32.2.2 应用举例（第1课时） 课件 2026-2027学年人教版数学九年级下册

# 32.2.2 应用举例（第1课时）专项练习 （人教版九下，方位角，满分100分，建议用时45分钟，和前面格式统一） ## 一、知识梳理 1. **方位角**：以**正北或正南方向**为基准，偏向东或西的角度。 格式：北偏东$30^\circ$、南偏西$45^\circ$；不说东偏北$60^\circ$（规范写法）。 2. 画图要点：观测点画出十字坐标（上北下南、左西右东）。 3. 核心：利用平行线，找到等角，构造直角三角形，用解直角三角形求解。 > 易错提醒： > ① 基准是正北、正南，不是正东正西； > ② 多个观测点，每个点都要单独画方向线； > ③ 看清问的是距离还是角度。 ## 二、选择题（每题4分，共24分） 1. 北偏东$25^\circ$，指的是（） A. 从正东向北转$25^\circ$ B. 从正北向东转$25^\circ$ C. 从正北向东转$65^\circ$ D. 从正东向北转$65^\circ$ 2. 一艘船在A处看灯塔B是南偏西$40^\circ$，则灯塔B看船A的方向是（） A. 北偏东$40^\circ$ B. 北偏东$50^\circ$ C. 南偏西$40^\circ$ D. 东偏北$40^\circ$ 3. 在点O观测，点P在北偏东$60^\circ$，$\(OP=10\)$，则P到正北方向线的水平距离为（） A.$10\sin60^\circ$　B.$10\cos60^\circ$ C.$10\tan60^\circ$　D.$\dfrac{10}{\sin60^\circ}$ 4. 点A在O的北偏东$30^\circ$，点B在O的南偏东$60^\circ$，则$\angle AOB=$（） A.$70^\circ$　B.$80^\circ$　C.$90^\circ$　D.$100^\circ$ 5. 下列方位角写法规范的是（） A. 东偏北$30^\circ$ B. 北偏东$70^\circ$ C. 东北方向就是北偏东$60^\circ$ D. 南偏西$100^\circ$ 6. 轮船从O向北航行，看见小岛C在北偏东$45^\circ$，$OC=20\sqrt2$，小岛C到正北航线的距离是（） A.$10$　B.$20$　C.$20\sqrt2$　D.$40$ ## 三、填空题（每题4分，共24分） 7. 方位角一般以______或______为基准，偏向东、西。 8. 南偏西$35^\circ$，就是从正南向______转$35^\circ$。 9. 互为对看的两个方位角，方向相反，角度______。 10. 东北方向 = 北偏东______；东南方向 = 南偏东______。 11. 观测点O，A在北偏东$30^\circ$，$\(OA=8\)$，A到正北线距离 = ________。 12. 北偏东$50^\circ$，和正东方向夹角是________。 ## 四、解答题（共52分） 13.（12分）如图，在A处测得小岛P在北偏东$60^\circ$方向，AP=12 km。 （1）求小岛P到A所在正北航线的距离； （2）若船沿正北方向航行，求P到这条航线的垂线段长。 14.（12分）一艘轮船在B处，测得灯塔A在北偏西$30^\circ$，轮船向正东航行$12\mathrm{km}$到达C，此时测得灯塔A在北偏西$60^\circ$。 （1）求$\angle BAC$； （2）求灯塔A到航线BC的距离。 15.（12分）港口O，A船在O的北偏东$45^\circ$，距离O $20\sqrt2$海里；B船在O的南偏东$30^\circ$。A船在B船的正北方向。 （1）求A到O的正东方向线的距离； （2）求OB的长。 16.（16分）海面上一艘船在A点，测得小岛C在北偏东$30^\circ$，船向正东航行$60\mathrm{m}$到达B点，测得小岛C在北偏东$60^\circ$。 （1）求$\angle ACB$的度数； （2）求小岛C到航线AB的距离。 ## 五、参考答案与解析 1. B 2. A 3. A 4. C $180^\circ-30^\circ-60^\circ=90^\circ$ 5. B 6. B $20\sqrt2\cdot\sin45^\circ=20$ 7. 正北；正南 8. 西 9. 相等 10. $45^\circ$；$45^\circ$ 11. $4$ 12. $40^\circ$ 13. 解： 过P作正北航线垂线，垂足为H $\angle PAH=60^\circ$，$PH=AP\cdot\sin60^\circ=12\times\dfrac{\sqrt3}{2}=\boldsymbol{6\sqrt3\ \mathrm{km}}$ 答：距离为$6\sqrt3\ \mathrm{km}$。 14. 解： 由题意：$\angle ABC=60^\circ,\angle ACD=30^\circ$，$\angle BAC=30^\circ$ $\therefore BC=AC=12\mathrm{km}$ 过A作$AH\perp BC$交CB延长线于H $AH=AC\cdot\sin60^\circ=12\times\dfrac{\sqrt3}{2}=\boldsymbol{6\sqrt3\ \mathrm{km}}$ 答：距离$6\sqrt3\ \mathrm{km}$。 15. 解： 过A作$AH\perp$正东方向线于H $\angle AOH=45^\circ$，$AH=OA\cdot\sin45^\circ=20\sqrt2\times\dfrac{\sqrt2}{2}=20$ $\because A$在B正北，$\therefore \triangle AHB$是直角，$\angle B=30^\circ$ $OB=2AH=\boldsymbol{40}$海里 答：OB长40海里。 16. 解： （1）$\angle CAB=60^\circ,\angle CBA=30^\circ$，$\angle ACB=60^\circ-30^\circ=\boldsymbol{30^\circ}$ （2）$\angle ACB=\angle CAB=30^\circ \Rightarrow BC=AB=60\mathrm{m}$ 过C作$CH\perp AB$，交AB延长线于H $CH=BC\cdot\sin60^\circ=60\times\dfrac{\sqrt3}{2}=\boldsymbol{30\sqrt3\ \mathrm{m}}$ 答：距离$30\sqrt3\ \mathrm{m}$。 ## 六、方法小结 ✅ 方位角口诀：**上北下南，基准南北** ✅ 相向看：北偏东 ↔ 南偏西，角度相同 ✅ 解题套路：画十字方向线 → 作垂线造Rt△ → 找等角 → 三角函数计算 ✅ 出现两个方位角，优先找等角，证等腰三角形，简化计算 下一课：**32.2.2 应用举例（第2课时：坡度、坡角综合）**，要继续出吗？ 人教版（新教材）数学九年级下册 32.2.2 应用举例 （第1课时） 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/11/10 第三十二章 锐角三角函数 我命由我不由天，是魔是仙，我自己说了算。少年不必畏惧难题与非议，沉下心勤学笃行，不认命、不服输，用汗水改写前路，活出属于自己的光彩。 同学们，认真学习，不只是为了分数。认真听讲、踏实思考，能帮我们把知识学扎实，慢慢拥有分辨是非、独立思考的能力。现在的每一分专注，都会化作以后选择的底气，让我们有机会去奔赴喜欢的方向。静下心来，珍惜课堂时间，认真投入，收获更好的自己。 复习引入 温故 解直角三角形的方法： 已知条件 解法 两条边 两条直角边 a 和 b c=_________，由________求∠A，∠B=_________ 直角边 a 和斜边 c b=_________，由________求∠A，∠B=_________ 一个锐角和一条边 斜边 c 和 锐角∠A ∠B=_________，由________，_________求a，b 直角边 a 和锐角∠A ∠B=_________，由________，_________求b，c tanA= 90°−∠A sinA= 90°−∠A sinA= 90°−∠A cosA= sinA= 90°−∠A tanA= 合作探究 问题1 如图，屋顶的人字架为等腰三角形， 跨度BC=30 m，∠B=18° . 求中柱AD(D为底边中点)和上弦AB的长(结果保留小数点后 一位). 直角三角形 三线合一 实际问题 等腰三角形 抽象 一边一锐角 解直角三角形 求出AD，AB sin 18°≈0.309，cos 18°≈0.951，tan 18°≈0.325 合作探究 解：由题意知△ABD是直角三角形. 在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠B=18°，BD=15. ∵tanB= ， ∴AD=BD·tanB=15×tan18°≈4.9. ∵cosB= ， ∴AB= = ≈15.8. 因此，中柱AD的长约为4.9 m，上弦AB的长约为15.8 m. 问题2 如图，PA 切⊙O于点A，PO交⊙O于点B，⊙O的半径为 3 ，PB=3 ，则∠AOB= ， = ． 60° π 合作探究 返回 A 1. 如图，小宇为了测量某河流的宽度，他在河岸边相距200米的P，Q两点分别测量对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西50°方向，则河宽(PT的长)为(　　) 举一反三 6 返回 2. 137 [教材P77练习T1变式]如图，小晨为了测量宿舍楼与食堂的距离，在宿舍楼A处测得食堂B位于北偏东60°方向，他向南走50 m到达D点，测得食堂B位于北偏东45°方向，则宿舍楼与食堂之间的距离AB约为________m． 举一反三 合作探究 问题3 天宫空间站在远地点高度约399 km、近地点高度约385.6 km的轨 道上运行.如图，当空间站运行到远地点F时，从中能直接看到的地球表面最远点在什么位置?连接地球中心O与点F，交地球表面于点P，最远点与点P的表面距离是多少(地球半径约为6400 km，π取3. 142，结果取整数)? 追问1 从空间站能直接看到的地球表面最远的点在 处. 视线与地球相切时的切点 追问2 在平面图形中，用 可表示地球，用 可表示观测点，请根据题中的相关条件画 出示意图． 圆 点 合作探究 示意图 用⊙O表示地球， 是空间站的位置， 是⊙O的切线， 是从空间站观测地球时的最远点． 追问3 问题中求“最远点与点P的表面距离”实际上是要求 ，需先求 . 的长 点F FQ 切点Q ∠POQ（即α） 问题3 天宫空间站在远地点高度约399 km、近地点高度约385.6 km的轨 道上运行.如图，当空间站运行到远地点F时，从中能直接看到的地球表面最远点在什么位置?连接地球中心O与点F，交地球表面于点P，最远点与点P的表面距离是多少(地球半径约为6400 km，π取3. 142，结果取整数)? 合作探究 解：如图是空间站与地球位置关系的示意图，其中⊙O的圆心为地 球中心、半径为地球半径，F是空间站运行的远地点，FQ是⊙O的切线.可以发现，切点Q就是从空间站中观测地球时的最远点. 根据切线的性质，∠OQF=90°，△FOQ是直角三角形. 设∠POQ=α， ∵cosα= = ≈0.9413， ∴ α≈19.73°. ∴ 的长为 × 6400 ≈ ×6400≈2204(km). 由此可知，当空间站运行到远地点F时，从中观测地球表面的最远点与点P的表面距离约为2204 km. 合作探究 利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤： 实际问题 数学问题 (解直角三角形) 抽象 数学问题 的答案 实际问题 的答案 目标 证明(构造) 直角三角形 解直角三角形 画出平面图形 解：由题意知△ACD是直角三角形. 在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠A=60°，CD=5. ∵tanA= ， ∴AD= = ≈2.89. ∵sinA= ， ∴AC= = ≈5.77. 因此，拉线AC的长约为5.77 m，拉线下端点A与杆底D的距离约为2.89 m. 典例分析 例1 如图，在离地面高度5 m的C处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角.求拉线AC的长及拉线下端点A与杆底D的距离(结果保留小数点后两位). 解：∵∠E=∠ABD-∠D=90°，∴△BED是直角三角形. 在Rt△BED中，∠D=50°，BD=520. ∵cosD= ， ∴ED= BD·cosD = 520×cos50° ≈334.3. 因此，另一边开挖点E离D约334.3 m， 正好使A，C，E三点在同一直线上. 典例分析 例2 如图，施工队沿AC方向开山修路.为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工.为此在AC上取一点B，使∠ABD=140°，BD=520 m，∠D=50°. 那么另一边开挖点E离D多远，正好使A，C，E三点在同一直线上(结果保留小数点后一位)? 解:由题意得，四边形AEDC为矩形，∠BAC=35°，AE=18 m，DE=30 m. ∴∠ACB=180°−∠ACD=180°−90°=90°， CD=AE=18 m，AC=DE=30 m， ∵在Rt△ABC中，tan∠BAC= ， ∴BC=AC⋅tan∠BAC=30×tan35° =30×0.7=21 m， ∴BD=BC+CD=21+18=39 m， 答：乙楼的高为39 m． 典例分析 例3 如图，甲、乙两栋楼相距30m，从甲楼A处看乙楼顶部B的仰角为35°，A到地面的距离为18m，求乙楼的高．（参考数据：tan35°≈0.7） 巩固练习 1.如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为16°，若楔子沿水平方向前进8 cm（如箭头所示），则木桩上升了（     ） A．8cos16°cm B．8sin16°cm C． cm D．8tan16°cm D 巩固练习 2.某露营爱好者在营地搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆AB所在的直线，撑开的遮阳面AC和AD的长均为1.8米，∠CAD的度数为150°，则此时“天幕”的宽度CD是（     ） A．1.8sin15°米 B．3.6cos75°米 C．3.6sin75°米 D．1.8tan15°米 C 返回 3. 14 如图，点A在点B北偏东30°方向上，且A，B之间的距离为100 m，已知点C在点B的西北方向，在点A的正西方向，则点A，B到点C的距离差约为________m． 举一反三 返回 4. D 如图，小宇徒步拉练时来到了坡度i＝1∶2.4的山坡下，小宇沿着该山坡前进了130米(即AP＝130米)，则小宇现在所在的位置相对于前进前升高了(　　) A．120米 B．100米 C．80米 D．50米 举一反三 返回 5. 31 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AD＝4 m， AF＝DE＝6 m，斜面坡度i＝1∶1.5是指坡面的铅直高度AF与水平面宽度BF的比，斜面坡度i＝1∶3是指DE与CE的比，则BC的长为________m. 举一反三 6. (4分)如图，小宇在徒步拉练时行走的山坡AB(坡度i＝1∶2.4)上发现有一棵古树CD.测得古树底端C到山脚点A的距离AC为13米，在距点A的水平距离为4米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED＝48°(古树CD所在直线与山坡AB的剖面，点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直)，求古树CD的高度． (结果保留整数，参考数据：sin 48°≈0.74， cos 48°≈0.67，tan 48°≈1.11) 举一反三 返回 举一反三 小结梳理 角与角的关系 一个内角等于90° 两个锐角互余 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. 边与边的关系 边与角的关系 sinA= cosA= tanA= 直角三角板 特殊锐角的三角函数值 从一般到特殊 解直角三角形 应用 布置作业 必做题：习题32.2 第2，8题. 1 探究性作业：习题32.2 第12题. 2 谢谢观看 THANKS A.米 B．200·tan 50°米 C．200·sin 50°米 D.米 (结果精确到1 m．参考数据：≈1.41，≈1.73) (结果精确到1 m．参考数据：≈1.73，≈2.45) 解：如图，延长DC交直线EA于点F，则DF⊥EF于点F， ∵＝1∶2.4＝，∴设CF＝5k米，则AF＝12k米， ∴AC＝＝13k米，∵AC＝13米，∴13k＝13， ∴k＝1，∴AF＝12米，CF＝5米．∵AE＝4米， ∴EF＝AE＋AF＝4＋12＝16(米)． ∵∠AED＝48°，∴tan 48°＝＝. ∴DF＝16tan 48°米，∴CD＝DF－CF＝16tan 48°－5≈13(米)， 即古树CD的高度约为13米． $