34.2用列举法求概率（第1课时）（课件）2026-2027学年人教版数学九年级下册

# 34.1.2 概率 专项练习 （人教版九下，概率定义、$\(\(\boldsymbol{\(P(A)\)}\)\)$基础计算，满分100分，建议用时45分钟，和前面格式统一） ## 一、知识梳理 1. **概率定义**：一般地，对于随机事件$A$，刻画它发生可能性大小的数值，叫做事件$A$的概率，记作$\boldsymbol{\(\(\boldsymbol{\(P(A)\)}\)\)}$。 2. 古典概型适用条件： ① 试验结果有限；② 每个结果出现的可能性相等。 公式： $$\boldsymbol{\(\(\boldsymbol{\(P(A)\)}\)\)=\dfrac{\text{事件}A\text{包含的结果数}}{\text{试验所有等可能的结果总数}}$$ 3. 概率取值范围： - 必然事件：$\(\(\boldsymbol{\(P(A)\)}\)\)=\boldsymbol{1}$ - 不可能事件：$\(\(\boldsymbol{\(P(A)\)}\)\)=\boldsymbol{0}$ - 随机事件：$\boldsymbol{0<\(\(\boldsymbol{\(P(A)\)}\)\)<1}$ > 易错提醒： > 只有**等可能**才可以用这个公式；概率是理论值，不代表做几次试验就一定出现对应次数。 ## 二、选择题（每题4分，共24分） 1. 随机事件$A$的概率$\(\(\boldsymbol{\(P(A)\)}\)\)$取值范围是（） A. $\(\(\boldsymbol{\(P(A)\)}\)\)>0$ B. $\(\(\boldsymbol{\(P(A)\)}\)\)<1$ C. $0<\(\(\boldsymbol{\(P(A)\)}\)\)<1$ D. $\(\(\boldsymbol{\(P(A)\)}\)\)=0$或$1$ 2. 掷一枚质地均匀骰子，向上点数为偶数的概率是（） A.$\dfrac16$ B.$\dfrac13$ C.$\dfrac12$ D.$\dfrac23$ 3. 一个袋子有4个红球、1个白球，除颜色外完全相同，随机摸一个，摸到红球概率是（） A.$\dfrac14$ B.$\dfrac15$ C.$\dfrac45$ D.$\dfrac34$ 4. 下列说法正确的是（） A. 概率为0的事件是随机事件 B. 必然事件概率等于1 C. 概率大的事件一定发生 D. 掷硬币正面朝上概率是1 5. 从1，2，3，4，5中随机取一个数，取到奇数的概率是（） A.$\dfrac25$ B.$\dfrac35$ C.$\dfrac12$ D.$\dfrac45$ 6. 抛一枚均匀硬币，正面朝上概率$\dfrac12$，意思是（） A. 抛2次一定1次正面 B. 抛很多次，正面朝上频率稳定在$\dfrac12$附近 C. 抛1次不可能正面 D. 抛100次一定50次正面 ## 三、填空题（每题4分，共24分） 7. 必然事件的概率是______；不可能事件概率是______。 8. 古典概型公式：$\(\(\boldsymbol{\(P(A)\)}\)\)=$事件A包含结果数 ÷ ________。 9. 袋子里2红3白，随机摸一个，摸到白球概率=________。 10. 掷一枚均匀骰子，点数大于4的概率=________。 11. 从“A、B、C、D”四张卡片随机抽一张，抽到B的概率=________。 12. 概率越大，代表事件发生的可能性越______。 ## 四、解答题（共52分） 13.（12分）掷一枚质地均匀的正方体骰子。 （1）总共有多少种等可能结果？ （2）求点数是5的概率； （3）求点数小于3的概率。 14.（12分）不透明袋子装有：3个红球，2个黄球，除颜色无区别，搅匀随机摸一球。 （1）求摸到红球的概率； （2）求摸到黄球的概率； （3）求摸到绿球的概率。 15.（12分）从1、2、3、4这四个数字中随机抽取一个数字。 （1）抽到数字2的概率； （2）抽到偶数的概率； （3）抽到大于4的数的概率。 16.（16分） （1）简述古典概型求概率的两个前提条件； （2）袋子里有若干红球、白球，一共8个，摸到红球概率为$\dfrac34$，求红球、白球分别有多少个。 ## 五、参考答案与解析 1. C 2. C 偶数：2,4,6，共3种，$P=\dfrac36=\dfrac12$ 3. C 4. B 5. B 奇数：1,3,5，3个 6. B 7. $1$；$0$ 8. 所有等可能的结果总数 9. $\dfrac35$ 10. $\dfrac13$（点数5、6） 11. $\dfrac14$ 12. 大 13. 解： （1）一共6种等可能结果：1,2,3,4,5,6 （2）$P(\text{点数5})=\dfrac16$ （3）小于3：1、2，两种，$P=\dfrac{2}{6}=\boldsymbol{\dfrac13}$ 14. 解： 总球数：$\(3+2=5\)$ （1）$P(\text{红})=\boldsymbol{\dfrac35}$ （2）$P(\text{黄})=\boldsymbol{\dfrac25}$ （3）没有绿球，$P(\text{绿})=\boldsymbol{0}$ 15. 解： （1）$P(\text{抽到2})=\boldsymbol{\dfrac14}$ （2）偶数：2、4，$P=\dfrac24=\boldsymbol{\dfrac12}$ （3）没有大于4的数，$P=\boldsymbol{0}$ 16. 解： （1）① 试验的所有结果是有限个；② 每一个结果出现的可能性相等。 （2）红球数量：$8\times \dfrac34=6$（个） 白球：$8-6=2$（个） 答：红球6个，白球2个。 ## 六、方法小结 ✅ 公式：$\(\(\boldsymbol{\(P(A)\)}\)\)=\dfrac{\text{符合条件数}}{\text{全部等可能总数}}$ ✅ 范围：$0\le \(\(\boldsymbol{\(P(A)\)}\)\)\le1$ ✅ 概率只是可能性大小，不保证试验结果一定发生 ✅ 先数清总结果，再数符合条件的结果，再代入计算 下一课：**34.2 用列举法求概率（第1课时：列表法）**，继续吗？ 人教版（新教材）数学九年级下册 34.2用列举法求概率（第1课时） 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/11/10 第三十四章 随机事件的概率 我命由我不由天，是魔是仙，我自己说了算。少年不必畏惧难题与非议，沉下心勤学笃行，不认命、不服输，用汗水改写前路，活出属于自己的光彩。 同学们，认真学习，不只是为了分数。认真听讲、踏实思考，能帮我们把知识学扎实，慢慢拥有分辨是非、独立思考的能力。现在的每一分专注，都会化作以后选择的底气，让我们有机会去奔赴喜欢的方向。静下心来，珍惜课堂时间，认真投入，收获更好的自己。 复习引入 填空并说明理由： （1）掷一枚硬币，正面向上的概率是_______； （2）袋子中装有 5 个红球，3 个绿球，这些球除了颜色外都相同，从袋子中随机摸出一个球，它是红色的概率为_______； （3）掷一个骰子，观察向上一面的点数，点数大于 4 的概率为_______． 合作探究 问题1 同时向空中抛掷两枚质地均匀的硬币，求下列事件的概率： （1）两枚硬币全部正面向上； （2）两枚硬币全部反面向上； （3）一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上． 方法一：将两枚硬币分别记做 A、B，于是可以直接列举得到： （A正，B正），（A正，B反），（A反，B正），（A反，B反） 四种等可能的结果．所以： P(两枚正面向上)= ． P(两枚反面向上)= ． P(一枚正面向上，一枚反面向上)= ． 直接列举法 合作探究 列 举 法 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率，这种求概率的方法叫列举法． 当试验复杂时，为不重复、不遗漏地列举出试验和事件包含的可能结果，我们经常需要借助一些方法进行列举. 合作探究 问题1 同时向空中抛掷两枚质地均匀的硬币，求下列事件的概率： （1）两枚硬币全部正面向上； （2）两枚硬币全部反面向上； （3）一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上． 分析：将同时掷两枚硬币，想象为先掷一枚，再掷一枚，分步思考： 在第一枚为正面的情况下第二枚硬币有正、反两种情况， 同理第一枚为反面的情况下第二枚硬币有正、反两种情况． 合作探究 方法二：将两枚硬币分别标记为第1枚和第2枚，可以利用表格列出抛两枚硬币出现的所有可能结果，如表所示. (1)两枚硬币全部正面朝上的事件(记为A)只包含1种结果，即(正，正)，因此 P(A)=． 第二枚 第一枚 正 反 正 （正，正） （正，反） 反 （反，正） （反，反） 可见，同时抛两枚质地均匀的硬币共有4种可能结果，并且各种结果出现 的可能性相等. 合作探究 方法二：将两枚硬币分别标记为第1枚和第2枚，可以利用表格列出抛两枚硬币出现的所有可能结果，如表所示. (2)两枚硬币全部反面朝上的事件(记为B) 只包含1种结果，即(反， 反)，因此 P(B)=． 第二枚 第一枚 正 反 正 （正，正） （正，反） 反 （反，正） （反，反） 可见，同时抛两枚质地均匀的硬币共有4种可能结果，并且各种结果出现 的可能性相等. 合作探究 方法二：将两枚硬币分别标记为第1枚和第2枚，可以利用表格列出抛两枚硬币出现的所有可能结果，如表所示. (3)一枚硬币正面朝上、 一枚硬币反面朝上的事件(记为C) 包含2种结果，即(正，反)，(反，正)，因此 P(C)= = ． 第二枚 第一枚 正 反 正 （正，正） （正，反） 反 （反，正） （反，反） 可见，同时抛两枚质地均匀的硬币共有4种可能结果，并且各种结果出现 的可能性相等. 列表法 合作探究 问题1 同时向空中抛掷两枚质地均匀的硬币，求下列事件的概率： （1）两枚硬币全部正面向上； （2）两枚硬币全部反面向上； （3）一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上． 如果把一枚质地均匀的硬币抛两次，是否也可以这样列举所有可能结果呢? 第二枚 第一枚 正 反 正 （正，正） （正，反） 反 （反，正） （反，反） 第二次 第一次 正 反 正 （正，正） （正，反） 反 （反，正） （反，反） 合作探究 直接列举法比较适合用于最多涉及两个试验因素或分两步进行的试验，且事件总结果的种数比较少的等可能性事件. 直接列举法 当一次试验要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能结果，通常采用列表法. 列表法 合作探究 思考 在上述试验中，若不对两枚硬币进行标记(即区分)，则所有可能的结 果有3种，分别记为“两正”“一正一反”“两反”.此时还能通过P(A)= 求问题中三个事件的概率吗?为什么? 答：不能，理由如下： 公式使用的前提是试验的所有基本事件是等可能发生的. 当不对两枚硬币标记时，得到的 “两正”“一正一反”“两反” 这 3 个结果，发生的可能性并不相等： “一正一反” 包含（正，反）、（反，正）两种等可能的情况，它发生的可能性是另外两种的 2 倍. 返回 B 举一反三 12 A 返回 举一反三 13 典例分析 例1 同时掷两枚质地均匀的骰子，观察朝上一面的点数.求下列事件的 概率： (1)两枚骰子的点数相同； (2)两枚骰子的点数和为6; (3)至少有一枚骰子的点数为2. 分析：由于同时掷两枚骰子，因此试验的每种可能结果由两枚骰子的结果组成.为不重不漏地列出所有可能的结果，可以用列表的方法进行列举. 典例分析 解：将两枚骰子分别标记为第1枚和第2枚，可以用下表列出所有可能出现的结果. 第2枚 第1枚 1 2 3 4 5 6 1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) (1，6) 2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) (2，6) 3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5) (3，6) 4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5) (4，6) 5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5) (5，6) 6 (6，1) (6，2) (6，3) (6，4) (6，5) (6，6) 由表可以看出，同时掷两枚骰子，所有可能出现的结果共有36 种，并且它们出现的可能性相等. 如果把“同时掷两枚质地均匀的骰子”改为“把一枚质地均匀的骰子掷两次”，得到所有可能的结果有变化吗?为什么? 典例分析 解：将两枚骰子分别标记为第1枚和第2枚，可以用下表列出所有可能出现的结果. 第2枚 第1枚 1 2 3 4 5 6 1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) (1，6) 2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) (2，6) 3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5) (3，6) 4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5) (4，6) 5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5) (5，6) 6 (6，1) (6，2) (6，3) (6，4) (6，5) (6，6) (1)两枚骰子的点数相同的事件(记为A)包含6种结果(表中的红色部分)，即(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)， 因此P(A)= = ． 典例分析 解：将两枚骰子分别标记为第1枚和第2枚，可以用下表列出所有可能出现的结果. 第2枚 第1枚 1 2 3 4 5 6 1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) (1，6) 2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) (2，6) 3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5) (3，6) 4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5) (4，6) 5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5) (5，6) 6 (6，1) (6，2) (6，3) (6，4) (6，5) (6，6) (2)两枚骰子的点数和为6的事件(记为B)包含5种结果(表中的阴影部分)，即(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)， 因此P(B)= ． 典例分析 解：将两枚骰子分别标记为第1枚和第2枚，可以用下表列出所有可能出现的结果. 第2枚 第1枚 1 2 3 4 5 6 1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) (1，6) 2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) (2，6) 3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5) (3，6) 4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5) (4，6) 5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5) (5，6) 6 (6，1) (6，2) (6，3) (6，4) (6，5) (6，6) (3)至少有一枚骰子的点数为2的事件(记为C)包含11种结果(表中绿色方框部分)，即(2，1)， (2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(1，2)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(6，2)， 因此P(C)= ． 典例分析 解：将两枚骰子分别标记为第1枚和第2枚，可以用下表列出所有可能出现的结果. 第2枚 第1枚 1 2 3 4 5 6 1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) (1，6) 2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) (2，6) 3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5) (3，6) 4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5) (4，6) 5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5) (5，6) 6 (6，1) (6，2) (6，3) (6，4) (6，5) (6，6) 你还能提出其他问题并解答吗? A 返回 举一反三 20 4．[2025永州模拟]五一期间，新上映的一部动漫电影深受中学生的喜爱，爸爸购得此电影票一张，姐姐、哥哥和妹妹三人都想去看，于是爸爸抛出两枚均匀的骰子(各面上的点数分别为1～6)，将两枚骰子点数相加后除以3，规定：当正好整除时姐姐去，当余数是1时哥哥去，当余数是2时妹妹去．这个游戏(　　) A．是公平的 B．有利于姐姐 C．有利于哥哥 D．有利于妹妹 举一反三 21 【点拨】列表如下： 第二枚 和　 第一枚　　　 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 举一反三 22 【答案】A 返回 举一反三 23 返回 5．湘绣、蜀绣、粤绣、苏绣为中国四大名绣，是历史上“丝绸之路”运输的重要商品之一．现有四张正面印有四大名绣的卡片，它们除正面图案不同外其余完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，则两次抽取的卡片正面图案相同的概率为________． 举一反三 24 小结梳理 事件 必然事件 不可能事件 确定性事件 随机事件 概率 列举法求概率 ... 直接列举法 列表法 ... 布置作业 必做题：习题34.2 第1，2，5题. 1 探究性作业：习题34.2 第8题. 2 谢谢观看 THANKS 1．[2025衡阳月考]小方家客厅里装有一种三位单极开关(如图)，分别控制着A(楼梯)、B(客厅)、C(走廊)三盏电灯，既可单盏开，也可两盏、三盏齐开．若小方任意按下其中的两个开关，则正好客厅灯和走廊 灯同时亮的概率为(　　) A.　 B.　 C.　 D. 2．春节档上映的《哪吒之魔童闹海》收获了超高票房与口碑，掀起了一阵哪吒热潮，卡通贴纸也备受追捧．周末小光和小花一起去商场购买卡通贴纸，两人分别从“哪吒”“敖丙”“太乙真人”“申公豹”四款卡通贴纸中随机选择一款，则两人恰好同时选中“哪吒”贴纸的概率是(　　) A.　 B.　 C.　 D. 3. 班长邀请A，B，C，D四名同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四名同学随机坐在①②③④四个座位，则A，B两名同学座位相邻的概率是(　　) A. B. C. D. 由表格可知，共有36种等可能的结果，其中点数之和正好能被3整除的结果有12种，点数之和除以3后余数是1的结果有12种，点数之和除以3后余数是2的结果有12种，所以他们获得电影票的概率都是，即为，所以这个游戏是公平的． $