32.1正弦、余弦与正切 第1课时 课件- 2026-2027学年人教版九年级数学下册

第三十二章 锐角三角函数 32.1正弦、余弦与正切 课时1 1. 利用相似的直角三角形，探索并认识正弦的锐角 三角函数（sin A）. 2. 能正确地用正弦的定义建立直角三角形的边角关系， 并正确进行计算. 学习目标 2 引言 2020年12月8日，中国和尼泊尔两国联合宣布，测定珠穆朗玛峰的最新高程为 8 848.86 m.在珠穆朗玛峰高程的测量中，最重要的是进行峰顶测量，获取峰顶观测 数据.在峰顶测量中使用了多种测量方法，其中有一种方法叫作三角高程测量法. 如图所示，已知点 M 的高程 ，要测量点 N 的高程 ，设点 M 处的测量仪器高为 ，点 N 处的标杆高为 ，由于 ，测量高程  的问题就转化为求 BC 的问题（不考虑地球曲率和大气折光的影响）.如果测量仪器可以测得它到标杆顶端 B 的距离 AB 和仰角 ，如何用这些数据求 BC 呢？ 直角三角形中边角之间的关系. 课堂导入 角与角的关系 一个内角等于90° 两个锐角互余 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. 边与边的关系 边与角的关系 相似三角形 复习回顾 知识点 正弦 新知讲解 引言中提到的问题，如果距离  和仰角  已经测出，问题就转化为：已知 Rt△ABC 的一个锐角  的度数和斜边  的长，求角  的对边  的长. 思考：如果 ，AB=850 m， 那么你会求  的对边 BC 的长吗？ α  A C B 根据“在直角三角形中， 角所对的边等于斜边的一半”， 即 可得 AB = 425 m. 知识点 正弦 新知讲解 思考：在上面的问题中，如果 ，AB=1 268 m， 那么 BC 的长是多少？ α  A C B 在上面求 BC 的过程中，我们用到了结论： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于. 在 Rt△ABC 中，∵ AB=1 268，， 知识点 正弦 新知讲解 思考：如图，任意画一个 Rt△ABC，使 ，，计算  的对边与斜边的比  . 由此你能得出什么结论？ 在Rt△ABC中，∠C=90°，因为∠A=45°， 所以Rt△ABC是等腰直角三角形. 由勾股定理，得AB2=AC2+BC2=2BC2 ，AB 因此 即在直角三角形中，当一个锐角等于  时， 无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 . B A C 45°  知识点 正弦 新知讲解 综上可知，在 Rt△ABC 中，C， 当 ∠A 等于  和  时，  的对边与斜边的比分别等于  和 ，都是固定值. 一般地，当∠A是任意一个确定的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢？ 知识点 正弦 新知讲解 解：因为∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′， 所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C′. 因此 = ，即 = . 这就是说，在Rt△ABC中，当锐角A的度数确定时，无论这个直角三角形大小如何 ，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值. 探究 如图，任意画 Rt△ABC和Rt△A'B'C′，使∠C=∠C′=90°，∠A=∠A'. 与 有什么关系? 为什么? 借助信息技术工具，尝试验证一下！ 知识点 正弦 新知讲解 在Rt△ABC中，当锐角A的度数确定时，无论这个直角三角形大小如何 ，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值. 知识点 正弦 新知讲解 正弦 的定义： 如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，我们把∠A的对边与斜边的比叫作∠A的正弦 (sine)，记作sinA，即 sinA= = . 说明：(1) sinA是一个完整的符号，不能写成 . (2) 当锐角用一个大写字母或一个小写希腊字母表示时，习惯上省略角的符号，如：，  等，其他情况下角的符号不能省略，如：，. 知识点 正弦 新知讲解 例如，当  时，我们有 当  时，我们有 知识点 正弦 新知讲解 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C=90° . 求 sinA 和 sinB 的值. 解：对于图（1），在 Rt△ABC 中，由勾股定理，得 因此 求sinA就是要确定∠A的对边与斜边的比；求sinB就是要确定∠B的对边与斜边的比. 知识点 正弦 新知讲解 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C=90° . 求 sinA 和 sinB 的值. 解：对于图（2），在 Rt△ABC 中，由勾股定理，得 因此 知识点 正弦 新知讲解 跟踪训练 在 Rt△ABC 中，∠C =90°，AC =5，BC =4，则 sinA = ． A B C 4 5 Rt△ABC 勾股定理 AB= sinA 知识点 正弦 新知讲解 解：（1）在 Rt△ABC 中，， （2）在 Rt△ABC 中，， 1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90° . 求 sinA 和 sinB 的值. 2 随堂练习 2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°. 求 sinA 的值. 解：∵ ， 60° B C A 随堂练习 3. 如图为人行天桥的示意图，若高 BC 长为 10 米，斜道 AC 长为 30 米， 则 sinA 的值为（    ） A． B．3 C． D． D 10 30 随堂练习 4. 如图，点A，B，C，D在⊙O上，OC⊥AB，∠AOC=60°，则sin∠BDC的值为______． 解析：如图，连接OB. ∵OC⊥AB， ∴=， ∴∠BOC=∠AOC=60°， ∴∠BDC=∠BOC=30°， ∴sin∠BDC = sin30°= . 60° 30° 随堂练习 sinA= 锐角的正弦 概念 应用 已知边长求正弦值 课堂小结 Lavf57.25.100 $