第二章 几何图形的初步认识（单元自测）数学新教材冀教版七年级上册

第二章 几何图形的初步认识 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分） 1．下列几何体中是圆锥的是（ ） A． B． C． D． 2．下列说法错误的是（ ） A．棱柱的所有面都是平的 B．中国武术中“横扫一大片”用数学知识诠释是线动成面 C．绕直角三角形最短边旋转一周得到的立体图形是圆柱 D．用两个钉子就可以把木条固定在墙上运用的数学原理是两点确定一条直线 3．下列几何体中，属于柱体的是（ ） ①圆柱 ②圆锥 ③长方体 ④球 ⑤三棱柱 A．①②③ B．②③④ C．①③⑤ D．②④⑤ 4．下列说法与如图的几何图形相符的是（ ） A．点在直线上 B．射线与射线为同一条射线 C．也可以表示为 D．直线与直线为同一条直线 5．下列说法中错误的有（ ） ①线段有两个端点；②角的大小与我们画出的角的两边的长短无关；③线段上有无数个点；④两点之间线段最短；⑤两个锐角的和一定大于直角． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．下列说法中，不正确的有（ ） （1）射线和射线是同一条射线；（2）延长射线至点C；（3）由两条射线组成的图形叫角；（4）锐角的补角一定大于这个角本身；（5）用两颗钉子固定一根木条依据的原理是“两点之间线段最短” A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．根据语句“直线与直线相交，点在直线上，直线不经过点”，画出的图形正确的是（ ） A． B． C． D． 8．点是线段的中点，点是线段的三等分点．若线段，则线段的长为（ ） A． B． C．或 D．或 9．如图，两条直线相交最多有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点，依此类推，10条直线相交，最多交点的个数是（ ） A．36 B．45 C．55 D．66 10．下列说法正确的是（ ） A．射线和射线是同一条射线 B．两点之间，直线最短 C．延长线段到C使 D．若，则是的平分线 11．如图①，以所在的直线为轴，旋转后得到的立体图形是（ ） A． B． C． D． 12．如图，已知C为线段的中点，D为的中点，下列结论：①，②，③，其中正确的是（ ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分） 13．如图，将三角形绕点O逆时针方向旋转后得到三角形，若，则的度数是________． 14．已知在同一平面内，，射线在的外部，平分，若，则________． 15．如图，点在直线上，，平分，则的度数为________． 16．直线，，的位置关系如图所示，下列语句：①点在直线上；②直线经过点；③直线，交于点；④点在直线外；⑤图中共有条射线，以上表述正确的有________.（只填写序号） 三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分） 17．（7分）如图，一块三角板的直角顶点在直线上，若． （1）请用圆规和直尺在边上确定一点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）基础上，计算的大小． 18．（8分）如图，已知线段，线段． （1）尺规作图（均保留作图痕迹，不写作法）： ①在线段的延长线上作； ②在线段上求作点，使． （2）若． ①通过计算说明点是否为线段的中点； ②若点在线段上，且，直接写出的长． 19．（8分）综合与实践 在第六章《几何图形初步》的学习中，我们类比线段的研究内容和方法研究了角的有关问题．下面我们继续由特殊到一般类比探究以下问题： 已知点，在线段上，，分别是，的中点． （1）特例感知：如图①，点在点的左侧，如果，，那么 ①线段的长为________； ②若，求线段的长； （2）规律探索：如果，，则线段的长为________；（用含，的代数式表示，结果最简） （3）迁移应用：已知，射线在内部． ①如图②，如果，那么为________； ②如果射线也在内部，，射线在内部，且，射线在内部，且，请你直接写出的度数． 20．（8分）如图1，水车是我国古代劳动人民发明的一种灌溉工具，它主要由水轮和支撑架等部件组成．某景区打算修建一台水车作为景观，水车的结构如图2所示，在水轮内安装根辐条，每相邻两根辐条的夹角相等，在辐条外端点安装个竹筒，依次记为，，…，，三角形为支撑架，且． （1）求出相邻两根辐条夹角的度数； （2）若水车以固定的速度绕水轮的中心逆时针转动，转动一周需分钟．的平分线与水轮边缘交于点，每个竹筒在处装满水，当装满水的竹筒所在辐条转动到与的夹角为（即）时，竹筒开始倒水． ①计算竹筒从装满水到开始倒水需要几分钟； ②当水轮转动到如图2位置时，判断与的数量关系，说明理由． 21．（9分）把一副三角尺与 按如图所示那样拼在一起，其中A、B、D三点在同一直线上， BM为 的平分线． （1）求 和 的度数； （2）若为 的平分线，求的度数． （3）若将图中三角尺逆时针旋转20度， 则大小变化吗？（选填不变、增大或缩小多少度）请直接写出结论． 22．（9分）计算： （1）； （2）． 23．（11分）如图，点A，O，B在同一条直线上，分别是和的平分线． （1）直接写出所有与互余的角为________； （2）如果，求的度数． 24．（12分）（1）特例感知： 如图①，已知线段，线段在线段上运动，分别是的中点． ①若，则________． ②在线段的运动过程中，线段的长度是否发生变化？如果不发生变化请求出的长度，如果发生变化，请说明理由． （2）知识迁移： 我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，则________； ②请你猜想和三个角之间有怎样的数量关系． （3）类比探究： 如图③，在内部转动，若，，，请直接用含有k的式子表示的度数． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 几何图形的初步认识 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分） 1．下列几何体中是圆锥的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了简单几何体的认识，逐项分析每个几何体所代表的图形，即可得出结果，熟练掌握简单几何体的认识是解此题的关键． 【解析】A、该几何体是圆台，不符合题意； B、该几何体是三棱锥，不符合题意； C、该几何体是圆锥，符合题意； D、该几何体是长方体，不符合题意； 故选C． 2．下列说法错误的是（ ） A．棱柱的所有面都是平的 B．中国武术中“横扫一大片”用数学知识诠释是线动成面 C．绕直角三角形最短边旋转一周得到的立体图形是圆柱 D．用两个钉子就可以把木条固定在墙上运用的数学原理是两点确定一条直线 【答案】C 【分析】本题考查几何基本概念，点、线、面之间的关系，旋转图形，正确理解点动成线，线动成面是解题关键． 通过判断每个选项的正确性，A、B、D均符合几何基本概念，而C选项描述的旋转图形错误． 【解析】A选项：棱柱的定义是所有面都是平面，正确，不符合题意； B 选项：“线动成面”是几何运动的基本概念，正确，不符合题意； C选项：绕直角三角形最短边（一条直角边）旋转一周，得到的立体图形是圆锥，而非圆柱，符合题意； D选项：两点确定一条直线是几何公理，正确，不符合题意； 故选C． 3．下列几何体中，属于柱体的是（ ） ①圆柱 ②圆锥 ③长方体 ④球 ⑤三棱柱 A．①②③ B．②③④ C．①③⑤ D．②④⑤ 【答案】C 【解析】①圆柱属于柱体； ②圆锥不属于柱体； ③长方体属于柱体； ④球不属于柱体； ⑤三棱柱属于柱体； 综上，属于柱体的有①③⑤．故选C． 4．下列说法与如图的几何图形相符的是（ ） A．点在直线上 B．射线与射线为同一条射线 C．也可以表示为 D．直线与直线为同一条直线 【答案】D 【分析】本题考查了直线、射线、线段，角的表示方法，熟练掌握相关概念是解题的关键． 根据直线、射线、线段以及角的概念，结合图形，逐项分析判断即可得出答案． 【解析】A、点在直线上，不在直线上，故原说法错误，不符合题意； B、射线与射线为不同的射线，故原说法错误，不符合题意； C、不能表示为，故原说法错误，不符合题意； D、直线与直线为同一条直线，故原说法正确，符合题意； 故选D． 5．下列说法中错误的有（ ） ①线段有两个端点；②角的大小与我们画出的角的两边的长短无关；③线段上有无数个点；④两点之间线段最短；⑤两个锐角的和一定大于直角． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查的是角、线段和直线的端点特征，解题的关键是熟知其定义性质．利用线段、角的性质特点即可依次判断． 【解析】①线段有两个端点，正确； ②角的大小与我们画出的角的两边的长短无关，正确； ③线段上有无数个点，正确； ④两点之间线段最短，正确； ⑤两个锐角的和可以是直角、锐角、钝角，故错误；错误的共有1个， 故选A． 6．下列说法中，不正确的有（ ） （1）射线和射线是同一条射线；（2）延长射线至点C；（3）由两条射线组成的图形叫角；（4）锐角的补角一定大于这个角本身；（5）用两颗钉子固定一根木条依据的原理是“两点之间线段最短” A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了射线、角、补角和几何原理，掌握相关知识点的定义是解题的关键． 根据相关知识点的定义，逐一判断各说法的正确性，即可求解． 【解析】 （1）如图，射线以A为端点向B方向延伸，射线以B为端点向A方向延伸，两者延伸方向不同，不是同一条射线，故说法（1）错误， （2）射线是无限延伸的，无法延长，故说法（2）错误， （3）角由两条有公共端点的射线组成，缺少公共端点条件，故说法（3）错误， （4）设锐角为，则补角，补角大于锐角本身，故说法（4）正确， （5）两颗钉子固定木条依据“两点确定一条直线”，非“两点之间线段最短”，故说法（5）错误， 综上所述，说法（1）（2）（3）（5）错误，共4个不正确． 故选C． 7．根据语句“直线与直线相交，点在直线上，直线不经过点”，画出的图形正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了画出直线、射线、线段，点与线的位置关系，根据题意画出的图形即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【解析】根据语句“直线与直线相交，点在直线上，直线不经过点”，画出的图形正确的是， ， 故选D． 8．点是线段的中点，点是线段的三等分点．若线段，则线段的长为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差、线段的中点、三等分点，关键是灵活利用知识点解题；分别考虑点在上的两种位置情况，利用线段中点、三等分点的性质，通过线段和差关系计算的长度． 【解析】∵点是线段的中点， ∴， ①当时， ∵， ∴，， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，线段的长为或， 故选C. 9．如图，两条直线相交最多有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点，依此类推，10条直线相交，最多交点的个数是（ ） A．36 B．45 C．55 D．66 【答案】B 【分析】本题考查了图形的变化，是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律． 先找出规律，进而作答即可． 【解析】 如图，两条直线相交最多有1个交点，即； 三条直线相交最多有3个交点，即； 四条直线相交最多有6个交点，即； ……； ∴n条直线两两相交，最多有个交点（n为正整数，且）； ∴当时，最多有个交点． 故选B． 10．下列说法正确的是（ ） A．射线和射线是同一条射线 B．两点之间，直线最短 C．延长线段到C使 D．若，则是的平分线 【答案】C 【分析】本题考查了线段、射线的定义，两点之间线段最短，角平分线的定义． 根据线段、射线的定义，两点之间线段最短，角平分线的定义逐一判断即可． 【解析】射线和射线方向相反，不是同一条射线，A错误； 两点之间，线段最短，B错误； 延长线段到C使，操作可行，C正确； 时，可能不在内部，不一定平分角，D错误； 故选C． 11．如图①，以所在的直线为轴，旋转后得到的立体图形是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面图形的旋转，根据面动成体的原理，结合题意即可得出答案，理解平面图形的旋转是解题的关键． 【解析】 解：以所在的直线为轴，旋转后得到的立体图形是， 故选D． 12．如图，已知C为线段的中点，D为的中点，下列结论：①，②，③，其中正确的是（ ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段中点的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据线段的中点性质及线段的和差逐项进行证明即可． 【解析】①∵C为线段的中点，D为的中点， ∴， ∵， ∴， 故①正确； ②∵C为线段的中点，D为的中点， ∴， ∴， 故②正确； ③∵， ∴③正确； 综上，正确的选项是①②③， 故选A． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分） 13．如图，将三角形绕点O逆时针方向旋转后得到三角形，若，则的度数是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的变换以及几何图形中角度计算，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 根据旋转的性质可得，再结合，利用求解即可． 【解析】∵将绕点按逆时针方向旋转后得到， ∴， 又∵， ∴． 故答案为． 14．已知在同一平面内，，射线在的外部，平分，若，则________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角的和差，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想． 分两种情况进行讨论，根据线段的和差以及角平分线的定义进行求解即可． 【解析】分两种情况： ①如图所示， 此时，， ∵平分， ∴； ②如图所示， 此时，， ∵平分， ∴； 故答案为或． 15．如图，点在直线上，，平分，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，熟练掌握角度的计算是解题的关键． 由求出的度数，再根据角平分线的定义求解即可． 【解析】， ． ， ． 平分， ． 故答案为． 16．直线，，的位置关系如图所示，下列语句：①点在直线上；②直线经过点；③直线，交于点；④点在直线外；⑤图中共有条射线，以上表述正确的有________.（只填写序号） 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查直线、射线、线段，熟练掌握相关概念是解题的关键．根据直线、线段、射线的相关概念可进行求解． 【解析】由图可知： ①点在直线外，故原说法错误； ②直线经过点，原说法正确； ③直线、交于点，故原说法正确； ④点在直线外，原说法正确； ⑤图中是射线的有：射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线共条，故原说法正确； 以上表述正确的有②③④； 故答案为②③④． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分） 17．（7分）如图，一块三角板的直角顶点在直线上，若． （1）请用圆规和直尺在边上确定一点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）基础上，计算的大小． 【答案】（1） 如图，点为所求作的点． （2） 【分析】题目主要考查作一个角等于已知角，角度的计算，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）根据题意作一个角等于已知角即可； （2）根据图形求解即可． 【解析】（1）略 （2）由题意得，． 18．（8分）如图，已知线段，线段． （1）尺规作图（均保留作图痕迹，不写作法）： ①在线段的延长线上作； ②在线段上求作点，使． （2）若． ①通过计算说明点是否为线段的中点； ②若点在线段上，且，直接写出的长． 【答案】（1） ①如图，线段为所求； ②如图，线段为所求． （2） 证明：∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴点D是线段的中点． ② 【分析】本题考查作尺规作图——作线段等于已知线段，线段的和差． （1）①延长，以点B为圆心，线段的长为半径画弧，交的延长线于点C，则线段为所求； ②以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，交于点D，则线段为所求； （2）①先求出，从而，即可得到点D是线段的中点； ②根据线段的和差得到，根据，且，求得，，再根据即可解答． 【解析】（1）①略 ②略 （2）解：①略 ②∵，， ∴， ∵，且， ∴，， ∴． 19．（8分）综合与实践 在第六章《几何图形初步》的学习中，我们类比线段的研究内容和方法研究了角的有关问题．下面我们继续由特殊到一般类比探究以下问题： 已知点，在线段上，，分别是，的中点． （1）特例感知：如图①，点在点的左侧，如果，，那么 ①线段的长为________； ②若，求线段的长； （2）规律探索：如果，，则线段的长为________；（用含，的代数式表示，结果最简） （3）迁移应用：已知，射线在内部． ①如图②，如果，那么为________； ②如果射线也在内部，，射线在内部，且，射线在内部，且，请你直接写出的度数． 【答案】（1）①6；②5 （2） （3）①23；36；②的度数为或. 【分析】（1）①根据线段的和差关系进行求解即可；②根据线段的和差关系结合线段中点的定义，进行求解即可； （2）根据线段中点的定义结合线段的和差关系进行求解即可； （3）①根据角的和差关系进行求解即可；②分射线在内部和射线在内部两种情况进行讨论求解即可. 【解析】（1）解：①∵，， ∴； ②由①知：， ∵， ∴， ∵，，分别是，的中点， ∴，， ∴； （2）解：∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； （3）解：①，射线在内部，， ∴； ②解：设，则； 当射线在内部时，则， ∵，， ∴，， ∴； 当射线在内部时，则， ∵，， ∴，， ∴； 综上：的度数为或. 20．（8分）如图1，水车是我国古代劳动人民发明的一种灌溉工具，它主要由水轮和支撑架等部件组成．某景区打算修建一台水车作为景观，水车的结构如图2所示，在水轮内安装根辐条，每相邻两根辐条的夹角相等，在辐条外端点安装个竹筒，依次记为，，…，，三角形为支撑架，且． （1）求出相邻两根辐条夹角的度数； （2）若水车以固定的速度绕水轮的中心逆时针转动，转动一周需分钟．的平分线与水轮边缘交于点，每个竹筒在处装满水，当装满水的竹筒所在辐条转动到与的夹角为（即）时，竹筒开始倒水． ①计算竹筒从装满水到开始倒水需要几分钟； ②当水轮转动到如图2位置时，判断与的数量关系，说明理由． 【答案】（1） （2）①分钟； ②与的数量关系：． 理由：由（1）得相邻两根辐条夹角的度数为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查角的计算，角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）根据题意，在水轮内安装根辐条，每相邻两根辐条的夹角相等，一周是，即可解答； （2）①根据角平分线的定义，求出，进而求出，根据水车以固定速度转一周需分钟，求出水车每分钟可以转动的角度，即可解答； ②推出，再根据角的和差即可解答． 【解析】（1）解：∵， ∴相邻两根辐条夹角的度数为； （2）解：①∵的平分线与水轮边缘交于点，，， ∴， ∴， ∵水车以固定速度转一周需分钟， ∴水车每分钟可以转动：， ∴所需时间为：（分钟）， 答：从竹筒装满水到开始倒水需要分钟； ②略 21．（9分）把一副三角尺与 按如图所示那样拼在一起，其中A、B、D三点在同一直线上， BM为 的平分线． （1）求 和 的度数； （2）若为 的平分线，求的度数． （3）若将图中三角尺逆时针旋转20度， 则大小变化吗？（选填不变、增大或缩小多少度）请直接写出结论． 【答案】(1)， （2） （3）不变 【分析】本题考查角的和差和角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）由三角板的内角，利用角的和差求出的度数，然后利用角平分线的定义得到的度数，然后利用交的和差解题即可； （2）先求出的度数，然后根据角平分线的定义得到的度数，然后根据解题即可； （3）根据（1）（2）的计算方法解题即可． 【解析】（1）解：∵A、B、D三点在同一直线上， ∴， 又∵BM为的平分线， ∴， ∴； （2）解：， ∵为的平分线， ∴， ∴； （3）解：不变，理由为： 三角尺逆时针旋转20度时， ∴， ， 又∵BM为的平分线，为的平分线， ∴， ， ∴； 22．（9分）计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【分析】本题包含两个计算题，分别涉及有理数的混合运算和角度的加减与乘法运算．第（1）题为代数运算，需注意幂运算、绝对值、运算顺序（先乘方，再乘除，后加减）以及负号的处理；第（2）题是角度单位的运算，需掌握角度的进制（进制），即，在计算过程中注意进位与借位规则，尤其是角度乘法后的进位处理． 【解析】（1）解：原式 （2）解：原式 【点睛】本题考查有理数的混合运算及角度单位的运算．第（1）题重点在于准确理解幂运算的优先级与符号处理，尤其是的奇次幂与带括号的区别；第（2）题涉及角度的60进制运算，关键在于掌握角度相乘和相加时的进位规则．解题时应逐步进行，避免因粗心导致计算错误． 23．（11分）如图，点A，O，B在同一条直线上，分别是和的平分线． （1）直接写出所有与互余的角为________； （2）如果，求的度数． 【答案】(1)， （2） 【分析】本题考查几何图形中角度计算，角平分线的定义： （1）根据角平分线的定义得，，可得，由此可得答案； （2）根据是的平分线，可得，根据与互余，可得，最后根据即可求解． 【解析】（1）解：分别是和的平分线， ，， ， 与互余的角为，； （2）解：，是的平分线， ， 与互余， ， ． 24．（12分）（1）特例感知： 如图①，已知线段，线段在线段上运动，分别是的中点． ①若，则________． ②在线段的运动过程中，线段的长度是否发生变化？如果不发生变化请求出的长度，如果发生变化，请说明理由． （2）知识迁移： 我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，则________； ②请你猜想和三个角之间有怎样的数量关系． （3）类比探究： 如图③，在内部转动，若，，，请直接用含有k的式子表示的度数． 【答案】（1）①16；②；（2）①；②；（3） 【分析】（1）①根据线段中点的定义和线段的和差即可得到结论； ②根据线段的中点得到，，求得，可得结论； （2）①根据角平分线的定义得到，，求得，可得结论； ②根据角平分线的定义得到，，根据角的和差即可得到结论； （3）根据已知得，，求得，，可得结论． 【解析】（1）①∵，，， ∴， ∵点和点分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为； ②不变，理由如下： ∵点和点分别是，的中点， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴线段的值为； （2）①∵射线和射线分别平分和， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为； ②，理由如下： ∵射线和射线分别平分和， ∴，， ∴， ∴ ； （3）∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 【点睛】本题主要考查线段中点以及角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解决本题的关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $