32.2.2 应用举例 第1课时 课件- 2026-2027学年人教版九年级数学下册

第三十二章 锐角三角函数 32.2 解直角三角形及其应用 32.2.2 应用举例 课时1 1. 能够从实际问题中抽象出直角三角形模型，运用锐角三角函数解直角三角形，求出线段长度、角度. 2. 学会将实际生活问题转化为解直角三角形的数学问题，掌握构造直角三角形、利用几何性质解决实际测量类问题. 学习目标 2 同学们，我们之前已经学习了解直角三角形的相关知识，知道可以利用锐角三角函数、勾股定理来求解直角三角形的边和角. 其实，数学知识在生活里的应用随处可见. 比如大家平时看到的房屋屋顶，很多都是这种 “人字架” 的设计. 工人师傅在建造的时候，需要提前算出中柱的高度、上弦的长度，才能准备材料、精准施工. 接下来，我们一起用解直角三角形的方法，解决屋顶人字架的实际问题，思考怎么把实际问题转化成我们熟悉的直角三角形问题. 课堂导入 解：由题意知△ 是直角三角形. 在 Rt△ 中，，，. ∵ , ∴ . ∵ , ∴ . 因此，中柱  的长约为 ，上弦  的长约为 . 例1 如图，屋顶的人字架为等腰三角形，跨度BC=30m，∠B=18°，求中柱AD（D为底边中点）和上弦 AB 的长（结果保留小数点后一位). 知识点 利用解直角三角形解决实际问题 新知讲解 跟踪训练 如图为放置在水平桌面上的台灯及其发出光线时的平面示意图，灯臂  的长为 40 cm，与水平面所形成的夹角  为 . 由光源 （看作一点）射出的边缘光线 ， 与水平面所形成的夹角 ， 分别为  和 ，求该台灯照亮水平面的宽度 （结果保留小数点后一位）. 思路引导： Rt△OBC, BC Rt△OAC ， OC 知识点 利用解直角三角形解决实际问题 新知讲解 跟踪训练 解：在Rt△AOC中, ， ∴ OC=OA·. 在 Rt△BOC 中，∵, ∴ BC. 答：该台灯照亮水平面的宽度  约为 67.3 cm. 当两个直角三角形有公共边时，公共边是解题的桥梁，能快速有效地将两个直角三角形联系在一起. 如图为放置在水平桌面上的台灯及其发出光线时的平面示意图，灯臂  的长为 40 cm，与水平面所形成的夹角  为 . 由光源 （看作一点）射出的边缘光线 ， 与水平面所形成的夹角 ， 分别为  和 ，求该台灯照亮水平面的宽度 （结果保留小数点后一位）. 知识点 利用解直角三角形解决实际问题 新知讲解 解直角三角形的应用中常见图形及辅助线添加方法 常见图形 辅助线 添加方法 过点 A 作AD⊥BC 于点 D. 过点 B 作 BC⊥AE 于点C. 延长 BD 交AG 于点 C. 延长 DE，AC 交于点 F. 辅助线 添加原则 通过作垂线或者延长某些线段，把图形转化为包含直角三角形的图形. 知识点 利用解直角三角形解决实际问题 新知讲解 天宫空间站某段时间内在远地点高度约 、近地点高度约  的轨道上运行. 如图 ，当空间站运行到远地点  时，从中能直接看到的地球表面最远点在什么位置？连接地球中心  与点 ，交地球表面于点 ，最远点与点  的表面距离是多少（地球半径约为 ，π 取 3.142，结果取整数）？ 例2 分析：从空间站中能直接看到的地球表面最远点， 是视线与地球相切时的切点. 如图，本例可以抽象 为以地球中心为圆心、地球半径为半径的 ⊙O 的有 关问题.其中点 F 是空间站的位置，FQ 是 ⊙O 的切线， 切点 Q 是从空间站中观测地球时的最远点，的长就是地球表面上 P，Q 两点之间的表面距离. 为计算的长，需先求出 ∠POQ（即角 ）的度数. 6 400 399 知识点 利用解直角三角形解决实际问题 新知讲解 解：如图是空间站与地球位置关系的示意图，其中 ⊙O 的圆心为地球中心、半径为地球半径，F 是空间站运行的远地点，FQ 是 ⊙O 的切线. 可以发现，切点 Q 就是从空间站中观测地球时的最远点. 根据切线的性质，OQF，△FOQ 是直角三角形. 设 ∠POQ=α， ∵ ,∴ . ∴  的长为64002 204(km). 由此可知，当空间站运行到远地点 F 时， 从中观测地球表面的最远点与点 P 的表面距离约为 2 204 km. 6400 399 知识点 利用解直角三角形解决实际问题 新知讲解 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤： （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等知识解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案. 数学问题的解符合实际意义. 知识点 利用解直角三角形解决实际问题 新知讲解 如图，在离地面高度 5 m 的  处引拉线固定电线杆，拉线和地面成  角. 求拉线  的长及拉线下端点  与杆底  的距离（结果保留小数点后两位）. 解：由题意，知 ，，, ∵ ，, ∴ , . 答：拉线  的长约为 ，拉线下端点  与杆底  的距离约为 . 随堂练习 2. 如图，施工队沿 AC 方向开山修路. 为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工. 为此在 AC 上取一点 B，使 ∠ABD=，BD=520 m，∠D. 那么另一边开挖点 E 离 D 多远，正好使 A，C，E 三点在同一直线上（结果保留小数点后一位）？ 解：∵ ABD140°，∠D50°, ∴ 当A，C，E三点在同一直线上时，E. 在 Rt△BDE 中，∵ , ∴ DE. ∴ 当点 E 离点 D 约 334.2 m时，正好使 A，C，E 三点在同一直线上. 随堂练习 3. 中国古代运用“土圭之法”判别四季，夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至时日影长度的平均数.某地学生运用此法进行实践探索，如图1，在示意图（图2）中，产生日影的杆子  垂直于地面， 长8尺.在夏至时，杆子  在太阳光线  照射下产生的日影为 ；在冬至时，杆子  在太阳光线  照射下产生的日影为 .已知 ，，求春分和秋分时日影长度（结果保留小数点后一位）. 解：在 Rt△ 中，∵ , ∴ . 在 Rt△ 中，∵ , ∴ . ∵ ， ∴春分和秋分时日影长度约为 9.2 尺. 随堂练习 解析：如图，延长DC交AB于点H，则∠AHC=90°. ∵sin=， ∴CH=AC•sin∠=asinα. ∵DG∥AB,CD⊥AB， ∴支撑架DG到AB的距离为CD+CH=a+asinα． 4. 图1为实时通信的视频机器人，图2为其侧面示意图. 机器人上半身  与底座  垂直， 为屏幕支撑架，且 . 已知 ，当  时，则支撑架  到  的距离为（ ） A.  B.  C.  D.  A H 随堂练习 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤 （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等知识解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案. 课堂小结 $