34.3用频率估计概率课件2026-2027学年人教版数学九年级下册

34.3 用频率估计概率 人教版九年级下册　第三十四章 随机事件的概率　P117—P124 一、概率 0.5 就是“各占一半”吗 概率是描述随机事件发生可能性大小的数值. 用列举法可以求一些随机事件的概率，还可以利用多次重复试验，通过试验结果估计随机事件的概率. 我们知道，抛一枚质地均匀的硬币时，“正面朝上”和“反面朝上”的概率都是 0.5. 这是否意味着多次试验中这两种结果出现各占一半？例如，连续抛硬币 2 次，“正面朝上”和“反面朝上”各出现 1 次？连续抛硬币 100 次，“正面朝上”和“反面朝上”各出现 50 次？不妨用试验进行检验. 试验　把全班同学分成 10 组，每组同学抛一枚硬币 50 次，整理同学们获得的试验数据，并完成表 34.3-1. 填表时，先填“正面朝上”的次数，第 1 组的次数填在第 1 列，第 1，2 组的次数之和填在第 2 列……第 10 个组的次数之和填在第 10 列. 如果在抛硬币次时，出现次“正面朝上”，那么称比值为“正面朝上”的频率. 二、记录数据：频率表（表 34.3-1） 根据上表中的数据，在图 34.3-1 中标注出对应的点. 图 34.3-1 提示　这里把各组、每次抛硬币看成相同的试验. 横轴是“抛硬币次数”，纵轴是频率——图的横轴拉得很长，正是为了看清“次数越多，点越靠近 0.5”. 三、观察：频率往哪里走 观察　随着抛硬币次数的增加，“正面朝上”的频率有什么变化规律？ 历史上，有些人曾做过成千上万次抛硬币的试验，其中一些试验结果见表 34.3-2. 四组数据里，越大，频率越靠近 0.5——这不是巧合，而是规律. 四、频率的稳定性 通过观察这些试验结果可以发现，在重复抛一枚硬币时，“正面朝上”的频率在 0.5 附近摆动，而且随着抛硬币次数的增加，虽然摆动的幅度会有起伏，但最终摆动的幅度会越来越小，即频率呈现出一定的稳定性. 这时，我们称“正面朝上”的频率稳定于 0.5. 它与前面用列举法得出的“正面朝上”的概率是同一个数值. 在抛一枚硬币时，结果不是“正面朝上”，就是“反面朝上”. 因此，从上面的试验中也能得到相应的“反面朝上”的频率. 当“正面朝上”的频率稳定于 0.5 时，“反面朝上”的频率也稳定于 0.5，它也与前面用列举法得出的“反面朝上”的概率是同一个数值. 于是可以推想：当试验次数很大时，一个随机事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件概率的估计值. 这正是“用频率估计概率”的依据. 五、0.5 不保证“各占一半” 从抛硬币的试验还可以发现，虽然“正面朝上”的概率是 0.5，但连续抛 2 次，结果不一定是“正面朝上”和“反面朝上”各 1 次；连续抛 100 次，结果也不一定是“正面朝上”和“反面朝上”各 50 次. 也就是说，概率 0.5 并不能保证抛次硬币一定恰好有次“正面朝上”，但当越来越大时，“正面朝上”的频率会越来越稳定于概率 0.5. 可见，概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生. 辨析　“概率 0.5”说的是长期趋势，“某 100 次里 43 次正面”并不违反它. 把“可能性”当成“必然的等分”，是学这一节最容易犯的错. 六、归纳：频率估计概率 归纳　人们在长期实践中观察到，对一般的随机试验（如各种结果出现的可能性是否相等未知），在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率总在一个固定数的附近摆动，呈现出一定的稳定性. 因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件出现的频率去估计它的概率. 用频率估计概率，虽然不像列举法能确切地计算出随机事件的概率，但由于不受“各种结果出现的可能性相等”的条件限制，使得可求概率的随机事件的范围扩大. 例如，掷一枚图钉或一枚质地不均匀的骰子，不能用列举法求“针尖朝上”或“点数为 6”的概率，但可以通过大量重复试验估计出它们的概率. 两种方法的分界　能列举且等可能 → 用算；不能列举或不等可能 → 用频率估. 前者给“准确值”，后者给“近似值”. 七、练习（P119 第1题） 1. 下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果. （1）计算表中的频率（结果保留小数点后两位）； （2）这名球员投篮一次，投中的概率约是多少（结果保留小数点后一位）？ 2. 用前面抛硬币的试验方法，全班同学分组做掷骰子的试验，估计掷一次骰子时“点数为 1”的概率. 思路提示（不出答案）　（1）逐列算⁠，四舍五入到百分位；（2）看频率稳定在哪个数附近，取到十分位. 注意“约是”二字——估计值不是精确值. 八、问题1：幼树移植的成活率 问题 1　林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，可以采用什么具体做法？幼树移植成活率是实际问题中的一种概率. 这个问题中幼树移植“成活”与“不成活”两种结果的可能性是否相等未知，因此成活率要由频率去估计. 在同样条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，计算成活的频率. 随着移植数越来越大，频率会越来越稳定，于是就可以把频率作为成活率的估计值. 表 34.3-3 是一张模拟的统计表，请补全此表，并完成表下的填空：从表 34.3-3 可以发现，随着移植数的增加，幼树移植成活的频率越来越稳定. 当移植数为 14 000 时，成活频率为 0.902，于是可以估计幼树移植成活率为________. 提示　保留三位小数，注意 235÷270≈0.870、369÷400≈0.923 这类“算出来才看得见”的格子. 九、问题2：柑橘的损坏率 问题 2　某水果公司以 5 元/kg 的成本价新进 10 000 kg 柑橘. 如果公司希望这些柑橘能够获得 10 000 元利润，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克定价大约为多少元比较合适？ 销售人员首先从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在表 34.3-4 中. 请补全此表. 为什么要抽样　柑橘在运输、储存中会有损坏，公司必须估算出可能损坏的柑橘质量，以便将损坏的柑橘的成本折算到没有损坏的柑橘的售价中. 从表 34.3-4 可以看出，随着柑橘质量的增加，柑橘损坏的频率越来越稳定. 柑橘质量为 500 kg 时的损坏频率为 0.103，于是可以估计柑橘损坏的概率为 0.1，柑橘完好的概率为 0.9. 十、把“率”算成“钱”：质量与成本 根据估计的概率可以知道，在 10 000 kg 柑橘中完好柑橘的质量为 完好柑橘的实际成本为 想一想　5 元/kg 是按 10 000 kg 付出去的钱，一共 50 000 元；损坏的那部分卖不出钱，这 50 000 元只能由完好的 9 000 kg 来“背”，所以每千克成本被抬高到元. 十一、把“率”算成“钱”：列方程作答 设每千克柑橘的售价为元，则 解得 因此，在出售柑橘时，每千克定价大约为 6.7 元可获利润 10 000 元. 十二、练习（P122） 某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示. 表中最后一列“发芽频率”需自己算出（结果保留小数点后三位），再看频率随种子颗数增加的变化. 一般地，20 000 颗种子中大约有多少是不能发芽的？ 思路提示（不出答案）　先由表估出“发芽的概率”与“不发芽的概率”，再用 20 000 乘. 注意题问的是“不能发芽”的颗数. 十三、习题 34.3·复习巩固（1、2） 1. 在做重复随机试验时，随着试验次数的增多，事件的频率一般会有什么变化趋势？ 2. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： （1）计算表中的频率（结果保留小数点后两位）； （2）估计这名运动员射击一次时射中 9 环以上的概率（结果保留小数点后一位）. 思路提示（不出答案）　1. 频率会在某个常数附近摆动，且随次数增加摆幅变小——这就是“稳定性”. 2. 先补全频率一行，再看最后一列最接近哪个一位小数. 十四、习题 34.3·综合运用（3、4） 3. 从一定高度落下的图钉，落地后图钉尖可能着地，也可能不着地. 估计哪种结果出现的概率更大. 与同学合作，通过做试验验证你事先的判断是否正确. 4.（1）在一个平面上画一组间距为 cm 的平行线，将一根长为 cm 的针任意投掷在这个平面上，针可能与某一直线相交，也可能与任一直线都不相交. 根据记录在下表中的投针试验数据，估计针与直线相交的概率（结果保留小数点后两位）. （2）在上述投针试验中，如果在间距 cm、针长 cm 时，针与直线相交的概率为⁠，那么当不变、减小时，概率如何变化？当不变、减小时，概率如何变化（在试验中始终保持⁠）？ 十五、习题 34.3（5、6） 5. 有一枚质地均匀的硬币，王芳和张华分别计划抛 100 次和 200 次，用各自正面朝上的频率估计概率. 张华的估计是否一定比王芳的更准确？为什么？ 6. 动物学家通过大量的调查估计：某种动物活到 20 岁的概率为 0.8，活到 25 岁的概率为 0.5，活到 30 岁的概率为 0.3.（1）现年 20 岁的这种动物活到 25 岁的概率为多少？（2）现年 25 岁的这种动物活到 30 岁的概率为多少？ 关于“更准确”　次数多只说明“更可能接近真值”，并不保证每一次都更接近. 概率的估计依赖大量重复，但单次比较没有必然的大小关系. 思路提示（不出答案）　6. 这是“条件概率”的雏形：已知活到 20 岁，再活到 25 岁的概率 = ⁠. 第（2）问同理，分母换成 0.5. 十六、探究与发现：圆周率 π 的估计（1） 图 1 是一个七等分圆盘，假设随机向其投掷一枚飞镖，飞镖落在圆盘中任何一个点上的机会都相等. 由于各个小扇形大小一样，因此飞镖落在红、黄、绿区域上的概率分别为⁠，⁠，⁠. 图 1 这里的概率其实是各颜色区域的面积与整个圆盘的面积的比值. 一般地，如果在一次试验中，试验结果落在区域中每一点都是等可能的，用表示“试验结果落在区域的一个小区域中”这个事件，那么事件的概率为⁠. 图 2 是一个正方形及其内切圆. 如果随机地往正方形内投一枚飞镖，根据上述公式，可以计算出飞镖落在圆内的概率为⁠. 请你用下面两种方法进行试验，并根据频率与概率的关系估计的值，从中体会概率方法的奇妙. 图 2 十七、探究（2）与课时小结 1. 通过随机试验估计⁠：用米代替飞镖，随机撒一把米到画有正方形及其内切圆的白纸上，统计并计算落在圆内的米粒数与落在正方形内的米粒数的比值⁠. （1）和之间有什么关系？你能根据它们之间的关系估计出的值吗？ （2）为了提高的估计精度，你认为还可以怎么做？ 2. 通过随机模拟估计⁠：在图 2 上建立平面直角坐标系，使圆心位于坐标原点，内切圆的半径为 1. 利用信息技术工具产生两个随机数⁠，（⁠，⁠），这两个数组成的数对对应正方形内一个点. 每产生一对随机数，就相当于向正方形随机投了一枚飞镖. 图 3 图 4 数学史话　用“投点”求叫蒙特卡洛方法：把面积比换成频率比，⁠，于是⁠. 点越多，估计越稳——这正是频率稳定性的用武之地. $