32.1正弦、余弦与正切（第2课时）（课件）2026-2027学年人教版数学九年级下册

# 32.1 正弦、余弦与正切（第2课时）专项练习 （人教版九下，余弦、正切，满分100分，建议用时45分钟，和前面格式统一） ## 一、知识梳理 在 $\boldsymbol{\text{Rt}\triangle ABC}$ 中，$\boldsymbol{\angle C=90^\circ}$ $$ \cos A=\frac{\angle A\text{的邻边}}{\text{斜边}},\quad \\(\tan\) A=\frac{\angle A\text{的对边}}{\angle A\text{的邻边}} $$ 1. $\sin A、\cos A、\\(\tan\) A$ 都是比值，无单位；只和锐角$A$的度数有关，和三角形大小无关； 2. 范围：$0<\sin A<1,\ 0<\cos A<1$；$\\(\tan\) A>0$； 3. 区分： - 正弦：对边：斜边 - 余弦：邻边：斜边 - 正切：对边：邻边 > 易错提醒：$\\(\tan\) A$ 没有斜边！看清是哪个锐角，邻边、对边随角改变；必须在直角三角形中使用。 ## 二、选择题（每题4分，共24分） 1. 在$\text{Rt}\triangle ABC$中，$\angle C=90^\circ$，$\(\(AC=\)3\)$，$\(BC=4\)$，则$\cos A=$（） A.$\dfrac{3}{5}$　B.$\dfrac{4}{5}$　C.$\dfrac{3}{4}$　D.$\dfrac{4}{3}$ 2. 在$\text{Rt}\triangle ABC$中，$\angle C=90^\circ$，$\(\(AC=\)3\)$，$\(BC=4\)$，则$\\(\tan\) A=$（） A.$\dfrac{3}{5}$　B.$\dfrac{4}{5}$　C.$\dfrac{3}{4}$　D.$\dfrac{4}{3}$ 3. 直角三角形三边同时扩大为原来的3倍，锐角$A$的$\cos A$的值（） A.扩大3倍　B.缩小为原来$\dfrac13$　C.不变　D.无法确定 4. $\text{Rt}\triangle ABC$，$\angle C=90^\circ$，$\(AB=10\)$，$\(BC=6\)$，则$\\(\tan\) B=$（） A.$\dfrac{3}{4}$　B.$\dfrac{4}{3}$　C.$\dfrac{3}{5}$　D.$\dfrac{4}{5}$ 5. 下列说法正确的是（） A.$\\(\tan\) A=$对边：斜边 B.$\cos A=$邻边：对边 C.锐角越大，它的正切值越大 D.$\cos A$可以大于1 6. 在$\text{Rt}\triangle ABC$中，$\angle C=90^\circ$，$\cos A=\dfrac{5}{13}$，$\(AB=26\)$，则$\(AC=\)$（） A.$5$　B.$10$　C.$12$　D.$24$ ## 三、填空题（每题4分，共24分） 7. 在$\text{Rt}\triangle ABC$，$\angle C=90^\circ$，锐角$A$的余弦 = ________，正切 = ________。 8. $\text{Rt}\triangle ABC$，$\angle C=90^\circ$，$\(AC=\)5$，$\(BC=12\)$，$\cos A=$______，$\\(\tan\) A=$______。 9. $\text{Rt}\triangle ABC$，$\angle C=90^\circ$，斜边$\(AB=8\)$，$\(AC=\)4$，则$\cos B=$______。 10. 已知$\text{Rt}\triangle ABC$，$\angle C=90^\circ$，$\\(\tan\) A=\dfrac{2}{3}$，则$\dfrac{BC}{AC}=$______。 11. 锐角$\alpha$的余弦取值范围：________。 12. 在直角三角形中，同一个锐角，$\sin A$、$\cos A$、$\\(\tan\) A$只由______决定。 ## 四、解答题（共52分） 13.（12分）在$\text{Rt}\triangle ABC$中，$\angle C=90^\circ$，$\(AC=\)6$，$\(BC=8\)$。 （1）求斜边$AB$； （2）求$\cos A$，$\\(\tan\) A$。 14.（12分）在$\text{Rt}\triangle ABC$中，$\angle C=90^\circ$，$\(AB=13\)$，$\(AC=\)5$。 （1）求$BC$的长； （2）求$\sin B,\cos B,\\(\tan\) B$。 15.（12分）在$\text{Rt}\triangle ABC$中，$\angle C=90^\circ$，$\cos A=\dfrac{3}{5}$，$\(AC=\)9$。 （1）求斜边$AB$； （2）求$\\(\tan\) B$。 16.（16分）如图，$\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^\circ$，$CD\perp AB$，垂足为$D$，$\(AC=\)8$，$\(BC=6\)$。 （1）求$AB$； （2）求$\\(\tan\) A$、$\cos B$。 ## 五、参考答案与解析 1. A。$\(AB=5\)$，$\cos A=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{3}{5}$ 2. D。$\\(\tan\) A=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{4}{3}$ 3. C。三角函数值只和角度有关 4. B。$\(AC=\)8$，$\\(\tan\) B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}$ 5. C 6. B。$\cos A=\dfrac{AC}{AB}$，$\(AC=\)26\times \dfrac{5}{13}=10$ 7. $\dfrac{\text{邻边}}{\text{斜边}}$；$\dfrac{\text{对边}}{\text{邻边}}$ 8. $\dfrac{5}{13}$；$\dfrac{12}{5}$ 9. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 10. $\dfrac{2}{3}$ 11. $0<\cos\alpha<1$ 12. 角的度数 13. 解： （1）$AB=\sqrt{6^2+8^2}=10$ （2）$\cos A=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{6}{10}=\boldsymbol{\dfrac{3}{5}}$ $\\(\tan\) A=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{8}{6}=\boldsymbol{\dfrac{4}{3}}$ 14. 解： （1）$BC=\sqrt{13^2-5^2}=12$ （2）$\sin B=\dfrac{AC}{AB}=\boldsymbol{\dfrac{5}{13}}$，$\cos B=\dfrac{BC}{AB}=\boldsymbol{\dfrac{12}{13}}$，$\\(\tan\) B=\dfrac{AC}{BC}=\boldsymbol{\dfrac{5}{12}}$ 15. 解： （1）$\cos A=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{3}{5}=\dfrac{9}{AB}$，$\boldsymbol{\(\boldsymbol{AB=15}\)}$ （2）$BC=\sqrt{15^2-9^2}=12$，$\\(\tan\) B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{9}{12}=\boldsymbol{\dfrac{3}{4}}$ 16. 解： （1）$AB=\sqrt{8^2+6^2}=\boldsymbol{10}$ （2）$\\(\tan\) A=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{6}{8}=\boldsymbol{\dfrac{3}{4}}$ $\cos B=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{6}{10}=\boldsymbol{\dfrac{3}{5}}$ ## 六、方法小结 ✅ 口诀：**正切对比邻，余弦邻比斜，正弦对比斜** ✅ 先勾股定理补齐边长，再看是哪个角，分清它的对边、邻边 ✅ $\\(\tan\)$没有斜边，是高频易错点 ✅ 角度不变，三角函数值不变 下一课是**32.1 正弦、余弦与正切（第3课时：特殊角三角函数值）**，要不要继续出？ 人教版（新教材）数学九年级下册 32.1正弦、余弦与正切（第2课时） 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/11/10 第三十二章 锐角三角函数 我命由我不由天，是魔是仙，我自己说了算。少年不必畏惧难题与非议，沉下心勤学笃行，不认命、不服输，用汗水改写前路，活出属于自己的光彩。 同学们，认真学习，不只是为了分数。认真听讲、踏实思考，能帮我们把知识学扎实，慢慢拥有分辨是非、独立思考的能力。现在的每一分专注，都会化作以后选择的底气，让我们有机会去奔赴喜欢的方向。静下心来，珍惜课堂时间，认真投入，收获更好的自己。 复习引入 角与角的关系 一个内角等于90° 两个锐角互余 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. 边与边的关系 边与角的关系 sinA= sin30°= sin45°= 合作探究 探究 如图，在Rt△ABC中 ，∠C=90°，当∠A确定时，∠A的对边与斜边的比随之确定.此时，其他边之间的比是否也随之确定呢? 为什么? = = 合作探究 猜想 一般地，当∠A是任意一个确定的锐角时，它的邻边与斜边的比、对边与邻边的比也是一个固定值. 信息技术验证 解：因为∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′， 所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C′. 因此 = ，即 = . 这就是说，在Rt△ABC中，当锐角A的度数确定时，无论这个直角三角形大小如何 . ∠A的邻边与斜边的比都是一个固定值. 合作探究 探究 如图，任意画 Rt△ABC和Rt△A'B'C′，使∠C=∠C′=90°，∠A=∠A'. 与 有什么关系?为什么? 合作探究 余 弦 的概念 如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，我们把 ∠A的邻边与斜边的比叫作∠A的余弦 ( cosine)， 记作cosA，即 cosA= = . 解：因为∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′， 所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C′. 因此 = ，即 = . 这就是说，在Rt△ABC中，当锐角A的度数确定时，无论这个直角三角形大小如何 . ∠A的对边与邻边的比都是一个固定值. 合作探究 探究 如图，任意画 Rt△ABC和Rt△A'B'C′，使∠C=∠C′=90°，∠A=∠A'. 与 有什么关系?为什么? 合作探究 正 切 的概念 如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，我们把 ∠A的对边与邻边的比叫作∠A的正切 ( tangent)， 记作tanA，即 tanA= = . 合作探究 锐 角 三 角 函 数 ∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的锐角三角函数. 对于锐角A的每一个确定的值，sin A有唯一确定的值与它对应，所以sin A 是∠A的函数. 同样地 ，cos A，tan A也是∠A的函数. 返回 B 1. 举一反三 10 返回 2. B 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，则cos B的值是(　　) 举一反三 返回 3. 4 举一反三 典例分析 例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列等式中，正确的是（    ） A． sinA= B． cosB= C． tanA= D． tanB= C 典例分析 例2 2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为（　 ） A．asinθ千米 B．千米 C．acosθ千米 D．千米 A 解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AC===8. 因此 sinA= = = ， cosA= = = ， tanA= = = . 典例分析 例3 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6. 求sin A，cos A，tan A 的值. 典例分析 例4 如图，AB与⊙O相切于点B，连接BO，过点O作BO的垂线OC，交⊙O于点C，连接AC，交线段OB于点D．若AB=3，OC=2，求tanA的值. 解：∵AB与⊙O相切于点B，∴OB⊥AB， ∵OC⊥OB， ∴OC∥AB， ∴△ODC∽△BDA， ∴OD:BD=OC:AB， ∵OB=OC=2， ∴(2−BD):BD=2:3， ∴BD= ． ∴tanA= = ． 巩固练习 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，若将三边AB，AC，BC的长都缩小为原来的，则锐角A的三角函数值（    ） A．都缩小为原来的 B．都扩大为原来的3倍 C．只有tanA发生变化 D．都不变 D 巩固练习 2.分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值. 解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得 BC===5. 因此 sinA= = ，sinB= = ， cosA= = ，cosB= = ， tanA= = ，tanB= = . 巩固练习 2.分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值. 返回 4. 举一反三 返回 5. C 在△ABC中，若∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，则tan A的值是(　　) 举一反三 返回 6. A 如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝4，BD＝6，则tan∠1的值是(　　) 举一反三 返回 7. [2025承德期末]如图，AD是△ABC的高．若BD＝4，CD＝2，tan C＝2，则边AB的长为________. 举一反三 返回 8. (4分)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝12，AC＝9，求tan B，tan C的值. 举一反三 返回 9. B 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为边AB上一点，过点D作DE⊥AC，垂足为E，则下列结论中正确的是(　　) 举一反三 25 10. 举一反三 26 返回 举一反三 返回 11. D 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cos A的值，错误的是(　　) 举一反三 28 返回 12. D 举一反三 29 返回 13. 举一反三 小结梳理 角与角的关系 一个内角等于90° 两个锐角互余 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. 边与边的关系 边与角的关系 sinA= cosA= tanA= 布置作业 必做题：习题32.1 第1，8题. 1 探究性作业：习题32.1 第12题. 2 谢谢观看 THANKS 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝，则cos A的值是(　　) A. B. C. D. A. B. C. D. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，cos A＝，则直角边AC的长为________. (2，) 如图，在平面直角坐标系内，点P与原点O的距离OP＝3，线段OP与x轴正半轴的夹角为α，且cos α＝，则点P的坐标是________. A. B. C. D. A. B. C. D. 4 解：∵在Rt△ABC中，∠A＝90°， BC＝12，AC＝9， ∴AB＝＝3 ， ∴tan B＝＝＝， tan C＝＝＝. A．sin A＝ B．cos A＝ C．tan A＝ D．tan A＝ (4分)如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝15，sin C＝.求∠B的三个三角函数值. 解：过点A作AD⊥BC，垂足为D. 在Rt△ADC中，sin C＝＝， ∴AD＝AC＝×15＝12. ∴在Rt△ABD中，由勾股定理，得 BD＝＝＝5. 在Rt△ABD中，tan B＝＝， sin B＝＝，cos B＝＝. A.　　　　B. C.　　　　D. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos ∠BDC＝，则BC的长是(　　) A．10 B．8 C．4 D．2 [2025苏州中考]如图，∠MON＝60°，以O为圆心，2为半径画弧，分别交OM，ON于A，B两点，再分别以A，B为圆心，为半径画弧，两弧在∠MON内部相交于点C，作射线OC，连接AC，BC，则tan ∠BCO＝________．(结果保留根号) $