27.2.3 相似三角形应用举例（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学课件聚焦相似三角形的应用，通过乐山大佛、红杉树等现实情境导入，连接相似三角形的判定与性质，搭建从理论到实际测量高度、宽度及解决遮挡物问题的学习支架。 其亮点在于以真实问题培养数学眼光，通过影长测量、镜子反射等方法发展推理能力（数学思维），用例题和练习强化数学语言表达。如泰勒斯测金字塔、构造相似测河宽，帮助学生提升应用意识，教师可借助结构化案例优化教学。

新知一览 图形的相似 相似 三角形 相似 相似三角形的性质 位似 位似图形的概念及画法 平面直角坐标系中的位似 相似三角形应用举例 相似三角形的判定 27.2.3 相似三角形应用举例 27.2 相似三角形 第二十七章 相 似 优翼九下数学教学课件（RJ） 乐山大佛 图片引入 导入新课 世界上最高的树 —— 红杉 台湾最高的楼 ——台北101大楼 怎样测量这些高大的物体的高度？ 世界上最宽的河 ——亚马逊河 怎样测量河宽？ 利用相似三角形的判定与性质可以解决一些求不能直接测量的物体的高度及两物之间的距离的问题. 利用相似三角形测量高度 传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度. 新课讲授 8 例1 如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为 3 m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO. 怎样测出 OA 的长？ 解：∵太阳光是平行的光线，∴∠BAO =∠EDF. 又∵ ∠AOB =∠DFE = 90°，∴△ABO ∽△DEF. ∴ ． ∴ =134 (m). 因此金字塔的高度为134 m. 9 表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长 测高方法一： 测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决. 归纳： 1. 如图，要测量旗杆 AB 的高度，可在地面上 竖一根竹竿 DE，测量出 DE 的长以及 DE 和 AB在同一时刻下地面上的影长即可，则下面 能用来求 AB 长的等式是 ( ) A． B． C． D． C 练一练 2. 如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学 数学知识测量学校旗杆的高度，当身高 1.6 米的小 阳同学站在 C 处时，他头顶端的影子正好与旗杆 顶端的影子重合，同一时刻，其他成员测得 AC = 2 米，AB = 10 米，则旗杆的高度是______米． 8 A F E B O ┐ ┐ 还有其他的测量方法吗？ OB EF = OA AF △ABO∽△AEF OB = OA · EF AF 平面镜 想一想： 测高方法二： 测量不能到达顶部的物体的高度，也可以利用“镜子的反射原理”去解决. 如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A 出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端 C 处，已知 AB = 2 米，且测得 BP = 3 米，DP = 12 米，那么该古城墙的高度是 ( ) B 试一试： A. 6 米 B. 8 米 C. 18 米 D. 24 米 例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直于 PS 的直线 b 的交点 R. 已知测得 QS = 45 m，ST = 90 m， QR = 60 m，请根据这些数据，计算河 宽 PQ. 利用相似三角形测量宽度 P R Q S b T a 45 m 90 m 60 m 解得 PQ = 90. 因此，河宽大约为 90 m. 解：∵∠PQR =∠PST = 90°，∠P =∠P， ∴△PQR∽△PST. ∴ ， 即 ， 还有其他构造相似三角形求河宽的方法吗？ P R Q S b T a 45 m 90 m 60 m 例 3 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选点 B 和 C，使 AB⊥BC，然后，再选点 E，使 EC⊥BC ，用视线确定 BC 和 AE 的交点 D． 此时如果测得 BD = 80 m， DC = 30 m，EC = 24 m，求 两岸间的大致距离 AB． E A D C B 30 m 24 m 80 m 解：∵∠ADB =∠EDC，   ∠ABC =∠ECD = 90°，   ∴△ABD∽△ECD.   ∴ ，即 ， 解得 AB = 64. 因此，两岸间的大致 距离为 64 m. E A D C B 30 m 24 m 80 m 测量河宽等不易直接测量的距离，常构造相似三角形求解. 归纳： 例4 如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB = 8 m 和 CD = 12 m，两树底部的距离 BD = 5 m，一个人估计自己眼睛距离地面 1.6 m，她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进， 当她与左边较低的树的距离小 于多少时，就看不到右边 较高的树的顶端 C 了? 利用相似解决有遮挡物问题 分析：如图，设观察者眼睛的位置 (视点) 为点 F，画出观察者的水平视线 FG，它交 AB，CD 于点 H，K. 视线 FA，FG 的夹角∠AFH 是观察点 A 的仰角. 类似地，∠CFK 是观察点 C 时的仰角，由于树的遮挡，区域 Ⅰ 和 Ⅱ 都在观察者看不 到的区域 (盲区) 之内. 再往前走就看不到 C 点了. 故当她与左边较低的树的距离小于 8 m 时，就看不到右边较高的树的顶端 C. 解：如图，假设观察者向右走到点 E 时，她的眼睛的 即 解得 EH = 8. 位置点 E 与两树的顶端点 A，C 恰在一条直线上. ∵ AB⊥l，CD⊥l，∴ AB∥CD. ∴ ， ∴△AEH∽△CEK. 1. 小明身高 1.5 米，在操场的影长为 2 米，同时测得 教学大楼在操场的影长为 60 米，则教学大楼的高 度应为 ( ) A. 45 米 B. 40 米 C. 90 米 D. 80 米 2. 小刚身高 1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为 0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长 为 1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶 ( ) A. 0.5 m B. 0.55 m C. 0.6 m D. 2.2 m A A 当堂练习 3. 如图，有点光源 S 在平面镜上面，若在 P 点看到点 光源的反射光线，并测得 AB＝10 cm，BC＝20 cm， PC⊥AC，且 PC＝24 cm，则点光源 S 到平面镜的距 离 SA 为 . 12 cm 4. 如图，为了测量水塘边 A、B 两点之间的距离，在 可以看到 A、B 的点 E 处，取 AE、BE 延长线上的 C、D 两点，使得 CD∥AB. 若测得 CD = 5 m，AD = 15 m，ED = 3 m，则 A、B 两点间的距离为 m. A B E D C 20 5. 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬 纸板 DEF 来测量操场旗杆 AB 的高度，他们通过调 整测量位置，使斜边 DF 与地面保持平行，并使边 DE 与旗杆顶点 A 在同一直线上，已知 DE = 0.5 米， EF = 0.25 米，目测点 D 到 地面的距离 DG = 1.5 米， 到旗杆的水平距离 DC = 20 米，求旗杆的高度. A B C D G E F 解：由题意可得 △DEF∽△DCA， ∵ DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5米，DC=20米， 则 解得 AC = 10． 故 AB = AC + BC = 10 + 1.5 = 11.5 (米). 答：旗杆的高度为 11.5 米. ∴ ， A B C D G E F 6. 如图，某一时刻，旗杆 AB 的影子的一部分在地面 上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆 AB 在地面上的影长 BC 为 9.6 m，在墙面上的影长 CD 为 2 m．同一时刻，小明又测得竖立于地面长 1 m 的标杆的影长为 1.2 m．请帮助小明求出旗杆 的高度． A B C D E 解：如图，过点 D 作 DE∥BC，交 AB 于点 E， A B C D ∴ DE = CB = 9.6 m，BE = CD = 2 m． ∵ 在同一时刻物高与影长成正比例， ∴ EA : ED=1 : 1.2． ∴ AE = 8 m． ∴ AB = AE + EB = 8 + 2 = 10 (m)． ∴ 学校旗杆的高度为 10 m. 相似三角形的应用举例 利用相似三角形测量高度 利用相似三角形测量宽度 利用相似解决有遮挡物问题 课堂小结 $