34.2用列举法求概率（第2课时） 课件 2026-2027学年人教版数学九年级下册

# 34.2 用列举法求概率（第2课时：树状图法）专项练习 （人教版九下，树状图，两步、三步试验，满分100分，建议用时45分钟，和前面格式统一） ## 一、知识梳理 1. **树状图法适用**：两步或者**三步及以上**的等可能试验； 列表法一般只适合两步，三步优先树状图。 2. 画图步骤： ① 分出第一层：第一次试验所有结果； ② 从每一个分支继续画第二层（第二次）、第三层（第三次）； ③ 顺着末端数全部等可能结果，再数符合条件的； ④ 公式：$P(A)=\dfrac{\text{符合条件结果数}}{\text{总等可能结果数}}$ 3. 重点区分：放回、不放回 放回：每一次可选的种类不变； 不放回：取走一个，下一次可选数量变少。 > 易错提醒：分支要对齐，不要漏分支；有序试验，(甲,乙)和(乙,甲)是两种不同结果。 ## 二、选择题（每题4分，共24分） 1. 下列试验，最适合用树状图而不是列表法的是（） A. 掷两次骰子 B. 先后摸三次小球 C. 抛两枚硬币 D. 两个袋子各摸一球 2. 甲、乙、丙三人抽签，每人抽一张，一共多少种等可能结果（） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 3. 有红、黄两个球，有放回连续摸三次，总结果数是（） A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 4. 用树状图求概率，每一条末端分支代表（） A. 一个事件 B. 一种等可能结果 C. 一个条件 D. 一个概率 5. 从1，2，3不放回依次取两个数，第一个是1，第二个是2的概率（） A.$\dfrac16$ B.$\dfrac13$ C.$\dfrac12$ D.$\dfrac23$ 6. 说法正确的是（） A. 三步试验只能用列表法 B. 树状图不能用于不放回试验 C. 树状图可以清晰列举所有顺序结果 D. 树状图画出来的结果一定不重复 ## 三、填空题（每题4分，共24分） 7. 三步及以上试验，一般选用________法列举所有等可能结果。 8. 有放回抽取，每次可选的结果数量________（不变/变少）。 9. 红、白两个小球，不放回连续摸两次，总结果数=________。 10. 抛一枚硬币三次，三次都是正面的概率=________。 11. 树状图中，同一层代表________次试验。 12. 列举法（列表、树状图）前提：每个结果出现的可能性________。 ## 四、解答题（共52分） 13.（12分）有红、白两个小球，有放回连续摸两次。 （1）画出树状图； （2）求两次颜色相同的概率。 14.（12分）甲袋：红、白；乙袋：红、黄；分别从两个袋子各摸一球。 （1）画树状图列出所有结果； （2）求摸到两个红球的概率。 15.（12分）质地均匀硬币，连续抛掷三次。 （1）画树状图； （2）求恰好两次正面朝上的概率。 16.（16分） 盒子里有1、2、3三个标号小球，不放回依次抽取三个，排成一个三位数。 （1）画树状图写出全部等可能结果； （2）求这个三位数是偶数的概率； （3）求这个三位数大于200的概率。 ## 五、参考答案与解析 1. B 2. B 3. B 4. B 5. A 6. C 7. 树状图 8. 不变 9. 4 10. $\boldsymbol{\dfrac18}$ 11. 同一 12. 相等 13. 解： 第一层：红、白 红分支下：红、白 白分支下：红、白 所有结果：(红,红)、(红,白)、(白,红)、(白,白)，共4种 颜色相同：(红,红)、(白,白) $P=\dfrac{2}{4}=\boldsymbol{\dfrac12}$ 14. 解： 第一层（甲袋）：红、白 红分支下：红、黄 白分支下：红、黄 全部结果：(红,红),(红,黄),(白,红),(白,黄)，共4种 两红只有1种 $P=\boldsymbol{\dfrac14}$ 15. 解： 三层，每次正、反 一共8种结果：(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反) 恰好两次正面：3种 $P=\boldsymbol{\dfrac38}$ 16. 解： 第一层：1，2，3 1后面：2,3；2后面：1,3；3后面：1,2 全部6个三位数：123、132、213、231、312、321 （2）偶数：132、312，共2个 $P(\text{偶数})=\dfrac{2}{6}=\boldsymbol{\dfrac13}$ （3）大于200：213、231、312、321，共4个 $P(\text{大于200})=\dfrac{4}{6}=\boldsymbol{\dfrac23}$ ## 六、方法小结 ✅ 两步：列表、树状图都可以；三步及以上：优先树状图 ✅ 先看：放回 / 不放回，决定分支选项 ✅ 顺着树枝末端一个一个数，做到不重不漏 ✅ 公式不变：符合条件数量÷总结果数 下一课：**34.3 用频率估计概率**，继续吗？ 人教版（新教材）数学九年级下册 34.2用列举法求概率（第2课时） 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/11/10 第三十四章 随机事件的概率 我命由我不由天，是魔是仙，我自己说了算。少年不必畏惧难题与非议，沉下心勤学笃行，不认命、不服输，用汗水改写前路，活出属于自己的光彩。 同学们，认真学习，不只是为了分数。认真听讲、踏实思考，能帮我们把知识学扎实，慢慢拥有分辨是非、独立思考的能力。现在的每一分专注，都会化作以后选择的底气，让我们有机会去奔赴喜欢的方向。静下心来，珍惜课堂时间，认真投入，收获更好的自己。 学习目标 用画树状图法求事件的概率． 一 灵活选择直接列举法、列表法或画树状图法求概率. 二 复习引入 列举法求概率 列举法 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过 的方法，求出随机事件发生的概率，这种求概率的方法叫列举法． 直接 列举法 直接列举法比较适合用于最多涉及两个试验因素或分两步进行的试验，且事件 的等可能性事件. 列表法 当一次试验要涉及两个因素并且 时，为不重不漏地列出所有可能结果，通常采用列表法. 列举试验结果 总结果的种数比较少 可能出现的结果数目较多 合作探究 问题1 同时向空中抛掷两枚质地均匀的硬币，求下列事件的概率： （1）两枚硬币全部正面向上； （2）两枚硬币全部反面向上； （3）一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上． 直接列举法 列表法 合作探究 方法三：用树状图列出同时抛两枚硬币产生的所有可能结果，如图所示. 由树状图也可以得出，同时抛两枚质地均匀的硬币共有4种可能结果，并且各种结果出现的可能性相等，进而求出问题中各个事件的概率. 第1枚 正 反 第2枚 正 反 正 反 所有的可能结果 (正，正) (正，反) (反，正) (反，反) 合作探究 例2 甲袋子中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A 和 B；乙袋子中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C，D和 E；丙袋子中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I. 从三个袋子中各随机取出1个小球. (1)取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别是多少? (2)取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少? 分析：当试验是从三个袋子中取球时，列表就不方便了.为不重不漏地列出所有可能的结果，可以采用画树状图的方法. 在本题中，A，E，I是元音字母，B，C，D， H是辅音字母. 合作探究 解：根据题意，可以画出如图所示的树状图. 从树状图可以看出，所有可能出现的结果共有12种，即 ACH，ACI，ADH，ADI， AEH，AEI，BCH，BCI， BDH，BDI，BEH，BEI，这些结果出现的可能性相等. 甲 A B 乙 C D E C D E 丙 H I H I H I H I H I H I 合作探究 解：根据题意，可以画出如图所示的树状图. (1)恰好有1个元音字母的事件(记为A)包含5种结果，即 ACH，ADH，BCI，BDI， BEH，因此 P(A)= ． 甲 A B 乙 C D E C D E 丙 H I H I H I H I H I H I 合作探究 解：根据题意，可以画出如图所示的树状图. (1)恰好有2个元音字母的事件(记为 B)包含4种结果，即 ACI，ADI，AEH，BEI，因此 P(B)= = ． 甲 A B 乙 C D E C D E 丙 H I H I H I H I H I H I 合作探究 解：根据题意，可以画出如图所示的树状图. (1)恰好有3个元音字母的事件(记为C)包含1种结果，即AEI，因此 P(C)= ． 甲 A B 乙 C D E C D E 丙 H I H I H I H I H I H I 合作探究 解：根据题意，可以画出如图所示的树状图. (2)全是辅音字母的事件(记为D)包含2种结果，即BCH，BDH，因此 P(D)= = ． 甲 A B 乙 C D E C D E 丙 H I H I H I H I H I H I 合作探究 归 纳 画树状图求概率的基本步骤： （1）明确一次试验的几个步骤及顺序； （2）画树状图列举试验的所有可能结果； （3）数出随机事件A包含的结果数m，试验的所有可能结果数n； （4）用概率公式进行计算. 合作探究 思考 什么样的试验适合用列表或画树状图的方法列举所有可能结果?这两 种列举方法适用的范围有什么不同? 答：一次试验包含两步（两个因素）、并且所有等可能结果数不多的古典概型试验，可以用列表法或者画树状图法列举全部结果. 区别：列表法一般只适合两步的试验；画树状图法通用性更强，两步、三步甚至更多步的试验都可以用. 典例分析 例1 同时抛三枚质地均匀的硬币，求下列事件的概率： (1)三枚硬币全部正面朝上； (2)三枚硬币全部反面朝上； (3)一枚硬币正面朝上、两枚硬币反面朝上； (4)两枚硬币正面朝上、 一枚硬币反面朝上. 典例分析 解：根据题意，可以画出如图所示的树状图. (1)三枚硬币全部正面朝上的事件(记为A)包含1种结果， 因此 P(A) = ． 第一枚 正 反 第三枚 正 反 正 反 正 反 正 反 第二枚 正 反 正 反 从树状图可以看出，所有可能出现的结果共有8种，这些结果出现的可能性相等. 典例分析 解：根据题意，可以画出如图所示的树状图. (2)三枚硬币全部反面朝上的事件(记为B)包含1种结果， 因此 P(B) = ． 第一枚 正 反 第三枚 正 反 正 反 正 反 正 反 第二枚 正 反 正 反 从树状图可以看出，所有可能出现的结果共有8种，这些结果出现的可能性相等. 典例分析 解：根据题意，可以画出如图所示的树状图. (3)一枚硬币正面朝上、两枚硬币反面朝上的事件(记为C)包含3种结果， 因此 P(C) = ． 第一枚 正 反 第三枚 正 反 正 反 正 反 正 反 第二枚 正 反 正 反 从树状图可以看出，所有可能出现的结果共有8种，这些结果出现的可能性相等. 典例分析 解：根据题意，可以画出如图所示的树状图. (4)两枚硬币正面朝上、 一枚硬币反面朝上的事件(记为D)包含3种结果， 因此 P(D) = ． 第一枚 正 反 第三枚 正 反 正 反 正 反 正 反 第二枚 正 反 正 反 从树状图可以看出，所有可能出现的结果共有8种，这些结果出现的可能性相等. 返回 D 举一反三 19 A 返回 举一反三 20 典例分析 例2 经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转.如果这三种可能性大小相同，求三辆汽车经过这个十字路口时，下列事件的概率： (1)三辆车全部继续直行； (2)两辆车向右转，一辆车向左转； (3)至少有两辆车向左转. 典例分析 解：根据题意，可以画出如图所示的树状图. 第一辆 第三辆 第二辆 左 右 直 左 右 直 左 右 直 左 右 直 左 右 直 左 右 直 左 右 直 左 右 直 左 右 直 左 右 直 左 右 直 左 右 直 左 右 直 从树状图可以看出，所有可能出现的结果共有27种，这些结果出现的可能性相等.三辆车全部继续直行的事件(记为A)包含1种结果，因此 P(A) = ． 典例分析 解：根据题意，可以画出如图所示的树状图. 第一辆 第三辆 第二辆 左 右 直 左 右 直 左 右 直 左 右 直 左 右 直 左 右 直 左 右 直 左 右 直 左 右 直 左 右 直 左 右 直 左 右 直 左 右 直 两辆车向右转， 一辆车向左转的事件(记为B)包含3种结果，因此 P(B) = = ． 典例分析 解：根据题意，可以画出如图所示的树状图. 第一辆 第三辆 第二辆 左 右 直 左 右 直 左 右 直 左 右 直 左 右 直 左 右 直 左 右 直 左 右 直 左 右 直 左 右 直 左 右 直 左 右 直 左 右 直 至少有两辆车向左转的事件(记为C)包含7种结果，因此 P(C) = ． 巩固练习 1.学校要举办一场运动会，小文和小锋报名参加跳远比赛，预赛分A，B，C三组进行，则小文和小锋恰好分到同一个组的概率是（     ） A． B． C． D． B 巩固练习 2.如图所示，电路连接完好且各元件工作正常．随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让两个灯泡同时发光的概率是（     ） A．0 B． C． D．1 B 巩固练习 3.现有4种没有标签的无色溶液（蒸馏水、烧碱、稀盐酸、纯碱），任取其中两种滴加无色酚酞溶液（友情提示：酚酞遇蒸馏水、稀盐酸不变色，酚酞遇烧碱、纯碱变红色）颜色恰好都发生变化的概率是（     ） A． B． C． D． B 巩固练习 4.如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“ 就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子．当“ ”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“ ”回到格子A的概率是（     ） A． B． C． D． A 巩固练习 5.色光三原色（RGB）是指红、绿、蓝三色．将这三种色光按一定比例混合可以呈现各种光色．配色规律如图所示（例如：红和蓝按一定比例混合可以呈现紫色），现小刘、小李两位同学分别从色光三原色中随机选择一种色光，将两人所选择的色光进行混合，则可以呈现青色的概率为（     ） A． B． C． D． D 归纳总结 列举法求概率 树状图法 画树状图求概率的基本步骤： （1）明确一次试验的 ； （2）画树状图列举 ； （3）数出随机事件A包含的结果数m，试验的所有可能结果数n； （4）用 进行计算. 几个步骤及顺序 试验的所有可能结果 概率公式 感受中考 1.（2026年山东济南）经过某十字路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有两人经过该路口，恰好有一人直行，另一人右拐的概率是（     ） A． B． C． D． B 3．甲、乙、丙、丁四名同学在操场上练习互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，则第二次传完后，球到手上概率最高的同学是(　　) A．甲　　 B．乙　　 C．丙　　 D．丁 举一反三 32 【点拨】画树状图如图． 举一反三 【答案】A 返回 举一反三 34 4．从－1，2，3，－6这四个数中任意选两个数，分别记作m，n，则点(m，n)在函数y＝－3x的图象上的概率是________． 举一反三 35 返回 5．[2025安徽]在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为20 g和70 g的物品后，天平倾斜(如图所示)．现从质量为10 g，20 g，30 g，40 g的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为________． 举一反三 36 小结梳理 事件 必然事件 不可能事件 确定性事件 随机事件 概率 列举法求概率 ... 直接列举法 列表法 画树状图法 布置作业 必做题：习题34.2 第3，4，6题. 1 探究性作业：习题34.2 第9，10题. 2 谢谢观看 THANKS 1. 中国古代四大发明(造纸术、印刷术、指南针、火药)对世界文明的发展具有深远的影响．某校历史社团开设了关于四大发明的项目化学习活动，甲、乙两名同学通过抽签的方式从这四项发明中随机抽取一项开展活动，则他们恰好抽到同一项发明的概率是(　　) A.　 B. 　 C.　 D. 2． 如图，一段长管中放置着三根同样的绳子，小明从左边随机选一根，小丽从右边随机选一根，两人恰好选中同一根绳子的概率是(　　) A. B. C. D. 由树状图可知，经过2次传球后，共有9种等可能的结果，球到甲手中的结果有3种，球到乙手中的结果有2种，球到丙手中的结果有2种，球到丁手中的结果有2种，∴经过2次传球后，球到甲手中的概率是＝，球到乙手中的概率是，球到丙手中的概率是，球到丁手中的概率是.∵>，∴第二次传完后，球到手上概率最高的同学是甲． $