32.2.2 应用举例-【课课练】2026-2027学年九年级下册数学同步训练（人教版·新教材）

.0A=1, 83 ∴.OD= 9, DE=0D·tan30=8 、点E的坐标为(-9,9） 88√3 14.（1)证明：.∠ACB=90°，CD是斜边 AB上的中线， .AD=CD, .∴.∠CAB=∠HCA. .·AE⊥CD, .∴.∠ACB=∠CHA=90°， ..△ABC∽△CAH, BC AB ∴AHCA' .AC·BC=AH·AB. (2)解：∠ACB=90°，CD是斜边AB 上的中线， .CD=BD, .∠B=∠BCD AE⊥CD, .∴.∠CAH+∠ACH=90°. 又∠ACB=90°， ∴.∠BCD+∠ACH=90°， .∴.∠B=∠BCD=∠CAH. .·AH=2CH, ∴.由勾股定理，得AC=√A+CH= √5CH, CH√5 AC 5' 《参考答案及解析 ∴.sinB=sin∠CAH= CH√5 AC 5 (3)解：sinB=5 .AC√5 ·AB5 又AB=2CD=25, ∴.AC=2 设CE=x(x>0),则AE=√5x. 在Rt△ACE中，CE+AC=AE, .x2+22=(5x), 解得x=1, ∴.CE=1. 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2, .22+BC2=(25)2, 解得BC=4, ∴.BE=BC-CE=3. 32.2.2应用举例 夯实五分钟 1.C 2.C【解析】设山高AB为xm.由题 意得，∠ACB=30°，∠ADB=45°， ∠ABC=90°. tan 30=3x m. 在Rt△ACB中，有CB=,X 在Rt△ADB中，有BD=,Y tan45。=xm, CD=CB-BD, ..√3x-x=50, 解得x=25(3+1). 29 课课练同步训练数学九年级下册 3.D【解析】如图，标示点C.由题意， 得∠A=10°，BC⊥AC,AB=120m, sin A=BC B' ∴.BC=AB·sinA=120sin10°m, 即她沿垂直方向升高了120sin10°m. 4.16.5【解析】自动扶梯示意图如图 所示 B 根据题意，得AC=12m,AB=3.4m, 在Rt△ABC中，sinC=AB3.4_17 AC1260 ..∠C≈16.5°. 5.20【解析】由题意，知∠BCA=90°， BC 3 .∴.sina AB5·BC=12m, ..AB= =12x5=20(m). BC 5 sin a 3 6.20.8【解析】如图，过点P作PD⊥ AB,交AB的延长线于点D. 30 60° A 由题意易得∠PAB=30°，∠PBD=60°， ·.∠APB=∠PBD-∠PAB=30°， ∴.∠PAB=∠APB, 30 RJ .∴.BP=AB=24 n mile. 在Rt△PBD中，PD=BP·sin∠PBD= 3 24×2=12,3≈20.8(n mile), 即当轮船到达灯塔P的正南方向时， 轮船与灯塔P的距离约是20.8 n mile.. 素养稳提升 7.A【解析】由题意，得AB⊥BC. 在Rt△ABC中，∠BAC=a,AB=mm, ∴.tana= BC-BC BC=mtan a m. AB m 即竹竿在地面上的影子BC的长为 mtan a m. 1 8.D【解析】由题意得，AB=32× 16(n mile),∠ACS=90°. .·∠A=30°，∠CBS=60°， ∴.∠ASB=∠CBS-∠A=60°-30°=30°， .∴.∠ASB=∠A, .∴.BS=AB=16 n mile. 在Rt△BCS中，sinL CBS=CS BS' CS=BS·sin∠CBS=16x3 2 8√3(n mile). 9.解：在Rt△ABC中，AC=√AB2-BC2= √/402-202=203(m), BC20√3 .'tan A=- AC 203 3 答：斜坡的坡度为3 10.解：如图，过点A作AH⊥EF于点H. C45 ---D H F包 B 由题意得∠EBF=30°，∠CAH=45°. .·BF=√3m, EF=BF·tan LEBF=V3x3 3 1(m). .:∠CAH=45°，∠AHC=90°， .△ACH是等腰直角三角形， .CH=AH=BF=√3m. CE=1 m, .AB=HF=CF-CH=CE+EF-CH= 1+1-√3=(2-√3)m. 11.解：.∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°， ∠BAC=37°，∠ABC=53°， ∴.∠ACB=90°. 在Rt△ACB中， .∠BAC=37°，AC=80m, AC AC 80 .AB= cos BAC cos 370.80 100(m). 答：A,B两点之间的距离约为 100m. 12.解：如图，过点A作AH LBC于点H. 参考答案及解析 AB=AC,..BH=HC=1BC. 在Rt△ABH中，∠ABC=47°，AB= 50cm, .∴.BH=AB·c0sB=50×c0s47°≈50× 0.68=34(cm), .BC=2BH=68 cm. 答：车位锁的底盒BC的长约为 68cm. 13.解：如图，延长BC交AE于点F. 7777 根据题意，得BF=70m,∠EAC= 15°，∠EDC=45°，∠AFC=90 在Rt△ACF中， CF=AF·tan∠EAC=(15+DF)· tan15°=0.27(15+DF), 在Rt△CDF中， CF=DF·tan∠EDC=DF·tan45°= DF, ∴.0.27(15+CF)=CF,解得CF≈5.55， ∴.BC=BF-CF=70-5.55≈64.5(m). 答：大楼的高度BC约为64.5m. 中考一点通 14.解：(1)在Rt△CDE中，∠DEC=90°， ∠DCE=30°，CD=30m, .DE=。CD=。×30=15(m). 2 答：DE的长为15m. 31 课课练同步训练数学九年级下册 (2)①在Rt△DCE中， EC cos∠DCE= CD' ..EC=CD·cos∠DCE=30Xcos30°= 15√3(m). AB 在Rt△BCA中，tan∠BCA= CAAB= hm,∠BCA=45°， AB AB .CA tan∠BCA tan45o=hm, .EA=CA+EC=(h+153)m. ②如图，过点D作DF⊥AB,垂足 为F B 127o F 45 E C 根据题意，得∠AED=∠FAE= ∠DFA=90°， .四边形DEAF是矩形， .DF=EA=(h+153)m.FA=DE=15 m. .BF=AB-FA=(h-15)m. 在Rt△BDF中，tan∠BDF=BF DE ∠BDF=27°， .BF=DF·tan∠BDF, ∴.h-15=(h+15W3)·tan27°. .h= 15+15√3×tan27° ≈56(m) 1-tan 27 答：塔AB的高度约为56m. 32 RJ 15.解：(1)如图1，过点C作CE⊥AB,垂 足为E. A 太阳光线 16m 南 北 32° C B ,20m D 图1 由题意，得CE=BD=20m,CD=BE. 在Rt△ACE中，∠ACE=32°， ∴.AE=CE·tan32°≈20×0.625= 12.5(m), .CD BE=AB-AE=16-12.5= 3.5(m). 答：在冬至正午时分，南楼的影子落 在北楼上约有3.5m. (2)若要使每层楼在冬天都要受阳 光照射，则点C和点D重合，如图2 所示. 太阳光线 16m 北 楼 32° B D(C) 图2 在Rt△ABC中，AB=16m, ∠ADB=32°， AB 16 .BD=- ≈26(m) n32°0.625 答：南、北两楼之间的距离至少应为 26m,才能使每层楼在冬天都能受阳 光照射：《第三十二章锐角三角函数 32.2.2应用举例 023 意学习目标 1.了解仰角、俯角、方向角、坡角、坡度等测量中的有关概念，并弄清它们的意义 2.能从实际问题中抽象出直角三角形模型，会运用解直角三角形的有关知识解决简单的 实际问题。 夯实五分钟 难度：☆ 1.下面关于“坡度”的说法正确的是 )4.荣荣乘自动扶梯从商场一楼去二楼，自动扶梯 第 A.坡度是坡角的正弦值 长约12m.如果楼层高3.4m,那么自动扶梯 三 B.坡度是坡角的余弦值 与地面夹角约为 .(结果精确 十二 C.坡度是坡角的正切值 到0.1) 章 D.以上说法都不正确 5.如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α， 2.如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对 3 sin a= 堤坝高BC=12m,则迎水坡面AB的 岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为 长度为 m. 45°，点C,D,B在同一水平线上.若河宽CD为 B 50m,则山高AB为 ( ■ 河 6.如图，海上有一灯塔P,位于小岛A北偏东60° 方向上，一艘轮船从小岛A出发，沿正东方向 A.50m B.25m 航行24 n mile到达B处，这时测得灯塔P在 C.25(3+1)m D.75m 北偏东30°方向上.若轮船不改变航向继续向 3.如图，荣荣从点A出发，沿坡角为10°的坡道向 东航行，当轮船到达灯塔P的正南方向时，轮 上走了120m到达点B,则她沿垂直方向升高 船与灯塔P的距离约是 n mile..（结 了 ( 果保留小数点后一位，3≈1.73)》 30 120 120 609 tan 106 m A.- B sin10°m C.120tan10°m D.120sin10°m 33 课课练同步训练数学九年级下册 素养稳提升 难度：☆☆ 7.如图，AB为垂直于地面放置的竹竿，AB=mm.10.一种机器零件的示意图如图所示，其中CE= 当太阳光线与竹竿所夹锐角为α时，竹竿在地 1m,BF=√3m,求AB的长 面上的影子BC的长为 ( 459 A.mtan a m B.msin a m C.m D. m -m m tan a Cos a 北 609 第 309 十二 B (第7题) (第8题) 8.如图，一艘渔船以32 n mile/h的速度向正北 方向航行，在A处时灯塔S在渔船的北偏东 30方向.半小时后渔船航行到B处，此时，灯 塔S在渔船的北偏东60°方向.若渔船继续沿 11.如图，通过两段笔直的观景栈道AC和CB可 正北方向航行到灯塔$的正西方向的C处，此 以从湖边点A到点B.为了计算A,B两点之 时灯塔S与渔船的距离CS为 ( ) 间的距离，经测量得：∠BAC=37°，∠ABC= A.16 n mile B.18 n mile 53°，AC=80m.求A,B两点之间的距离（参 C.8 n mile D.83 n mile 考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80， 9.如图，已知斜坡AB长40m,坡顶B离地面的 tan37°≈0.75). 高度为20m,求斜坡的坡度， 34 《第三十二章锐角三角函数 12.一种三角车位锁如图1所示，其主体部分由13.如图，某人利用无人机测量大楼BC的高度， 两条长度相等的钢条组成.当位于顶端的小 无人机在空中点A处，测得点A与地面的距 挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在 离为70m,测得点C的俯角∠EAC=15°.控 地面上)，此时汽车可以进入车位；当小挂锁 制无人机水平移动至点D,测得AD=15m,楼 上锁时，钢条按图1所示的方式立在地面上， 顶点C的俯角∠EDC=45.点A,B,C,D在同 以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入 一平面内，求大楼的高度BC(参考数据： 车位.其示意图如图2所示，经测量，钢条AB= sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈ AC=50cm,∠ABC=47°.求车位锁的底盒 0.27,√2≈1.41，结果精确到0.1m). BC的长（参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈ 0.68,tan47°≈1.07). 第 777777777777777777 图1 图2 十二章 35 课课练同步训练数学九年级下册J 中考一点通 难度：☆☆☆ 14.如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已15.某房地产集团筹建一小区，小区内居民楼南 知CD=30m,∠DCE=30°，点E,C,A在同一 北朝向，楼高统一为16m(五层).已知该城 水平线上，某学习小组在观景台C处测得塔 市冬至正午时分太阳高度最低，此时太阳光 顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔 线与水平线的夹角为32°，设计南、北两楼相 顶部B的仰角为27°. 隔仅有20m,如图所示 (1)在冬至正午时分，南楼的影子落在北楼 上有多高（参考数据：tan32°≈0.625，结 果精确到0.1m)? 270 第三十二章 (2)根据居住要求，每层楼在冬天都要受阳 X459 光照射，请你重新设计南、北两楼之间的 (1)求DE的长 距离（结果精确到1m) (2)设塔AB的高度为h(单位：m). A 太阳光线 ①用含有h的式子表示线段EA的长（结 果保留根号)； 16m 南 楼 北楼 32C ②求塔AB的高度（参考数据：tan27°≈ 0.5,√3≈1.7，结果取整数) B 20m 36