只能叠1层，中间行（对应左视图第二列）最多叠2层，最后行（对应左视图第三列）最多叠3层，计算所有位置的最大可容纳小正方体总数为：，原有10个小正方体，因此最多可添加 个． 求最多拿掉的数量： 在保持俯视图、左视图不变的前提下，仅中间行第二层的1个非底层、非最高层的小正方体可以移除，其余小正方体移除后都会破坏左视图或俯视图的形状，因此最多拿掉1个． 23．（10分） 【答案】(1)长方体 (2)①②③④ (3) 【详解】（1）解：∵该几何体的展开图共有6个面，且各面都是长方形， ∴此几何体为长方体． （2）解：∵长方体有六个面， ∴用平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形， ∴用一个平面去截长方体，截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形，不可能是七边形． （3）解：， ∴该几何体的表面积为． 24．（10分） 【答案】(1)如图点即为所求 (2) 【详解】（1）略 （2） 因为， 所以， 所以， 又因为线段的中点为M， 所以， 所以． 25．（10分） 【答案】(1)小红 (2) 【详解】（1）解：甲的体积为， 乙的体积为， ∴甲、乙两个立体图形的体积不相等， ∴同意小红的说法． （2）解：， 答：甲、乙两个立体图形的体积比是． 26．（10分） 【答案】(1) (2) (3)解：和的度数之间的关系是：，理由如下： 平分， ∴设， ， ∵点，，在同一条直线上， ， 是直角， ， ； (4)或 【详解】（1）解：是直角，， ， 平分， ， ∵点，，在同一条直线上， ； （2）解：是直角，， ， 平分， ， ∵点，，在同一条直线上， ； （3）略 （4）解依题意有以下两种情况： ①当在直线的上方时，如图4①所示： ∵点，，在同一条直线上，， ， 平分， ， 是直角， ； ②当在直线的下方时，如图4②所示： 同①得：， ∴， 综上，的度数为或． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 几何图形初步（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．诗人张协在《杂诗十首》中用“腾云似涌烟，密雨如散丝”描写雨的细密．其中“密雨如散丝”表现的数学原理是（     ） A．点是由线与线相交而成 B．点动成线 C．线动成面 D．面动成体 【答案】B 【详解】解：雨滴可视为点，散丝可视为线，密雨下落的过程对应点动成线的原理． 2．“”检查的原理是通过扫描，用平面截取物体得到截面图像，医生借助截面判断物体内部结构．已知一个物体外形是圆柱体，如图所示：为探明其内部构造，我们可以给这个物体做“检查”，即用一个竖直的平面从左到右截这个物体，得到一组自左向右的截面（如图），则这个物体的内部构造可能为（     ） A．球体 B．圆锥 C．圆柱 D．三棱柱 【答案】B 【详解】解：由题意可知，这个物体的内部构造可能为一个圆锥体． 3．已知一个角比它的余角的4倍还多，则这个角的补角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设这个角的度数为， ∵互余两角的和为， ∴这个角的余角为， 由题意列方程得：， 展开整理得， 解得， ∵互补两角的和为， ∴这个角的补角为． 4．用若干个大小相同的小立方块搭一个几何体，从三个方向看这个几何体得到的形状图如图所示，则该几何体是(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：该几何体是． 5．已知点，，是同一直线上的三个点，则下列条件中，能判断点是线段的中点的有（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①∵，，在同一直线上，且， ∴点C在线段上，且为线段的中点，符合条件； ②当点C在的延长线上时，可满足，但点C不在线段上，不是线段的中点，不符合条件； ③∵， ∴，且， 即点C在线段上， ∴点C是线段的中点，符合条件； ④当点C为线段上任意一点时，都满足，无法确定，不符合条件； 综上，符合条件的有2个． 6．如果乘火车从北京到上海，沿途共有25个车站（包括北京和上海在内），那么共需要准备多少种不同的车票（    ） A．400 B．25 C．300 D．100 【答案】C 【详解】解：∵乘火车从北京到上海为单向行程，任意两个车站间对应一种车票，等价于求25个点构成的线段总条数， ∴车票种数为． 7．如图，已知，，是的平分线，，则（     ） A．射线的方向为北偏东 B．射线的方向为北偏东 C．射线的方向为南偏西 D．射线的方向为南偏西 【答案】D 【详解】解：，， ， 是的平分线， ， ， 射线的方向为北偏东， 故A、B选项错误； ， ， ， ， ， ， 射线的方向为南偏西， 故C选项错误，D选项正确． 8．下面四个正方体中是由如图所示的图形折成的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：观察已知图形，图案与画横线图案是相对的面， A、C、D选项图案与画横线图案都是相邻的面，只有B选项符合题意． 9．七巧板被西方人称为“东方魔术”，下面的两幅图是由同一副七巧板拼成的．已知七巧板拼成的正方形（如图1），若图2的“小狐狸”图案中阴影部分面积记为，非阴影部分面积记为．若，________． A．18 B．19 C．20 D．22 【答案】C 【详解】由图可知“小狐狸”图案中阴影部分面积为图形①②③④的面积和，    设正方形的边长为， ∴， ∴， 解得 ∴． 10．数轴上依次有四个站点：星海公园、会展中心、东港、中山广场，相邻两段距离依次为、、．各站点工作人员人数分别为：星海公园 28 人，会展中心 7 人，东港 22 人，中山广场 5 人．要让所有人步行到集合点的总路程最短，集合点应设在（     ） A．星海公园 B．会展中心 C．东港 D．中山广场 【答案】B 【详解】解：设星海公园在数轴原点，按顺序可得四个站点的位置和人数：星海公园：，人；会展中心：，人；东港：，人；中山广场：，人，且； 分别计算总路程： 集合在星海公园：， 集合在会展中心：， 集合在东港：， 集合在中山广场：， ， ∴， ， ， ∴，，， ∴最小， 因此集合点应设在会展中心. 11．钟面上9点15时，时针与分针形成的最小夹角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：9点时，时针与分针的夹角为：， 9点15分时，时针从9点开始又走了15分钟， ∴时针15分钟走的度数为：， 分针15分钟走的度数为：， ∴此时时针与分针的夹角为：（大于平角）， 最小夹角为：． 12．如图，有公共端点的两条线段组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，则的值为（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【详解】解：∵是折线的“折中点”， ∴点将折线分成的两部分长度相等，均为． 分两种情况讨论： ①当点在线段上时，如图： 此时从到的距离为，则， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当点在线段上时，如图， 此时从到的距离为，则， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的值为2． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．如图是某直棱柱的侧面展开图，则该直棱柱的棱共有________条． 【答案】18 【详解】解：由图知侧棱有6条，则是一个六棱柱， ∴共有条棱． 14．已知线段，直线上有一点C，且，点M是线段的中点，点N是线段的中点，则_______． 【答案】7或13 【详解】解：∵ 点是线段的中点， ∴ ； ∵ 点是线段的中点， ∴ ． 当点在线段上时， ； 当点在线段的延长线上时， ． 15．如图，是由一些完全相同的小立方体搭成的几何体的主视图和俯视图，则这个几何体的搭法有________种． 【答案】7 【详解】解：由主视图和俯视图可得： 左列只能有1个正方体，右列的一行必有4个，另一行最少1个，最多４个， 所以最多有7种搭法． 16．如图，小明做了四个不同的模型，每个模型都由五个棱长为1的正方体组成，则能从墙面的空隙中钻过去的模型有___________个． 【答案】 【详解】解：图①和④从左边看到的图形为：，能从墙面的空隙中钻过去； 图②从左边和正面看到的图形均为：，从上面看到的图形为：，不能从墙面的空隙中钻过去； 图③从左边看到的图形为：，能从墙面的空隙中钻过去； ∴能从墙面的空隙中钻过去的模型有个． 17．图1为一个四棱柱包装盒，其底面是一个边长为的正方形．将这个包装盒沿某些棱剪开后展开，展开后如图2所示．从图1展开至图2，一共剪开了________条棱；若被剪开的棱的棱长和为，则四棱柱体积为________． 【答案】 7 /128立方厘米 【详解】解：∵四棱柱共12条棱，展开图相连的还有5条棱， ∴一共剪开了7条棱； 由题意得，四棱柱的高为， 体积为， ∴这个四棱柱的体积是． 18．如图，点在直线上，过作射线和，，是的平分线，已知，则_______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ， ， 点在直线上， ， ， 是的平分线， ， ， 解得． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 20．（8分）深圳某校毕业典礼设计一款正方体纪念礼盒，展开图如下： 已知正方体礼盒相对两个面上的数相加相等． (1)根据正方体展开图相对面关系，求出a和b的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)， (2)1 【详解】（1）解：由题意得， ∴，． （2）解：∵，． ∴原式． 21．（8分）学校运动会期间，小凯坐在看台点处观看比赛．如图，教学楼在看台的西偏北方向上，体育馆在看台的东偏南方向上． (1)求从看台看教学楼和体育馆的视角（即）的度数； (2)实验楼在的平分线上，则实验楼在看台的________方向上． 【答案】(1) (2)东北（或东偏北） 【详解】（1）解：如图，教学楼在看台的西偏北方向上，体育馆在看台的东偏南方向上， ∴，， ∴ ； （2）解：∵平分， ∴， ∴． ∴实验楼在看台的东北（或东偏北）方向上． 22．（8分）图中的几何体是用10个棱长相同的小正方体搭成的，其从左面看到的图形如下图所示． (1)请在上面方格纸中分别画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图． (2)如果保持这个几何体从上面看和从左面看到的图形不变，那么最多可以添加___________个小正方体，最多可以拿掉___________个小正方体． 【答案】(1) (2)4，1 【详解】（1）解：从正面看：共3列，从左到右每列的小正方形层数依次为3层、1层、2层，对应画出3列高度分别为3、1、2的正方形组合． 从左面看：共3列（对应几何体从左到右的前后行），从左到右每列的小正方形层数依次为3层、2层、1层，和题干给出的左视图特征一致． 从上面看：共3行3列，所有有底层小正方体的位置都画出1个小正方形，形状为：第一行（最靠前行）仅最左列有正方形，第二行左、中列有正方形，第三行（最靠后行）左、中、右列有正方形，总共6个小正方形． （2）解：求最多添加的数量： 先根据“从上面看”的图形，确定底层固定有6个占位位置；再结合“从左面看”的要求：最前行（对应左视图第一列）最多只能叠1层，中间行（对应左视图第二列）最多叠2层，最后行（对应左视图第三列）最多叠3层，计算所有位置的最大可容纳小正方体总数为：，原有10个小正方体，因此最多可添加 个． 求最多拿掉的数量： 在保持俯视图、左视图不变的前提下，仅中间行第二层的1个非底层、非最高层的小正方体可以移除，其余小正方体移除后都会破坏左视图或俯视图的形状，因此最多拿掉1个． 23．（10分）如图是一个几何体表面的展开图．（单位：） (1)该几何体的名称是________． (2)用一个平面截该几何体，截面的形状可能是________．（填序号） ①三角形；②四边形；③五边形；④六边形；⑤七边形． (3)求该几何体的表面积． 【答案】(1)长方体 (2)①②③④ (3) 【详解】（1）解：∵该几何体的展开图共有6个面，且各面都是长方形， ∴此几何体为长方体． （2）解：∵长方体有六个面， ∴用平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形， ∴用一个平面去截长方体，截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形，不可能是七边形． （3）解：， ∴该几何体的表面积为． 24．（10分）如图，已知线段． (1)尺规作图：延长线段到．使得，延长线段到．使得（不写作法，保留作图痕迹） (2)如果，设线段的中点为，求的长． 【答案】(1)如图点即为所求 (2) 【详解】（1）略 （2） 因为， 所以， 所以， 又因为线段的中点为M， 所以， 所以． 25．（10分）小军和小红分别以直角梯形的上底和下底所在的直线为轴，将梯形旋转一周，得到了两个立体图形．已知梯形上底、下底和高的长度分别是，小军说：我们旋转的平面图形是完全一样的，所以旋转后得到的两个立体图形的体积相等．小红：我不同意你的看法，我认为甲、乙两个立体图形的体积不相等． (1)你同意_________的说法． (2)如果你认为甲、乙体积相等，请分别计算它们的体积和；反之，求出它们的体积比． 【答案】(1)小红 (2) 【详解】（1）解：甲的体积为， 乙的体积为， ∴甲、乙两个立体图形的体积不相等， ∴同意小红的说法． （2）解：， 答：甲、乙两个立体图形的体积比是． 26．（10分）综合与实践： 【实践操作】 在数学实践活动课上，励志小组准备研究如下问题：如图，点，，在同一条直线上，将一直角三角尺如图1放置，直角顶点与点重合，是直角，平分． (1)若，则的度数为； (2)将这一直角三角尺如图2放置，其他条件不变，若，求的度数； (3)将这一直角三角尺如图3放置，其他条件不变，试探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； (4)将直角三角尺绕点顺时针旋转，旋转过程中始终平分，当时，请直接写的度数． 【答案】(1) (2) (3)解：和的度数之间的关系是：，理由如下： 平分， ∴设， ， ∵点，，在同一条直线上， ， 是直角， ， ； (4)或 【详解】（1）解：是直角，， ， 平分， ， ∵点，，在同一条直线上， ； （2）解：是直角，， ， 平分， ， ∵点，，在同一条直线上， ； （3）略 （4）解依题意有以下两种情况： ①当在直线的上方时，如图4①所示： ∵点，，在同一条直线上，， ， 平分， ， 是直角， ； ②当在直线的下方时，如图4②所示： 同①得：， ∴， 综上，的度数为或． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 几何图形初步（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．诗人张协在《杂诗十首》中用“腾云似涌烟，密雨如散丝”描写雨的细密．其中“密雨如散丝”表现的数学原理是（     ） A．点是由线与线相交而成 B．点动成线 C．线动成面 D．面动成体 2．“”检查的原理是通过扫描，用平面截取物体得到截面图像，医生借助截面判断物体内部结构．已知一个物体外形是圆柱体，如图所示：为探明其内部构造，我们可以给这个物体做“检查”，即用一个竖直的平面从左到右截这个物体，得到一组自左向右的截面（如图），则这个物体的内部构造可能为（     ） A．球体 B．圆锥 C．圆柱 D．三棱柱 3．已知一个角比它的余角的4倍还多，则这个角的补角的度数为（    ） A． B． C． D． 4．用若干个大小相同的小立方块搭一个几何体，从三个方向看这个几何体得到的形状图如图所示，则该几何体是(     ) A． B． C． D． 5．已知点，，是同一直线上的三个点，则下列条件中，能判断点是线段的中点的有（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如果乘火车从北京到上海，沿途共有25个车站（包括北京和上海在内），那么共需要准备多少种不同的车票（    ） A．400 B．25 C．300 D．100 7．如图，已知，，是的平分线，，则（     ） A．射线的方向为北偏东 B．射线的方向为北偏东 C．射线的方向为南偏西 D．射线的方向为南偏西 8．下面四个正方体中是由如图所示的图形折成的是（     ） A． B． C． D． 9．七巧板被西方人称为“东方魔术”，下面的两幅图是由同一副七巧板拼成的．已知七巧板拼成的正方形（如图1），若图2的“小狐狸”图案中阴影部分面积记为，非阴影部分面积记为．若，________． A．18 B．19 C．20 D．22 10．数轴上依次有四个站点：星海公园、会展中心、东港、中山广场，相邻两段距离依次为、、．各站点工作人员人数分别为：星海公园 28 人，会展中心 7 人，东港 22 人，中山广场 5 人．要让所有人步行到集合点的总路程最短，集合点应设在（     ） A．星海公园 B．会展中心 C．东港 D．中山广场 11．钟面上9点15时，时针与分针形成的最小夹角的度数是（     ） A． B． C． D． 12．如图，有公共端点的两条线段组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，则的值为（   ） A． B．2 C．3 D． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．如图是某直棱柱的侧面展开图，则该直棱柱的棱共有________条． 14．已知线段，直线上有一点C，且，点M是线段的中点，点N是线段的中点，则_______． 15．如图，是由一些完全相同的小立方体搭成的几何体的主视图和俯视图，则这个几何体的搭法有________种． 16．如图，小明做了四个不同的模型，每个模型都由五个棱长为1的正方体组成，则能从墙面的空隙中钻过去的模型有___________个． 17．图1为一个四棱柱包装盒，其底面是一个边长为的正方形．将这个包装盒沿某些棱剪开后展开，展开后如图2所示．从图1展开至图2，一共剪开了________条棱；若被剪开的棱的棱长和为，则四棱柱体积为________． 18．如图，点在直线上，过作射线和，，是的平分线，已知，则_______． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）计算： (1)． (2)． 20．（8分）深圳某校毕业典礼设计一款正方体纪念礼盒，展开图如下： 已知正方体礼盒相对两个面上的数相加相等． (1)根据正方体展开图相对面关系，求出a和b的值； (2)求代数式的值． 21．（8分）学校运动会期间，小凯坐在看台点处观看比赛．如图，教学楼在看台的西偏北方向上，体育馆在看台的东偏南方向上． (1)求从看台看教学楼和体育馆的视角（即）的度数； (2)实验楼在的平分线上，则实验楼在看台的________方向上． 22．（8分）图中的几何体是用10个棱长相同的小正方体搭成的，其从左面看到的图形如下图所示． (1)请在上面方格纸中分别画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图． (2)如果保持这个几何体从上面看和从左面看到的图形不变，那么最多可以添加___________个小正方体，最多可以拿掉___________个小正方体． 23．（10分）如图是一个几何体表面的展开图．（单位：） (1)该几何体的名称是________． (2)用一个平面截该几何体，截面的形状可能是________．（填序号） ①三角形；②四边形；③五边形；④六边形；⑤七边形． (3)求该几何体的表面积． 24．（10分）如图，已知线段． (1)尺规作图：延长线段到．使得，延长线段到．使得（不写作法，保留作图痕迹） (2)如果，设线段的中点为，求的长． 25．（10分）小军和小红分别以直角梯形的上底和下底所在的直线为轴，将梯形旋转一周，得到了两个立体图形．已知梯形上底、下底和高的长度分别是，小军说：我们旋转的平面图形是完全一样的，所以旋转后得到的两个立体图形的体积相等．小红：我不同意你的看法，我认为甲、乙两个立体图形的体积不相等． (1)你同意_________的说法． (2)如果你认为甲、乙体积相等，请分别计算它们的体积和；反之，求出它们的体积比． 26．（10分）综合与实践： 【实践操作】 在数学实践活动课上，励志小组准备研究如下问题：如图，点，，在同一条直线上，将一直角三角尺如图1放置，直角顶点与点重合，是直角，平分． (1)若，则的度数为； (2)将这一直角三角尺如图2放置，其他条件不变，若，求的度数； (3)将这一直角三角尺如图3放置，其他条件不变，试探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； (4)将直角三角尺绕点顺时针旋转，旋转过程中始终平分，当时，请直接写的度数． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $