第六章 几何图形初步（高效培优单元测试·强化卷）数学新教材人教版七年级上册

第六章 几何图形初步（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如图所示的是一个粮仓的外形图，其可以近似看作是由两个常见几何体组合而成，这两个几何体是（　　） A．长方体和圆锥 B．圆柱和圆锥 C．圆柱和长方体 D．球和圆柱 2．下列能判断点M是线段的中点的是（     ） A． B． C． D． 3．点A、B、C在同一直线上，，，则等于（     ）． A．2 B．8 C．2或8 D．无法确定 4．生活中，有下列两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（     ） A．均用两点之间线段最短来解释 B．均用经过两点有且只有一条直线来解释 C．现象用两点之间线段最短来解释，现象用经过两点有且只有一条直线来解释 D．现象用经过两点有且只有一条直线来解释，现象用两点之间线段最短来解释 5．如图，从登山电梯上的点处观察山顶处的仰角为与竖直方向的夹角分别为和，则从点处观察山脚处的俯角为（     ） A． B． C． D． 6．一个角的余角比它本身大，则这个角的补角的度数是（     ） A． B． C． D． 7．一个如图所示的有盖圆柱形水杯中装了半杯水，无论怎么放置水杯，水杯中水面的形状都不可能是（     ） A． B． C． D． 8．如图，一个几何体由5个大小相同、棱长为1的小立方块搭成，下列说法正确的是（    ） A．从上面看到的几何体的形状图的面积为5 B．从左面看到的几何体的形状图的面积为4 C．从正面看到的几何体的形状图的面积为4 D．从三个方面看到的几何体的形状图的面积都是4 9．如图，一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面和左面看到的这个几何体的形状图如图所示，则小立方块的个数可能是（     ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 10．把正方体的六个面分别标上六个字母，将大小相同，字母标注一样的三个正方体拼成如图所示的长方体，已知字母所在的面和字母所在的面相对，则字母所在的面和哪个字母所在的面相对（     ） A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 11．如图，，，平分，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 12．如图，点、、、在同一射线上，，线段（点在点的左边）长度为，线段从点与重合开始，沿射线向右运动，其速度为每秒个单位长度，运动时间为秒．下列说法正确的是（     ） ①若，则 ②若点和点均在线段上，且，则 ③若点是的中点，点是的中点，当时，或 ④若点在延长线上，点是的中点，点是的中点，则的值不变 A．①③ B．①②④ C．③④ D．②③④ 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．按如图所示的方式将一个正方体截去一个角后，剩下的几何体的面和棱的数量分别为_______、________． 14．2025年3月26日，我国成功发射天链二号04星，小琪准备制作一个正方体，使其每个表面上分别写有“天”“链”“二”“号”“04”“星”．如图是他做的无盖的正方体的展开图，需再补充一个写着“星”的正方形，则该正方形不能补充在______处（填序号）． 15．如图，一个长方体纸箱里面恰好可以装下桶A种饮料，如果改装B种饮料，且饮料不能高出纸箱，那么B种饮料最多可以装________桶． 16．如图，点、、是线段上的三个点，已知，，求图中以、、、，这5个点为端点的所有线段的和为 _______ ． 17．如图，已知线段，，半径，当点在的上方，且时，点绕着点以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点从点沿线段向点运动，若点、两点能相遇，则点的运动速度为_______． 18．如图，点B在直线上，、分别是、的平分线．若，则的度数为________． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）计算： (1)； (2)． 20．（8分）如图，点O是直线AB上一点，与互为余角，OD是的平分线． (1)直接写出的度数； (2)若，求的度数； (3)若，求的度数． 21．（8分）如图，平面内有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图（截取用圆规，并保留痕迹不写作法）． (1)画直线，画射线交直线于点E； (2)连接，用圆规在线段的延长线上截取． 22．（8分）如图，已知长方形的长为，宽为．将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，可以得到两个圆柱： (1)绕长所在直线旋转得到的圆柱，高为 ，底面周长为 ，侧面积为 (侧面积底面周长高)；绕宽所在直线旋转得到的圆柱，侧面积为 ．由此可以发现，这两个圆柱的侧面积大小 (填“相等”或“不相等”)． (2)若另有一个新长方形，它的长比原长方形的长多，宽比原长方形的宽少． ①用含、的整式表示新长方形的周长，并化简； ②通过整式的加减运算，说明新长方形的周长与原长方形的周长之间的关系． 23．（10分）如图1所示是一个正方体，其棱长为4，图2是图1的表面展开图（数字和字母写在外表面上，字母也可以表示数），请根据要求解答问题： (1)如果正方体相对面上的两个数之和相等，则 ， ； (2)如果面“2”在右面，面“4”在后面，则上面是面 （选填“6”“10”“x”或“y”）； (3)如图1，M，N为所在棱的中点，在图2中找出点M，N的位置，并求出的面积． 24．（10分）某综合与实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）请你通过动手操作完成以下任务．（纸板厚度及接缝处忽略不计） (1)动手操作一：根据图1所示方式制作一个无盖的长方体盒子． 方法：先在纸板四角剪去四个边长为的小正方形，再沿虚线折起来． 若，则该长方体纸盒的底面是________形，其边长为________；该长方体纸盒的容积为________； 拓展延伸： (2)动手操作二：根据图2所示方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法：先在纸板四角分别剪去两个边长为的小正方形和两个宽为的小长方形，再沿虚线折起． 若，该长方体纸盒的表面积是多少？容积是多少？ 25．（10分）【探索新知】 (1)如图1，将两把直角三角尺的直角顶点C叠放在一起． ①若，则________；若，则________； ②请直接写出与的数量关系________． 【深入探究】 (2)如图2，将两把同样的三角尺的角的顶点A重合在一起，则与有何数量关系？请说明理由； 【拓展延伸】 (3)如图3，已知，作，（α，β都是锐角，且），若在的内部，请直接写出与的数量关系． 26．（10分）对于数轴上的点和线段，给出如下定义：对于线段上一点，若，则称点是线段的“邻映点”． (1)点、表示的数分别是0，2．在，，中，线段的“邻映点”所表示的数有_____________； (2)线段的长为a． ①线段的“邻映点”所表示的数中，最大数与最小数的差为_____________（用含a的代数式表示）； ②数轴上另一条线段的长为，若存在点，使得同时是这两条线段的“邻映点”．我们把线段的所有“邻映点”中的最大数，与线段的所有“邻映点”中的最小数的差记作，则的最大值为_____________（用含、的代数式表示）． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 几何图形初步（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B C C D C A A C D B B D 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13． 7 12 14． 15．20 16．58 17．或 18．/度 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：． （2）解：原式． 20．（8分） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵与互为余角， ∴． ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴； （3）解：设，则． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴，解得． ∴． 21．（8分） 【答案】(1)如图，直线、射线和点即为所求； (2)如图，，即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 22．（8分） 【答案】(1)绕长所在直线旋转：高为，底面周长为，侧面积为；绕宽所在直线旋转：侧面积为；这两个圆柱的侧面积大小相等． (2)①新长方形的周长为；②新长方形的周长与原长方形的周长相等． 【详解】（1）解：绕长所在直线旋转一周，得到的圆柱的高为，底面圆的半径为． ∴底面周长为，侧面积为． 绕宽所在直线旋转一周，得到的圆柱的高为，底面圆的半径为． ∴底面周长为，侧面积为． ∵这两个圆柱的侧面积都等于， ∴这两个圆柱的侧面积大小相等． （2）解：①新长方形的长为，宽为， ∴新长方形的周长为． ②原长方形的周长为， ∵， ∴新长方形的周长与原长方形的周长相等． 23．（10分） 【答案】(1)； (2)6 (3)10 【详解】（1）解：求x、y的值 正方体展开图中，相对面不相邻： 数字2的对面是x，数字4的对面是y，数字6的对面是10， 先算相对面的和： ， 根据“相对面上两数之和相等”，可得： ， 解得； ， 解得． （2）解：已知面“2”在右面，面“4”在后面： 2的对面是x，因此左面是x； 4的对面是y，因此前面是y； 剩下的两个面是6和10，结合展开图的位置关系，此时上面为面6． （3）解：在展开图中定位M、N： M是对应棱的中点，N是对应棱的中点， 结合正方体棱长为4，可得以A为顶点，的底边长为，高为， 根据三角形面积公式： ． 24．（10分） 【答案】(1)正方，12，864 (2)长方体纸盒的表面积是，容积是 【详解】（1）解：由题意，该长方体纸盒的底面是正方形，底面边长为：， 该长方体纸盒的容积为：； （2）解：裁剪后折叠成长方体的长为：， 裁剪后折叠成长方体的宽为：， 裁剪后折叠成长方体的高为： ； ∴长方体纸盒的表面积为，容积为． 25．（10分） 【答案】(1)①；；② (2)．理由如下： ∵； ∴； (3)或或 【详解】（1）解：①当时， ∵， ∴ ∵， ∴； 当时， ∵， ∴ ∵， ∴． ②∵ ∴； 即 （2）略 （3）解：①在上方时， ∴； ②在内部， 同理可得：； ③在内部， ； ④在下方， ． 综上所述，或或． 26．（10分） 【答案】(1)， (2)①；② 【详解】（1）解：∵点、表示的数分别是0，2． ∴， 记线段的“邻映点”表示的数为， ∴或， 综上：在，，中，线段的“邻映点”所表示的数有，． （2）解：①∵线段的长为a， ∴设左端点表示的数为，则右端点表示的数为， 设线段的“邻映点”所表示的数为， ∴的最小值为，的最大值为， ∴线段的“邻映点”所表示的数中，最大数与最小数的差为： ． ②数轴上另一条线段的长为，若存在点，使得同时是这两条线段的“邻映点”，如图， ∴线段的所有“邻映点”中的最大数为， 线段的所有“邻映点”中的最小数为， ∴． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 几何图形初步（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如图所示的是一个粮仓的外形图，其可以近似看作是由两个常见几何体组合而成，这两个几何体是（　　） A．长方体和圆锥 B．圆柱和圆锥 C．圆柱和长方体 D．球和圆柱 【答案】B 【详解】解：观察图片可知，粮仓的上半部分是一个有尖顶，侧面为曲面且从底面逐渐收缩到顶点的形状，这符合圆锥的特征，所以粮仓上半部分是圆锥； 粮仓的下半部分是一个上下底面为等大的圆形，侧面展开是一个长方形(曲面)的形状，这符合圆柱的特征，所以粮仓下半部分是圆柱； ∴一座粮仓，它可以看作是由圆锥和圆柱几何体组成的； 故选：B． 2．下列能判断点M是线段的中点的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 点在线段上任意位置均满足， ∴ 选项A无法判断是线段的中点． ∵ 点不在线段上时，也可分别满足或， ∴ 选项B、D无法判断是线段的中点． ∵ ， ∴ ，即点在线段上， 又∵ ， ∴ 是线段的中点． ∴选项C能判断是线段的中点． 3．点A、B、C在同一直线上，，，则等于（     ）． A．2 B．8 C．2或8 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：分两种情况讨论： 当点在线段上时，如图， ； 当点在线段的延长线上时，如图， ； 综上所述，等于2或8． 4．生活中，有下列两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（     ） A．均用两点之间线段最短来解释 B．均用经过两点有且只有一条直线来解释 C．现象用两点之间线段最短来解释，现象用经过两点有且只有一条直线来解释 D．现象用经过两点有且只有一条直线来解释，现象用两点之间线段最短来解释 【答案】D 【详解】解：现象：木板上弹墨线，可用“两点确定一条直线”来解释； 现象：把弯曲的河道改直，可以缩短航程可用“两点之间线段最短”来解释， 故选：D． 5．如图，从登山电梯上的点处观察山顶处的仰角为与竖直方向的夹角分别为和，则从点处观察山脚处的俯角为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，作， ∴， ∵， ∴，即从点处观察山脚处的俯角为． 6．一个角的余角比它本身大，则这个角的补角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设这个角的度数为， 由题意得，列方程得， 解得， 即这个角为， ∴这个角的补角为． 7．一个如图所示的有盖圆柱形水杯中装了半杯水，无论怎么放置水杯，水杯中水面的形状都不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：对于选项A， ∵无论将圆柱形水杯怎样放置，水面的形状都不是一般的平行四边形， ∴该选项符合题意； 对于选项B， ∵当圆柱形水杯倾斜一定的角度时，水面的形状是椭圆， ∴该选项不符合题意； 对于选项C， ∵当圆柱形水杯水平放置时，水面的形状是长方形， ∴该选项不符合题意； 对于选项D， ∵当圆柱形水杯竖直放置时，水面的形状是圆， ∴该选项不符合题意． 8．如图，一个几何体由5个大小相同、棱长为1的小立方块搭成，下列说法正确的是（    ） A．从上面看到的几何体的形状图的面积为5 B．从左面看到的几何体的形状图的面积为4 C．从正面看到的几何体的形状图的面积为4 D．从三个方面看到的几何体的形状图的面积都是4 【答案】C 【详解】解：如图， 故从上面、左面、正面看到的几何体的形状图的面积分别为， 故C正确． 9．如图，一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面和左面看到的这个几何体的形状图如图所示，则小立方块的个数可能是（     ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 【答案】D 【详解】解：由从上面看到的图形可知，最底层有4个小立方块，分布为后排1个，前排3个， 由从左面看到的图形可知，该几何体共有层，且后排最高为1层，前排最高为2层， ∴后排位置只能有个小立方块，前排个位置中，至少有个位置叠放层，最多个位置叠放层， 若前排只有1个位置叠放层，则总数为， 若前排有个位置叠放层，则总数为， 若前排个位置都叠放层，则总数为， ∴小立方块的个数可能是或或． 10．把正方体的六个面分别标上六个字母，将大小相同，字母标注一样的三个正方体拼成如图所示的长方体，已知字母所在的面和字母所在的面相对，则字母所在的面和哪个字母所在的面相对（     ） A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 【答案】B 【详解】解：因为字母A所在的面和字母C所在的面相对，字母B所在的面和字母D、E所在的面相邻， 所以字母B所在的面和字母F所在的面相对，则字母D所在的面和字母E所在的面相对． 11．如图，，，平分，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 12．如图，点、、、在同一射线上，，线段（点在点的左边）长度为，线段从点与重合开始，沿射线向右运动，其速度为每秒个单位长度，运动时间为秒．下列说法正确的是（     ） ①若，则 ②若点和点均在线段上，且，则 ③若点是的中点，点是的中点，当时，或 ④若点在延长线上，点是的中点，点是的中点，则的值不变 A．①③ B．①②④ C．③④ D．②③④ 【答案】D 【详解】解：①分两种情况： 当点在线段上时， ，解得； 当点在延长线上时， ，解得； 故①错误； ②∵点、均在线段上， ∴，， ∵， ∴， 解得， 故②正确； ③∵，是中点， ∴， ∵，， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 当时，解得； 当时，解得； 故或2.25， 故③正确； ④∵点在延长线上， ， ∵是中点， ∴， ∵，， ∴． ∵是中点， ∴ ， ∴， ∴，是定值，故④正确； 综上，②③④正确． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．按如图所示的方式将一个正方体截去一个角后，剩下的几何体的面和棱的数量分别为_______、________． 【答案】 7 12 【详解】正方体共有6个面，12条棱，按题图所示的方式将一个正方体截去一个角后，正方体增加1个面，棱减少3条，又增加3条，所以剩下的几何体的面的数量为，棱的数量为． 14．2025年3月26日，我国成功发射天链二号04星，小琪准备制作一个正方体，使其每个表面上分别写有“天”“链”“二”“号”“04”“星”．如图是他做的无盖的正方体的展开图，需再补充一个写着“星”的正方形，则该正方形不能补充在______处（填序号）． 【答案】 【详解】解： ∵正方体的表面展开图中不能出现“田”字形结构， ∴若将正方形补充在②处，则“天”“②”“链”“二”四个正方形组成“田”字形， ∴该正方形不能补充在②处， 而补充在①、③、④处均能折叠成正方体． 15．如图，一个长方体纸箱里面恰好可以装下桶A种饮料，如果改装B种饮料，且饮料不能高出纸箱，那么B种饮料最多可以装________桶． 【答案】20 【详解】解：纸箱长（厘米），纸箱宽（厘米），纸箱高14厘米 将B种饮料的高沿长方体的宽进行摆放， 长可以摆放（桶），宽可以摆放（桶），高可以摆放（桶）……2（厘米） 最多可以装（桶） 因此最多可以装20桶． 16．如图，点、、是线段上的三个点，已知，，求图中以、、、，这5个点为端点的所有线段的和为 _______ ． 【答案】58 【详解】解：图中以、、、、 这5个点为端点的线段共有10条，分别为：，， ，，，，，，，， 所有线段的和为：， 将各项重新组合得：， ∵，，，， ∴， 即， ∵，， ∴． 17．如图，已知线段，，半径，当点在的上方，且时，点绕着点以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点从点沿线段向点运动，若点、两点能相遇，则点的运动速度为_______． 【答案】或 【详解】解：当点N与点M在点O左边相遇时， 则点N的速度为， 当点N与点M在点O右边相遇时， 则点N的速度为； 综上所述，点N的速度为或， 故答案为：或． 18．如图，点B在直线上，、分别是、的平分线．若，则的度数为________． 【答案】/度 【详解】解：∵、分别是、的平分线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：． （2）解：原式． 20．（8分）如图，点O是直线AB上一点，与互为余角，OD是的平分线． (1)直接写出的度数； (2)若，求的度数； (3)若，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵与互为余角， ∴． ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴； （3）解：设，则． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴，解得． ∴． 21．（8分）如图，平面内有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图（截取用圆规，并保留痕迹不写作法）． (1)画直线，画射线交直线于点E； (2)连接，用圆规在线段的延长线上截取． 【答案】(1)如图，直线、射线和点即为所求； (2)如图，，即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 22．（8分）如图，已知长方形的长为，宽为．将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，可以得到两个圆柱： (1)绕长所在直线旋转得到的圆柱，高为 ，底面周长为 ，侧面积为 (侧面积底面周长高)；绕宽所在直线旋转得到的圆柱，侧面积为 ．由此可以发现，这两个圆柱的侧面积大小 (填“相等”或“不相等”)． (2)若另有一个新长方形，它的长比原长方形的长多，宽比原长方形的宽少． ①用含、的整式表示新长方形的周长，并化简； ②通过整式的加减运算，说明新长方形的周长与原长方形的周长之间的关系． 【答案】(1)绕长所在直线旋转：高为，底面周长为，侧面积为；绕宽所在直线旋转：侧面积为；这两个圆柱的侧面积大小相等． (2)①新长方形的周长为；②新长方形的周长与原长方形的周长相等． 【详解】（1）解：绕长所在直线旋转一周，得到的圆柱的高为，底面圆的半径为． ∴底面周长为，侧面积为． 绕宽所在直线旋转一周，得到的圆柱的高为，底面圆的半径为． ∴底面周长为，侧面积为． ∵这两个圆柱的侧面积都等于， ∴这两个圆柱的侧面积大小相等． （2）解：①新长方形的长为，宽为， ∴新长方形的周长为． ②原长方形的周长为， ∵， ∴新长方形的周长与原长方形的周长相等． 23．（10分）如图1所示是一个正方体，其棱长为4，图2是图1的表面展开图（数字和字母写在外表面上，字母也可以表示数），请根据要求解答问题： (1)如果正方体相对面上的两个数之和相等，则 ， ； (2)如果面“2”在右面，面“4”在后面，则上面是面 （选填“6”“10”“x”或“y”）； (3)如图1，M，N为所在棱的中点，在图2中找出点M，N的位置，并求出的面积． 【答案】(1)； (2)6 (3)10 【详解】（1）解：求x、y的值 正方体展开图中，相对面不相邻： 数字2的对面是x，数字4的对面是y，数字6的对面是10， 先算相对面的和： ， 根据“相对面上两数之和相等”，可得： ， 解得； ， 解得． （2）解：已知面“2”在右面，面“4”在后面： 2的对面是x，因此左面是x； 4的对面是y，因此前面是y； 剩下的两个面是6和10，结合展开图的位置关系，此时上面为面6． （3）解：在展开图中定位M、N： M是对应棱的中点，N是对应棱的中点， 结合正方体棱长为4，可得以A为顶点，的底边长为，高为， 根据三角形面积公式： ． 24．（10分）某综合与实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）请你通过动手操作完成以下任务．（纸板厚度及接缝处忽略不计） (1)动手操作一：根据图1所示方式制作一个无盖的长方体盒子． 方法：先在纸板四角剪去四个边长为的小正方形，再沿虚线折起来． 若，则该长方体纸盒的底面是________形，其边长为________；该长方体纸盒的容积为________； 拓展延伸： (2)动手操作二：根据图2所示方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法：先在纸板四角分别剪去两个边长为的小正方形和两个宽为的小长方形，再沿虚线折起． 若，该长方体纸盒的表面积是多少？容积是多少？ 【答案】(1)正方，12，864 (2)长方体纸盒的表面积是，容积是 【详解】（1）解：由题意，该长方体纸盒的底面是正方形，底面边长为：， 该长方体纸盒的容积为：； （2）解：裁剪后折叠成长方体的长为：， 裁剪后折叠成长方体的宽为：， 裁剪后折叠成长方体的高为： ； ∴长方体纸盒的表面积为，容积为． 25．（10分）【探索新知】 (1)如图1，将两把直角三角尺的直角顶点C叠放在一起． ①若，则________；若，则________； ②请直接写出与的数量关系________． 【深入探究】 (2)如图2，将两把同样的三角尺的角的顶点A重合在一起，则与有何数量关系？请说明理由； 【拓展延伸】 (3)如图3，已知，作，（α，β都是锐角，且），若在的内部，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)①；；② (2)．理由如下： ∵； ∴； (3)或或 【详解】（1）解：①当时， ∵， ∴ ∵， ∴； 当时， ∵， ∴ ∵， ∴． ②∵ ∴； 即 （2）略 （3）解：①在上方时， ∴； ②在内部， 同理可得：； ③在内部， ； ④在下方， ． 综上所述，或或． 26．（10分）对于数轴上的点和线段，给出如下定义：对于线段上一点，若，则称点是线段的“邻映点”． (1)点、表示的数分别是0，2．在，，中，线段的“邻映点”所表示的数有_____________； (2)线段的长为a． ①线段的“邻映点”所表示的数中，最大数与最小数的差为_____________（用含a的代数式表示）； ②数轴上另一条线段的长为，若存在点，使得同时是这两条线段的“邻映点”．我们把线段的所有“邻映点”中的最大数，与线段的所有“邻映点”中的最小数的差记作，则的最大值为_____________（用含、的代数式表示）． 【答案】(1)， (2)①；② 【详解】（1）解：∵点、表示的数分别是0，2． ∴， 记线段的“邻映点”表示的数为， ∴或， 综上：在，，中，线段的“邻映点”所表示的数有，． （2）解：①∵线段的长为a， ∴设左端点表示的数为，则右端点表示的数为， 设线段的“邻映点”所表示的数为， ∴的最小值为，的最大值为， ∴线段的“邻映点”所表示的数中，最大数与最小数的差为： ． ②数轴上另一条线段的长为，若存在点，使得同时是这两条线段的“邻映点”，如图， ∴线段的所有“邻映点”中的最大数为， 线段的所有“邻映点”中的最小数为， ∴． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $