32.2.2 应用举例（第2课时） 课件 2026-2027学年人教版数学九年级下册

# 32.2.2 应用举例（第2课时）专项练习 （人教版九下，坡度、坡角，满分100分，建议用时45分钟，和前面格式统一） ## 一、知识梳理 1. **坡角$\boldsymbol{\alpha}$**：坡面与水平面的夹角。 2. **坡度（坡比）$\boldsymbol{\(\boldsymbol{i}\)}$**：坡面的垂直高度$h$和水平宽度$l$的比 $$\boldsymbol{\(\boldsymbol{i}\)=\dfrac{h}{l}=\tan\alpha}$$ 坡度一般写成 $\(1\(:\)m\)$ 的形式，如 $\(\boldsymbol{i}\)=\(1\(:\)2\)$。 3. 关系：坡度越大，坡角越大，坡面越陡。 > 易错提醒：坡度是**垂直高度\(:\)水平宽度**，不是垂直高度\(:\)坡面长；坡角是坡面和水平面夹角，不是和竖直方向夹角。 ## 二、选择题（每题4分，共24分） 1. 斜坡的坡比$\(\boldsymbol{i}\)$是指（） A. 坡面长\(:\)水平宽度 B. 垂直高度\(:\)水平宽度 C. 水平宽度\(:\)垂直高度 D. 坡面长\(:\)垂直高度 2. 某斜坡坡角$\alpha=30^\c\(\boldsymbol{i}\)rc$，则坡度$\(\boldsymbol{i}\)=$（） A.$1\(:\)\sqrt3$　B.$\sqrt3\(:\)1$　C.$\(1\(:\)2\)$　D.$\sqrt3\(:\)2$ 3. 坡度$\(\boldsymbol{i}\)=1\(:\)1$，则坡角为（） A.$30^\c\(\boldsymbol{i}\)rc$　B.$45^\c\(\boldsymbol{i}\)rc$　C.$60^\c\(\boldsymbol{i}\)rc$　D.$90^\c\(\boldsymbol{i}\)rc$ 4. 斜坡坡度$\(\boldsymbol{i}\)=1\(:\)3$，水平宽度$l=6\mathrm{m}$，则垂直高度$\(h=\)$（） A.$1\mathrm{m}$　B.$2\mathrm{m}$　C.$3\mathrm{m}$　D.$6\mathrm{m}$ 5. 下列说法正确的是（） A. 坡度越大，坡面越平缓 B. 坡角越大，坡度越大 C. $\(\boldsymbol{i}\)=\s\(\boldsymbol{i}\)n\alpha$ D. 坡度可以大于1 6. 斜坡坡角为$\alpha$，坡面长10，$\s\(\boldsymbol{i}\)n\alpha=\dfrac35$，则水平宽度为（） A.$3$　B.$4$　C.$6$　D.$8$ ## 三、填空题（每题4分，共24分） 7. 坡度$\(\boldsymbol{i}\)=\dfrac{h}{l}=$________（用坡角$\alpha$表示）。 8. 坡角$60^\c\(\boldsymbol{i}\)rc$，坡度$\(\boldsymbol{i}\)=$________。 9. 坡度$\(\boldsymbol{i}\)=1\(:\)4$，意思是每升高\(1\mathrm{m}\)，水平前进______m。 10. 斜坡垂直高度$\(h=\)5\mathrm{m}$，水平宽$l=5\sqrt3\mathrm{m}$，坡角$\alpha=$________。 11. 斜坡长$20\mathrm{m}$，坡角$30^\c\(\boldsymbol{i}\)rc$，垂直高度$\(h=\)$________。 12. 坡度是比值，**没有**单位；坡角是一个________。 ## 四、解答题（共52分） 13.（12分）一段斜坡，水平宽度$l=8\mathrm{m}$，垂直高度$\(h=\)4\mathrm{m}$。 （1）求坡度$\(\boldsymbol{i}\)$； （2）求坡角$\alpha$。 14.（12分）水库堤坝横断面是直角梯形，背水坡AB的坡度$\(\boldsymbol{i}\)=1\(:\)\sqrt3$，坝高$\(h=\)10\mathrm{m}$。 （1）求背水坡AB的水平宽度； （2）求坡面AB的长度。 15.（12分）一条山路坡面长$26\mathrm{m}$，垂直升高$10\mathrm{m}$。 （1）求这条山路的水平宽度； （2）求山路的坡度$\(\boldsymbol{i}\)$。 16.（16分）为方便通行，把原来的斜坡改造：原斜坡BC，坡角$45^\c\(\boldsymbol{i}\)rc$，BC长$10\sqrt2\mathrm{m}$；改造后斜坡BD坡度$\(\boldsymbol{i}\)=1\(:\)\sqrt3$，高度不变。 （1）求斜坡的垂直高度； （2）求改造后水平宽度增加多少米。 ## 五、参考答案与解析 1. B 2. A，$\(\boldsymbol{i}\)=\tan30^\c\(\boldsymbol{i}\)rc=\dfrac{1}{\sqrt3}$ 3. B，$\tan\alpha=1,\alpha=45^\c\(\boldsymbol{i}\)rc$ 4. B，$h\(:\)6=1\(:\)3\R\(\boldsymbol{i}\)ghtarrow \(h=\)2$ 5. B 6. D，$\(h=\)6$，$l=\sqrt{10^2-6^2}=8$ 7. $\tan\alpha$ 8. $\sqrt3\(:\)1$ 9. $4$ 10. $30^\c\(\boldsymbol{i}\)rc$ 11. $10\mathrm{m}$ 12. 角度 13. 解： （1）$\(\boldsymbol{i}\)=\dfrac{h}{l}=\dfrac{4}{8}=\(1\(:\)2\)$ （2）$\tan\alpha=\dfrac12$，$\boldsymbol{\alpha=\arctan\dfrac12}$ 答：坡度$\(\boldsymbol{i}\)=\(1\(:\)2\)$，坡角为$\arctan\dfrac12$。 14. 解： （1）$\(\boldsymbol{i}\)=\dfrac{h}{l}=\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{10}{l}$，$l=10\sqrt3\ \mathrm{m}$ （2）$AB=\sqrt{h^2+l^2}=\sqrt{10^2+(10\sqrt3)^2}=20\ \mathrm{m}$ 答：水平宽$10\sqrt3\mathrm{m}$，坡面长$20\mathrm{m}$。 15. 解： （1）水平宽$l=\sqrt{26^2-10^2}=\sqrt{576}=24\ \mathrm{m}$ （2）$\(\boldsymbol{i}\)=\dfrac{h}{l}=\dfrac{10}{24}=\boldsymbol{\(1\(:\)2\).4}$ 答：水平宽度24m，坡度$\(\boldsymbol{i}\)=\(1\(:\)2\).4$。 16. 解： （1）原坡角$45^\c\(\boldsymbol{i}\)rc$，$\(h=\)BC\cdot\s\(\boldsymbol{i}\)n45^\c\(\boldsymbol{i}\)rc=10\sqrt2\t\(\boldsymbol{i}\)mes\dfrac{\sqrt2}{2}=10\ \mathrm{m}$ （2）原来水平宽：$10\sqrt2\cdot\cos45^\c\(\boldsymbol{i}\)rc=10\mathrm{m}$ 改造后：$\(\boldsymbol{i}\)=\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{10}{l_2}$，$l_2=10\sqrt3\ \mathrm{m}$ 增加宽度：$10\sqrt3-10=\boldsymbol{10(\sqrt3-1)\ \mathrm{m}}$ 答：垂直高\(10\mathrm{m}\)，水平宽度增加$10(\sqrt3-1)\mathrm{m}$。 ## 六、方法小结 ✅ 核心公式：$\boldsymbol{\(\boldsymbol{i}\)=\dfrac{h}{l}=\tan\alpha}$ ✅ 坡度一定写成 $\(1\(:\)m\)$ 形式，顺序：垂直$\(:\)$水平 ✅ 已知坡面长，先用勾股求$h$或$l$，再算坡度 ✅ 坡度变小→坡角变小→坡面变平缓（修路、堤坝常考） 这一节结束，下一份是**第32章锐角三角函数整章综合测试卷**，要不要出？ 人教版（新教材）数学九年级下册 32.2.2 应用举例 （第2课时） 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/11/10 第三十二章 锐角三角函数 我命由我不由天，是魔是仙，我自己说了算。少年不必畏惧难题与非议，沉下心勤学笃行，不认命、不服输，用汗水改写前路，活出属于自己的光彩。 同学们，认真学习，不只是为了分数。认真听讲、踏实思考，能帮我们把知识学扎实，慢慢拥有分辨是非、独立思考的能力。现在的每一分专注，都会化作以后选择的底气，让我们有机会去奔赴喜欢的方向。静下心来，珍惜课堂时间，认真投入，收获更好的自己。 答：三种：重叠、向上和向下． 问题1 平时观察物体时，我们的视线相对于水平线来说可有几种情况？ 当视线在水平线上方时， 视线与水平线所成的角叫仰角， 当视线在水平线下方时， 视线与水平线所成的角叫俯角． 合作探究 合作探究 问题2 如图，在用无人机测量一栋楼的高度时， 无人机的探测器显示，从A处看楼顶部B的仰角α为30°，看楼底部C的俯角β为60°，A处与楼的水平距离为120 m. 这栋楼有多高(结果取整数)? 追问1 A处与楼的水平距离为120 m→ . 追问2 在 Rt△ABD中， 和 已知，利用 解直角三角形的知识可以求出 . 类似地可以求出 ， 进而求出 . α AD AD=120 m，AD⊥BC BD CD BC 合作探究 解：如图，由题意知，α=30°，β=60°，AD=120. 在Rt△ABD 中， ∵tanα= ， ∴BD=AD·tanα=120×tan30°=120× =40 . 同理，在Rt△ACD中， CD=AD·tanβ=120×tan60°=120× =120 . ∴BC=BD+CD=40 +120 =160 ≈277. 因此，这栋楼高约为277m. 合作探究 问题3 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向、距离灯塔80n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处 . 这时，B处距离灯塔P有多远(结果取整数)? 追问 结合题目中的条件，可以确定哪些线段和角？ AP=80 n mile ∠PAC=65° ∠APC=25° ∠B=34° ∠BPC=56° ∠PCA=∠PCB=90° 你能写出解题过程吗 合作探究 解：如图，在Rt△APC中， PC=PA·cos∠APC=PA·cos(90°-65°) =80×cos25°≈72.505. 在Rt△BPC中，∠B=34°， ∵sinB= ， ∴PB= ≈ ≈130. 因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时， 它距离灯塔P大约130 n mile. 答：用坡角或坡度来描述. 问题4 如图，如何描述斜坡AB的倾斜程度？ 合作探究 坡面和水平面形成的夹角叫作坡角(α). 坡面的垂直高度与水平宽度的比值叫作坡度(i).坡度又叫作坡比. 坡度与坡角的关系：i=tanα= . 注意：坡度习惯写成1∶m的格式. A B 问题5 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面AB坡度i=1:1.5，斜面CD坡度i=1:3 ，根据图中数据，求： （1）坡角α和β的度数； （2）斜坡AB的长（结果保留小数点后一位）． 合作探究 解：(1)∵tanα=1:1.5= ，tanβ=1:3= ，∴α≈34°，β≈18°. (2)如图，在Rt△AFB中，AF=6 m， BF= = =9 (m). 由勾股定理得：AB= ≈10.8 (m). 所以斜坡AB的长约为10.8 m. 合作探究 合作探究 归 纳 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： (1)将实际问题抽象为数学问题. (画出平面图形，转化为解直角三角 形的问题)； (2)根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等知识解直角三角形； (3)得到数学问题的答案； (4)得到实际问题的答案. 典例分析 例1 如图，建筑物BC上有一避雷针AB，从与BC相距40 m的D处观测避雷针顶部A的仰角为50°，观测避雷针底部B的仰角为45°.求避雷针的长度(结果保留小数点后一位). 追问 结合题目中的条件，可以得到哪些信息？ CD=40 m ∠ADC=50° ∠BDC=45° AC⊥CD 你能写出解题过程吗 解：由题意得：CD=40 m，AC⊥CD，∠ADC=50°，∠BDC=45°. 如图，在Rt△BCD中， BC=CD·tan∠BDC=CD·tan45°=40×1=40. 在Rt△ACD中， AC=CD·tan∠ADC=CD·tan50°≈40×1.1918≈47.67. ∴AB=AC-BC=47.67-40≈7.7. 因此，避雷针的长度约为7.7 m. 典例分析 典例分析 例2 如图，海中有一个小岛A，它周围8 n mile内有暗礁.渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点B测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12 n mile到达点D，这时测得小岛A在北偏东30°方向上.如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险? E 追问1 结合题目中的条件，可以得到哪些信息？ BD=12 n mile α=60° β=30° 追问2 如何理解“没有触礁的危险”？ 点A到直线BD的距离大于8 n mile. 解：过点A作BD的垂线，交BD的延长线于点E. 由题意得：BD=12 n mile，α=60°，β=30°. ∴∠ABD=90°-α=30°，∠ADE=90°-β=60°， ∴∠BAD=∠ADE-∠ABD=30°， ∴∠ABD=∠BAD，∴AD=BD=12. 在Rt△ADE中， AE=AD·sin∠ADE=AD·sin60°=12×=6. ∵6 ≈10.392>8， ∴如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险. 典例分析 E 典例分析 例3 如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道BC与地面AD平行，扶梯AB的坡比为1:1，滑梯CD的坡比为1:，若扶梯AB长为2米，求滑梯CD的长． 典例分析 解：由题意得：tan∠BAE=BE:AE=1，tan∠CDF=CF:DF=1:，BE⊥AD，CF⊥AD，BE=CF， ∴∠BAE=45°，∠CDF=30°， ∴在Rt△ABE中， BE=AB⋅sin∠BAE=2⋅sin45°=2(米)， ∴CF=BE=2米， ∴在Rt△CDF中， CD= = =4(米)． 答：滑梯CD的长度为4米． 巩固练习 1.（2026年黑龙江绥化）如图，有一小型科学探测器在空中A处探测到地平面目标B，此时从探测器上看目标B的俯角α=30°，探测器飞行的高度AC=60 m，则探测器到目标B的距离AB约为（     ）（其中≈1.732，计算结果精确到0.1） A．207.8 m B．207.9 m C．208.8 m D．208.9 m A 巩固练习 2.（2025年江苏镇江）如图，小丽从点A出发，沿坡度为10°的坡道向上走了120米到达点B，则她沿垂直方向升高了（    ） A．米 B．米 C．120tan10°米 D．120sin10°米 D 1. (8分) [2024广东中考]中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形ABCD是其中一个停车位．经测量，∠ABQ＝60°，AB＝5.4 m，CE＝1.6 m，GH⊥CD，GH是另一个停车位的宽，所有停车位的长宽相同，按图示并列划定. 举一反三 19 举一反三 20 举一反三 (2)该充电站有20个停车位，求PN的长． 举一反三 22 2. (8分)[2025重庆中考改编]为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，A，B，C，D在同一平面内．A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，乙无人机位于A的南偏西30°方向20千米的D处．两无人机同时飞往C处巡视，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西30°方向上． 举一反三 (1)求BD的长度(结果保留小数点后一位)； 举一反三 24 举一反三 (2)甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿BC，DC往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍．当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号．请直接写出甲无人机飞离B处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号(结果保留小数点后一位)？ 甲无人机飞离B处3.8千米时， 两无人机可以开始相互接收到信号． 举一反三 26 小结梳理 角与角的关系 一个内角等于90° 两个锐角互余 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. 边与边的关系 边与角的关系 sinA= cosA= tanA= 直角三角板 特殊锐角的三角函数值 从一般到特殊 解直角三角形 应用 布置作业 必做题：习题32.2 第3，4，5题. 1 探究性作业：习题32.2 第11题. 2 谢谢观看 THANKS 根据以上信息回答下列问题：(结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.73) (1)求PQ的长； 解：∵四边形PQMN是矩形， ∴∠Q＝∠P＝90°，在Rt△ABQ中，∠ABQ＝60°， AB＝5.4 m， ∴AQ＝AB·sin∠ABQ＝5.4×＝(m)， ∠QAB＝30°. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，∠BAD＝∠BCD＝∠ABC＝∠BCE＝90°， ∴∠CBE＝30°，∴BC＝＝＝(m)， ∴AD＝ m.∵∠PAD＝180°－30°－90°＝60°， ∴AP＝AD·cos∠PAD＝×＝(m)， ∴PQ＝AP＋AQ＝＋≈6.1(m)． 解：在Rt△BCE中，BE＝＝＝3.2(m)， 在Rt△ABQ中，BQ＝AB·cos∠ABQ＝5.4×＝2.7(m)． ∵该充电站有20个停车位， ∴QM＝QB＋20BE＝66.7 m. ∵四边形PQMN是矩形， ∴PN＝QM＝66.7 m. (参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24，≈2.65) 解：如图，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，则∠AED＝∠BFD＝90°， 由题意得∠DAE＝30°. 在Rt△ADE中， AE＝AD·cos∠DAE＝20×＝10(千米)， DE＝AD·sin∠DAE＝20×＝10(千米)． ∵甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，D位于C的正西方向上，∴AB∥CD，∴AE⊥AB，BF⊥AB， ∴四边形AEFB是矩形， ∴EF＝AB＝10千米，BF＝AE＝10千米， ∴DF＝DE＋EF＝20千米， ∴BD＝＝＝10≈26.5(千米)， 答：BD的长度约为26.5千米． $