专题6.4（2） 用二次函数解决问题 讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学下册

简一数理 初中专题讲义 专题6.4(2) 用二次函数解决问题：压轴10大题型 （新教材苏科版） 知识点一、利用二次函数各项系数之间的关系解决多结论问题 2 知识点二、利用待定系数法求函数解析式（热考，常做为压轴题第一小问） 2 知识点三、二次函数与动点最值问题 3 知识点四、二次函数与图形面积问题 4 知识点五、二次函数与线段问题 5 知识点六、二次函数与角度问题 5 知识点七、二次函数与图形判定问题-与特殊三角形有关 6 知识点八、二次函数与图形判定问题-与特殊平行四边形有关 7 知识点九、抛物线与动线段交点问题 7 【题型1 二次函数多结论压轴题】 8 【题型2 待定系数法求解析式】 10 【题型3 二次函数综合之面积问题】 10 【题型4 二次函数综合之线段问题】 12 【题型5 二次函数综合之周长问题】 14 【题型6 二次函数综合之角度问题】 16 【题型7 二次函数综合之特殊三角形存在性问题】 18 【题型8 二次函数综合之特殊四边形存在性问题】 21 【题型9 二次函数与相似三角形综合问题 】 23 【题型10 二次函数与圆综合问题 】 26 【探究式学习】 28 【课后检测】 30 【复盘笔记】 34 二次函数的综合问题在中考中常常作为压轴题出现，多考查二次函数各项系数之间的关系，二次函数与几何图形的综合，一般要用到线段最值、图形面积、特殊三角形、特殊四边形相似三角形等相关知识，以及转化与化归、数形结合、分类讨论等数学思想。此类题型常涉及以下问题：①利用二次函数各项系数之间的关系解决多结论问题；②求抛物线、直线的解析式；③求点的坐标、线段长度、图形面积；④探究几何图形的存在性问题或周长、面积的最值问题。 知识点一、 利用二次函数各项系数之间的关系解决多结论问题 解题方法：1）根据抛物线的开口方向判断a的正负性； 2）根据抛物线的对称轴判断b的正负性（左同右异中间0）. 3）根据抛物线与y轴的交点位置，判断c的正负性. 4）根据抛物线与x轴有无交点，判断的正负性. 5）根据抛物线的对称轴可得与±1的大小关系，可得2a±b的正负性.即 ①当对称轴x= 1时，x=，∴-b=2a，此时2a+b=0； ②当对称轴x=-1时，x=，∴b=2a，此时2a-b=0. ③当对称轴x=2am+b=0. 6）特殊点代入确定a，b，c的关系. 当x=±1时，；当x=±2时，；当x=±3时，. 7）根据抛物线的顶点，判断的大小. 知识点二、 利用待定系数法求函数解析式（热考，常做为压轴题第一小问） 解题方法：求二次函数解析式的方法： 1）已知抛物线上任意三点坐标，可设 2）已知抛物线上的顶点坐标（h，k），可设 3）已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，可设 4）已知抛物线过点时，可设（纵坐标相等的两个点关于对称轴对称，则抛物线的对称轴可表示为直线x=h,其中h=） 5）已知抛物线顶点在x轴上，可设 6）已知抛物线顶点在y轴上，可设 【注意事项】 1)二次函数的解析式求解，最后结果一般写成一般式或顶点式，不写成交点式； 2)任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即时，抛物线才可以用交点式表示，二次函数解析式的这三种形式可以互化. 知识点三、 二次函数与动点最值问题 线段最值问题的解题思路： ①确定线段长对应的函数表达式，当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标；当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标； ②确定函数的最值，注意函数自变量的取值范围. 知识点四、 二次函数与图形面积问题 一、面积问题的解题步骤 第一步：根据二次函数的表达式求出抛物线上特殊点的坐标，如与坐标轴的交点坐标，顶点坐标等 第二步：根据点坐标表示出线段长 第三步：根据线段长求出图形的面积，常涉及边与坐标轴不平行的三角形和不规则四边形(可分割成三角形与特殊四边形)，利用“水平宽x铅垂高”和补全图形法求解。 二、平面直角坐标系中面积数量关系的转化方法: 1.两三角形同底:可构造平行线进行面积转化,如图①,作直线I//AB 交抛物线于点P,则 2.两三角形同高:可将面积比转化为线段比,如图②,直线!与抛物线交于点 P,与 AB 交于点Q,则 3.图形面积平分:若图形为三角形,构造三角形任意一条中线,该中线平分这个三角形的面积 如图③,直线!经过点A和 BC 的中点 P,则 解题思路：1.设动点P的坐标为，过点P做辅助线； 2.利用水平宽铅锤高、割补法等，写出面积表达式(一般为二次函数的形式)； 3.写出表示面积的二次函数的顶点式,求出最值,即可得到三角形面积的最大值. 知识点五、二次函数与线段问题 第一步:设点坐标及坐标表示 第二步:表示线段长 第三步:根据线段长度或者数量关系列方程求解 知识点六、二次函数与角度问题 1.角度的顶点位置及其一条夹边位置已确定,且角度为特殊角(30°、45°、60°、90°) 第一步：将已知角放在直角三角形中或者构造含特殊角的直角三角形 第二步：利用锐角三角函数将角度问题转化成线段比例问题 第三步：结合锐角三角函数值列方程求解 2.角度的顶点位置不确定,对边位置及长度已确定,且角度为特殊角(30°45°60°90°)需通过定弦定角构造辅助圆,辅助圆与抛物线的交点即为所求点. 知识点七、 二次函数与图形判定问题-与特殊三角形有关 解题思路： （1）动点构成特殊三角形的作图方法 （2）动点构成特殊三角形的分类讨论方法 知识点八、 二次函数与图形判定问题-与特殊平行四边形有关 （1）动点构成特殊平行四边形的方法 （2）动点构成特殊平行四边形分类讨论方法 知识点九、抛物线与动线段交点问题 1.动线段在x轴上(点C在点D左侧) 交点情况 无交点 有一个交点 有两个交点 图示 满足条件 动线段CD在点A左侧或在点B右侧 点D(或点C)在AB之间 点C在点A左侧且点D在点B右侧 2.动线段在直线上(点 C在点 D上方) 交点情况 无交点 有一个交点 有两个交点 图示 满足条件 点D在点A上方或点C在点B下方 点D(或点C)在AB之间 点C在点A上方且点D在 点B下方 3.动线段一端点在直线上(点C在直线上,且在点D右侧) 交点情况 无交点 有一个交点 有两个交点 图示 满足条件 点C在点A下方或点C在点M上方 点C在点A或CD经过点M处或点C在点A上方且在点B下方 点C在点B处或点C在点B上方且在点M下方 【题型1 二次函数多结论压轴题】 【例1】在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，下面四个结论中，其中正确的结论有（     ）①；②；③若点在此抛物线上，则；④若点在此抛物线上且，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】已知抛物线（、、是常数，）的顶点为．某同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而增大；③若的一个根为，则；④抛物线是由抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位得到的．其中一定正确的是（     ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式1-2】如图，已知抛物线的对称轴为直线，且过点，给出下列结论：①；②；③；④，其中，正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】如图，二次函数的图像与轴交于点与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若则，其中正确结论的个数为（     ） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【题型2 待定系数法求解析式】 【例2】已知二次函数满足：（1）当时，，（2）对一切的值有成立．则该二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知一条抛物线的形状与抛物线形状相同，与另一条抛物线的顶点坐标相同，这条抛物线的解析式为________．（结论用顶点式表示） 【变式2-3】如图，已知抛物线的对称轴为直线，顶点为，与轴交于，两点，与轴交于点． （1）抛物线的表达式为______； （2）若点是轴上的一个动点，当的值最小时，则______． 【题型3 二次函数综合之面积问题】 【例3】如图，抛物线与轴交于，两点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在一点（点不与点重合），使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3-1】抛物线与x轴交于点和点（点在原点的左侧，点在原点的右侧），与轴交于点，，为抛物线上一动点． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)连接，当面积为时，求点的坐标． (3)如图2，是直线上的两个动点，点在点左边且，点P在直线的下方，，，求满足条件的点的横坐标． 【变式3-2】如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线对应的函数解析式和直线的解析式； (2)当点在线段（不包含端点）上运动时，请连接，，求面积的最大值； (3)当时，抛物线对应的函数的最大值为3，请直接写出的值． 【变式3-3】某中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为20米的篱笆围成，已知墙长为8米（如图所示），设的长为x米． (1)设这个苗圃园的面积为S，求S与x之间的函数关系，并直接写出自变量x的取值范围； (2)当的长为多少米时，矩形苗圃园的面积最大，最大为多少平方米？ 【题型4 二次函数综合之线段问题】 【例4】新定义：我们把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”，例如，抛物线的“关联抛物线”为，已知抛物线：（）的“关联抛物线”为． (1)设的顶点为，写出的解析式，求出它的对称轴和顶点的坐标； (2)过轴上一点，作轴的垂线分别交抛物线，于点，，，求点的坐标． 【变式4-1】如图，二次函数 的图象与x轴交于和两点，交y轴于点C，连接． (1)求二次函数的解析式； (2)如图，点P是线段上方的抛物线上一点，过点P作y轴的平行线交于点D，求线段的最大值． 【变式4-2】如图，已知抛物线经过，两点． (1)求此抛物线的解析式； (2)若抛物线的顶点为M，求的面积． (3)若点P是第一象限内抛物线上的一动点，过点P作于点D，是否存在点P使得最大？若存在，求出点P的坐标及的最大值；若不存在，请说明理由． 【变式4-3】如图，已知抛物线与一直线相交于、两点，与轴交于点，其顶点为． (1)求抛物线解析式； (2)若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点的坐标； (3)设点，求使取最小值时的值． 【题型5 二次函数综合之周长问题】 【例5】在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为． (1)求此二次函数解析式； (2)如图①，在轴上找一点，使得的周长最小，求点的坐标； (3)如图②，为直线上的动点，在抛物线上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式5-1】如图1，抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，连接、，其中． (1)求抛物线的解析式； (2)点Q为直线上方的抛物线上一点，过点Q作交于E，作轴于N，交于M，当的周长L最大时，求点Q的坐标及L的最大值； (3)若点G在x轴上运动，在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使B、Q、P、G四点所构成的四边形为平行四边形，若存在，直接写出G点坐标，若不存在，说明理由． 【变式5-2】如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，，连接和． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线对称轴上是否存在一点使得的周长最小，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【变式5-3】如图，抛物线：与轴交于、两点，与轴交于点，且点的坐标为，抛物线的对称轴为直线，其顶点记为． (1)求抛物线的解析式和点坐标； (2)点是轴上任意一点，连接、、，当周长取到最小值时，求点的坐标； (3)将抛物线向右平移个单位长度得到新的抛物线； ①抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），当点是线段三等分点时，求的值； ②点、是抛物线上两点，当时，请直接写出的取值范围． 【题型6 二次函数综合之角度问题】 【例6】如图，抛物线交轴于点和点（点在点左侧），交轴于点．已知抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的函数解析式； (2)在抛物线上找一点，使，请直接写出点的坐标． 【变式6-1】如图，抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴相交于点，顶点为，连接，与抛物线的对称轴交于点． (1)求抛物线的解析式和点的坐标； (2)点为线段上的一个动点，过点作交抛物线于点，设点的横坐标为；用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，四边形为平行四边形？ (3)若点在二次函数图像上，且满足，请求出所有符合条件的点的坐标． 【变式6-2】如图，平面直角坐标系中，二次函数（a，b为常数，且）的图象与x轴相交于点和点，与y轴相交于点C，连接． (1)求a，b的值； (2)将原抛物线向右平移n个单位，新抛物线恰好经过原点，求n的值； (3)在抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式6-3】如图1，二次函数与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C．已知，抛物线的对称轴为直线． (1)求二次函数的解析式； (2)如图2，连接，点P是第一象限内抛物线上一点，过点作轴交于点E，求的最大值以及点P的坐标； (3)将抛物线向右平移1个单位长度，向上平移5个单位长度得新抛物线，点M是平移后新抛物线上一点，若，直接写出点M的坐标． 【题型7 二次函数综合之特殊三角形存在性问题】 【例7】已知二次函数的图象（如图1），当时，函数有最小值，且它的图象经过点． (1)求该函数解析式； (2)如图2，若一次函数与二次函数的图象相交于点、（点在点左侧），试求的面积； (3)如图3，已知轴上存在一点，二次函数图象上存在一点，与点构成以点为直角顶点的等腰直角，请直接写出点的坐标． 【变式7-1】如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． (1)抛物线的解析式为______________________，解析式为______________________； (2)若点为线段上一点（不与重合），轴，且交抛物线于点，交轴于点，求的最大面积； (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式7-2】已知：如图，抛物线与坐标轴分别交于点，，，点P是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P横坐标为3时，求的面积； (3)过点P作x轴的垂线，交直线于点D，再过点P作轴交抛物线于点E，连接，请问是否存在点P使为等腰直角三角形？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，说明理由． 【变式7-3】已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标． (2)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的值最小？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，直接写出点的坐标． 【题型8 二次函数综合之特殊四边形存在性问题】 【例8】如图，抛物线经过点，与轴负半轴交于点，与轴交于点． (1)抛物线的解析式是________________； (2)抛物线的对称轴上有一点，使的值最小，求点的坐标； (3)点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式8-1】如图（1），抛物线与轴交于点、，与轴交于点，直线与该抛物线交于，两点． (1)求抛物线的解析式． (2)平移线段，若点的对应点落在抛物线上，点的对应点落在直线上，求出此时点的坐标． (3)如图（2），将上方的抛物线沿着直线翻折，点是上方的抛物线上的一动点，的对应点为点，连接交于点． ①当四边形是菱形时，请直接写出点的坐标； ②在点的运动过程中，求线段的最大值． 【变式8-2】如图，二次函数的图象与x轴交于，两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在x轴下方的抛物线上是否存在一点Q，使得，若存在，求出Q点的坐标，若不存在，说明理由； (3)抛物线上有两动点M，N，横坐标分别为，记抛物线在M，N之间的部分（包括M，N两点）为图象G．过图象G的左右两端M，N分别作x轴的垂线，过图象G的最高点和最低点分别作y轴的垂线，当四条直线围成的图形为正方形且正方形边长为2时，求点M的坐标． 【变式8-3】如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接、． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是直线下方抛物线上的一个动点． ①连接、．求四边形的面积的最大值； ②过点作的平行线，交线段于点．试探究在直线上是否存在点，使得以点，，．为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型9 二次函数与相似三角形综合问题 】 【例9】综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点（点在点的左边），交轴于点，其中，． （1）求抛物线的函数表达式； （2）连接，点为线段上一个动点，过点作轴交抛物线于点，当线段的值最大时，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，是否在轴上存在点，使与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【变式9-1】如图，抛物线与x轴交于点A，B，A点的坐标为，与y轴交于点．    (1)求抛物线的解析式，并求出点B坐标； (2)过点B作交抛物线于点D，连接，，； ①求四边形的周长；（结果保留根号） ②在x轴上方的抛物线上是否存在点P，过点P作垂直于x轴，垂足为点E，使以B，P，E为顶点的三角形与相似？若存在请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式9-2】如图所示，点B坐标为，点A坐标为，动点P从点O开始沿OB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，动点Q从点B开始沿BA以每秒2个单位长度的速度向点A移动，如果P，Q分别从O，B同时出发，用t（秒）表示移动的时间． （1）用含t的式子来表示______．______． （2）当t为何值时，以点P、B、Q为顶点的三角形与相似？ （3）若四边形OPQA的面积为y，试写出y与t的函数关系式，并求出t取何值时，四边形OPQA的面积最小？ （4）在y轴上是否存在点E，使点P、Q在移动过程中，以B、E、Q、P为顶点的四边形的面积是一个常数？若存在请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式9-3】如图，一次函数与轴、轴分别交于、 两点，二次函数的图象经过、两点，与轴交于另一点，其对称轴为直线 (1)求该二次函数表达式； (2)在轴的负半轴上是否存在一点，使以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在对称轴上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型10 二次函数与圆综合问题 】 【例10】已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0）、B（4，1）两点，且与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，设抛物线与x轴的另一个交点为D，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积是△BDA面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合），经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求面积的最小值及E点坐标． 【变式10-1】如图，已知抛物线，与轴交于两点，且与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使的值最小?若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由； (3)在以为直径的圆中，直线与相切于点，直线交轴于点，求直线的解析式． 【变式10-2】如图1，为半圆O的直径，C为延长线上一点，切半圆于点D，，交延长线于点E，交半圆于点F，已知． (1)求的值 (2)如图2，连接，P为线段上一点，过点P作的平行线分别交，于点M，N，交圆O于点K，过点P作于点H．设． ①求y关于x的函数解析式及其定义域； ②延长交半圆O于点Q，求当x为何值时的值最大时，并求出最大值． 【变式10-3】物线与轴交于两点，其中点的坐标为，与轴交于点，点为抛物线的顶点，且点的横坐标为． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)求的面积； (3)若点是轴下方拋物线上任意一点，已知的半径为2，当与坐标轴相切时，圆心的坐标是_____________． 【探究式学习】 1．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，点P是直线下方抛物线上的一个动点． (1)求点A，B，C的坐标； (2)连接，，并将沿y轴对折，得到四边形．是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点P的坐标和四边形的最大面积． 2．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴的正半轴交于点C (1)求二次函数的表达式 (2)点D是线段OB上一动点，过点D作y轴的平行线，与BC交于点E，与抛物线交于点F，连接CF，BF，探究是否存在点D使得四边形ACFB的面积最大？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由 (3)若点P在二次函数图象上，是否存在以P为圆心，为半径的圆与直线BC相切，若存在，直接写点P的坐标；若不存在，说明理由 【课后检测】 1．如图，抛物线交轴分别于点，交轴正半轴于点，抛物线顶点为．下列结论：①；②；③时，；④当是等腰直角三角形时；⑤点是抛物线对称轴上的一点，若，则周长的最小值为．其中，错误的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．如图，已知二次函数y=的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，在x轴上方存在一点P，同时点P在对称轴上，若以P、A、B为顶点的三角形为等腰三角形，点P的坐标为_________． 3．如图，在矩形中，，，从点开始沿向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间是． (1)为何值时，？ (2)为何值时，的长度为？ (3)设五边形的面积为，当为何值时，五边形的面积最小？最小面积为多少？ 4．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线（是常数）经过点，点在抛物线上，横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，且横坐标为，若轴（点不重合），则的长度为___________； (3)当时，若二次函数的最大值和最小值之差为，请求出的值； (4)已知，连接，当抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大时，的取值范围为___________． 5．已知抛物线经过点和，且对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线与x轴的另一个交点为点C，过线段上一点E，作轴，交抛物线于点F，求线段长度的最大值； (3)在抛物线上有一点P，满足的面积是24，求点P的坐标． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过A、C两点，与轴的另一交点为点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点为直线上方抛物线上一动点； ①过点作轴，交直线AC于点，作轴．交直线于点，求周长的最大值； ②过点作，垂足为点，连接，是否存在点，使得中的某个角恰好等于的2倍？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，E为线段上一动点（不与点A、C重合）． (1)求抛物线的表达式； (2)当是以为底的等腰三角形时，求点E的坐标； (3)如图2，P为第三象限内抛物线上一动点，连接并延长垂直x轴于点D，过点E作的垂线，与y轴交于点G，设点P的横坐标为n，求的最大值． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，且点的坐标是，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)点是直线下方对称轴左侧抛物线上一点，过点作轴交于点，当的长最大时求出最大值及点的坐标． (3)将抛物线向右平移个单位，向下平移个单位得到新抛物线，在新抛物线上有点，在原抛物线对称轴上有点，直接写出所有使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 117 页 第 1 页 共 117 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题6.4(2) 用二次函数解决问题：压轴10大题型 （新教材苏科版） 知识点一、利用二次函数各项系数之间的关系解决多结论问题 2 知识点二、利用待定系数法求函数解析式（热考，常做为压轴题第一小问） 2 知识点三、二次函数与动点最值问题 3 知识点四、二次函数与图形面积问题 4 知识点五、二次函数与线段问题 5 知识点六、二次函数与角度问题 5 知识点七、二次函数与图形判定问题-与特殊三角形有关 6 知识点八、二次函数与图形判定问题-与特殊平行四边形有关 7 知识点九、抛物线与动线段交点问题 7 【题型1 二次函数多结论压轴题】 8 【题型2 待定系数法求解析式】 13 【题型3 二次函数综合之面积问题】 16 【题型4 二次函数综合之线段问题】 25 【题型5 二次函数综合之周长问题】 31 【题型6 二次函数综合之角度问题】 43 【题型7 二次函数综合之特殊三角形存在性问题】 52 【题型8 二次函数综合之特殊四边形存在性问题】 63 【题型9 二次函数与相似三角形综合问题 】 76 【题型10 二次函数与圆综合问题 】 86 【探究式学习】 95 【课后检测】 100 【复盘笔记】 117 二次函数的综合问题在中考中常常作为压轴题出现，多考查二次函数各项系数之间的关系，二次函数与几何图形的综合，一般要用到线段最值、图形面积、特殊三角形、特殊四边形相似三角形等相关知识，以及转化与化归、数形结合、分类讨论等数学思想。此类题型常涉及以下问题：①利用二次函数各项系数之间的关系解决多结论问题；②求抛物线、直线的解析式；③求点的坐标、线段长度、图形面积；④探究几何图形的存在性问题或周长、面积的最值问题。 知识点一、 利用二次函数各项系数之间的关系解决多结论问题 解题方法：1）根据抛物线的开口方向判断a的正负性； 2）根据抛物线的对称轴判断b的正负性（左同右异中间0）. 3）根据抛物线与y轴的交点位置，判断c的正负性. 4）根据抛物线与x轴有无交点，判断的正负性. 5）根据抛物线的对称轴可得与±1的大小关系，可得2a±b的正负性.即 ①当对称轴x= 1时，x=，∴-b=2a，此时2a+b=0； ②当对称轴x=-1时，x=，∴b=2a，此时2a-b=0. ③当对称轴x=2am+b=0. 6）特殊点代入确定a，b，c的关系. 当x=±1时，；当x=±2时，；当x=±3时，. 7）根据抛物线的顶点，判断的大小. 知识点二、 利用待定系数法求函数解析式（热考，常做为压轴题第一小问） 解题方法：求二次函数解析式的方法： 1）已知抛物线上任意三点坐标，可设 2）已知抛物线上的顶点坐标（h，k），可设 3）已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，可设 4）已知抛物线过点时，可设（纵坐标相等的两个点关于对称轴对称，则抛物线的对称轴可表示为直线x=h,其中h=） 5）已知抛物线顶点在x轴上，可设 6）已知抛物线顶点在y轴上，可设 【注意事项】 1)二次函数的解析式求解，最后结果一般写成一般式或顶点式，不写成交点式； 2)任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即时，抛物线才可以用交点式表示，二次函数解析式的这三种形式可以互化. 知识点三、 二次函数与动点最值问题 线段最值问题的解题思路： ①确定线段长对应的函数表达式，当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标；当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标； ②确定函数的最值，注意函数自变量的取值范围. 知识点四、 二次函数与图形面积问题 一、面积问题的解题步骤 第一步：根据二次函数的表达式求出抛物线上特殊点的坐标，如与坐标轴的交点坐标，顶点坐标等 第二步：根据点坐标表示出线段长 第三步：根据线段长求出图形的面积，常涉及边与坐标轴不平行的三角形和不规则四边形(可分割成三角形与特殊四边形)，利用“水平宽x铅垂高”和补全图形法求解。 二、平面直角坐标系中面积数量关系的转化方法: 1.两三角形同底:可构造平行线进行面积转化,如图①,作直线I//AB 交抛物线于点P,则 2.两三角形同高:可将面积比转化为线段比,如图②,直线!与抛物线交于点 P,与 AB 交于点Q,则 3.图形面积平分:若图形为三角形,构造三角形任意一条中线,该中线平分这个三角形的面积 如图③,直线!经过点A和 BC 的中点 P,则 解题思路：1.设动点P的坐标为，过点P做辅助线； 2.利用水平宽铅锤高、割补法等，写出面积表达式(一般为二次函数的形式)； 3.写出表示面积的二次函数的顶点式,求出最值,即可得到三角形面积的最大值. 知识点五、二次函数与线段问题 第一步:设点坐标及坐标表示 第二步:表示线段长 第三步:根据线段长度或者数量关系列方程求解 知识点六、二次函数与角度问题 1.角度的顶点位置及其一条夹边位置已确定,且角度为特殊角(30°、45°、60°、90°) 第一步：将已知角放在直角三角形中或者构造含特殊角的直角三角形 第二步：利用锐角三角函数将角度问题转化成线段比例问题 第三步：结合锐角三角函数值列方程求解 2.角度的顶点位置不确定,对边位置及长度已确定,且角度为特殊角(30°45°60°90°)需通过定弦定角构造辅助圆,辅助圆与抛物线的交点即为所求点. 知识点七、 二次函数与图形判定问题-与特殊三角形有关 解题思路： （1）动点构成特殊三角形的作图方法 （2）动点构成特殊三角形的分类讨论方法 知识点八、 二次函数与图形判定问题-与特殊平行四边形有关 （1）动点构成特殊平行四边形的方法 （2）动点构成特殊平行四边形分类讨论方法 知识点九、抛物线与动线段交点问题 1.动线段在x轴上(点C在点D左侧) 交点情况 无交点 有一个交点 有两个交点 图示 满足条件 动线段CD在点A左侧或在点B右侧 点D(或点C)在AB之间 点C在点A左侧且点D在点B右侧 2.动线段在直线上(点 C在点 D上方) 交点情况 无交点 有一个交点 有两个交点 图示 满足条件 点D在点A上方或点C在点B下方 点D(或点C)在AB之间 点C在点A上方且点D在 点B下方 3.动线段一端点在直线上(点C在直线上,且在点D右侧) 交点情况 无交点 有一个交点 有两个交点 图示 满足条件 点C在点A下方或点C在点M上方 点C在点A或CD经过点M处或点C在点A上方且在点B下方 点C在点B处或点C在点B上方且在点M下方 【题型1 二次函数多结论压轴题】 【例1】在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，下面四个结论中，其中正确的结论有（     ）①；②；③若点在此抛物线上，则；④若点在此抛物线上且，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】对于①，根据图象的开口方向即可判断；对于②，由对称轴公式即可判断；对于③，由对称性求出抛物线与轴的另一个交点，结合二次函数的增减性进行判断；对于④，利用图象求出时，对应的的取值范围． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴，故①正确， ∵抛物线对称轴为直线， ∴，即，故②错误， 由抛物线的对称性可知，抛物线与轴的另一个交点为， ∵当时，随的增大而减小， ∴当时，，故③正确， ∵当时，， ∴由对称性可得，当时，， 又∵抛物线开口向下， ∴当时，或， ∴或，故④错误， 综上，正确的结论有个． 【变式1-1】已知抛物线（、、是常数，）的顶点为．某同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而增大；③若的一个根为，则；④抛物线是由抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位得到的．其中一定正确的是（     ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】由抛物线顶点坐标推导、与的数量关系，以此判断各结论正误． 【详解】解：∵抛物线的顶点为，， ∴对称轴为直线，即，则， 且时，， 将代入，得， ①∵，，的符号不确定， ∴的符号无法确定，故①错误； ②∵，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故②错误； ③∵的一个根为， ∴时，， 将，代入，得， 解得，故③正确； ④∵原抛物线可化为， 将其向左平移个单位可得，无需向下平移， 故④错误． 【变式1-2】如图，已知抛物线的对称轴为直线，且过点，给出下列结论：①；②；③；④，其中，正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据开口方向及抛物线与轴交点的位置即可判断①；根据抛物线与轴交点的个数即可判断②；根据对称轴为直线，即可判断③；根据抛物线的对称性，可知抛物线经过点，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下，抛物线交于轴的正半轴， ∴，， ∴，故①正确； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴方程有两个不相等的根， ∴，故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线，则， ∴， ∵， ∴，即，故③错误； ∵抛物线经过点，且对称轴为直线， ∴抛物线经过点，则， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②④，共3个． 【变式1-3】如图，二次函数的图像与轴交于点与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若则，其中正确结论的个数为（     ） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】①利用抛物线的对称性，确定对应的点在左边，开口向上，左边函数值更大，时，所以；②利用把替换成，式子化简为，由图像可知小于 0，得到；③开口向上，时函数取最小值，写出最小值不等式，两边同时减去，得到；④把用表示成，再根据，不等式同时乘以推出范围． 【详解】解：∵ 二次函数的对称轴为直线，与轴交于． ∴ 抛物线与轴的另一个交点为． ∵ 对称轴． ∴ ． ∵ 抛物线开口向上， ∴ ∵ 抛物线与轴交于负半轴， ∴ ∵ 抛物线过点，代入解析式． ∴ 把代入 ，． 得． ①当时，函数值． ∵ 抛物线对称轴是，交点，在左侧． ∵ 开口向上，在对称轴左侧随增大而减小． ∴ 时对应的函数值大于时的函数值． ∵ 时，． ∴ ，结论①正确． ②由前面推导得，即． ∵ ． ∴ ，结论②正确． ③∵ 抛物线开口向上，对称轴． ∴ 时，取得最小值． ∴ ． 两边同时减去． ∴ ，结论③正确． ④∵ ，． ∴ ． 代入． ． ∵ ． 不等式三边同时乘． ∴ ，结论④正确． 综上，①②③④都正确． 【题型2 待定系数法求解析式】 【例2】已知二次函数满足：（1）当时，，（2）对一切的值有成立．则该二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意当时，，当时，得到，，而恒成立，即，即可求解．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解不等式、函数图象的交点等． 【详解】解：当时，， ， 当时，， 即， 时，； 当时，，当时，， 即，， 解得：，， 对任意实数，恒有， 恒成立， 即， ， 即， 解得：， 故抛物线的表达式为：， 故选：B． 【变式2-1】已知二次函数的最小值为，图象的顶点在直线上，并且图象经过点，则此二次函数的解析式是________． 【答案】 【分析】设二次函数解析式为，根据二次函数最小值得到顶点纵坐标，代入直线方程求出顶点横坐标，代入已知点求出二次项系数即可． 【详解】解：设二次函数解析式为， ∵二次函数的最小值为， ∴， ∵图象顶点在直线上， ∴把代入，得，解得， ∴二次函数顶点坐标为， ∴解析式可写为， 把点代入解析式得 ， 计算得，解得， ∴二次函数的解析式为． 【变式2-2】已知一条抛物线的形状与抛物线形状相同，与另一条抛物线的顶点坐标相同，这条抛物线的解析式为________．（结论用顶点式表示） 【答案】， 【分析】本题考查二次函数的图像与系数的关系，熟记二次函数的性质是解题的关键．根据抛物线的图像与系数之间的关系得出，，，即可得出结果． 【详解】解：设这条抛物线的解析式为：， 这条抛物线与另一条抛物线的顶点坐标相同， ，， 这条抛物线与抛物线形状相同， ， 即， 这条抛物线的解析式为：或 故答案为：， 【变式2-3】如图，已知抛物线的对称轴为直线，顶点为，与轴交于，两点，与轴交于点． （1）抛物线的表达式为______； （2）若点是轴上的一个动点，当的值最小时，则______． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据轴对称求线段和的最值问题； （1）根据抛物线的对称轴为直线，与x轴交于，列出方程组，解方程即可求解； （2）作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点M，此时最小，即的值最小，令，则，进而得出直线的函数表达式为．令，即可求解． 【详解】（1）∵抛物线的对称轴为直线，与x轴交于， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为． 故答案为：． （2）如图，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点M，此时最小，即的值最小，令，则， ∴点C的坐标为， ∴点的坐标为，由抛物线可知，顶点D的坐标为． 设直线的函数表达式为，则， 解得， ∴直线的函数表达式为．令，则， 解得，即直线与x轴的交点M的坐标为，即． 故答案为：． 【题型3 二次函数综合之面积问题】 【例3】如图，抛物线与轴交于，两点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在一点（点不与点重合），使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或或 ． 【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）连接，得出，确定，设点P的纵坐标为y，得出，然后分两种情况分析求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，交轴于点， ∴， 解得：， ∴； （2）连接，如图所示： ∵，，， ∴， ∴， ∴， 设点P的纵坐标为y， ∴， ∴， 当时，， 解得：（与点C重合，不符合题意） ∴； 当时，， 解得：， ∴点的坐标为；或， 综上可得：点的坐标为或或 ． 【变式3-1】抛物线与x轴交于点和点（点在原点的左侧，点在原点的右侧），与轴交于点，，为抛物线上一动点． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)连接，当面积为时，求点的坐标． (3)如图2，是直线上的两个动点，点在点左边且，点P在直线的下方，，，求满足条件的点的横坐标． 【答案】(1) (2)或或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点作轴交于点，设点的横坐标为，把用含的代数式表示出来，再利用三角形的面积公式列出方程，解方程即可； （3）过点作于点，过点作轴交直线于，设，则，根据已知条件求出的值，再由等面积法求出，把直线向下平移的长，得到直线的解析式，与二次函数的解析式联立组成方程组，解方程组解答即可． 【详解】（1）解：， 把这两点代入得 解得， 该抛物线的函数解析式为． （2）解：如图，过点作轴于点，交于点，过点作于点, 由题意得：四边形是矩形， ， 设直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ， 设点的坐标为，则点的坐标为， ， 当点在上方时，如图（1） ， 当点在下方时，如图（2） 如图（3） 三种情况都是 或， 解得：或， 点的坐标为或或． （3）解：如图，过点作于点，过点作轴交直线于， 根据题意得，在直角三角形中，， 设，则，由勾股定理得：， 解得：， ， ， ， ， ， 轴， ， ， 为等腰直角三角形， ， 将直线：向下平移个单位得：， 联立， 解得， 点的横坐标为或． 【变式3-2】如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线对应的函数解析式和直线的解析式； (2)当点在线段（不包含端点）上运动时，请连接，，求面积的最大值； (3)当时，抛物线对应的函数的最大值为3，请直接写出的值． 【答案】(1)抛物线解析式为，直线解析式为 (2) (3)3或 【分析】（1）利用待定系数法，将已知点代入抛物线和直线的解析式中求解系数即可； （2）先用表示出，然后用含的式子表示出的面积，再通过二次函数的性质即可求出最大值； （3）先将抛物线解析式化为顶点式，然后分情况讨论对称轴与给定区间的位置关系，从而确定最大值的情况，进而求出的值． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，将点，点的坐标分别代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为， 当时，得：， 解得：（与点重合，不合题意，舍去），， 点坐标为， 设直线解析式为，将点、点的坐标分别代入得： ， 解得：， 直线的解析式为； （2）如图所示：连接，（图略） 点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为， 、， 在线段上运动， 点在点上方， ， ， 当时，的面积有最大值，最大值为； （3）抛物线，其对称轴为直线， ①当，即时，在上，随的增大而增大， 当时，有最大值3， ， 解得：或1（不合题意，舍去）； ②当，即时，在上，随的增大而减小， 当时，有最大值3， ， 解得：（不合题意，舍去）或； ③当，即时，当时，有最大值，这种情况不存在； 综上所述，的值为3或． 【变式3-3】某中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为20米的篱笆围成，已知墙长为8米（如图所示），设的长为x米． (1)设这个苗圃园的面积为S，求S与x之间的函数关系，并直接写出自变量x的取值范围； (2)当的长为多少米时，矩形苗圃园的面积最大，最大为多少平方米？ 【答案】(1)， (2)48平方米 【分析】（1）先根据图形明确矩形边长关系：因为为垂直于墙的边长x，所以平行于墙的边长可由篱笆总长推导得出．结合矩形面积公式，将面积S表示为x的函数；同时根据墙长限制，确定自变量x的取值范围． （2）分析所得二次函数的开口方向与对称轴位置，结合自变量的取值范围，确定函数的最大值及对应x的值． 【详解】（1）从图中可知，是垂直于墙的边长，长度为x米， 那么平行于墙的边的长度为总篱笆长减去两条垂直边的长度，即米． ∴． 结合实际限制确定x的范围： ∵边长为正数， 平行于墙的边长不能超过墙长8米，即 ； ∴． （2）我们得到的面积函数是开口向下的二次函数， 将其配方得： ， 该二次函数的顶点在处，在时函数随x增大而增大，在时随x增大而减小． 而我们的自变量取值范围是，这个范围在对称轴的右侧， ∴S在上随x的增大而减小． ∴当时，S取得最大值， 代入计算得： ． 结论：当的长为6米时，苗圃园面积最大，最大面积为48平方米． 【题型4 二次函数综合之线段问题】 【例4】新定义：我们把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”，例如，抛物线的“关联抛物线”为，已知抛物线：（）的“关联抛物线”为． (1)设的顶点为，写出的解析式，求出它的对称轴和顶点的坐标； (2)过轴上一点，作轴的垂线分别交抛物线，于点，，，求点的坐标． 【答案】(1)；直线； (2)或 【分析】（1）根据所给定义可得对应的解析式，再根据对称轴公式求出对称轴，进而求出顶点坐标即可； （2）设出点P的坐标，进而表示出点M和点N的坐标，根据建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，的解析式为 ∴的对称轴为直线， 在中，当时，， ∴顶点F的坐标为； （2）解：设，则，， ∴ ， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴或， ∴或， 解方程得或， 解方程，可知，即该方程无实数根， ∴点P的坐标为或． 【变式4-1】如图，二次函数 的图象与x轴交于和两点，交y轴于点C，连接． (1)求二次函数的解析式； (2)如图，点P是线段上方的抛物线上一点，过点P作y轴的平行线交于点D，求线段的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）求出解析式，设 ，则，利用二次函数求最值即可． 【详解】（1）解：把代入， ， 解得：， 解析式：； （2）解：令，得 ∴ ， 设解析式为， 将代入得： ， 得， ∴直线 解析式为， 设 ， ， ∵，     ∴当时，． 【变式4-2】如图，已知抛物线经过，两点． (1)求此抛物线的解析式； (2)若抛物线的顶点为M，求的面积． (3)若点P是第一象限内抛物线上的一动点，过点P作于点D，是否存在点P使得最大？若存在，求出点P的坐标及的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)存在，， 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点作轴的垂线与直线交于，先求出点坐标，直线解析式，再求出点坐标，即可求出的面积； （3）设，过P作轴交于，交轴于点，得到，再证明是等腰直角三角形，得到，再利用二次函数性质求最值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴解析式为； （2）解：过点作轴的垂线与直线交于， ∵解析式， ∴顶点 设直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵过点作轴的垂线与直线交于， ∴点的横坐标为， ∴代入直线的解析式可得到， ∴， ∴， ∴； （3）解：存在． 设，过P作轴交于，交轴于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴当时最大，此时，． 【变式4-3】如图，已知抛物线与一直线相交于、两点，与轴交于点，其顶点为． (1)求抛物线解析式； (2)若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点的坐标； (3)设点，求使取最小值时的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）用待定系数法，代入两点求解析式，是二次函数的送分基础题； （2）动点面积最值，用“铅锤高×水平宽”把三角形面积转化为关于的二次函数，再利用顶点求最值； （3）线段和最小，属于“将军饮马”模型：作其中一点关于定直线的对称点，把折线段拉直，转化为两点间线段最短． 【详解】（1）解：把、代入： 两式相减得，故；代入得． （2）解：设直线的解析为：，过、， ∴， 解得， ． 设，过作竖直线交于，如图所示： 水平距离，由铅锤高公式： ∵，当时面积最大： ，此时 （3）解：抛物线与轴交点； 配方得：，即顶点． 如图所示：作关于直线的对称点，则， ，当、、三点共线时最小． 设直线的解析式为：将、代入得：， 解得： 把代入： 【点睛】本题是二次函数综合压轴，依次考查三类高频模型：求解析式：待定系数法，代入两点坐标解二元一次方程组；二次函数面积最值，记住铅锤高公式(竖直线段)×()，把面积化成二次函数求顶点；将军饮马求两线段和最小：作对称点→拉直→三点共线，交点即为最值点；若动点在定直线上，优先考虑作一个定点关于该直线的对称点，再连另一个定点． 【题型5 二次函数综合之周长问题】 【例5】在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为． (1)求此二次函数解析式； (2)如图①，在轴上找一点，使得的周长最小，求点的坐标； (3)如图②，为直线上的动点，在抛物线上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)． (2)． (3)存在，点P的坐标为或． 【分析】（1）两个交点是抛物线与轴的公共点，把它们代入含待定系数的解析式，得到关于、的方程组即可确定解析式； （2）的周长中是定长，用轴对称把折线化为直线段，再由两点之间线段最短定出点，最后求相应直线与轴的交点； （3）先求直线的解析式，把动点的坐标用一个字母表示，再按等腰直角三角形直角顶点在、、的三种位置分类，由两条直角边相等与勾股定理列方程求出点的坐标，代入抛物线解析式求解． 【详解】（1）解：将．代入得． 解之得： ∴此函数解析式为． （2）解：作点C关于x轴对称的点，连接交x轴于点E， 则，， 根据两点之间线段最短，当共线时，， 此时的周长最小， 如图①所示． ， ． 设直线的解析式为，则有 解得 ∴直线的解析式为， 当中时，， ∴当的周长最小时，点E的坐标为． （3）解：存在，点的坐标为或． 理由如下： 设直线的解析式为，把、代入，得． 解得． ∴直线的解析式为． 点在直线上，设． 当时点与点重合，不存在，故． 记，则，且． 由勾股定理得． 设，由勾股定理得． 同理． 为等腰直角三角形时，两条直角边相等，斜边的平方等于两条直角边平方之和；直角顶点只能在、、三处，三种情况如图②所示． ①直角顶点在，即，两条直角边是、． ∵， ∴． ∵是斜边，由勾股定理， ∴． 把第二式展开后与第一式相减，整理得． ∵， ∴，即． 代入，得． ∴或，点为或． 即或． 把代入，得． 整理得． 解得(点与点重合，舍去)，，此时． 把代入，得，即． 解得(舍去)，，此时． 两支给出的点都是，对应直线上两个不同的点． ②直角顶点在，即，两条直角边是、． ∵， ∴． ∵是斜边，由勾股定理， ∴． 把第一式展开后与第二式相减，整理得，即． 代入，得． ∴或，点为或． 即或． 把代入，得，即． 解得(舍去)，，此时． 把代入，得． 解得，此时点与点重合，舍去． ③直角顶点在，即，两条直角边是、． ∵，且是斜边， ∴，即． ∴． 把第二式展开后与第一式相减，整理得，即． 代入，得． ∴或，点为或． 即或． 把代入，得，即． 解得(舍去)，，此时． 把代入，得． 该式只给出，图形退化，这一支舍去． 综上可知，抛物线上存在点，使为等腰直角三角形；②与③得到的点都是，故点的坐标为或． 【变式5-1】如图1，抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，连接、，其中． (1)求抛物线的解析式； (2)点Q为直线上方的抛物线上一点，过点Q作交于E，作轴于N，交于M，当的周长L最大时，求点Q的坐标及L的最大值； (3)若点G在x轴上运动，在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使B、Q、P、G四点所构成的四边形为平行四边形，若存在，直接写出G点坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)，L的最大值为 (3)点G的坐标为或或或 【分析】（1）首先求出，得到，然后求出，，然后利用待定系数法求解； （2）根据题意证明出是等腰直角三角形，表示出，然后得到，设，则，表示出，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）设，，根据题意分三种情况讨论，分别利用平行四边形的性质和中点坐标公式列方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 ∴当时， ∴，即 ∴ ∴，，即 将，代入得， 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵轴 ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴， ∴ ∴的周长 ∵， ∴可得所在直线的表达式为 设，则 ∴ ∵ ∴当时，取得最大值2，L的最大值为， ∴将代入得，； （3）解：设， ∵，，平行四边形的对角线互相平分， ∴当是平行四边形的对角线时， 由中点坐标公式得， 解得或（此时点G和点B重合，舍去） ∴点G的坐标为； 当是平行四边形的对角线时， 由中点坐标公式得， 解得或 ∴点G的坐标为； 当是平行四边形的对角线时， 由中点坐标公式得， 解得或 ∴点G的坐标为或； 综上所述，点G的坐标为或或或． 【变式5-2】如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，，连接和． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线对称轴上是否存在一点使得的周长最小，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数和一次函数解析式、二次函数的图像及性质、轴对称的性质等知识，解题关键是熟练掌握并能够灵活运用二次函数的图像及性质． （1）首先确定点的坐标，再代入抛物线解析式，即可求出答案； （2）首先求出点坐标以及抛物线对称轴为，根据轴对称的性质可得，故有周长，当点在同一直线上时，的周长最小，利用待定系数法解得直线的解析式，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 将点，代入抛物线， 可得，解得， ∴该抛物线解析式为； （2）如图所示， 对于抛物线，其对称轴为， 令，可得，解得， ∴， ∵点在直线上，关于直线对称， ∴，， ∴周长， 当点在同一直线上时，的周长最小， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∴． 【变式5-3】如图，抛物线：与轴交于、两点，与轴交于点，且点的坐标为，抛物线的对称轴为直线，其顶点记为． (1)求抛物线的解析式和点坐标； (2)点是轴上任意一点，连接、、，当周长取到最小值时，求点的坐标； (3)将抛物线向右平移个单位长度得到新的抛物线； ①抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），当点是线段三等分点时，求的值； ②点、是抛物线上两点，当时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)①或；② 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）点关于轴的对称点为，当、、共线时，取等号，有最小值，利用待定系数法求得直线的解析式，即可求解； （3）①先得到新的抛物线的解析式，求得，，根据点是线段的三等分点，再分类求解即可．②将分别代入，根据建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线：过点，且对称轴为直线， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点的坐标为； （2）解：令，则， ∴点的坐标为， 为定值， ∴当最小时，周长取得最小值， ∵点关于轴的对称点为， ， 当、、共线时，取等号，有最小值， 设直线的解析式为， 把点的坐标为代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴点的坐标为； （3）解：①根据题意，新的抛物线的解析式为：， 解方程， 得， ∵点在点的左边， ，， 对于抛物线，令，则， 解得：或1， ∴点的坐标为， ∵点是线段的三等分点，则点在线段上， ，， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：， 综上所述，的值为或； ②当时，， 当时，， 当时，， 解得：． 【题型6 二次函数综合之角度问题】 【例6】如图，抛物线交轴于点和点（点在点左侧），交轴于点．已知抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的函数解析式； (2)在抛物线上找一点，使，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)． (2)或． 【分析】（1）由对称轴与点的横坐标定出点，按与轴的两个交点设出解析式，再与题面给出的式子比较系数求、． （2）先由定出的度数，再把化成过、的两条直线，与抛物线联立成一元二次方程，舍去与点重合的解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，点与点关于直线对称． ∴． ∵抛物线与轴交于、． ∴可设，即． 又． ∴，． ∴，． ∴． （2）解：由、与坐标原点，得，． ∴，即． ∵． ∴． ∵在轴上，过、的直线与轴成角． 设过、的直线为，， ∴代入，可得， ∴过、的直线为或． ∵点在抛物线上． ∴或． ∴或． ∵时点与点重合，不合题意． ∴或． ∴或． 线段与过点的两条直线同抛物线画在同一坐标系中，两条直线与抛物线除点外的交点分别为、，即所求的两个点 【点睛】把化成过、的两条直线是本题的关键：落在轴上，的角条件使点只能落在过且与轴成角的两条直线上，几何条件随之变成两个一元二次方程；求出根后必须舍去与点重合的那一个． 【变式6-1】如图，抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴相交于点，顶点为，连接，与抛物线的对称轴交于点． (1)求抛物线的解析式和点的坐标； (2)点为线段上的一个动点，过点作交抛物线于点，设点的横坐标为；用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，四边形为平行四边形？ (3)若点在二次函数图像上，且满足，请求出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)， (2)（）， (3)、 【分析】（1）根据待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数的性质求出顶点D的坐标． （2）先求出点的坐标，抛物线的对称轴，再求出直线的函数关系式，表示出点、点、点的坐标，再由平行四边形的判定定理得，即可得的值． （3）过点作轴于点，可得为等腰直角三角形，设，即可建立方程求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过、， ∴， 解得，， ∴抛物线解析式为， ∴顶点D的坐标为； （2）解：在中，对称轴为直线， 当时，， ∴， 设直线的函数关系式为， ， ， 解得， ， ∴直线的函数关系式为， ， 在中，当时，， ， ∵点在线段上， ∴点在点的上方， ， ， ∴当时，四边形为平行四边形， ， （舍去），或； ∴线段的长为，当时，四边形为平行四边形； （3）解：由、可知， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 过点作轴于点， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设， ∴ 解得或或（舍去） ∴或． 【变式6-2】如图，平面直角坐标系中，二次函数（a，b为常数，且）的图象与x轴相交于点和点，与y轴相交于点C，连接． (1)求a，b的值； (2)将原抛物线向右平移n个单位，新抛物线恰好经过原点，求n的值； (3)在抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出平移后的抛物线的解析式，再代入原点的坐标求解即可； （3）分两种情况：当点P在直线下方时和当点P在直线上方时，分别画出示意图讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数（a，b为常数，且）的图象与x轴相交于点和点， ∴， ∴； （2）解：由（1）得抛物线的解析式为， ∵将原抛物线向右平移n个单位得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为， ∵新抛物线恰好经过原点， ∴， 解得或（舍去）； （3）解：由（1）得抛物线的解析式为， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 如图所示，当点P在直线下方时，取点，连接， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴点P在直线上； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴此时点P的坐标为； 如图所示，当点P在直线上方时，取点，连接，设交抛物线于点R，连接， ∴， ∴； 在中，当时，， 解得或， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点P与点R重合， ∴此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 【变式6-3】如图1，二次函数与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C．已知，抛物线的对称轴为直线． (1)求二次函数的解析式； (2)如图2，连接，点P是第一象限内抛物线上一点，过点作轴交于点E，求的最大值以及点P的坐标； (3)将抛物线向右平移1个单位长度，向上平移5个单位长度得新抛物线，点M是平移后新抛物线上一点，若，直接写出点M的坐标． 【答案】(1)； (2)最大值为，点的坐标为； (3)或 【分析】（1）根据对称轴得出，再将点A代入求解即可确定函数解析式； （2）根据题意得出，，利用待定系数法确定直线的解析式为，设，则，得出，化为顶点式即可求解； （3）根据平移确定，再由题意得出，分两种情况分析：当点M在x上方的图象上时，如图所示，过点M作轴，当点M在x轴下方的抛物线上时，如图所示，过点M作轴，结合图形分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的对称轴为直线, ， 解得， ∴抛物线解析式为， 又∵抛物线经过点， ， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：令,得 解得， ， ， 令,得 ， 设直线的解析式为， 将代入得：     解得， ∴直线的解析式为， 设则， ， ， 当时，取得最大值，最大值为， 此时， 点的坐标为； （3）， ∵将抛物线向右平移1个单位长度，向上平移5个单位长度， ∴， 由（2）得，， ∴， ∴， ∵， ∴， 当点M在x上方的图象上时，如图所示，过点M作轴， ∴， 设， ∴， ∴， ∵点M是平移后新抛物线上一点， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， 当时，，对应图中的点M； 当点M在x轴下方的抛物线上时，如图所示，过点M作轴， ∴， 设， ∴， ∴， ∵点M是平移后新抛物线上一点， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴当时，，对应图中的点； 综上可得：或． 【题型7 二次函数综合之特殊三角形存在性问题】 【例7】已知二次函数的图象（如图1），当时，函数有最小值，且它的图象经过点． (1)求该函数解析式； (2)如图2，若一次函数与二次函数的图象相交于点、（点在点左侧），试求的面积； (3)如图3，已知轴上存在一点，二次函数图象上存在一点，与点构成以点为直角顶点的等腰直角，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)，， 【分析】（１）二次函数表达式设为顶点式，再代入，解出值即可求出函数表达式． （２）联立方程组，解出点、点、点的坐标，利用坐标三角形面积求出的面积． （３）设点的坐标为，点的坐标为，过点作轴于点，证得，利用全等三角形对应边相等得出，再将点纵坐标代入二次函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：∵当时，函数有最小值， ∴抛物线对称轴为直线，抛物线的顶点为， 即设二次函数为， ∵它的图象经过点， ∴把代入函数得， 解得， ∴二次函数解析式为， 即； （2）∵一次函数与二次函数的图象相交， ∴联立方程组得， 整理得， 即， 解得，， 当时，， 当时，， ∵点在点左侧， ∴，， 设一次函数与轴的交点为点，则点坐标为， ∴， ∴的面积为； （3） 设点的坐标为，点的坐标为，过点作轴于点， ∵点在轴上， ∴． 在等腰直角中，，， ∵， 在中， ∴， 在和中有， ∴， ∴． 由此可知，即， 当时，代入二次函数解析式得： ， 整理得， 即， 解得，， ∴此时点的坐标为或； 当时，代入二次函数解析式得： ， 整理得， 即， 解得， ∴此时点的坐标为， 综上可得，满足条件的点的坐标为，，． 【变式7-1】如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． (1)抛物线的解析式为______________________，解析式为______________________； (2)若点为线段上一点（不与重合），轴，且交抛物线于点，交轴于点，求的最大面积； (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）待定系数法求出解析式即可； （2）设点坐标为，则点坐标为，可表示出的长，则的面积，可用表示出来，根据二次函数的性质可求出面积的最大值； （3）分两种不同的情况进行讨论：，，利用勾股定理建立方程，解答即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点，将点，点的坐标分别代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； ∵抛物线与轴交于点， 当时，得：， 点的坐标为， 设直线的解析式为，将点，点的坐标分别代入得： ， 解得：， 直线的解析式为； （2）解：设点坐标为，则点坐标为， ， ， 当时，的面积最大，最大值为； （3）解：， 抛物线的对称轴为直线， ， 由（1）可得， 设， ，，， 当时，由勾股定理得：， ， 解得：， 点的坐标为； 当时，由勾股定理得：， ， 解得：， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 【变式7-2】已知：如图，抛物线与坐标轴分别交于点，，，点P是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P横坐标为3时，求的面积； (3)过点P作x轴的垂线，交直线于点D，再过点P作轴交抛物线于点E，连接，请问是否存在点P使为等腰直角三角形？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点P的横坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法，即可求解； （2）由点P横坐标为3，可得，再利用割补法，即可求解； （3）设，由轴，轴，可得，可得，由抛物线的对称性可得，再求得直线的解析式，可得，根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与坐标轴分别交于点，，， ∴设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵点P横坐标为3， 当时，， ∴， 如图，过点作轴于点，则， ∵，，，， ∴，，，， ∴ ． （3）解：如图，设， ∵轴，轴， ∴， ∵抛物线， ∴对称轴为直线， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴，即， ∴或， 解得，，，， ∴点P的横坐标为或或或． 【变式7-3】已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标． (2)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的值最小？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)存在， (3)或或或 【分析】（1）由点、的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再将抛物线的一般式转化为顶点式进而求出抛物线的顶点； （2）设抛物线与轴的另一个交点为点，连接交抛物线对称轴于点，此时有最小值为，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，由点、的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，利用抛物线顶点式可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点的坐标； （3）设点的坐标为，则，，可表示，分、、三种情况，利用勾股定理可得出关于的方程，解之可得出的值，进而即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：将，代入中， 得， 解得：， 抛物线的解析式为， 将抛物线的一般解析式转化为顶点式为， 抛物线的顶点坐标为． （2）解：存在， 如图，设抛物线与轴的另一个交点为点，连接交抛物线对称轴于点，此时有最小值为， 当时，有， 解得：，， 点的坐标为， 抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为， 将、代入中， 得：，解得：， 直线的解析式为， 当时，， 在抛物线的对称轴上，存在点使的值最小，点的坐标为． （3）解：如图，设点的坐标为， 由勾股定理得，， ， ， 此时分三种情况考虑： 当时， 有， 即， 解得：， 点的坐标为； 当时， 有， 即， 解得：，， 点的坐标为或； 当时， 有， 即， 解得：， 点的坐标为， 综上所述，当是直角三角形时，点的坐标为或或或． 【题型8 二次函数综合之特殊四边形存在性问题】 【例8】如图，抛物线经过点，与轴负半轴交于点，与轴交于点． (1)抛物线的解析式是________________； (2)抛物线的对称轴上有一点，使的值最小，求点的坐标； (3)点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)、、 【分析】（1）设抛物线一般式，代入、、三点坐标列方程组，求出，得到抛物线解析式． （2）先求出抛物线对称轴，找到关于对称轴的对称点，连接，求出直线解析式，把代入求出点坐标，此时最小． （3）分为平行四边形的边、为平行四边形的对角线两种情况讨论，利用平移规律和中点坐标公式求出横坐标，代入抛物线解析式算出纵坐标，得到三个符合条件的点． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为 ． 抛物线过点 ． 把，代入解析式，得 整理得 解得 抛物线的解析式是 ． （2）解： 对称轴为直线 ． 令，． 解得 ． 抛物线与轴另一交点为． 关于对称轴对称． ， 当不共线，连接交对称轴于点时，最小． 设直线的解析式为． 把，代入，得 解得 直线解析式为． 当时，． ． （3）解：存在满足条件的点． 在对称轴上， 横坐标为． ①当为平行四边形的边时， 平移到，横坐标变化：，纵坐标变化：． 由横坐标平移得到横坐标： 或 ． 当时， 当时， ②当为平行四边形的对角线时， 对角线中点坐标： 设横坐标为，横坐标为， 解得 ． 当时， 综上，符合条件的点坐标为、、． 【变式8-1】如图（1），抛物线与轴交于点、，与轴交于点，直线与该抛物线交于，两点． (1)求抛物线的解析式． (2)平移线段，若点的对应点落在抛物线上，点的对应点落在直线上，求出此时点的坐标． (3)如图（2），将上方的抛物线沿着直线翻折，点是上方的抛物线上的一动点，的对应点为点，连接交于点． ①当四边形是菱形时，请直接写出点的坐标； ②在点的运动过程中，求线段的最大值． 【答案】(1) (2) (3)①点P的坐标为 ②当t时，线段PQ的最大值为 【分析】（1）利用抛物线的对称轴为直线即可求得，由抛物线与轴交于点坐标，可得，即可求得答案； （2）连接，由平移可知四边形是平行四边形，得出，运用待定系数法可得直线的解析式，再联立方程组即可求得答案； （3）①联立直线与抛物线的解析式可求得坐标，根据对称点的连线与对称轴垂直可得：；设，根据四边形是菱形，有，再利用勾股定理表示出两点之间的距离，据此列出关于的一元二次方程，解方程即可求解．②设直线分别交轴、轴于点、，过点作轴交于，交轴于点，设，则，可得，再证得是等腰直角三角形，表示出的关系式，运用二次函数的性质即可求得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，与y轴交于点， ∴1， 解得：， 又∵抛物线与y轴交于点， ∴， ∴抛物线的解析式为． （2）如图1，连接， ∵平移线段，且点C的对应点落在抛物线上，点D的对应点落在直线上， ∴四边形是平行四边形， ∴， 设直线的解析式为，将代入得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得：（舍去），， ∴． （3）①联立得， 解得：，， ∴， 如图2，将上方的抛物线沿着直线翻折，点P是上方的抛物线上的一动点，P的对应点为点Q， 设， ∵点P是上方的抛物线上的一动点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 化简得， 解得：m或m（小于，舍去）， ∴点P的坐标为； ②如图3，设直线分别交x轴、y轴于点L、F，过点P作轴交于J，交y轴于点H， 设，则， ∴， ∵直线的解析式为， ∴，， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∵P、Q关于直线对称， ∴，即，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴当时，线段的最大值为． 【变式8-2】如图，二次函数的图象与x轴交于，两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在x轴下方的抛物线上是否存在一点Q，使得，若存在，求出Q点的坐标，若不存在，说明理由； (3)抛物线上有两动点M，N，横坐标分别为，记抛物线在M，N之间的部分（包括M，N两点）为图象G．过图象G的左右两端M，N分别作x轴的垂线，过图象G的最高点和最低点分别作y轴的垂线，当四条直线围成的图形为正方形且正方形边长为2时，求点M的坐标． 【答案】(1)； (2)存在，； (3)点M的坐标为或． 【分析】（1）把，两点代入函数关系式，解方程组即可； （2）在轴下方抛物线上取点，设点的坐标为，则或，分两种情况：①时，不存在；当时，过点作轴于点，连接，，根据，则，利用三角函数求解； （3）对，在对称轴左右两侧，及都在左侧和都在右侧进行分类讨论，根据正方形的边长相等列对应关系式求解． 【详解】（1）解：把，两点代入函数关系式得， 解得 抛物线的函数表达式为； （2）解：如图，在轴下方抛物线上取点， 设点的坐标为，则或， 当时，是钝角，是锐角，故不能相等； 当时，过点作轴于点，连接，， 当时，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 即 （3）解：， 抛物线的对称轴为直线，有最大值， 由题意可知，即， 当点，分布在对称轴左右两侧时，， 若点M是最低点， 此时最大值为，最小值是当时，的值，即， ， ， 解得，（舍去）， ； 若点N是最低点， 此时， 解得，（舍去）， ， ， ， ； 当点，都在对称轴左侧时，， 此时 整理得 ， ，， ， ， ，此时， 故不存在此种情况； 当点，都在对称轴右侧时，， 此时 整理得 ， ， ， ， ， 故不存在此种情况； 综上可知，点M的坐标为或． 【变式8-3】如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接、． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是直线下方抛物线上的一个动点． ①连接、．求四边形的面积的最大值； ②过点作的平行线，交线段于点．试探究在直线上是否存在点，使得以点，，．为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①最大值；②存在点，使得以，，，为顶点的四边形为菱形，点的坐标为或 【分析】（1）设出交点式，再代入点即可求解； （2）①设点，连接，根据建立面积关于的二次函数关系式，再由二次函数的性质求解即可； ②由菱形的性质可得为等腰三角形，由于，然后分和两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：据题设抛物线的函数表达式为， 把代入：， 解得：． 抛物线的函数表达式为：； （2）解：①设点，连接， 则 ． ， 当时，取最大值； ②存在． 设直线 把点，点代入得， 解得 ∴直线的函数表达式为， ∵点， 同理可求直线的函数表达式为， 此时． ∵以点，，．为顶点的四边形为菱形， ∴为等腰三角形， 设点的坐标为，其中， ∵，分两种情况讨论 ①当时， 过作轴于， ∵， ∴ ∵以点，，．为顶点的四边形为菱形 ∴， 设直线的解析式为，， ∴为等腰直角三角形，， ∴， 将点代入可得，， 解得， 又由菱形可得， ，即． ②当时，设， 由菱形可得，， ∴， ∴， ∴， 解得：（舍）或 综上所述，存在点，使得以，，，为顶点的四边形为菱形， 点的坐标为或． 【题型9 二次函数与相似三角形综合问题 】 【例9】综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点（点在点的左边），交轴于点，其中，． （1）求抛物线的函数表达式； （2）连接，点为线段上一个动点，过点作轴交抛物线于点，当线段的值最大时，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，是否在轴上存在点，使与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）点的坐标为；（3）存在，， 【分析】（1）根据A（1，0），可以得到B点的坐标，然后把A、B坐标代入解析式求解即可得到答案； （2）设直线的表达式为求出一次函数解析式，从而可以设出P的坐标根据PD∥y轴得到D的坐标，然后根据PD为最大值求解即可.； （3）先求出C点坐标，然后根据△CPQ与△BOC相似进行分类讨论求解即可得到答案. 【详解】解：（1）， ， 将点和点分别代入中， 得：，解得 拋物线的函数表达式为 （2）设直线的表达式为． 将，代入得： ，解得：，． 设点 轴， ， 当时，的值最大，此时点的坐标为． （3）由（2）得P点坐标为（-1，2） ∵C是与y轴的交点 ∴C点的坐标为（0，4） ∵△CPQ与△BOC，∠BOC=90° 当△CPQ∽△BOC时 ∴∠CPQ=90°，∠CBO=∠QCP ∵∠CBO+∠OCB=90° ∴∠QCP+∠OCB=90° 又∵Q在y轴上 ∴∠QCP=∠OCB或∠QCP+∠OCB=180° 故此种情形不成立 当△CQP∽△COB时 ∴，∠QCP=∠OCB ∴此时Q在C的下方 ∵， ∴ ∴ ∴Q点坐标为（0，2）； 当△CPQ∽△COB时 ∴，∠QCP=∠OCB ∴此时Q在C的下方 ∴ ∴ Q点坐标为（0，）； 综上所述：Q点的坐标为（0，2）或（0，） 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 【变式9-1】如图，抛物线与x轴交于点A，B，A点的坐标为，与y轴交于点．    (1)求抛物线的解析式，并求出点B坐标； (2)过点B作交抛物线于点D，连接，，； ①求四边形的周长；（结果保留根号） ②在x轴上方的抛物线上是否存在点P，过点P作垂直于x轴，垂足为点E，使以B，P，E为顶点的三角形与相似？若存在请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)①；②存在点P，使以B、P、E为顶点的三角形与相似，点P的坐标为． 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，点B坐标可由对称性质得到． （2）①求出点D的坐标，然后利用勾股定理分别求出四边形四个边的长度． ②本问为存在型问题．先假设存在，然后按照题意条件求点P的坐标，如果能求出则点P存在，否则不存在．注意三角形相似有两种情形，需要分类讨论． 【详解】（1）∵点和点在抛物线上， ∴，解得：． ∴抛物线的解析式为：． ∴抛物线的对称轴为y轴． ∵点B与点关于y轴对称， ∴； （2）①设过点，的直线解析式为，可得： ，解得：． ∴过点A，C的直线解析式为． ∵， ∴设直线的解析式为． ∵点在直线上， ∴，得． ∴直线的解析式为：． 将代入抛物线的解析式，得：， 解得：，． ∵B点横坐标为，则D点横坐标为2， ∴D点纵坐标为． ∴D点坐标为． 如图①所示，过点D作轴于点N，      则， 在中，， 由勾股定理得： ． 在中，， 由勾股定理得： ． 又， 由勾股定理得：． ∴四边形的周长为： ． ②存在． 假设存在这样的点P，则与相似有两种情形： 若，如图②所示，    则有，即， ∴． 设， 则， ∴点P的坐标为． ∵点P在抛物线上， ∴，解得或． 当时，点E与点B重合，故舍去； 当时，点E在左侧，点P在x轴下方，不符合题意，故舍去． 因此，此种情况不存在； 若，如图③所示，    则有，即， ∴． 设， 则，， ∴点P的坐标为． ∵点P在抛物线上， ∴， 解得或． ∵，故舍去， ∴． 点P的纵坐标为：． ∴点P的坐标为． 综上所述，存在点P，使以B、P、E为顶点的三角形与相似，点P的坐标为． 【点睛】此题主要考查了二次函数解析式的确定、图形周长的求法以及相似三角形的判定和性质等重要知识点，同时还考查了分类讨论的数学思想． 【变式9-2】如图所示，点B坐标为，点A坐标为，动点P从点O开始沿OB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，动点Q从点B开始沿BA以每秒2个单位长度的速度向点A移动，如果P，Q分别从O，B同时出发，用t（秒）表示移动的时间． （1）用含t的式子来表示______．______． （2）当t为何值时，以点P、B、Q为顶点的三角形与相似？ （3）若四边形OPQA的面积为y，试写出y与t的函数关系式，并求出t取何值时，四边形OPQA的面积最小？ （4）在y轴上是否存在点E，使点P、Q在移动过程中，以B、E、Q、P为顶点的四边形的面积是一个常数？若存在请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；；（2）当秒或3秒时，以点P、B、Q为顶点的三角形与相似；（3）；（4）存在，E，理由见解析 【分析】（1）根据运动的速度求解即可； （2）根据三角形相似的判定条件分类判断即可； （3）根据列出二次函数求最值即可； （4）分点E在y轴正半轴和负半轴上分别讨论即可； 【详解】（1）∵点B坐标为，点A坐标为， ∴，， ∵动点P从点O开始沿OB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，动点Q从点B开始沿BA以每秒2个单位长度的速度向点A移动， ∴，， ∴，； 故答案是：；； （2）当时，即，则， ∴，即， 解得：； 当时，则， ∴，即， 解得：； ∴当秒或3秒时，以点P、B、Q为顶点的三角形与相似； （3）， ∵， ∴时，y有最小值是27； （4）存在，理由如下： 当E在y轴负半轴上时，以B、Q、E、P为顶点不能形成四边形； 当E在y轴正半轴上时， 设， ∴以B、Q、E、P为顶点的四边形的面积=梯形的面积-的面积， 即， 当以B、Q、E、P为顶点的四边形的面积是一个常数，则，解得：， ∴点E的坐标为； 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，二次函数的最值，准确计算是解题的关键． 【变式9-3】如图，一次函数与轴、轴分别交于、 两点，二次函数的图象经过、两点，与轴交于另一点，其对称轴为直线 (1)求该二次函数表达式； (2)在轴的负半轴上是否存在一点，使以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在对称轴上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或或 【分析】（1）分别求出点，点的坐标，根据对称轴求出另一交点，再根据交点式得出答案； （2）以点、、为顶点的三角形与相似，，则或，根据正切值求解即可； （3）分、、三种情况，利用线段长度相等，列出等式求解即可． 【详解】（1）对于，当时，，即点， 令，则，即点. ∵抛物线的对称轴为直线，则点， ∴抛物线与x轴的另一个交点为 设二次函数表达式为：， ∵抛物线过点， 则， 解得：， 故抛物线的表达式为：； （2）存在，理由： 在中，，，则， ∵以点M、O、B为顶点的三角形与相似，， ∴或， ∴或， 即或， 解得：或2， ∵点在轴的负半轴上 即点或； （3）存在，理由： 根据题意对称轴，设点， 由点A、C、P的坐标得：，，， 当时，则， 解得：， 即点P的坐标为：或； 当时，则， 解得：， 即点； 当时，则， 解得：， 即点P的坐标为：或． 综上，点P的坐标为：或或或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，分类讨论是本题求解的关键． 【题型10 二次函数与圆综合问题 】 【例10】已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0）、B（4，1）两点，且与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，设抛物线与x轴的另一个交点为D，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积是△BDA面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合），经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求面积的最小值及E点坐标． 【答案】（1）；（2）存在，点P坐标（，）或（，）；（3）面积的最小值为，E点坐标（，） 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据抛物线的解析式求出点D的坐标，取点E（1，0），作EP∥AB交抛物线于点P，得到直线EP为y＝x﹣1，联立方程组求解即可； （3）作BD⊥OA于D，得到OA＝OC＝3，AD＝BD＝1，证明EF是△AEO的外接圆的直径，得到△EOF是等腰直角三角形，当OE最小时，△EOF的面积最小，计算即可； 【详解】（1）将点A（3，0），B（4，1）代入可得： ，解得：， 故函数解析式为； （2）∵抛物线与x轴的交点的纵坐标为0， ∴，解得：x1＝3，x2＝2， ∴点D的坐标为（2，0），取点E（1，0），作EP∥AB交抛物线于点P， ∵ED＝AD＝1，∴此时△PAB的面积是△DAB的面积的两倍， ∵直线AB解析式为y＝x﹣3， ∴直线EP为y＝x﹣1， 由解得或， ∴点P坐标（，）或（，）． （3）如图2中，作BD⊥OA于D． ∵A（3，0），C（0，3），B（4，1）， ∴OA＝OC＝3，AD＝BD＝1， ∴∠OAC＝∠BAD＝45°， ∵∠OAF＝∠BAD＝45°， ∴∠EAF＝90°， ∴EF是△AEO的外接圆的直径， ∴∠EOF＝90°， ∴∠EFO＝∠EAO＝45°， ∴△EOF是等腰直角三角形， ∴当OE最小时，△EOF的面积最小， ∵OE⊥AC时，OE最小，OC＝OA， ∴CE＝AE，OE＝AC＝， ∴E（，），S△EOF＝． ∴当△OEF的面积取得最小值时，面积的最小值为，E点坐标（，）． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合、一次函数的性质、圆的综合应用，准确计算是解题的关键． 【变式10-1】如图，已知抛物线，与轴交于两点，且与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使的值最小?若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由； (3)在以为直径的圆中，直线与相切于点，直线交轴于点，求直线的解析式． 【答案】(1) (2)存在，最小值为 (3) 【分析】（1）将代入得，，可求的值，进而可求抛物线的解析式； （2）如图1，连接，由对称的性质可知，，则，可知当三点共线时，最小，为，根据勾股定理求的长即可； （3）如图2，连接，由题意知，的半径为3，，则，，证明，则，证明，则，设，则，由勾股定理得，，即，可求，则，待定系数法求直线的解析式即可． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图1，连接，                 由对称的性质可知，， ∴， ∴当三点共线时，最小，为， 当时，，即， 由勾股定理得，， ∴存在一点，使的值最小，最小值为； （3）解：如图2，连接，                 由题意知，的半径为3，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与线段综合，切线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，一次函数解析式等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与线段综合，切线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，一次函数解析式是解题的关键． 【变式10-2】如图1，为半圆O的直径，C为延长线上一点，切半圆于点D，，交延长线于点E，交半圆于点F，已知． (1)求的值 (2)如图2，连接，P为线段上一点，过点P作的平行线分别交，于点M，N，交圆O于点K，过点P作于点H．设． ①求y关于x的函数解析式及其定义域； ②延长交半圆O于点Q，求当x为何值时的值最大时，并求出最大值． 【答案】(1) (2)①y关于x的函数表达式为；②当x为时的值最大，最大值为 【分析】（1）连接，先求出的长，可得，，由此可求的长，结合三角形面积公式即可求解； （2）①证明可得，即可求解； ②如图，连接，证明，可得，得到，然后用含x的代数式表示出，最后根据二次函数的最值求解即可． 【详解】（1）解：如图1，连接， ∵切半圆于点D， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，. ∵， ∴，， ∴； （2）解：①∵为半圆O的直径，，设， ∴， ∴. ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点F作于点G，如图2， ∵， ∴， ∴. ∵P为线段上一点， ∴， ∴y关于x的函数表达式为； ②连接，如图3， ∵圆周角所对的弧是， ∴. 又∵， ∴， ∴， ∴. ∵，， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴当时，有最大值，最大值为：， ∴当x为时，的值最大，最大值为． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，解直角三角形的应用，求一次函数关系式，二次函数的图象和性质，准确的作出辅助线是解题的关键． 【变式10-3】物线与轴交于两点，其中点的坐标为，与轴交于点，点为抛物线的顶点，且点的横坐标为． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)求的面积； (3)若点是轴下方拋物线上任意一点，已知的半径为2，当与坐标轴相切时，圆心的坐标是_____________． 【答案】(1) (2)3 (3)或或 【分析】（1）将抛物线与轴、轴交点坐标和顶点坐标代入抛物线表达式即可求出； （2）过点D作轴，利用各点坐标，得到梯形、和的面积，即可求出的面积； （3）分两种情况讨论：①与轴相切时，点纵坐标为，代入表达式，得到点坐标为或；②与轴相切时，点横坐标为，代入表达式，得到点坐标为． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为，由题意得：， 把点B的坐标为，点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过点D作轴， 当时，，则， 由题意，，，，，， ， ，， ∴； （3）解：①当与轴相切时，即到轴距离为2， ∴点纵坐标为， ∴， 解得：，， ∴点坐标为或； ②当与轴相切时，即到轴距离为2， ∴点横坐标为， ∴， ∴点坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，求二次函数解析式、切线的性质、坐标与图形，利用数形结合思想，熟练掌握待定系数法和切线性质是解题关键． 【探究式学习】 1．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，点P是直线下方抛物线上的一个动点． (1)求点A，B，C的坐标； (2)连接，，并将沿y轴对折，得到四边形．是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点P的坐标和四边形的最大面积． 【答案】(1)，， (2)存在， (3)，32 【分析】(1) 当时，．当时，．计算求解即可． (2) 根据菱形的判定，建立等式求解即可． (3)设点P的坐标为，分割法表示出四边形的面积，构造关于m的二次函数，利用抛物线的最值思想计算即可． 本题考查了抛物线与坐标轴的交点，菱形的判定，构造二次函数求最值． 【详解】（1）当时，．解得，． ∵点A在点B的左侧， ∴点A，B的坐标分别是，． 当时，． ∴点C的坐标是． （2）如图1，假设抛物线上存在点P，使四边形为菱形，连接交CO于点D． ∵四边形为菱形， ∴，且． ∴，即P点的纵坐标为． 由，得 ，（不合题意，舍去）． 所以存在这样的点，此时点P的坐标为． （3）连接PO，作同于点M，轴于点N． 设点P的坐标为， ∵点A，B，C的坐标分别是，，， ∴，，，，． ∴ ∴当时，． 此时点P坐标为． ∴当点P运动到时，四边形的面积最大，四边形的最大面积为32． 2．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴的正半轴交于点C (1)求二次函数的表达式 (2)点D是线段OB上一动点，过点D作y轴的平行线，与BC交于点E，与抛物线交于点F，连接CF，BF，探究是否存在点D使得四边形ACFB的面积最大？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由 (3)若点P在二次函数图象上，是否存在以P为圆心，为半径的圆与直线BC相切，若存在，直接写点P的坐标；若不存在，说明理由 【答案】(1)； (2)； (3)点P的坐标为或或或． 【分析】（1）将A、B坐标代入二次函数解析式求解即可； （2）求得C点坐标，从而得到BC解析式，设D（m，0），则，，根据求解即可； （3）过点P作PG⊥BC，过点P作PH∥BC，过点P作x轴的垂线，交BC于点N，交x轴于点M，求出PH的解析式，联立直线PH和二次函数解析式，求解即可． 【详解】（1）解：将点、代入可得 ，解得 即解析式为：； （2）解：由可得C（0，3）， 由B（-3，0），C（0，3）可得BC解析式为：， 设D（m，0），则，， ∵， ∴时，最大，此时， （3）解：过点P作PG⊥BC，过点P作PH∥BC，过点P作x轴的垂线，交BC于点N，交x轴于点M，如图： 由题意可得：OB=OC， ∴ ∴ ∴ 当以P为圆心，为半径的圆与直线BC相切，可得， ∴ ∴， 即BC沿y轴向上或向下平移了2个单位，所以PH的解析式为或， 联立直线PH和二次函数解析式可得： 或 解得：或或或 ∴点P的坐标为或或或 【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数的性质，圆的切线的性质，图象的平移，勾股定理，解题的关键是熟练掌握并灵活应用相关性质进行求解，难度始终． 【课后检测】 1．如图，抛物线交轴分别于点，交轴正半轴于点，抛物线顶点为．下列结论：①；②；③时，；④当是等腰直角三角形时；⑤点是抛物线对称轴上的一点，若，则周长的最小值为．其中，错误的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的性质，勾股定理，根据对称性先求出抛物线对称轴为直线，再由对称性计算公式得到，由此可判断①；根据当时，即可判断②；当时，有最大值，最大值，则，据此可判断③；当是等腰直角三角形时，则 ，设，则，解方程求出点C坐标，进而利用待定系数法求出a的值即可判断④；如图，连接交抛物线的对称轴于，连接，由对称性可得，则当三点共线时，最小，即此时的周长最小，利用勾股定理求出的长即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线交轴分别于点， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，即，故①正确； ∵当时，， ∴，故②正确； ∵抛物线开口向下，称轴为直线， ∴时，有最大值，最大值， ∵， ∴， ∴，故③正确， 当是等腰直角三角形时，则 ， 设， ∴， ∴（负值舍去）； ∴， ∴抛物线的解析式为， 把代入得到，故④错误， 如图，连接交抛物线的对称轴于，连接， 由对称性可得， ∴的周长， ∴当三点共线时，最小，即此时的周长最小， ∴的周长最小值， ∵，， ∴周长最小值为，故⑤错误． 故选：C． 2．如图，已知二次函数y=的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，在x轴上方存在一点P，同时点P在对称轴上，若以P、A、B为顶点的三角形为等腰三角形，点P的坐标为_________． 【答案】或或 【分析】先由二次函数的解析式得到点，点的坐标以及对称轴，由于点在轴上方，且在对称轴上，设点坐标为，再根据以、、为顶点的三角形为等腰三角形的已知条件，讨论三角形哪两条边作为三角形的腰，利用勾股定理表示出两点之间的距离，以等腰三角形两腰相等为等量关系列出式子，计算得到的不同取值，检验是否大于后即可得到点的坐标． 【详解】解：二次函数为，与轴交于点，与轴交于点， 当时，，点的坐标为， 当时，，点的坐标为， 对称轴为直线． 点在对称轴上， 设点的坐标为． 以、、为顶点的三角形为等腰三角形， 需要分三种情况讨论． 当时，由，得， 解得， 点坐标为． 当时，由，得， 解得或（舍去）， 点坐标为． 当时，由，得， 解得或（舍去）， 点坐标为． 综上所述，点坐标为或或． 3．如图，在矩形中，，，从点开始沿向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间是． (1)为何值时，？ (2)为何值时，的长度为？ (3)设五边形的面积为，当为何值时，五边形的面积最小？最小面积为多少？ 【答案】(1)． (2)或． (3)当时，五边形的面积最小，最小面积为． 【分析】（1）用路程公式把、分别写成含的式子，由题设的相等关系列一元一次方程； （2）由矩形的角为直角在中用勾股定理列出与的关系，令其等于已知长度解方程，并检验所得时间是否落在运动时间范围内； （3）用矩形面积减去的面积得到五边形面积的表达式，配方后由平方的非负性求最小值，并核对取最小值的时间是否落在运动时间范围内． 【详解】（1）解：由点的速度为、运动时间为，得，． 由点的速度为，得． 点从点到点要走，速度是，故用时，即． ∵． ∴，解得． 在内，符合题意． （2）解：由（1）知，，． ∵四边形是矩形． ∴，即． 在中，由勾股定理得． ∴． 化简得． ∵． ∴，即． ∴或． 两个值都在内；时点与点重合、点与点重合，，也满足条件． ∴当或时，的长度为． （3）解：记五边形的面积为． 由（1）知，，． 由（2）知． ∴的面积为． 代入得的面积为． 矩形的面积为． ∴． 配方得． ∵． ∴当，即时，取最小值． 由（1）知，在此范围内． ∴当时，五边形的面积最小，最小面积为． 4．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线（是常数）经过点，点在抛物线上，横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，且横坐标为，若轴（点不重合），则的长度为___________； (3)当时，若二次函数的最大值和最小值之差为，请求出的值； (4)已知，连接，当抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大时，的取值范围为___________． 【答案】(1) (2)1 (3)或 (4) 【分析】（1）利用待定系数法求出解析式即可； （2）结合（1）中抛物线的对称轴，再根据二次函数的对称性即可解答； （3）分，和三种情况，结合图象讨论即可； （4）由随的增大而增大可知，再分点M在点P上方和点M在点P下方两种情况求解即可． 【详解】（1）解：将代入抛物线， 得：，即， ∴抛物线函数表达式为：； （2）解：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点横坐标为，点的横坐标为，且轴（点不重合）， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相同，即点与点关于对称轴对称， ∴， 解得：， ； （3）解：设抛物线与y轴交于点B， ， ∴顶点坐标为． 将代入，则， ， ∴点关于对称轴的对称点为， 根据题意：，抛物线图象开口向上，对称轴为直线， 当时，在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点为点，最低点为点， ∵最高点和最低点的纵坐标之差为， ∴，即， 解得：或（均不满足，舍去）； 当时，则在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点为点，最低点为抛物线顶点， ∵最高点和最低点的纵坐标之差为， ∴，即， 解得：； 当时，则在点和点B之间的部分（包括两点）的最高点为点，最低点为抛物线顶点， ∵最高点和最低点的纵坐标之差为， ，即， 解得：或（不满足，舍去）； 综上，的值为或； （4）解：， ∴抛物线对称轴是直线． ∵随的增大而增大，点在抛物线上，横坐标为， ∴． 当点M在点P上方时，抛物线在内部没有图象，此种情况不符合题意； 当点M在点P下方时，如图，此种情况符合题意， ∵， ∴， 解得或， ∵， ∴． 综上可知，当时，抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大． 5．已知抛物线经过点和，且对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线与x轴的另一个交点为点C，过线段上一点E，作轴，交抛物线于点F，求线段长度的最大值； (3)在抛物线上有一点P，满足的面积是24，求点P的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)线段长度的最大值为4； (3)点的坐标为和． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线的解析式，再设，则，用含的二次函数表示出，利用二次函数的性质求解即可； （3）求得直线的解析式，过点P作竖直线(垂直x轴)，交直线于点Q，利用割补法列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为点， 设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为，即； （2）解：由（1）知，， ∴设直线的解析式为， 将代入得，解得， ∴直线的解析式为， 设，则，其中， ∴ ， ∵， ∴当时，线段的长度有最大值，最大值为4； （3）解：同（2）得直线的解析式为， 过点P作竖直线（垂直x轴），交直线于点Q， 设，则， 线段就是铅垂高，， 水平宽为， 由题意得， 解方程，得，； 解方程，整理得， ∵， ∴方程无实数解； ∴点的坐标为和． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过A、C两点，与轴的另一交点为点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点为直线上方抛物线上一动点； ①过点作轴，交直线AC于点，作轴．交直线于点，求周长的最大值； ②过点作，垂足为点，连接，是否存在点，使得中的某个角恰好等于的2倍？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②-2或 【分析】（1）先求出点A，C的坐标，再利用待定系数法解答即可； （2）①设点，则，，可得，，再由，可得，然后周长为，结合二次函数的性质解答即可；②根据勾股定理的逆定理得到是以为直角的直角三角形，取的中点，求得，得到，过作轴的平行线交轴于，交的延长线于，情况一：，情况二，，解直角三角形即可得到结论． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴，， 抛物线经过、两点， ， ，， ∴抛物线解析式为； （2）解：①如图， 设点， ∵轴，轴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴周长为 ， ∵， ∴当时，周长最大，最大值为； ②对于， 当时，， 解得：， ∴， ∵，， ，，， ， ∴是以为直角的直角三角形， 取的中点， ∴， ， ，， ， 过点作轴的平行线交轴于，交的延长线于，则， 设， ，， 分以下两种情况： 情况一：当时，如图2， ∵， ， ， 即， ∴， （舍去），， ， 情况二：当时， ， 设， ，， ∵， ， ，， ∵，， ，， ∴， ， （舍去），， 综上所述：点的横坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，三角函数，解直角三角形，勾股定理等知识点． 7．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，E为线段上一动点（不与点A、C重合）． (1)求抛物线的表达式； (2)当是以为底的等腰三角形时，求点E的坐标； (3)如图2，P为第三象限内抛物线上一动点，连接并延长垂直x轴于点D，过点E作的垂线，与y轴交于点G，设点P的横坐标为n，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）求出直线的解析式为，设，根据列方程求出t的值即可求E点坐标； （3）表示出，，得到，然后利用二次函数的性质求解． 【详解】（1）解：将，代入得，， 解得， ∴； （2）解：∵， 当时，， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设， ∵是以为底的等腰三角形， ∴，即， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵点P的横坐标为n，轴， ∴，， ∴，， ∴， ∵二次项系数为，， ∴当时，有最大值． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，且点的坐标是，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)点是直线下方对称轴左侧抛物线上一点，过点作轴交于点，当的长最大时求出最大值及点的坐标． (3)将抛物线向右平移个单位，向下平移个单位得到新抛物线，在新抛物线上有点，在原抛物线对称轴上有点，直接写出所有使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来． 【答案】(1) (2)最大值为， (3)，， 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式，设，则，求出的函数解析式，进而作答即可； （3）先求出平移后的函数解析式，再分情况根据中点坐标公式求解即可． 【详解】（1）解：将，代入抛物线解析式， 得，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：， ∴抛物线对称轴为直线， 设直线的解析式为， 将，代入得， ，解得， ∴直线的解析式为， 设，则，其中， ∴， ∵，即抛物线开口向下，对称轴为直线，， ∴当时，有最大值，此时，即； （3）解：将抛物线向右平移个单位，向下平移个单位得到新抛物线， 则新抛物线为， 设，，而、， ①若，是对角线，则的中点即为的中点， ∴，解得， 此时， ∴； ②若，是对角线，则的中点即为的中点， ∴，解得， 此时， ∴； ③若，是对角线，则的中点即为的中点， ∴，解得， 此时， ∴． 综上，点的坐标为，，． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 117 页 第 1 页 共 117 页 学科网（北京）股份有限公司 $