31.3 相似三角形的应用（第2课时） 课件 --2026-2027学年人教版数学九年级下册
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内容正文：
# 31.3 相似三角形的应用（第2课时）专项练习
（人教版九下\(AB\perp ED，CD\perp ED\)满分100分\(AB\perp ED，CD\perp ED\)建议用时45分钟\(AB\perp ED，CD\perp ED\)和前面课时格式统一）
## 一、知识梳理
本节课重点：**利用相似测河宽、盲区问题、小口容器内径测量**\(AB\perp ED，CD\perp ED\)核心模型：A字型、8字型（对顶相似）
1. 8字型（对顶相似）：对顶角相等\(AB\perp ED，CD\perp ED\)再配一组直角/内错角相等\(AB\perp ED，CD\perp ED\)AA相似\(AB\perp ED，CD\perp ED\)常用于测河宽；
2. 盲区问题：视线被障碍物挡住\(AB\perp ED，CD\perp ED\)构造A字型相似\(AB\perp ED，CD\perp ED\)分清：视点、障碍物、目标；
3. 解题关键：找准两组对应边\(AB\perp ED，CD\perp ED\)分清“对岸、岸边”\(AB\perp ED，CD\perp ED\)注意线段不要多加、少加；
> 易错提醒：盲区题容易把水平距离算错；8字型一定要看清对顶角\(AB\perp ED，CD\perp ED\)不要随便写比例。
## 二、选择题（每题4分\(AB\perp ED，CD\perp ED\)共24分）
1. 如图测河宽\(AB\perp ED，CD\perp ED\)△ABC∽△EDC\(AB\perp ED，CD\perp ED\)∠B=∠D=90°\(AB\perp ED，CD\perp ED\)BC=12m\(AB\perp ED，CD\perp ED\)CD=6m\(AB\perp ED，CD\perp ED\)DE=5m\(AB\perp ED，CD\perp ED\)则河宽AB为（）
A. 8m B. 10m C. 12m D. 15m
2. 盲区问题\(AB\perp ED，CD\perp ED\)小树高1.8m\(AB\perp ED，CD\perp ED\)大树高6m\(AB\perp ED，CD\perp ED\)小树距离人4m\(AB\perp ED，CD\perp ED\)小树和大树相距8m\(AB\perp ED，CD\perp ED\)人刚好看到大树顶端\(AB\perp ED，CD\perp ED\)下列说法正确的是（）
A. 是8字型相似 B. 是A字型相似
C. 是母子相似 D. 不属于相似
3. 测河宽\(AB\perp ED，CD\perp ED\)AB⊥BD\(AB\perp ED，CD\perp ED\)ED⊥BD\(AB\perp ED，CD\perp ED\)AC、EC交于C\(AB\perp ED，CD\perp ED\)BC=8m\(AB\perp ED，CD\perp ED\)CD=4m\(AB\perp ED，CD\perp ED\)ED=6m\(AB\perp ED，CD\perp ED\)则AB=（）
A. 10m B. 12m C. 14m D. 16m
4. 下列问题\(AB\perp ED，CD\perp ED\)适合用8字型相似解决的是（）
A. 阳光下测旗杆高 B. 平面镜测树高
C. 两点在河两岸\(AB\perp ED，CD\perp ED\)测河宽 D. 标杆测楼房
5. 小明站在离墙5m处\(AB\perp ED，CD\perp ED\)前方有挡板高1.2m\(AB\perp ED，CD\perp ED\)挡板离小明2m\(AB\perp ED，CD\perp ED\)挡板刚好挡住墙上一部分视线\(AB\perp ED，CD\perp ED\)相似比是（）
A. 2:5 B. 2:3 C. 3:5 D. 5:2
6. 关于盲区\(AB\perp ED，CD\perp ED\)说法错误的是（）
A. 盲区就是视线被挡住看不到的区域
B. 盲区问题一般构造A字型相似
C. 障碍物越高\(AB\perp ED，CD\perp ED\)盲区越小
D. 障碍物离视点越近\(AB\perp ED，CD\perp ED\)盲区越大
## 三、填空题（每题4分\(AB\perp ED，CD\perp ED\)共24分）
7. 测河宽常用______字型（对顶）相似\(AB\perp ED，CD\perp ED\)依据是对顶角相等+两个直角\(AB\perp ED，CD\perp ED\)AA相似。
8. 盲区问题\(AB\perp ED，CD\perp ED\)视线从视点出发\(AB\perp ED，CD\perp ED\)经过障碍物顶端到目标顶端\(AB\perp ED，CD\perp ED\)构成______字型相似。
9. AB⊥BD\(AB\perp ED，CD\perp ED\)ED⊥BD\(AB\perp ED，CD\perp ED\)△ABC∽△EDC\(AB\perp ED，CD\perp ED\)BC=10m\(AB\perp ED，CD\perp ED\)CD=5m\(AB\perp ED，CD\perp ED\)DE=4m\(AB\perp ED，CD\perp ED\)则AB=______m。
10. 视点到障碍物水平距离3m\(AB\perp ED，CD\perp ED\)障碍物到目标水平距离6m\(AB\perp ED，CD\perp ED\)则相似比为________。
11. 8字型相似\(AB\perp ED，CD\perp ED\)△ABC∽△DEC\(AB\perp ED，CD\perp ED\)AC=6\(AB\perp ED，CD\perp ED\)CE=3\(AB\perp ED，CD\perp ED\)若DE=4\(AB\perp ED，CD\perp ED\)则AB=______。
12. 障碍物高1.5m\(AB\perp ED，CD\perp ED\)相似比1:4\(AB\perp ED，CD\perp ED\)则被遮挡位置对应的高度为______m。
## 四、解答题（共52分）
13.（12分）如图\(AB\perp ED，CD\perp ED\)要测河宽AB\(AB\perp ED，CD\perp ED\)在岸边取点B、D\(AB\perp ED，CD\perp ED\)使AB⊥BD\(AB\perp ED，CD\perp ED\)ED⊥BD\(AB\perp ED，CD\perp ED\)连接AE交BD于C。测得BC=10m\(AB\perp ED，CD\perp ED\)CD=5m\(AB\perp ED，CD\perp ED\)ED=4m。
（1）求证：△ABC∽△EDC；
（2）求河宽AB。
14.（12分）如图\(AB\perp ED，CD\perp ED\)盲区问题\(AB\perp ED，CD\perp ED\)人眼在F点\(AB\perp ED，CD\perp ED\)前面有矮树AB高2m\(AB\perp ED，CD\perp ED\)后面大树CD高7m\(AB\perp ED，CD\perp ED\)BD=10m\(AB\perp ED，CD\perp ED\)B、D在地面\(AB\perp ED，CD\perp ED\)FB⊥BD\(AB\perp ED，CD\perp ED\)FD⊥BD\(AB\perp ED，CD\perp ED\)人、矮树、大树底部共线\(AB\perp ED，CD\perp ED\)\(FB=4\)m\(AB\perp ED，CD\perp ED\)人刚好越过矮树顶端看到大树顶端\(AB\perp ED，CD\perp ED\)求矮树到大树的距离BD。
15.（12分）用8字型测池塘宽AB\(AB\perp ED，CD\perp ED\)在空地上取一点O\(AB\perp ED，CD\perp ED\)连接AO延长到C\(AB\perp ED，CD\perp ED\)BO延长到D\(AB\perp ED，CD\perp ED\)使AB∥CD\(AB\perp ED，CD\perp ED\)测得OC=4m\(AB\perp ED，CD\perp ED\)OA=8m\(AB\perp ED，CD\perp ED\)CD=5m\(AB\perp ED，CD\perp ED\)求池塘宽AB。
16.（16分）如图\(AB\perp ED，CD\perp ED\)小华家窗前有一堵墙AB\(AB\perp ED，CD\perp ED\)墙高1.8m\(AB\perp ED，CD\perp ED\)墙距离窗户底部C水平距离3m\(AB\perp ED，CD\perp ED\)窗户底部C到地面D距离1.2m\(AB\perp ED，CD\perp ED\)小华站在地面E点\(AB\perp ED，CD\perp ED\)距离墙AB水平距离6m\(AB\perp ED，CD\perp ED\)E、B、C、D在同一直线\(AB\perp ED，CD\perp ED\)小华视线经过墙顶A刚好看到窗顶C。
（1）证明△EBA∽△EDC；
（2）求窗户CD的高度。
## 五、参考答案与解析
1. B 解析：$\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{BC}{CD}$\(AB\perp ED，CD\perp ED\)$\dfrac{AB}{5}=\dfrac{12}{6}$\(AB\perp ED，CD\perp ED\)$\(AB=10\)$
2. B 解析：盲区是A字型（共顶点\(AB\perp ED，CD\perp ED\)两条平行线）
3. B $\dfrac{AB}{6}=\dfrac{8}{4}$\(AB\perp ED，CD\perp ED\)$\(AB=12\)$
4. C
5. A 视点到挡板2m\(AB\perp ED，CD\perp ED\)视点到墙5m\(AB\perp ED，CD\perp ED\)相似比2:5
6. C 障碍物越高\(AB\perp ED，CD\perp ED\)盲区越大
7. 8
8. A
9. 8 $\dfrac{AB}{4}=\dfrac{10}{5}$\(AB\perp ED，CD\perp ED\)$\(AB=8\)$
10. $\(1:3\)$（视点到障碍物：视点到目标=3:(3+6)=\(1:3\)）
11. 8 $\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{AC}{CE}$\(AB\perp ED，CD\perp ED\)$\dfrac{AB}{4}=\dfrac{6}{3}$\(AB\perp ED，CD\perp ED\)$\(AB=8\)$
12. 6
13. 解：
（1）证明：$\because AB\perp BD,ED\perp BD$\(AB\perp ED，CD\perp ED\)$\therefore \angle B=\angle D=90^\circ$
又$\angle ACB=\angle ECD$（对顶角相等）
$\therefore \triangle ABC\backsim\triangle EDC$（AA）
（2）$\dfrac{AB}{ED}=\dfrac{BC}{CD}$
$\dfrac{AB}{4}=\dfrac{10}{5}$\(AB\perp ED，CD\perp ED\)$\boldsymbol{\(AB=8\)\mathrm{m}}$
答：河宽AB为8m。
14. 解：由题意\(AB\perp ED，CD\perp ED\)AB∥CD\(AB\perp ED，CD\perp ED\)△FAB∽△FCD
$\(FA:FC=AB:CD=2:7\)$\(AB\perp ED，CD\perp ED\)$\(FB=4\)$\(AB\perp ED，CD\perp ED\)设$\(BD=x\)$
$\dfrac{4}{4+x}=\dfrac{2}{7}$
$\(2(4+x)=28\)$\(AB\perp ED，CD\perp ED\)$\(8+2x=28\)$\(AB\perp ED，CD\perp ED\)$\(2x=20\)$\(AB\perp ED，CD\perp ED\)$\boldsymbol{x=10\mathrm{m}}$
答：矮树到大树距离BD=10m。
15. 解：$\because AB\parallel CD$\(AB\perp ED，CD\perp ED\)$\therefore \triangle OAB\backsim\triangle OCD$
相似比$\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{8}{4}=\dfrac{2}{1}$
$\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{2}{1}$\(AB\perp ED，CD\perp ED\)$\dfrac{AB}{5}=\dfrac{2}{1}$\(AB\perp ED，CD\perp ED\)$\boldsymbol{\(AB=10\)\mathrm{m}}$
答：池塘宽\(AB=10\)m。
16. 解：
（1）证明：$AB\perp ED\(AB\perp ED，CD\perp ED\)CD\perp ED$\(AB\perp ED，CD\perp ED\)$\angle ABE=\angle CDE=90^\circ$
$\angle E$是公共角\(AB\perp ED，CD\perp ED\)$\therefore \triangle EBA\backsim\triangle EDC$（AA）
（2）EB=6m\(AB\perp ED，CD\perp ED\)BD=3m\(AB\perp ED，CD\perp ED\)ED=6+3=9m
$\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{EB}{ED}$
$\dfrac{1.8}{CD}=\dfrac{6}{9}$
$\(6CD=16.2\)$\(AB\perp ED，CD\perp ED\)$\boldsymbol{CD=2.7\mathrm{m}}$
答：窗户高度2.7m。
## 六、方法小结
✅ 8字型（对顶相似）：对顶角+直角\(AB\perp ED，CD\perp ED\)多用于测河宽、池塘宽；
✅ A字型盲区：视线共顶点\(AB\perp ED，CD\perp ED\)障碍物和目标平行；
✅ 比例式顺序：**近处线段比远处线段 = 近处高度比远处高度**；
✅ 区分：太阳光测高→同一时刻；平面镜→反射角；标杆→A字型；河宽8字型；盲区A字型。
相似整章课时练习已经全部出齐了：
31.2.1相似判定1（SSS、SAS）、31.2.2判定2（AA、HL）、31.2.3性质、31.3应用第1课时（测高）、31.3应用第2课时（河宽+盲区）。
要不要我给你出一份**本章相似三角形单元综合测试卷**？
人教版（新教材）数学九年级下册
31.3 相似三角形的应用
（第2课时）
授课教师： .
班 级： 9年级（ ）班 .
时 间： .
2026/11/10
第三十一章 相似
我命由我不由天，是魔是仙，我自己说了算。少年不必畏惧难题与非议，沉下心勤学笃行，不认命、不服输，用汗水改写前路，活出属于自己的光彩。
同学们，认真学习，不只是为了分数。认真听讲、踏实思考，能帮我们把知识学扎实，慢慢拥有分辨是非、独立思考的能力。现在的每一分专注，都会化作以后选择的底气，让我们有机会去奔赴喜欢的方向。静下心来，珍惜课堂时间，认真投入，收获更好的自己。
合作探究
例3 凸透镜是芯片制造设备——光刻机中用来缩小电路图的重要零件.
如图是凸透镜缩小电路图的示意图.根据光学原理，平行于凸透镜主光轴BB₁的入射光线AC通过凸透镜时，其折射光线CA₁经过凸透镜右焦点F2； 而经过凸透镜左焦点F1的入射光线AD通过凸透镜时，其折射光线DA₁平行于凸透镜主光轴BB₁. 已知电路图物高AB、像高A₁B₁和凸透镜CD都垂直于
主光轴BB₁，OF₁=OF₂，
=，求电路图像高
A₁B₁与物高AB的比.
合作探究
追问 图中含有相似三角形吗？如何证明？
答：△ABF1∽△DOF1；△A1B1F2∽△COF2；
△ACD∽△F1OD；△A1DC∽△F2OC.
利用“三角形相似的预备定理”证明两个三角形相似.
请选择合适的相似三角形，求出A₁B₁与AB的比.
解：∵ AB，CD，A₁B₁ 都垂直于BB₁，DA₁//BB₁，
∴ AB//CD//A₁B₁，四边形ODA₁B₁是矩形. ∴ A₁B₁=OD.
∵ AB//CD，∴ △ABF₁∽△DOF₁ .
∴ = = ，
∴ = .
因此，电路图像高A₁B₁与
物高AB 的比为.
合作探究
合作探究
例4 如图，△ABC表示一块锐角三角形木板，边BC=120 cm, 高AM=80 cm. 现要在其上裁出 一块正方形木板，使正方形的一条边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，裁出的正方形木板的边长是多少？
分析：用正方形EFGH表示裁出的正方形木板，则△AHG的高可以表示为△ABC的高AM与正方形EFGH的边长的差.再由 ∽ ，即可找 到正方形EFGH的边长与已知条件的关系.
△AHG
△ABC
解：如图，用正方形EFGH表示裁出的正方形木板 ，边EF在BC上，顶点G，
H分别在AC，AB上 . 记HG与AM相交于点N，则AN为△AHG的高.
设正方形的边长为x cm.
∵HG//BC,
∴△AHG∽△ABC.
∴ = ，
即 = ，解得 x=48.
因此，裁出的正方形木板的边长为48 cm.
合作探究
合作探究
利用相似三角形解决实际问题的一般步骤：
实际问题
数学问题
(相似三角形)
抽象
判定三角形相似
列比例式(方程)
解方程
数学问题
的答案
实际问题
的答案
目标
返回
7.
0.5
[教材P57复习题T7变式]如图，某零件的外径为10 cm，用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等)可测量零件的内孔直径AB.若OA∶OC＝OB∶OD＝3，且量得CD＝
3 cm，则零件的厚度x为______ cm.
举一反三
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8.
D
一种燕尾夹如图①所示，图②是其在闭合状态时的示意图，图③是其在打开状态时的示意图(此时AB∥CD)，相关数据(单位：mm)如图所示，从图②闭合状态到图③打开状态，点B，D之间的距离减少了( )
A．10 mm B．20 mm
C．22 mm D．25 mm
举一反三
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
∵S△ADE=S四边形DBCE，
∴S△ABC=2S△ADE.
∴()2= = ，
∴ = .
典例分析
例1 如图，平行于BC的直线DE分别交AB，AC于点D，E，它把△ABC分成面积相等的两部分，试确定点D（或E）的位置.
典例分析
例2 如图所示，一条河的两岸有一段是平行的，河宽36米，在河的南岸边每隔几米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边24米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则每两棵树间的间隔_____米．
5
u
v
f
f
典例分析
例3 在图中，已知凸透镜的焦距OF₁=OF₂=f，物距OB=u(u>f)，像距OB₁=v.
求证： + = .
分析：
和为1
△AF1O∽△ADA1 → =
△A1F2O∽△A1CA→ = .
典例分析
解：连接AA1，则AA1经过点O.
∵F1O∥DA1，∴△AF1O∽△ADA1 ，∴ =
∵F2O∥AC，∴△A1F2O∽△A1CA，∴ = .
∴ + = =1，
两边同时除以f，
得： + = .
u
v
f
f
巩固练习
1.如图，铁路道口的栏杆短臂长1.2 m，长臂长3.8 m．当短臂端点下降
0.6 m时，长臂端点上升（杆的宽度忽略不计）的高度是________ ．
1.9 m
返回
9.
[2025邢台期中]如图①是装了液体的长方体容器的主视图(数据如图)，将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图②所示，此时液面宽度AB＝________cm.
举一反三
15
10.
(8分)晓玲打算去测量大雁塔南广场上的玄奘雕塑，她自制了一个矩形纸板CDEF，按如图所示方式在地面固定纸板，使得雕塑顶端A在DC的延长线上，并在顶点C处悬挂一个铅锤M，恰好交DE于点M，测得点C到雕塑AB的距离CH为6 m，CD＝0.5 m，DM＝0.6 m，点C到地面BE的距离为1 m，AB∥CM，AB⊥BE，所有点都在一个平面内，
请求出玄奘雕塑的高AB.
举一反三
16
解：易知CH⊥AB，
∵AB∥CM，AB⊥BE，点C到地面的距离为1 m，
∴CM⊥CH，BH＝1 m，
∴∠ACH＋∠DCM＝90°，
在矩形CDEF中，∠D＝90°，
∴∠CMD＋∠DCM＝90°，
∴∠ACH＝∠DMC.
∵∠D＝∠AHC＝90°，
举一反三
17
返回
举一反三
11.
(8分)某数学兴趣小组要测量凌霄塔的高度AB.如图，他们发现塔前有一棵高4 m的小树CD，并且水平地面上点E、树顶C和塔顶A恰好在同一条直线上，经测量BD＝58.5 m．由于D，E之间有一个花圃，距离无法测量，于是同学们在E处放置一平面镜，某同学沿BE方向后退，退到G处时恰好在平面镜中看到树顶C的像，EG＝2.4 m，该同学的眼睛到地面的距离FG为1.6 m．
已知AB⊥BG，CD⊥BG，FG⊥BG，点B，D，E，G在同一水平线上．
请你求出凌霄塔的高度AB.
(平面镜的大小、厚度忽略不计)
举一反三
19
举一反三
返回
举一反三
小结梳理
相似
相似多边形
从一般到特殊
相似三角形
相似图形
三角形相似的判定
平行线分线段成比例
预备定理
判定定理
性质定理
应用
测量物体的高度和宽度
光学、力学等跨学科问题
几何图形设计问题
布置作业
必做题：习题31.3 第4，5题.
1
探究性作业：复习题31 第13题.
2
谢谢观看
THANKS
∴△AHC∽△CDM，
∴＝，即＝，
∴AH＝5 m，∴AB＝AH＋BH＝6 m，
∴玄奘雕塑的高AB为6 m.
解：∵CD⊥BG，FG⊥BG，
∴∠CDE＝∠FGE＝90°.
由光的反射特点可知∠CED＝∠FEG，
∴△CDE∽△FGE.∴＝.
∵CD＝4 m，FG＝1.6 m，EG＝2.4 m，
∴＝.∴DE＝6 m.
∵BD＝58.5 m，∴BE＝BD＋DE＝58.5＋6＝64.5(m)．
∵AB⊥BG，CD⊥BG，
∴∠ABE＝∠CDE＝90°.
又∵∠AEB＝∠CED，
∴△ABE∽△CDE.
∴＝，即＝.∴AB＝43 m.
∴凌霄塔的高度AB为43 m.
$
资源预览图
