专题6.3 确定二次函数的表达式（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测） 2026-2027学年苏科版九年级数学下册

简一数理 初中专题讲义 专题6.3 确定二次函数的表达式 （新教材苏科版） 知识点一、二次函数三种表达式（核心） 1 知识点二、表达式选择方法（做题优先判断） 2 知识点三、常见隐含条件（易考） 2 知识点四、待定系数法四步骤 2 知识点五、易错点 3 【题型1 已知三点坐标，用一般式求解析式】 3 【题型2 已知顶点 + 一点，顶点式求解析式】 5 【题型3 已知抛物线与 x 轴两个交点 + 一点，交点式求解析式】 7 【题型4 已知对称轴 + 两点（隐含顶点横坐标）求解析式】 10 【题型5 顶点在坐标轴上（顶点式特例）求解析式】 14 【题型6 图像过原点（隐含c=0）综合求解析式】 16 【题型7 综合几何信息（与坐标轴交点、面积）求解析式】 18 【探究式学习】 23 【课后检测】 26 【复盘笔记】 54 知识点一、二次函数三种表达式（核心） 1. 一般式： · 适用条件：已知图像上任意3个点坐标 · 待定系数思路：把3组（x、y）代入，得到三元一次方程组，解a,b,c。 · 特点：求出c就是抛物线与y轴交点纵坐标(0,c)。 2. 顶点式： 顶点坐标(h,k) · 适用条件：已知顶点（最值）+ 另外一个点 · 待定系数思路：直接代入顶点(h,k)，再代入一个点求a。 特例：顶点在y轴上，h=0，式子简化为； 顶点在x轴上，k=0，式子简化为。 3. 交点式（两根式）： 是抛物线与x轴两个交点的横坐标： · 适用条件：已知抛物线与x轴两个交点 + 另外一个点 · 注意：只有抛物线和x轴有交点（）才能用； · 求出表达式后，题目若无要求，一般展开化为一般式。 知识点二、表达式选择方法（做题优先判断） 1. 给顶点/对称轴/最大最小值 → 顶点式 2. 给与x轴两个交点 → 交点式 3. 给普通三个点，无顶点，无x轴交点 → 一般式 知识点三、常见隐含条件（易考） 1. 顶点h就是对称轴：x=h 2. 若已知对称轴x=m，可看作顶点横坐标h=m，顶点式写 3. 抛物线过原点(0,0)，代入一般式直接得c=0，式子简化 4. 已知一点是最值点，即该点就是顶点 知识点四、待定系数法四步骤 ① 设：根据条件选合适形式设函数表达式 ② 代：把已知点坐标代入，列方程（组） ③ 解：解方程组，求待定系数 ④ 写：把系数代回，写出最终解析式（按需化成一般式） 知识点五、易错点 1. 牢记a≠0，忽略会不是二次函数 2. 顶点式符号：，顶点(h,k)，例如，h=-2，顶点(-2,3)，h带负号是高频错点 3. 交点式只在和x轴有交点才能用； 4. 求出解析式后，记得检验点是否满足式子。 【题型1 已知三点坐标，用一般式求解析式】 【例1】若抛物线经过，，三点，则抛物线对应的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线与x轴的交点坐标，设抛物线解析式为，问题随之得解． 【详解】解：∵抛物线经过，， ∴设解析式为， 将代入得：， 解得， ∴． 【变式1-1】二次函数的图象经过点和，则b，c的值分别是（   ） A．2，4 B．2， C．，4 D．， 【答案】D 【分析】将两个点的坐标代入二次函数解析式，得到关于和的方程组，解方程组即可． 【详解】解：∵ 图象经过点和， ∴ 代入解析式 得， ， 解得 ， 故选：D． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式． 【变式1-2】已知点，都在二次函数的图象上，则下列结论正确的是（     ） A．函数图象开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，的取值范围是 D．若，，是该二次函数图象上的三个点，则 【答案】D 【分析】先求出二次函数解析式为，再根据二次函数的解析式逐个判断即可． 【详解】解：将点，代入， 得， 解得， ∴二次函数解析式为， ∵， ∴函数图象开口向上，A错误； 对称轴为直线，B错误； 将解析式化为顶点式得，顶点坐标为， ∵， ∴当时，取最小值，当时，；当时，， ∴当时，的取值范围是，C错误； 点，，到对称轴的距离分别为，，， ∵函数图象开口向上，点到对称轴的距离越远，函数值越大， ∴，D正确． 【变式1-3】老师在画二次函数（为常数，的图象时列表如下： x ⋯ 0 1 y ⋯ 0 m 下列说法不正确的是（   ） A．图象的对称轴为直线 B． C．当时，随的增大而增大 D．图象开口向下 【答案】C 【分析】对于A，与的函数值相等即可得到对称轴；对于B，把代入求值即可；对于C，根据对称轴，结合二次函数的性质判断；对于D，利用待定系数法求出的值，然后判断即可． 【详解】与的函数值均为， 二次函数对称轴为，A正确； ∴与时，函数值相等，即， ，B正确； ∵当时，，当时，， 代入得， 解得， ∴，图象开口向下，故D正确； ∵开口向下且对称轴为， 当时，随的增大而减小，故C错误． 【题型2 已知顶点 + 一点，顶点式求解析式】 【例2】如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（   ） A．二次函数图象的对称轴是直线 B．二次函数图象与轴的另一个交点的横坐标是2 C．当时，随的增大而增大 D．二次函数图象与轴的交点的纵坐标是 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键． 利用二次函数的性质、对称性、增减性判断选项A、B、C，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出与y轴的交点坐标即可判定选项D． 【详解】解∶∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象的对称轴是直线，故选项A错误； ∵二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标是，对称轴是直线， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是，故选项B错误； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大，故选项C正确； 设二次函数解析式为， 把代入，得，解得：， ∴， 当时，， ∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D错误． 故选C． 【变式2-1】顶点坐标为，开口方向和大小与抛物线相同的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 抛物线开口方向和大小与相同， ∴ 二次项系数， ∵ 顶点坐标为， ∴ 抛物线解析式为． 【变式2-2】若二次函数的图象的顶点坐标为，且抛物线过，则二次函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的顶点坐标可设二次函数的解析式为，再将已知点的坐标代入求解即可； 【详解】解：设二次函数的解析式为， 将点代入得， 解得， 所以该二次函数的解析式为． 故选：A； 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 【变式2-3】若抛物线的顶点坐标是且经过点，则该抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设抛物线解析式为，将点代入，即可求解． 【详解】解：设抛物线解析式为，将点代入，得 解得： ∴解析式为， 故选：A． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 【题型3 已知抛物线与 x 轴两个交点 + 一点，交点式求解析式】 【例3】如图，已知抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，下列结论不正确的是（    ） A．抛物线的对称轴为直线 B．若，则 C．y的最大值为1 D．若轴交抛物线于点D，则 【答案】B 【分析】从图象得到、、 ，结合抛物线对称性求对称轴、利用待定系数法求表达式、根据抛物线图象和性质逐项判定即可． 【详解】解：A、根据抛物线与x轴交于点、，可得出对称轴，该选项不符合题意； B、根据抛物线的对称轴为，开口向下可知： 当时，随增大而增大；当时，随增大而减小， 所以当，无法判断与的大小，该选项符合题意； C、根据抛物线与x轴交于点、， 可设交点式，再根据抛物线与y轴交于点， 代值求解得， 即抛物线表达式为， 当时，的最大值为1，该选项不符合题意； D、若轴交抛物线于点D，则、关于对称轴对称，从而得到，则，该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，涉及到图象上点的对称性、待定系数法求表达式、二次函数增减性比较大小、二次函数最值等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解决问题的关键． 【变式3-1】二次函数的图象经过，，．则当时，y的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设交点式，然后求出表达式，再把代入求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象过，两点， ∴设其解析式为 将代入解析式，得， 解得 ∴ 当时，． 【变式3-2】已知抛物线经过点和，且与轴交于点，若，则这条抛物线的表达式为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的表达式，解一元一次方程，整式的混合运算，熟练掌握用待定系数法求二次函数的表达式是解题关键． 根据题意，设抛物线的表达式为，求得点坐标，将点坐标分别代入，求出的值，即可求解抛物线的表达式． 【详解】解：抛物线经过点和， 设抛物线的表达式为， 抛物线与轴交于点，且， 点坐标为或， 把代入，得：，解得：， 此时，抛物线的表达式为，即； 把代入，得：，解得：， 此时，抛物线的表达式为，即． 综上所述，抛物线的表达式为或． 故选：D． 【变式3-3】已知二次函数（）的图像过点、、． (1)试求该二次函数的解析式； (2)判断点是否在该二次函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2) 点不在该二次函数的图象上. 理由：将代入， 得， ， 点不在该二次函数的图象上． 【详解】（1） 解： ∵ 二次函数的图象过点、， ∴ 设该二次函数的解析式为， 将点代入解析式，得， 即， 解得， ∴ ； （2）略 【题型4 已知对称轴 + 两点（隐含顶点横坐标）求解析式】 【例4】已知二次函数的图象经过点，，且对称轴为直线，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对抽轴的定义得到，即可判断C，将，代入，求出，，，即可判断B，代入，可判断A，代入可判断D． 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，解题的关键是：求出二次函数的解析式． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即，故C错误， ∵时，， ∴， ∵时，， ∴， ∴， ∴，， ∴，故B正确， ∴，故A错误， 把，，，代入， 即，故D错误． 故选：B． 【变式4-1】若抛物线与 x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线， 已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的新抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的平移，由题意得出该定弦抛物线过点，，待定系数法求出二次函数解析式为，再根据二次函数的平移法则：左加右减，上加下减即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵某定弦抛物线的对称轴为直线， ∴该定弦抛物线过点，， ∴， 解得：， ∴该抛物线解析式为， ∴将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的新抛物线解析式为， 故选：B． 【变式4-2】如图，已知抛物线的对称轴为直线，顶点为，与轴交于，两点，与轴交于点． （1）抛物线的表达式为______； （2）若点是轴上的一个动点，当的值最小时，则______． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据轴对称求线段和的最值问题； （1）根据抛物线的对称轴为直线，与x轴交于，列出方程组，解方程即可求解； （2）作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点M，此时最小，即的值最小，令，则，进而得出直线的函数表达式为．令，即可求解． 【详解】（1）∵抛物线的对称轴为直线，与x轴交于， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为． 故答案为：． （2）如图，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点M，此时最小，即的值最小，令，则， ∴点C的坐标为， ∴点的坐标为，由抛物线可知，顶点D的坐标为． 设直线的函数表达式为，则， 解得， ∴直线的函数表达式为．令，则， 解得，即直线与x轴的交点M的坐标为，即． 故答案为：． 【变式4-3】抛物线经过点，且对称轴是直线，该抛物线的解析式是__________．该抛物线经过平移得到抛物线，请描述平移过程_________． 【答案】 将抛物线向左平移个单位长度、向下平移个单位长度即可得到抛物线 【分析】①根据抛物线对称轴是直线，得到，解得，再由抛物线经过点，得到，解得，从而得到该抛物线的解析式为；②将配方化为顶点式，对比平移后的抛物线可知，，从而根据函数图像平移法则：左加右减、上加下减得到平移过程：将抛物线向左平移个单位长度、向下平移个单位长度即可得到抛物线． 【详解】解：①抛物线对称轴是直线， ，解得， 抛物线经过点， ，解得， 该抛物线的解析式为， 故答案为：； ②将配方化为顶点式， 对比平移后的抛物线，可知，， 将抛物线向左平移个单位长度、向下平移个单位长度即可得到抛物线， 故答案为：将抛物线向左平移个单位长度、向下平移个单位长度即可得到抛物线． 【点睛】本题考查二次函数图像与性质，涉及待定系数法求二次函数解析式、二次函数图像的平移，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键． 【题型5 顶点在坐标轴上（顶点式特例）求解析式】 【例5】与抛物线的形状相同，开口方向相反，顶点坐标是的抛物线表达式是_______ ． 【答案】​ 【分析】由“形状相同”得二次项系数的绝对值相等，由“开口方向相反”得二次项系数互为相反数，从而确定二次项系数为，再由顶点坐标写出顶点式即可． 【详解】解：∵所求抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反， ∴所求抛物线的二次项系数为， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴所求抛物线的表达式为． 【变式5-1】如图，已知抛物线顶点在轴上，抛物线与直线相交于、两点．点在轴上，点的横坐标为，那么抛物线顶点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线的解析式求出点A和点B的坐标，再求出抛物线的解析式，即可求出顶点M的坐标． 【详解】解：∵点A在x轴上， 取y＝0，得：0＝x＋1， ∴x＝−1， ∴A（−1，0）， ∵点B的横坐标为2， 取x＝2，得y＝2＋1＝3， ∴B（2，3） 又∵抛物线的顶点在y轴上，设y＝ax2＋b， 代入A（−1，0），B（2，3）， 得， 解得， ∴y＝x2−1， ∴M（0，−1）， 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，关键是要会用待定系数法求出抛物线的解析式，然后根据解析式求出顶点． 【变式5-2】某抛物线顶点在x轴上，且和y轴正半轴有交点，那么这个抛物线的表达式可以是____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，抛物线顶点在x轴上，可设顶点式为，其中顶点为；与y轴正半轴有交点，即当时，，代入得，故且；选择简单值满足条件即可。 【详解】解：由题意，抛物线顶点在x轴上，设其表达式为，其中顶点坐标为；与y轴正半轴有交点，即当时，； 由可知，则，因此； 取，，得表达式， 验证：顶点在x轴上，当时，，符合条件． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式5-3】在平面直角坐标系中，已知某二次函数的图象关于y轴对称，其顶点在原点O，且过点，则该二次函数的表达式是________． 【答案】 【分析】根据题意可设该二次函数的解析式为，利用待定系数法即可求解． 【详解】解：设该二次函数的解析式为， 将带入得：， 解得：， 该二次函数的表达式为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质、待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【题型6 图像过原点（隐含c=0）综合求解析式】 【例6】如图，若抛物线经过原点，则抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】把代入可得，然后根据二次函数图像开方向向下确定a的值即可解答． 【详解】解：把代入得，， ∴， ∵抛物线开口向下， ∴抛物线的解析式为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数图像的性质等知识点，掌握二次函数图像的性质是解答本题的关键． 【变式6-1】抛物线的图象经过平移后的抛物线经过原点，且其对称轴为直线，那么平移后所得抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，由抛物线的图象经过平移后的抛物线经过原点，故设经过平移后的抛物线为，利用对称轴公式即可求得b的值，从而求解． 【详解】解：∵抛物线的图象经过平移后的抛物线经过原点， ∴设经过平移后的抛物线为， 其对称轴为直线， ， ， 平移后的抛物线为， 故选：C． 【变式6-2】已知二次函数的图像经过原点和点，且图像与x轴的另一个交点到原点的距离为4，那么该二次函数的表达式为_________． 【答案】或 【分析】根据该二次函数图像经过原点，可设二次函数解析式为，由该函数图像与轴另一交点到原点的距离为，可知该交点坐标有和两种情况，分别利用待定系数法求解析式即可． 【详解】解：∵该二次函数图像经过原点和点， ∴设二次函数解析式为，常数项， ∵图像与轴的另一个交点到原点的距离为， ∴该交点坐标为或， 分两种情况计算：①当交点坐标为时，将和代入解析式得： ，化简得：， 解得， ∴此时二次函数解析式为； ②当交点坐标为时，将和代入解析式得： ，化简得：， 解得， ∴此时二次函数解析式为． 综上所述，该二次函数的表达式为或． 【变式6-3】已知二次函数的图象经过原点，那么_____． 【答案】 【分析】将代入解析式求解． 【详解】解：将代入得， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系． 【题型7 综合几何信息（与坐标轴交点、面积）求解析式】 【例7】如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为(单位：)，与墙平行的一边长为(单位：)，面积为(单位：)． (1)直接写出与，与之间的函数解析式(不要求写的取值范围)； (2)矩形实验田的面积能达到吗？如果能，求的值；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)能达到，． 【分析】（）根据，求出与的函数解析式，根据矩形面积公式求出与的函数解析式； （）先求出的取值范围，再将代入函数中，求出的值即可判断求解； 本题考查了二次函数的应用，根据题意正确求出二次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：能达到． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 当时，， 即 ， 解得（不合，舍去），（符合题意）， ∴当时，矩形实验田的面积能达到． 【变式7-1】如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长．设长为，矩形的面积为． (1)写出y与x的函数关系式； (2)当长为多少米时，所围成的花圃面积最大？最大值是多少？ (3)当花圃的面积为时，长为多少米？ 【答案】(1)； (2)当长为时，花圃面积最大，最大面积为； (3)当花圃的面积为时，长为6米或12米． 【分析】（1）设长为，则，根据矩形的面积公式即可求出y与x的函数关系式； （2）将（1）所得函数关系式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得到答案； （3）令，求出的值，再进行判断即可得到答案． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， 设长为，则，， 矩形面积， y与x的函数关系式为； （2）解：由题意得：， ， y有最大值，即当时，y的最大值为162， 当时，，，符合题意， 当长为时，花圃面积最大，最大面积为； （3）解：令，则， 解得，， ①当时，即，，符合题意， 当长为时，面积为． ②当时，即，，符合题意， 当长为时，面积为， 综上可知，当花圃的面积为时，长为6米或12米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 【变式7-2】如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A（﹣3，0），D（1，0）两点，其中顶点为B． （1）求该抛物线的解析式； （2）若该抛物线与y轴的交点为C，求△ABC的面积． 【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）3 【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式； （2）根据抛物线解析式求得点B、C的坐标，过点B作BE⊥x轴于点E，交直线AC于F，由直线AC的解析式和一次函数图象上点的坐标特征求得点F的坐标，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A（﹣3，0），D（1，0）两点， ∴， 解得：． 故该抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）由抛物线解析式y＝﹣x2﹣2x+3，可得B（﹣1，4），C（0，3）． 如图，过点B作BE⊥x轴于点E，交直线AC于F，则点F的横坐标是﹣1． ∵直线AC经过点A（﹣3，0），C（0，3）， ∴直线AC的解析式是y＝x+3． 把x＝﹣1代入y＝x+3，得y＝2． 则F（﹣1，2）． ∴BF＝2． ∵AO＝3 ∴S△ABC＝S△ABF +S△BCF =BF•（AE+OE）＝BF•AO＝＝3． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和求坐标系中三角形的面积问题，难度不大，属于基础题型，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是关键． 【变式7-3】如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，． (1)求抛物线的解析式． (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，P的坐标为 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，二次函数与面积： （1）将B，C两点坐标代入函数解析式，求出b，c的值即可； （2）过点P作轴于点E，设，且点P在第二象限，根据可得二次函数关系式，再利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：将，代入得， ， 解得：， ． （2）解：，令，则， 解得，， ， ， ， ， 过点P作轴于点E，如图， 设，且点P在第二象限， ， ， 有最大值， 当时，S有最大值，此时点P的坐标为． 【探究式学习】 1．课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究． 【经典回顾】二次函数求最值的方法． （1）老师给出，求二次函数的最小值． ①请你写出对应的函数解析式； ②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值； 【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表： a … 0 2 4 … x … * 0 … y的最小值 … * … 注：*为②的计算结果． 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了a值后，我只要取，就能求出y的最小值．” 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．” （2）请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理？ （3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由． 【答案】（1）①；②当时，有最小值为；（2）甲的说法合理； （3）正确； ∵， ∴当时，有最小值为， 即： ∴当时，有最大值，为． 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键： （1）①把代入解析式，写出函数解析式即可；②将一般式转化为顶点式，进行求解即可； （2）将一般式转化为顶点式，根据二次函数的性质进行解释即可； （3）将一般式转化为顶点式，表示出的最大值，再利用二次函数求最值即可． 【详解】解：（1）①把代入，得： ②∵， ∴当时，有最小值为； （2）∵， ∵抛物线的开口向上， ∴当时，有最小值； ∴甲的说法合理； （3）略 2．探究题 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过、、三点，其顶点为D，连接，点P是线段上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接． (1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标； (2)如果P点的坐标为，的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值； 【答案】(1)，抛物线顶点坐标D为 (2)，最大值为 【分析】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，二次函数的图象和性质，二次函数最值等知识点，熟悉相关性质并能灵活应用是解题的关键． （1）由抛物线经过、、三点，则代入求得，，，进而得解析式与顶点； （2）由在上，则可求解析式表示点，由，可得，利用一元二次方程的性质可得的最值． 【详解】（1）解：抛物线经过、、三点， ， 解得， 解析式为 ， 抛物线顶点坐标为． （2）解：，， 设为解析式为， 有， 解得， 解析式：， 在上， ， ， 即： 当时，取最大值． 【课后检测】 1．若点 在抛物线 上，则 a 的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】把代入中，计算即可． 【详解】解：把 代入，得，解得． 2．抛物线经过点和原点，该抛物线的对称轴是（     ） A．轴 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵抛物线经过和两点， ∴把代入解析式得，把代入解析式得， 将代入上式，得， ∴对称轴为直线． 3．若抛物线的顶点坐标为，形状与抛物线相同，但方向相反，则该抛物线对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】抛物线形状由二次项系数的绝对值决定，开口方向由其符号决定，已知顶点坐标，选用顶点式求解． 【详解】解：∵抛物线与形状相同，方向相反， ∴二次项系数为3, ∵抛物线顶点坐标为， ∴该抛物线的函数表达式为． 4．已知抛物线顶点坐标为，且与的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线开口和形状确定二次项系数，再将顶点坐标代入顶点式，即可得出解析式． 【详解】解：设抛物线为， 抛物线与的开口方向、形状大小完全相同， ， 将代入可得． 5．已知二次函数（，为常数，且）中的与的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … 3 4 3 0 … 以下结论：①对称轴为直线  ②函数最小值为4  ③时，  ④的解集是；正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图像与性质、解不等式，利用给定点求出二次函数解析式，再逐一判断各结论． 【详解】解：由表，取点得，取点和， 得： 解得： ． ①对称轴，正确； ②，则函数有最大值，错误； ③时，，正确； ④不等式，解得，正确； ∴正确结论有个． 故选：C． 6．如图，点、在抛物线上，且轴，直线与轴交于，在平行四边形中，点、坐标分别为，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行四边形性质求得长，结合抛物线对称性确定点坐标，代入解析式求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线，轴， ∴点，关于直线对称， ∴点的横坐标为， ∵直线与轴交于， ∴点的纵坐标为， 将点代入得，，解得． 7．如图，已知抛物线经过点，，与轴交于点，为上的一个动点，有以下结论： ①抛物线的对称轴为直线； ②函数的最大值为； ③； ④的最小值为． 正确的结论为（     ） A．①②④ B．②③ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【分析】①由抛物线经过点，，可得对称轴；②用待定系数法求出抛物线的函数关系式，再求其最大值即可；③求出，和，由勾股逆定理即可得到是直角；④当时，取最小值，根据等面积法求得即可． 【详解】解：∵抛物线经过点，， ∴抛物线对称轴为直线，故①正确； 设抛物线关系式为：， ∵抛物线与轴交于点， ∴， ∴， ∴抛物线关系式为：， ∵， ∴抛物线开口向下，当时，有最大值，故②错误． ∵，，， ∴，，， ∵， ∴是直角三角形，且，故③正确； 当时，取最小值， 此时根据三角形的面积可得， ∴， 解得：， ∴的最小值为，故④正确； 故正确的有：①③④． 8．在空气，水分，温度，养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（     ） A．当时，随的增大而减小 B．当时， C．当时，有最大值 D．当时， 【答案】C 【分析】利用抛物线上纵坐标相同的两个点找对称轴，对称轴处就是二次函数的最大值点，再逐一判断每个选项的因果描述是否符合图像． 【详解】 A：是二次函数部分，图像先升后降，随的增大先增大后减小，A错误； B：，时回到，不是，B错误； C：由图可知，、，对称轴时，有最大值，C正确； D：在一次函数段和二次函数段都存在，所以结果必有两个，D错误． 9．如图，抛物线经过边长为2的菱形的三个顶点O、A、C，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作轴于点，利用菱形的性质及直角三角形的性质即可求出点及点的坐标，再将点及点的坐标代入抛物线解析式即可求解． 【详解】解：作轴于点， 四边形为边长是2的菱形， ， 点A的坐标为， ， ， ， ， 又点在第二象限， 点C的坐标为， 把与代入，得， 解得， 的值为． 10．已知抛物线经过点和点，则当随的增大而减小时，的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将两点坐标代入抛物线解析式求出与的值，再结合抛物线的开口方向和对称轴确定随增大而减小的的取值范围． 【详解】解：将点和代入， 得，解得， ∴抛物线解析式为， ∵，抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小． 11．已知是的二次函数，下表中列出了部分与的对应值： 0 1 0 1 则该二次函数有最_________值（填“小”或“大”）． 【答案】 大 【分析】设二次函数一般式，将表格中三组的值代入，求出，根据小于 0，判断抛物线开口向下，函数有最大值． 【详解】解：设二次函数解析式为 把 ，， 代入解析式： 将 代入另外两个方程： 由 ，得 ， 把 代入 ， ． 把 代入 ， ． ∴ 二次函数解析式为 ∵ ． ∴ 抛物线开口向下，该二次函数有最大值． 12．有一条抛物线的形状与抛物线相同且当时，有最小值，则该抛物线的解析式为__________． 【答案】 【分析】由抛物线形状相同确定二次项系数的绝对值，结合函数存在最小值确定二次项系数的符号，再根据取最值的位置和最值大小确定顶点坐标，代入顶点式求解解析式． 【详解】解：∵ 抛物线的形状与相同， ∴ 所求抛物线的二次项系数绝对值为， ∵ 当时，有最小值， ∴ 所求抛物线开口向上，二次项系数，且顶点坐标为． 设所求抛物线的顶点式为， 将，，代入，得， 展开整理可得一般形式为． 13．已知二次函数（a、b均为常数，且）的顶点坐标为，当时，该二次函数的最大、最小值分别为m、n，则的值为___________. 【答案】0 【分析】已知二次函数的常数项与顶点坐标，通过待定系数法求出函数解析式，结合抛物线开口方向、对称轴与给定x的取值范围的位置关系，确定给定x的取值范围内的最大值m和最小值n，进而计算的值． 【详解】解：∵二次函数（为常数，）的顶点坐标为 ∴列方程组． 解得． ∴二次函数的解析式为． ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， 则在范围内，自变量的值到对称轴的距离越远，对应的函数值越小． ∵，， ∴当时，函数取得最小值． 代入计算得． ∵开口向下的抛物线顶点为最高点，且顶点横坐标在范围内， ∴当时，函数取得最大值． ∴． 14．若抛物线的形状和抛物线相同，它的顶点坐标是，则抛物线的表达式是_____． 【答案】 或 【分析】抛物线形状相同意味着二次项系数的绝对值相等，结合已知顶点坐标，代入顶点式即可求出参数，得到抛物线表达式． 【详解】解：∵ 抛物线的形状和抛物线相同， ∴ ，即或， ∵ 抛物线的顶点坐标为， ∴ ，， 解得，， 将、、代入原式，可得抛物线表达式为或． 15．已知抛物线经过三点，则该抛物线的表达式为_______． 【答案】 【分析】设抛物线一般式，将三点坐标代入，得到三元一次方程组，解方程组求出，，的值，从而得到抛物线表达式． 【详解】解：设抛物线表达式为， ∵抛物线经过三点， ∴， 解得， ∴该抛物线的表达式为． 16．已知二次函数的图象经过点，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求出点关于对称轴的对称点的坐标． 【答案】(1)； (2)． 【分析】将已知两点坐标代入二次函数解析式，解二元一次方程组求得系数，； 先求出二次函数的对称轴，再利用轴对称的性质计算对称点坐标． 【详解】（1）解：将，代入，得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：由得， ∴ ∴对称轴为直线， ∵点是点关于对称轴的对称点， ∴点的纵坐标为， 设点的横坐标为，则， 解得， ∴点的坐标为． 17．已知二次函数过点 (1)直接写出的值； (2)在坐标系中画出该二次函数的图象； (3)当时，结合图象直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据点即可求解； （）把函数解析式转化为顶点式，得出顶点坐标，再根据列表、描点、连线的步骤作图即可； （）根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，即抛物线与轴的交点坐标为， ∴； （2）解：由（）得：， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 列表如下： 画图略； （3）解：由函数图象可知：当时，的取值范围为． 18．已知抛物线（为常数）经过点，对称轴为直线 (1)求b、c的值； (2)过点且与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段的中点，求a的值； (3)若点为抛物线上一点，记，求N的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题意得出方程组解出即可； （2）当时，，求出，再列方程解出即可； （3）由题意得出，再整体代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：； （2）解：由（1）知，抛物线， ∴当时，， 解得：， ∵点B为线段的中点， ∴， ∴， 解得：； （3）解：∵点为抛物线上一点， ∴， ∴， ∴ ． 19．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线下方抛物线上的一动点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标； (3)是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标是或或 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （１）由直线求出B，C坐标，再运用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）首先过点E作y轴的平行线交直线于点G，交x轴于点F，然后设点E的坐标是，则点G的坐标是，求出的值是多少；最后根据三角形的面积的求法，求出，进而判断出当面积最大时，点E的坐标； （3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形．然后分三种情况讨论，根据平行四边形的特征，求出使得以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形的点P的坐标是多少即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与y轴交于点B， ∴点B，C的坐标分别为，． 把点，代入抛物线， 得：， 解之，得 ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，过点E作轴，交直线于点G，交x轴于点F， 设点E的坐标为，则点的坐标为， ∴． ∴． ∴当时，的面积就最大． 此时点E的坐标为． （3）解：存在．由抛物线 ∴对称轴是直线． ∵Q是抛物线对称轴上的动点， ∴点Q的横坐标为1． ①当为边时，点B到点C的水平距离是4， ∴点Q到点P的水平距离也是4． ∴点P的横坐标是5或， ∴点P的坐标为或； ②当为对角线时，点到点C的水平距离是3， ∴点B到点P的水平距离也是3， ∴点P的坐标为． 综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是或或． 20．如图，抛物线的图象与轴交于，两点，且点的坐标是，与轴交于点，且点的坐标是． (1)求抛物线的解析式； (2)与抛物线的对称轴交于点，点在抛物线上，且坐标为，求面积的最大值； (3)在（2）的条件下，点是的中点，直接写出的值． 【答案】(1) (2)最大值为 (3) 【分析】本题考查了二次函数综合应用，面积问题，线段长度问题； （1）把点，点．代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）作轴交于点，得出直线的解析式为：，进而得出，，点，表示出，进而根据三角形的面积公式，列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解； （3）先求得，进而根据中点坐标公式得出，然后勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：把点，点．代入 得，， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）如图所示，作轴交于点， 设直线的解析式为：，代入，． ∴ 解得： ∴直线的解析式为：， ∵ 对称轴为直线， 当时， ∴， ∵在抛物线上， ∴，点 ∴ ∴ ∴时，的面积最大，最大值为； （3）由（2）可得，则 ∴ ∵是的中点，． ∴，即 ∵ ∴． 21．已知，如图，抛物线与x轴交点坐标为，．    (1)直接写出抛物线的解析式_______； (2)如图2，在抛物线的对称轴上求作一点M，使的周长最小，并求出点M的坐标； (3)如图3，点E是第二象限内抛物线上一点，连接，求的面积最大时点E的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)点M坐标为； (3)点E的坐标为． 【分析】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数与一次函数的解析式，轴对称的最短路径问题及二次函数的性质的运用． （1）利用待定系数法即可求解； （2）连接，交于点M，此时周长最小，先求出抛物线的对称轴和直线解析式，再令，据此即可求解； （3）过点E作轴交直线于点F，设点E的坐标为，则点F的坐标为，根据，得到关于的二次函数，再根据二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交点坐标为，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：连接，交于点M，此时周长最小，    ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，，则， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， 当时，， 所以点M坐标为； （3）解：过点E作轴交直线于点F，    设点E的坐标为，则点F的坐标为， 则， ∴ ，∵，开口向下， ∴当时，的面积取得最大值． 此时点E的坐标为． 22．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OC＝3． （1）求抛物线的解析式． （2）点D（2，2）是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=-x2+x+3；（2）P坐标为（，）． 【分析】（1）由OA与OC的长确定出A与C的坐标，代入抛物线解析式求出b与c的值，即可确定出解析式； （2）连接AD，与抛物线对称轴于点P，P为所求的点，设直线AD解析式为y=mx+n，把A与D坐标代入求出m与n的值，确定出直线AD解析式，求出抛物线对称轴确定出P横坐标，将P横坐标代入求出y的值，即可确定出P坐标． 【详解】解：（1）∵OA=2，OC=3， ∴A（-2，0），C（0，3）， 代入抛物线解析式得： ， 解得：b=，c=3， 则抛物线解析式为y=-x2+x+3； （2）连接AD，交对称轴于点P，则P为所求的点， 设直线AD解析式为y=mx+n（m≠0）， 把A（-2，0），D（2，2）代入得： ， 解得：m=，n=1， ∴直线AD解析式为y=x+1， 对称轴为直线x=， 当x=时，y=， 则P坐标为（，）． 【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数，一次函数解析式，以及对称轴-最短线路问题，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，连接，． (1)求抛物线的解析式． (2)点为抛物线的对称轴上一动点，当周长最小时，求点的坐标及周长的最小值． 【答案】(1) (2)，周长的最小值为 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求二次函数解析式，线段周长问题； （1）待定系数法求解析式即可求解； （2）点关于对称轴的对称点为点，连接交对称轴于点，连接，此时最小，得出直线的解析式为，当时，，得出，进而根据勾股定理求得的长，即可求得周长． 【详解】（1）解：把点，点，代入 解得： ∴抛物线解析式为 （2）解：∵点，点， ∴对称轴为直线 点关于对称轴的对称点为点，连接交对称轴于点，连接，此时最小， 当时，， ∴点． 设直线的解析式为，代入得 ∴ ∴直线的解析式为 当时，， ∴点． ∵点，点，点． ∴ ∴周长最小值为 24．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段绕点D按顺时针方向旋转，点C落在抛物线上的点P处． (1)求抛物线的解析式； (2)将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）采取待定系数法，将点和代入求解即可； （2）根据解析式求得对称轴直线，顶点，设点的坐标为，则，由旋转的性质得：，则，即，代入求得点P，同时可求得顶点P平移后的坐标，作点关于轴的对称点，连接，有，求得与轴的交点即为所求的点，解得直线的解析式为，即可求得点． 【详解】（1）解：将点和代入得：， 解得， 则抛物线的解析式为． （2）抛物线的对称轴为直线，其顶点的坐标为， 设点的坐标为，则， 由旋转的性质得：， ，即， 将点代入得：， 解得或（舍去）， 当时，， 所以点的坐标为． 抛物线的顶点的坐标为， 则将其先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度恰好落在原点， 这时点落在点的位置，且， ，即，恰好在对称轴直线上， 如图，作点关于轴的对称点，连接， 则， 由两点之间线段最短可知，与轴的交点即为所求的点，此时的值最小，即的值最小， 由轴对称的性质得：， 设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得， 则直线的解析式为， 当时，， 故在轴上存在点，使得的值最小，此时点的坐标为． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质、求二次函数解析式、函数平移、求解一次函数解析式和旋转的性质，解题的关键是熟悉二次函数性质和平移的关系． 25．如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线经过点、，与y轴交于点C.顶点为点D.在线段下方的抛物线上有一动点P. (1)求抛物线和直线的函数表达式； (2)若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以A、C、M、G为顶点的四边形为平行四边形?若存在，请求出所有点G的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)抛物线解析式：，直线的解析式：； (2)点G的坐标为：或或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类求解是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）当为对角线时，由中点坐标公式列出等式即可求解；当或是对角线时，同理可解． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为：， ∵当时，， ∴ 设直线的表达式为：， 将点A的坐标代入上式得：， 解得：， 故直线的表达式为：； （2）存在，理由： 设点G的坐标为：，点， 当为对角线时，由中点坐标公式得：， 解得：， 则点G的坐标为：； 当或是对角线时，同理可得： 或， 解得：或， 故点G的坐标为：或； 综上，点G的坐标为：或或． 26．如图，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线经过A、C两点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点P是第二象限抛物线上的一个动点，过点P作交直线于点Q，设点P的横坐标为t，线段的长度为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)在（2）的条件下，当点P关于直线的对称点K落在直线上时，求线段的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）过点P作于点F，交于点E，过点Q作于点D，由等腰三角形的性质可得，用m、t表示、，可得m、t的关系，则可得d、t的关系式； （3）由点P，点K关于直线对称，可证，从而可得，即可求得t的值，从而求得的长度． 【详解】（1）解：∵直线经过A、C两点， ∴当，；当时，， ∴，， ∵抛物线经过点A、C， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为：； （2）解：如图1，过点P作于点F，交于点E，过点Q作于点D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线经过点， ∴，即， ∴直线的解析式为：， ∵点P的横坐标为t，点Q的横坐标为m， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；    （3）解；如图2，∵点P，点K关于直线对称， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴．      【点睛】本题考查二次函数的综合题，其中涉及到用待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形、轴对称的性质，运用数形结合和方程的思想是解题的关键． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 55 页 第 1 页 共 55 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题6.3 确定二次函数的表达式 （新教材苏科版） 知识点一、二次函数三种表达式（核心） 2 知识点二、表达式选择方法（做题优先判断） 2 知识点三、常见隐含条件（易考） 2 知识点四、待定系数法四步骤 3 知识点五、易错点 3 【题型1 已知三点坐标，用一般式求解析式】 3 【题型2 已知顶点 + 一点，顶点式求解析式】 4 【题型3 已知抛物线与 x 轴两个交点 + 一点，交点式求解析式】 4 【题型4 已知对称轴 + 两点（隐含顶点横坐标）求解析式】 5 【题型5 顶点在坐标轴上（顶点式特例）求解析式】 6 【题型6 图像过原点（隐含c=0）综合求解析式】 7 【题型7 综合几何信息（与坐标轴交点、面积）求解析式】 7 【探究式学习】 9 【课后检测】 12 【复盘笔记】 20 知识点一、二次函数三种表达式（核心） 1. 一般式： · 适用条件：已知图像上任意3个点坐标 · 待定系数思路：把3组（x、y）代入，得到三元一次方程组，解a,b,c。 · 特点：求出c就是抛物线与y轴交点纵坐标(0,c)。 2. 顶点式： 顶点坐标(h,k) · 适用条件：已知顶点（最值）+ 另外一个点 · 待定系数思路：直接代入顶点(h,k)，再代入一个点求a。 特例：顶点在y轴上，h=0，式子简化为； 顶点在x轴上，k=0，式子简化为。 3. 交点式（两根式）： 是抛物线与x轴两个交点的横坐标： · 适用条件：已知抛物线与x轴两个交点 + 另外一个点 · 注意：只有抛物线和x轴有交点（）才能用； · 求出表达式后，题目若无要求，一般展开化为一般式。 知识点二、表达式选择方法（做题优先判断） 1. 给顶点/对称轴/最大最小值 → 顶点式 2. 给与x轴两个交点 → 交点式 3. 给普通三个点，无顶点，无x轴交点 → 一般式 知识点三、常见隐含条件（易考） 1. 顶点h就是对称轴：x=h 2. 若已知对称轴x=m，可看作顶点横坐标h=m，顶点式写 3. 抛物线过原点(0,0)，代入一般式直接得c=0，式子简化 4. 已知一点是最值点，即该点就是顶点 知识点四、待定系数法四步骤 ① 设：根据条件选合适形式设函数表达式 ② 代：把已知点坐标代入，列方程（组） ③ 解：解方程组，求待定系数 ④ 写：把系数代回，写出最终解析式（按需化成一般式） 知识点五、易错点 1. 牢记a≠0，忽略会不是二次函数 2. 顶点式符号：，顶点(h,k)，例如，h=-2，顶点(-2,3)，h带负号是高频错点 3. 交点式只在和x轴有交点才能用； 4. 求出解析式后，记得检验点是否满足式子。 【题型1 已知三点坐标，用一般式求解析式】 【例1】若抛物线经过，，三点，则抛物线对应的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】二次函数的图象经过点和，则b，c的值分别是（   ） A．2，4 B．2， C．，4 D．， 【变式1-2】已知点，都在二次函数的图象上，则下列结论正确的是（     ） A．函数图象开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，的取值范围是 D．若，，是该二次函数图象上的三个点，则 【变式1-3】老师在画二次函数（为常数，的图象时列表如下： x ⋯ 0 1 y ⋯ 0 m 下列说法不正确的是（   ） A．图象的对称轴为直线 B． C．当时，随的增大而增大 D．图象开口向下 【题型2 已知顶点 + 一点，顶点式求解析式】 【例2】如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（   ） A．二次函数图象的对称轴是直线 B．二次函数图象与轴的另一个交点的横坐标是2 C．当时，随的增大而增大 D．二次函数图象与轴的交点的纵坐标是 【变式2-1】顶点坐标为，开口方向和大小与抛物线相同的解析式为（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】若二次函数的图象的顶点坐标为，且抛物线过，则二次函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】若抛物线的顶点坐标是且经过点，则该抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【题型3 已知抛物线与 x 轴两个交点 + 一点，交点式求解析式】 【例3】如图，已知抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，下列结论不正确的是（    ） A．抛物线的对称轴为直线 B．若，则 C．y的最大值为1 D．若轴交抛物线于点D，则 【变式3-1】二次函数的图象经过，，．则当时，y的值为（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知抛物线经过点和，且与轴交于点，若，则这条抛物线的表达式为（   ） A． B．或 C． D．或 【变式3-3】已知二次函数（）的图像过点、、． (1)试求该二次函数的解析式； (2)判断点是否在该二次函数的图象上，并说明理由． 【题型4 已知对称轴 + 两点（隐含顶点横坐标）求解析式】 【例4】已知二次函数的图象经过点，，且对称轴为直线，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】若抛物线与 x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线， 已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的新抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，已知抛物线的对称轴为直线，顶点为，与轴交于，两点，与轴交于点． （1）抛物线的表达式为______； （2）若点是轴上的一个动点，当的值最小时，则______． 【变式4-3】抛物线经过点，且对称轴是直线，该抛物线的解析式是__________．该抛物线经过平移得到抛物线，请描述平移过程_________． 【题型5 顶点在坐标轴上（顶点式特例）求解析式】 【例5】与抛物线的形状相同，开口方向相反，顶点坐标是的抛物线表达式是_______ ． 【变式5-1】如图，已知抛物线顶点在轴上，抛物线与直线相交于、两点．点在轴上，点的横坐标为，那么抛物线顶点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】某抛物线顶点在x轴上，且和y轴正半轴有交点，那么这个抛物线的表达式可以是____． 【变式5-3】在平面直角坐标系中，已知某二次函数的图象关于y轴对称，其顶点在原点O，且过点，则该二次函数的表达式是________． 【题型6 图像过原点（隐含c=0）综合求解析式】 【例6】如图，若抛物线经过原点，则抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D．或 【变式6-1】抛物线的图象经过平移后的抛物线经过原点，且其对称轴为直线，那么平移后所得抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知二次函数的图像经过原点和点，且图像与x轴的另一个交点到原点的距离为4，那么该二次函数的表达式为_________． 【变式6-3】已知二次函数的图象经过原点，那么_____． 【题型7 综合几何信息（与坐标轴交点、面积）求解析式】 【例7】如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为(单位：)，与墙平行的一边长为(单位：)，面积为(单位：)． (1)直接写出与，与之间的函数解析式(不要求写的取值范围)； (2)矩形实验田的面积能达到吗？如果能，求的值；如果不能，请说明理由． 【变式7-1】如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长．设长为，矩形的面积为． (1)写出y与x的函数关系式； (2)当长为多少米时，所围成的花圃面积最大？最大值是多少？ (3)当花圃的面积为时，长为多少米？ 【变式7-2】如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A（﹣3，0），D（1，0）两点，其中顶点为B． （1）求该抛物线的解析式； （2）若该抛物线与y轴的交点为C，求△ABC的面积． 【变式7-3】如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，． (1)求抛物线的解析式． (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 【探究式学习】 1．课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究． 【经典回顾】二次函数求最值的方法． （1）老师给出，求二次函数的最小值． ①请你写出对应的函数解析式； ②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值； 【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表： a … 0 2 4 … x … * 0 … y的最小值 … * … 注：*为②的计算结果． 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了a值后，我只要取，就能求出y的最小值．” 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．” （2）请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理？ （3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由． 2．探究题 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过、、三点，其顶点为D，连接，点P是线段上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接． (1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标； (2)如果P点的坐标为，的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值； 【课后检测】 1．若点 在抛物线 上，则 a 的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．抛物线经过点和原点，该抛物线的对称轴是（     ） A．轴 B． C． D． 3．若抛物线的顶点坐标为，形状与抛物线相同，但方向相反，则该抛物线对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 4．已知抛物线顶点坐标为，且与的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 5．已知二次函数（，为常数，且）中的与的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … 3 4 3 0 … 以下结论：①对称轴为直线  ②函数最小值为4  ③时，  ④的解集是；正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，点、在抛物线上，且轴，直线与轴交于，在平行四边形中，点、坐标分别为，，则的值为（     ） A． B． C． D． 7．如图，已知抛物线经过点，，与轴交于点，为上的一个动点，有以下结论： ①抛物线的对称轴为直线； ②函数的最大值为； ③； ④的最小值为． 正确的结论为（     ） A．①②④ B．②③ C．①②③ D．①③④ 8．在空气，水分，温度，养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（     ） A．当时，随的增大而减小 B．当时， C．当时，有最大值 D．当时， 9．如图，抛物线经过边长为2的菱形的三个顶点O、A、C，，则的值为（     ） A． B． C． D． 10．已知抛物线经过点和点，则当随的增大而减小时，的取值范围为（     ） A． B． C． D． 11．已知是的二次函数，下表中列出了部分与的对应值： 0 1 0 1 则该二次函数有最_________值（填“小”或“大”）． 12．有一条抛物线的形状与抛物线相同且当时，有最小值，则该抛物线的解析式为__________． 13．已知二次函数（a、b均为常数，且）的顶点坐标为，当时，该二次函数的最大、最小值分别为m、n，则的值为___________. 14．若抛物线的形状和抛物线相同，它的顶点坐标是，则抛物线的表达式是_____． 15．已知抛物线经过三点，则该抛物线的表达式为_______． 16．已知二次函数的图象经过点，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求出点关于对称轴的对称点的坐标． 17．已知二次函数过点 (1)直接写出的值； (2)在坐标系中画出该二次函数的图象； (3)当时，结合图象直接写出的取值范围． 18．已知抛物线（为常数）经过点，对称轴为直线 (1)求b、c的值； (2)过点且与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段的中点，求a的值； (3)若点为抛物线上一点，记，求N的值． 19．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线下方抛物线上的一动点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标； (3)是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 20．如图，抛物线的图象与轴交于，两点，且点的坐标是，与轴交于点，且点的坐标是． (1)求抛物线的解析式； (2)与抛物线的对称轴交于点，点在抛物线上，且坐标为，求面积的最大值； (3)在（2）的条件下，点是的中点，直接写出的值． 21．已知，如图，抛物线与x轴交点坐标为，．    (1)直接写出抛物线的解析式_______； (2)如图2，在抛物线的对称轴上求作一点M，使的周长最小，并求出点M的坐标； (3)如图3，点E是第二象限内抛物线上一点，连接，求的面积最大时点E的坐标． 22．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OC＝3． （1）求抛物线的解析式． （2）点D（2，2）是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，连接，． (1)求抛物线的解析式． (2)点为抛物线的对称轴上一动点，当周长最小时，求点的坐标及周长的最小值． 24．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段绕点D按顺时针方向旋转，点C落在抛物线上的点P处． (1)求抛物线的解析式； (2)将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 25．如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线经过点、，与y轴交于点C.顶点为点D.在线段下方的抛物线上有一动点P. (1)求抛物线和直线的函数表达式； (2)若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以A、C、M、G为顶点的四边形为平行四边形?若存在，请求出所有点G的坐标；若不存在，请说明理由. 26．如图，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线经过A、C两点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点P是第二象限抛物线上的一个动点，过点P作交直线于点Q，设点P的横坐标为t，线段的长度为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)在（2）的条件下，当点P关于直线的对称点K落在直线上时，求线段的长． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 55 页 第 1 页 共 55 页 学科网（北京）股份有限公司 $