32.1正弦、余弦与正切（第1课时） 课件 --2026-2027学年人教版数学九年级下册

# 32.1 正弦、余弦与正切（第1课时）专项练习 （人教版九下，本节课只学**正弦 $\boldsymbol{\sin A}$**，满分100分，建议用时45分钟，和前面格式统一） ## 一、知识梳理 在 $\boldsymbol{\text{Rt}\triangle ABC}$ 中，$\boldsymbol{\angle C=90^\circ}$ $$\boldsymbol{\sin A=\dfrac{\angle A\text{的对边}}{\text{斜边}}}$$ 1. $\sin A$ 是两条线段的比值，**没有单位**； 2. $\sin A$ 的大小只和**锐角$A$的度数**有关，和直角三角形大小无关；三边同时放大或缩小，$\sin A$ 值不变； 3. 范围：$\boldsymbol{0<\sin A<1}$（$A$是锐角）； 4. 易错：必须是**直角三角形**，分清谁是对边、斜边，不是邻边！ ## 二、选择题（每题4分，共24分） 1. 在 $\text{Rt}\triangle ABC$ 中，$\angle C=90^\circ$，$\(BC=3\)$，$\(\(AB=\)5\)$，则 $\sin A=$（） A.$\dfrac{3}{5}$　B.$\dfrac{4}{5}$　C.$\dfrac{3}{4}$　D.$\dfrac{4}{3}$ 2. 把直角三角形各边长扩大为原来的4倍，锐角$A$的$\sin A$的值（） A.扩大4倍　B.缩小为原来$\dfrac14$　C.不变　D.无法确定 3. 在 $\text{Rt}\triangle ABC$ 中，$\angle C=90^\circ$，$\(AC=4\)$，$\(BC=3\)$，则 $\sin B=$（） A.$\dfrac{3}{5}$　B.$\dfrac{4}{5}$　C.$\dfrac{3}{4}$　D.$\dfrac{4}{3}$ 4. 已知 $\text{Rt}\triangle ABC$，$\angle C=90^\circ$，$\sin A=\dfrac{2}{3}$，斜边$\(\(AB=\)9\)$，则$BC$长为（） A.$3$　B.$4$　C.$6$　D.$9$ 5. 下列说法正确的是（） A.$\sin A$可以大于1 B.$\sin A$是一个角度 C.$\sin A$只跟角$A$大小有关 D.$\sin A=$邻边$\(:\)$斜边 6. 在 $\text{Rt}\triangle ABC$ 中，$\angle C=90^\circ$，$\(\(AB=\)10\)$，$\(AC=6\)$，则 $\sin A=$（） A.$\dfrac{3}{5}$　B.$\dfrac{4}{5}$　C.$\dfrac{3}{4}$　D.$\dfrac{4}{3}$ ## 三、填空题（每题4分，共24分） 7. 在直角三角形中，锐角的正弦 = $\dfrac{\underline{\quad\quad}}{\text{斜边}}$。 8. $\text{Rt}\triangle ABC$，$\angle C=90^\circ$，$\(BC=5\)$，$\(\(AB=\)13\)$，$\sin A=$______。 9. $\text{Rt}\triangle ABC$，$\angle C=90^\circ$，$\sin A=\dfrac{3}{7}$，若$\(BC=6\)$，则斜边$\(AB=\)$______。 10. 锐角$\alpha$的正弦取值范围是________。 11. $\text{Rt}\triangle ABC$，$\angle C=90^\circ$，$\(AC=5\)$，$\(BC=12\)$，$\sin B=$______。 12. 同一个锐角，三角形放大缩小，正弦值________。 ## 四、解答题（共52分） 13.（12分）在 $\text{Rt}\triangle ABC$ 中，$\angle C=90^\circ$，$\(AC=6\)$，$\(BC=8\)$。 （1）求斜边$AB$； （2）求$\sin A$和$\sin B$。 14.（12分）在 $\text{Rt}\triangle ABC$ 中，$\angle C=90^\circ$，$\sin A=\dfrac{4}{5}$，$\(BC=12\)$。 （1）求斜边$AB$； （2）求$AC$的长。 15.（12分）如图，$\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^\circ$，$CD\perp AB$，垂足为$D$，$\(AC=8\)$，$\(\(AB=\)10\)$。 （1）求$\sin B$； （2）写出和$\sin B$相等的三角函数。 16.（16分）在 $\text{Rt}\triangle ABC$ 中，$\angle C=90^\circ$。 （1）若$\(AB=\)15$，$\sin A=\dfrac{3}{5}$，求$BC$； （2）若$BC=2\sqrt{3}$，$\(AC=2\)$，求$\sin B$。 ## 五、参考答案与解析 1. A。$\sin A=\dfrac{\angle A对边BC}{斜边AB}=\dfrac{3}{5}$ 2. C。正弦只和角度有关 3. B。$\angle B$对边是$\(AC=4\)$，斜边$\(\(AB=\)5\)$，$\sin B=\dfrac45$ 4. C。$\sin A=\dfrac{BC}{AB}\Rightarrow BC=AB\cdot \sin A=9\times\dfrac23=6$ 5. C 6. B。$BC=\sqrt{10^2-6^2}=8$，$\sin A=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{8}{10}=\dfrac45$ 7. 这个角的对边 8. $\dfrac{5}{13}$ 9. $14$ 10. $0<\sin\alpha<1$ 11. $\dfrac{5}{13}$ 12. 不变 13. 解： （1）$\(AB=\)\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$ （2）$\sin A=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{8}{10}=\boldsymbol{\dfrac{4}{5}}$ $\sin B=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{6}{10}=\boldsymbol{\dfrac{3}{5}}$ 14. 解： （1）$\sin A=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{4}{5}$，$\dfrac{12}{AB}=\dfrac{4}{5}$，$\boldsymbol{\(AB=\)15}$ （2）$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{15^2-12^2}=\boldsymbol{9}$ 15. 解： （1）$\sin B=\dfrac{AC}{AB}=\boldsymbol{\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}}$ （2）$\because \angle ACD+\angle A=90^\circ,\angle B+\angle A=90^\circ$，$\therefore \angle ACD=\angle B$ $\boldsymbol{\sin B=\sin\angle ACD}$ 16. 解： （1）$\sin A=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac35$，$BC=15\times\dfrac35=\boldsymbol{9}$ （2）$\(AB=\)\sqrt{(2\sqrt3)^2+2^2}=\sqrt{12+4}=4$ $\sin B=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{2}{4}=\boldsymbol{\dfrac12}$ ## 六、方法小结 ✅ 口诀：**正弦 = 对边比斜边** ✅ 先找直角、找准锐角，再锁定它的对边，斜边永远最长 ✅ 角不变，正弦不变；三角形放大缩小，比值不变 ✅ 先勾股定理算出缺少的边长，再算正弦 下一课是**32.1 正弦、余弦与正切（第2课时：余弦、正切）**，要不要继续出？ 人教版（新教材）数学九年级下册 32.1正弦、余弦与正切（第1课时） 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/11/10 第三十二章 锐角三角函数 我命由我不由天，是魔是仙，我自己说了算。少年不必畏惧难题与非议，沉下心勤学笃行，不认命、不服输，用汗水改写前路，活出属于自己的光彩。 同学们，认真学习，不只是为了分数。认真听讲、踏实思考，能帮我们把知识学扎实，慢慢拥有分辨是非、独立思考的能力。现在的每一分专注，都会化作以后选择的底气，让我们有机会去奔赴喜欢的方向。静下心来，珍惜课堂时间，认真投入，收获更好的自己。 情境引入 角与角的关系 一个内角等于90° 两个锐角互余 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. 边与边的关系 边与角的关系 锐角三角函数 相似三角形 已知Rt△ABC的一个锐角α的度数和斜边AB的长，求角α的对边BC的长. 合作探究 对本章引言中提到的问题，如果距离AB和仰角α已经测出，问题就转化为： 如图，如果α=30°，AB=850m，求角α的对边BC的长. 特殊化 用希腊字母α，β，γ，… 表示角时，角的符号“∠”可以省略不写. 合作探究 如图，如果α=30°，AB=850 m，求角α的对边BC的长. 解：根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，得： = = ， ∴BC= AB=425 (m). 合作探究 思考 在上面的问题中，如果α=30°，AB=1 268 m，那么BC的长是多少? 分析：在上面求BC的过程中，我们用到了结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边 与斜边的比都等于 . 解：根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，得： = = ， ∴BC= AB=634 (m). 合作探究 思考 如图，任意画一个Rt△ABC，使 ∠C=90°，∠A=45°，计算∠A的 对边与斜边的比 ，由此你能得出什么结论? 解：在 Rt△ABC中，∠C=90°，因为∠A=45°， 所以Rt△ABC是等腰直角三角形. 由勾股定理，得 AB²=AC²+BC²=2BC²，∴AB=BC. 因此 = = = ， 即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，无论这个直角三角形大小如 何，这个角的对边与斜边的比都等于 . 合作探究 总结 在Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A等于30°和45°时，∠A的对边与 斜边的比分别等于 和 ，都是固定值. 一般地，当∠A是任意一个确定的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢? 信息技术验证 合作探究 猜想 一般地，当∠A是任意一个确定的锐角时，它的对边与斜边的比是一个固定值. 解：因为∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′， 所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C′. 因此 = ，即 = . 这 就 是 说， 在Rt△ABC中，当锐角A的度数确定时，无论这个直角三角形大小如何 . ∠A的对边与斜边的比都是一个固定值. 合作探究 探究 如图，任意画 Rt△ABC和Rt△A'B'C′，使∠C=∠C′=90°，∠A=∠A'. 与 有什么关系?为什么? 合作探究 正 弦 的概念 如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，我们把 ∠A的对边与斜边的比叫作∠A的正弦 ( sine)， 记作sinA，即 sinA= = . 例如：当∠A=30°时，我们有sinA=sin30°= . 当∠A=45°时，我们有sinA=sin45°= . 典例分析 例1 如图，已知△ABC，AD⊥BC，则sin∠ABD=（     ） A．AD:AB B．AD:BD C．AC:AB D．AC:BC A 返回 B 1. [2025广西中考]在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝7， AC＝3，则sin B＝(　　) 举一反三 12 返回 2. A 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，则sin C的值为(　　) 举一反三 返回 3. A 在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，AC＝3，则∠A的正弦值为(　　) 举一反三 典例分析 例2 如图，在Rt△ABC中，∠C=90° . 求sinA和sinB的值. 解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB===5. 因此 sinA= = ， sinB= = . 典例分析 例2 如图，在Rt△ABC中，∠C=90° . 求sinA和sinB的值. 求sin A就是要确定∠A的对边与斜边的比；求sin B就是要确定∠B的对边与斜边的比. 解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AC===12. 因此 sinA= = ， sinB= = . 典例分析 例2 如图，在Rt△ABC中，∠C=90° . 求sinA和sinB的值. 典例分析 例3 如图所示，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′=α，则栏杆A端升高的高度可用三角函数表示为_________米． 4sinα 解：如图，过点A′作A′C⊥AO，垂足为C， 则A′C为栏杆A端升高的高度， ∵AO=4米， ∴A′O=4米， ∵sinα=A′C:A′O=A′C:4， ∴A′C=4sinα米． 典例分析 例4 如图，在四边形ABCD中，∠C=∠BAD=90°，AB=AD，点E在CB 的延长线上，连接AE，sinE=，若CD=4，BC=12，求BE的长． 解：如图：过A作AF⊥BC于F，过D作DG⊥AF于G， 则∠AGD=∠AFB=90°， ∴∠ADG+∠GAD=90°， ∵∠BAD=90°， ∴∠BAF+∠GAD=90°， ∴∠BAF=∠ADG， ∵AB=AD，∴△AFB≌△DGA(ASA). 典例分析 ∴BF=CD=4，AF=CF， ∴AF=CF=BC−BF=12−4=8. 在Rt△AEF中，sinE=， ∴AF:AE=4:5，即8:AE=4:5， 解得：AE=10， ∴EF==6， ∴BE=EF−BF=6−4=2． 返回 4. 如图，已知∠B的一边在x轴上，另一边经过点A(2，4)，其顶点B的坐标为(－1，0)，则sin B的值是________. 举一反三 返回 5. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝2BC，则sin A的值是______. 举一反三 6. (4分)[教材P64练习T1变式]分别求出图①、图②中∠A，∠B的正弦值. 举一反三 返回 举一反三 返回 7. (4分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC，求sin A和sin B的值. 举一反三 返回 8. 12 举一反三 返回 9. 6 举一反三 27 返回 10. 举一反三 28 返回 11. C 如果将Rt△ABC各边的长度都扩大到原来的3倍，那么锐角∠A的正弦值(　　) A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的6倍 C．没有变化 举一反三 29 返回 12. D 举一反三 30 返回 13. D 如图，在由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则sin∠ADC的值为(　　) 举一反三 返回 14. 四边形具有不稳定性，如图，将面积为5的矩形“推”成面积为4的平行四边形，则sin α的值为________. 举一反三 返回 15. 举一反三 小结梳理 角与角的关系 一个内角等于90° 两个锐角互余 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. 边与边的关系 边与角的关系 sinA= sin30°= sin45°= 布置作业 必做题：习题32.1 第1(只求正弦值)，6题. 1 探究性作业：习题32.1 第7题. 2 谢谢观看 THANKS A.　 B.　 C.　 D. A. B. C. D. A. B. C. D. 解：题图①：sin A＝＝＝， AC＝＝＝4 . ∴sin B＝＝＝. 题图②：AB＝＝＝2 ， ∴sin A＝＝＝，sin B＝＝＝. 解：∵BC＝3AC， ∴设AC＝k(k＞0)，则BC＝3k. ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴由勾股定理，得AB＝k. ∴sin A＝＝，sin B＝＝. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝，AB＝15，则AC的长是________. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，sin B＝，则BC的长是________. (4分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sin A＝，求sin B的值. 解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°， sin A＝，∴＝. ∵BC＝2，∴＝，∴AB＝6. ∴AC＝＝＝4 . ∴sin B＝＝＝. D．缩小到原来的 如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D.若BD＝2，sin C＝，则线段AB的长为(　　) A．10 B．4 C．4 D．2 A. B. C. D. y＝ 菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，边OA在x轴上，sin∠AOC＝，点A(5，0)，若点C在一个反比例函数的图象上，则该反比例函数的解析式是________. $