专题03 二次函数与代数综合压轴问题（解答类）（重难点讲义）数学新教材苏科版九年级下册

专题03 二次函数与代数综合压轴问题（解答类） 1）会处理含参二次函数定点、定值问题； 2）掌握函数交点个数、区间根、恒成立、存在性不等式问题的转化方法； 3）能利用韦达定理整体代换，不解方程求代数式的值或范围； 4）掌握函数图像平移、对称后参数变化，结合自变量范围分析函数值变化； 5）含参二次函数：求解析式、定点定值证明、韦达定理（根与系数关系）整体代换； 6）素养目标：强化函数与方程思想、转化思想、分类讨论、整体思想；区分“恒成立”“存在性”“对任意”“至少有一个”的逻辑差异；规范代数说理步骤。 二次函数与代数方面的结合（如与根与系数的关系），主要题型方面出现直线（曲线）过定点问题、动点过定直线问题、与根与系数相关的新定义和定值问题等。 1）直线（曲线）过定点问题：这类题的关键是‌无论参数如何变化，直线或曲线始终经过某个固定点‌。 ‌‌参数法（通法）：将曲线方程用参数表示，整理成关于参数的方程。若方程对所有参数值成立，则参数的系数必须为零，由此解出定点坐标。 2）动点过定直线问题：是“过定点”的逆向思维，‌无论动点如何运动，其轨迹始终在某条固定直线上‌。 解法思路‌：通常通过几何性质（如对称、相似）或代数方法（消参）证明动点的横坐标或纵坐标恒为定值，或横坐标与纵坐标存在某种关联。 3）‌韦达定理相关的定值或新定义问题：这类题将‌韦达定理与二次函数结合，考查新定义或定值证明。 韦达定理是桥梁‌：直线与二次曲线联立后，利用韦达定理表示根的和与积，简化计算。 题型01：二次函数中的直线过定点问题 【典例】（2026成都校考一模）已知抛物线与轴交于A，两点，与轴交于点，．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，已知点为第一象限内抛物线上的一点，点的坐标为，；求点的坐标；(3)如图2，将抛物线平移到以坐标原点为顶点，记为，点在抛物线上，过点作分别交抛物线于，两点，求直线过定点的坐标． 【答案】(1)(2)(3)恒过定点 【详解】（1）解：令，得，，， ，，，，， 将，代入，得：，解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：设，如图，连接,过点作轴于点，过点作于点． 则，，， ，，，， ，，， ，，， 点的坐标为，，，， ，，解得：或， 点在第一象限，，，，，； （3）证明：将抛物线平移到以坐标原点为顶点的抛物线，抛物线的解析式为， 设直线的解析式为，且，、，， 点在抛物线上，，，， ，整理得：， 联立，得，，， ， ， ，即，或， 当时，直线的解析式为， 即直线过定点，与重合，不符合题意； 当时，直线的解析式为，直线恒过定点． 【变式1】（2026·福建福州·模拟预测）已知抛物线 与x轴交于、B两点，顶点为P，与y轴交于C点，且的面积为6． (1)求抛物线的对称轴和解析式；(2)平移这条抛物线，平移后的抛物线交y轴于E，顶点Q在原抛物线上，当四边形是平行四边形时，求平移后抛物线的表达式；(3)若过定点K的直线交抛物线于M、N两点（N在M点右侧），过N点的直线 与抛物线交于点 G， 求证： 直线必过定点． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的对称轴为直线 ∵，∴令，则∴ ∵的面积为6．∴，解得：∴， 将代入得：，解得：，∴ （2）解：∵，∴设点， ∵四边形是平行四边形，∴且∴，即： ∵顶点Q在原抛物线上，∴，解得：∴ ∴平移后抛物线的表达式为： (3)证明：设，设直线的解析式为：， 则，解得：，∴直线的解析式为：， ∵直线过定点∴得： ∵直线 过N点，∴，， ∴令，解得： ∴；设直线的解析式为：， 则，解得：， ∴直线的解析式为：， ∵，∴直线的解析式为：， 当时，，∴直线必过定点 【变式2】（25-26九年级下·江苏无锡·期中）已知二次函数的图像与x轴交于点，两点，与y轴交于点C．(1)直接写出这个二次函数的表达式；(2)如图1，连接，点P是直线上的一个动点，过点P的直线l与平行，则在直线l上是否存在点Q，使点B与点P关于直线对称？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，点G，H为x轴上方的抛物线上两点（点G在点H的右边），直线、与y轴分别交于S，T两点，若，试探究直线是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．      【答案】(1)(2)或(3)直线经过定点 【详解】（1）解：将点，代入， 得，解得，∴二次函数的表达式为； （2）解：如图，当点P在线段上时，连接，交于R， ∵点B和点Q关于对称，∴，设， 由得，，∴，（舍去），∴， ∵，∴，∴，∴四边形是平行四边形， ∵，，∴； 如图，当点P在的延长线上时，由上可知：， 同理可得：，综上所述：或； （3）解：设，，设直线解析式为， 则，解得，∴直线解析式为， 同理可得直线解析式为，直线解析式为， 令，得，，∴，， ∵，∴，整理得， 代入直线解析式为， 当时，，∴直线经过定点． 题型02 二次函数中动点在定直线问题 【典例】（2026·四川成都·校考一模）如图，直线分别交x轴，y轴于A，C两点，点B在x轴正半轴上．抛物线过A，B，C三点．(1)求抛物线的解析式；(2)过点B作交y轴于点D，交抛物线于点F．若点P为直线下方抛物线上的一动点，连接交于点E，连接，求的最大值及最大值时点P的坐标；(3)如图2，将原抛物线进行平移，使其顶点为原点，进而得到新抛物线，直线与新抛物线交于O，G两点，点H是线段的中点，过H作直线（不与重合）与新抛物线交于R，Q两点，点R在点Q左侧．直线与直线交于点T，点T是否在某条定直线上？若是，请求出该定直线的解析式，若不是，请说明理由． 【答案】(1)(2)的最大值为2，此时点P的坐标为 (3)点T在定直线上，该直线解析式为 【详解】（1）解：当时，则有，即；当时，则有；∴， ∴，解得：，∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）可知抛物线解析式为， 当时，则有，解得：，∴， 由可设直线的解析式为，把点代入得：， ∴直线的解析式为，∴当时，则有，即， 连接，过点P作轴交于点M，如图所示： 设点，则，∴， ∴， ∵，∴， ∴， ∵，开口向下，∴当时，则取得最大值，最大值为2，此时点P的坐标为； （3）解：点T在某条定直线上，理由如下： 由题意可知平移后的二次函数解析式为，则联立方程得：，解得：， ∴，∵点H是线段的中点，∴根据中点坐标公式可得：，即， 设点，直线的解析式为，则有： ，解得：，∴直线的解析式为， 代入点H得：，∴， 同理可得直线的解析式为，直线的解析式为， 联立上述两个函数表达式得：，解得：， ∴代入直线的解析式得，∴， 设点T在直线，则有：∴，即， 整理得：，比较系数得：， ∴当时，无论m、n为何值时，都符合题设条件，∴点T在定直线上． 【变式1】（25-26九年级上·成都·校考期中）如图1，抛物线与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若． (1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接，D是上方抛物线上异于B、C的一点，连接交y轴于点E，当时，求点D的坐标；(3)如图2，是抛物线上异于B，C的两个动点，直线与直线交于点T，若直线经过定点，求证：点T的运动轨迹是一条定直线． 【答案】(1)(2)(3)点的运动轨迹是一条定直线 【详解】（1）解：对于抛物线，当时，，则，则， ∵，∴，，∴，， 将代入，得，解得：，∴； （2）解：∵，，，∴，，，过点作于点， ∵，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴，∴， 设直线的解析式为，代入，解得：，∴ ， 联立抛物线解析式，可得，解得：或（舍去），∴； （3）解：设，∵，，设直线的解析式为， ∴，解得：，∴，设的解析式为，， ∴，解得：，∴， 联立，消去得：， 联立，消去得：， ∵，∴，即， 由可得，依题意，直线的解析式为，即， 联立，则，∴，， ∴，消去得：， 解得：（与直线重合，故舍去）或，即点的运动轨迹是一条定直线． 【变式2】（25-26九年级上·成都·校考期末）如图1，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式；(2)为轴下方抛物线上一点，，求点坐标； (3)如图2，直线与抛物线交于，两点，直线与直线交于点，问：点是否在定直线运动，若是，求直线的解析式，若不是，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)点在定直线上运动． 【详解】（1）解：将，代入得， ，解得，抛物线的解析式为； （2）解：如图，设交轴于点，取点，连接，过点F作，则， 令，可得或，，， 在△和△中，，△△， ，平分，，，， ，，设，则有，解得或（舍去）， ，即，设直线解析式为， 则有，解得，直线解析式为， 联立，解得（与点重合，故舍去）或，； （3）设点，，设直线的解析式为， ，解得，直线的解析式为， 设直线的解析式为，，解得， 直线的解析式为， 联立得：，解得：，， 联立直线与抛物线得：， 整理得：，，，，， 将代入得，     ，     ， ，点在直线上． 题型03 二次函数过定点和二次函数轨迹问题 【典例】（25-26九年级上·成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点和点，直线与抛物线交于两点，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式和点的坐标；(2)已知抛物线沿轴向右平移个单位长度后得到抛物线．①用含的式子表示抛物线的顶点坐标；②当时，直线与轴交于点，与直线交于点．若抛物线与线段有公共点，求的取值范围；(3)已知是的中点．当变化时，试探究点的运动轨迹是否为一条直线或一条抛物线的一部分？若是，请直接写出该直线或抛物线的解析式；若不是，请说明理由．[提示：若，则的中点坐标为 【答案】(1)，(2)①；②(3)是； 【详解】（1）解：将点和点代入，解得，， ∴抛物线的解析式为, 对于直线，当时，，∴，∴点D的坐标为． （2）①，∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为； ②当时，, 当时，，当时，，∴点的坐标为，点的坐标为． 当抛物线与线段有公共点时，联立和，整理可得， ，解得．结合图象，当抛物线与线段有公共点时，； （3）解：联立和，整理可得， 设点，的坐标分别为，，则、为方程的根， ∴，， ∴点M的坐标为，令，，∴， ∴，抛物线的解析式为． 【变式1】（2025·山东淄博·二模）如图，已知抛物线经过定点． (1)直接写出点的坐标；(2)直线与抛物线交于，两点（不与点重合），过点作于点，存在的取值，使得对于任意的，恒成立．求的值； (3)如图，若上述抛物线经过原点，与轴交于另一点，将绕点顺时针旋转一定的角度，使点的对应点落在抛物线的对称轴上． 直接写出的度数；请判断，此时点的对应点是否在抛物线上，请说明理由． 【答案】(1)(2)或(3)① ②解：点的对应点不在抛物线上，理由如下：点的坐标是，点的坐标是， 则，，， 则与垂直的直线与轴的正方向夹角是，设与垂直的直线的解析式是， 点的坐标是，点的坐标是，点的中点的坐标是，即， 把代入，可得：，解得：，线段的垂直平分线的解析式是， 解方程组，可得：，解得：，(不符合题意，舍去)， 当时，，线段的垂直平分线与抛物线的交点坐标是， 则，， 设旋转后点到达点的位置，又，是等边三角形， ，点与点不重合，点的对应点不在抛物线上． 【详解】（1）解：当时，可得：，点的坐标是； （2）解：点的坐标是，点的坐标是， 当时，可得：，由， 可得：，，， ，，，，， 设点的横坐标是，点的横坐标是，，， ，整理得：， ，，分解因式得：， 解得：，(与点重合，舍去)，当时，对于任意的，恒成立； 当时，可得：，， ，整理得：， ，， 分解因式得：，解得：，(与点重合，舍去)， 当时，对于任意的，恒成立； 综上所述，当或时，对于任意的，恒成立； （3）解：抛物线经过原点，，解得：， 抛物线的解析式为，抛物线的对称轴是，解方程， 可得：，(与原点重合，舍去)，点的坐标是， 如下图所示，由旋转可知，是抛物线的对称轴， 直线是线段的垂直平分线，， 是等边三角形，，旋转角； 略 【变式2】（25-26九年级上·浙江舟山·阶段检测）如图，抛物线C：的对称轴为直线，且抛物线经过，两点，与x轴交于点N． (1)点N的坐标为 ；(2)已知抛物线与抛物线C关于y轴对称，且抛物线与x轴交于点A，（点A在点的左边）；①抛物线的解析式为 ；②当抛物线和抛物线C上y都随x的增大而增大时，请直接写出此时x的取值范围．(3)若抛物线∁n的解析式为，抛物线的顶点为，与x轴的交点为A，（点A在点的左边）． ①求的值；②判断抛物线的顶点，，，…，是否在一条直线上，若在，请直接写出该直线的解析式；若不在，请说明理由． 【答案】(1)(2)①；②(3)①5350；②不在；理由见解析 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，经过，∴，故答案为：； （2）解：①∵抛物线的对称轴为直线，∴， ∴，∴，将点，代入， ∴，∴，∴， ∵抛物线与抛物线C关于y轴对称，∴，故答案为：； ②∵，∴当时，y随x值的增大而增大， ∵，∴当时，y随x值的增大而增大， ∵抛物线C1和抛物线C上y都随x的增大而增大，∴； （3）解：①由题意可得，，，，…， ∴； ②不在一条直线上，理由如下：∵， ∴，，，…，， 设，所在直线解析为， ∴，∴，∴，将代入，得， ∴点不在直线上，∴点，，，…，不在一条直线上． 题型四： 二次函数中的定值问题 【典例】（25-26九年级上·广东江门·月考）已知，如图，抛物线与轴正半轴交于、两点，与轴交于点，直线经过、两点．(1)求抛物线的解析式；(2)为抛物线上一点，若点关于直线对称点落在轴上，直接写出点坐标；(3)现将抛物线平移，保持顶点在直线上，若平移后的抛物线与直线交于、两点，求证：的长度为定值． 【答案】(1)(2)(3)见解析 【详解】（1）解：在中，令，得，令，得，∴，； ∵抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C， ∴将点，坐标代入得： ，解得，∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，∵，∴， ∵点P关于的对称点Q在y轴上，∴，∴,即轴， ∴点P的纵坐标为，令，解得或（舍去），∴； （3）解：设平移后的抛物线的顶点为，∴平移后的抛物线的解析式为， 令，整理得，设，， ∴，， ∴， ∴的长度为． 【变式1】（26-27九年级上·湖北黄石·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点在轴正半轴上． (1)如图（1），菱形的顶点，，在二次函数的图象上，且轴，已知点，求抛物线解析式及菱形的边长．(2)如图（1），已知菱形的顶点，，在二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长．(3)如图（2），已知正方形的顶点，在二次函数的图象上，点，在轴的同侧，且点在点的左侧，设点，的横坐标分别为，，探究是否为定值如果是，求出这个值如果不是，请说明理由． 【答案】(1)；菱形的边长为(2)菱形的边长为(3)是， 【详解】（1）解：由题意可知，点，代入得， 则抛物线解析式为．由题意可知，关于轴对称，，即菱形的边长为． （2）设交轴于点，菱形的边长为，则． 由题意可知，关于轴对称，，，， ，，． 把代入，得，解得或舍去，菱形的边长为． （3）为定值过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示． 点，的横坐标分别为，，正方形的顶点，在二次函数的图象上， ，，，，，． 四边形是正方形，，，． ，，，， ∵,，． 点，在轴的同侧，，． 【变式2】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图①，已知抛物线与x轴交于两点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q．(1)求抛物线的表达式；(2)设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值；(3)如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)；(2)；(3)是定值，． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴，解得，∴， ∵抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线， ∴即 （2）解：设点P的坐标为，设直线的解析式为，把点A和点P的坐标代入得到， 则解得，∴直线的解析式为， 联立与得到，解得，则 （3）解：由（1）可得，，与联立得到，，解得， 此时∴点C的坐标为， ∵点M的横坐标为m，且在上，∴即点M的坐标为 设直线的解析式为，把点C和点M的坐标代入得到， 则解得，∴直线的解析式为， 与联立得到，， 整理得到，则， 即，即，即为定值． 题型五： 二次函数与新定义综合压轴 【典例】（2026·河北邯郸·校考一模）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究（）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点的距离，始终等于它到定直线l：的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为l：，其中，． 【基础训练】（1）①请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的方程： ， ； ②抛物线上的动点P到它的焦点之间距离最小值为 ． 【技能训练】（2）如图2，已知抛物上一点（）到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标； 【能力提升】（3）如图3，已知抛物线的焦点为F，准线方程为l．直线m：，过抛物线上P点作x轴垂线，交直线m于点Q，，，当时，请直接写出P点横坐标x的取值范围． 【拓展延伸】该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线（）平移至（）．坐标系内有一定点，直线l过点．且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线上的动点P到点的距离等于点P到直线l：的距离． 请阅读上面的材料，探究下题： （4）如图4，点是第二象限内一定点，点P是抛物线上一动点，当取最小值时，请直接写出最小值及此时的面积． 【答案】（1）①，②1（2）（3）或；（4） 【详解】解：（1）①∵抛物线中，∴，， ∴抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为，故答案为：，； ②∵点到焦点的距离等于点到定直线的距离，∴动点到焦点的最小值即为抛物线的最低点到定直线的距离，即为的长，∵，∴；故答案为：1； （2）由（1）知抛物线的焦点F的坐标为， ∵点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍， ∴，整理得：，又∵，∴ 解得：或（舍去），∴，∴点P的坐标为； （3）∵点P的横坐标为x，且点P在抛物线上，∴， 如图，连接，设直线交准线l于点N，则； 由（1）知，抛物线的焦点为，准线的方程为； ∵轴，∴，，∴， ∵，∴，解，得：； 对于，化简得：， 考虑二次函数，令，解得：， 即二次函数图象与x轴交于， ∵二次函数的图象开口向上，∴的解集为：或； 综上，不等式的解集为：或；    （4）∵抛物线中，∴，， ∴抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为， 过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，则，如图： 若使得取最小值，即的值最小，故当，，三点共线时，，即此刻的值最小；如图： ∵点的坐标为，准线，∴，点的横坐标为，代入解得， 即，，的最小值为，则的面积为． 【变式1】（2025·广东深圳·三模）规定1：一个点纵坐标与横坐标的比“”称为点的“纵横比”．例如：点，则它的“纵横比”为． 规定2：若点是函数图象上任意一点，则函数图象上所有点的“纵横比”中的最大值称为函数的“最优纵横比”． 例如：点在函数图象上，图象上所有点的“纵横比”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的（）“最优纵横比”为7． 根据规定，解答下列问题：(1)点的“纵横比”为_____； (2)若当时，一次函数的最优纵横比为5，则的值为_____； (3)若已知二次函数的顶点在直线上，当时，二次函数的最优纵横比为2，求的值． (4)若已知二次函数的图象如图所示，平面中有、两点，且，，现向左右平移该二次函数图象，使得图象与线段只有一个交点．若平移的距离为，请求出的取值范围，并直接写出交点“纵横比”的对应范围_____． 【答案】(1)(2)1(3)的值为或4 (4)当或时，图象与线段只有一个交点； 【详解】（1）解：点的“纵横比”为，故答案为：； （2）解：一次函数的纵横比为，则纵横比随着的增大而减小， ∵，∴当时，一次函数取得最优纵横比， ∵一次函数的最优纵横比为5，∴，∴．故答案为：1． （3）解：∵二次函数的顶点在直线上，∴，则， 二次函数的纵横比为， 当时，当时，纵横比随着的增大而增大， ∴当时，二次函数取得最优纵横比为， ∵二次函数的最优纵横比为2，则，解得，则； 当时，在当时，纵横比随着的增大而减小， ∴当时，二次函数取得最优纵横比为， ∵二次函数的最优纵横比为2，则，解得，则； 综上，当，二次函数的最优纵横比为2时，的值为或4． （4）解：根据题意得二次函数平移后的解析式为， ∵，，将代入可得，解得：或， 将代入可得，解得：或， 故当时，和都在上， 根据图象可得当或时，图象与线段只有一个交点， ∵，，设直线的解析式为 ， 则，解得：，故直线的解析式为 ， 则交点“纵横比”，则纵横比随着的增大而减小， ∵，当时，， ∴当时，n最小，∴交点“纵横比”的对应范围是． 【变式2】（2025·成都·模拟预测）我们约定：如果一个二次函数的二次项系数和一个一次函数和一次项系数相同，且二次函数的一次项系数和一次函数的常数项相同，则称这两个函数互为“友情函数”，例如：二次函数与一次函数互为“友情函数”． (1)已知二次函数满足，试说明该二次函数与它的“友情函数”有两个不同的交点； (2)当二次函数与它的“友情函数”仅有一个交点，且时，请判断这两个函数是否有交点，如果有，请写出交点的横坐标； (3)若二次函数满足以下条件：①函数图像过点，②，若该二次函数与它的“友情函数”的交点的横坐标，，试判断的取值范围． 【答案】(1)证明见解析(2)有，或(3) 【详解】（1）证明：由题意得：二次函数的“友情函数”为，∴， 整理，得：，∴ ∵，，∴，∴该二次函数与它的“友情函数”有两个不同的交点． （2）解：∵，由（1）得：， ∴或， ①若，则由（1）得：，∴，∵，∴ ②若，同理得：，∵0，∴．综上所述，交点的横坐标为或． （3）解：把点代入得：，∴， 由题意得：，∴，整理，得：， 由（1）得：，∴， 由题意得：，是的两个解，∴，， ∴， ∵，∴随着的增大而增大， 当时，，当时，=，∴的取值范围是． 题型六：二次函数中交点问题 【典例】（2025·四川乐山·二模）有二次函数，且等式恒成立．(1)求的值；(2)当时，该二次函数满足随的增大而减小，求的取值范围；(3)是否存在这样的实数，使得同时满足下列两个条件：①关于的方程（其中）恰好有四个不同的实数解；②函数的图象与轴的两个相异交点都在直线的左侧．若存在，请求出的取值或取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)不存在这样的实数，使得同时满足这两个条件，详见解析 【详解】（1）解：由条件知 ，解得  ． （2）由（1）可知，  其对称轴为由题可知  解得的取值范围是 （3）①：关于的方程（）恰好有四个不同实数解 即恰好有四个不同实数解，记， 当时，；当时，，作出如下图象 已知该图象关于轴对称  且当时， 当时，  当时，该方程恰好有四个不同实数解． ②：记函数的图象与轴的两个相异交点分别为和 ， 两个交点均在直线的左侧  ，  ，   即  解得 综合①②得：不存在这样的实数，使得同时满足这两个条件． 【变式1】（2025·江苏南京·一模）已知二次函数的图象为．(1)用表示图象的顶点坐标；(2)证明：当时，图象与轴有两个交点；(3)记一次函数（是常数，，）的图象为线段，若图象与线段恰有一个公共点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)；(2)见解析； (3)，或时，图象与线段恰有一个公共点． 【详解】（1）解：整理， 可得：，图象的顶点坐标为； （2）解：当时，可得：， ，整理得：， 当时，，方程有两个不相等的实数根， 图象与轴有两个交点； （3）解：①当时，设点的坐标为，点的坐标为， 一次函数（是常数，，）的图象为线段， 当时，，当时， 依题意，图象与线段恰有一个公共点，如图， 当时，，解得：或 当时，，解得： ∴ ②当时，解得： 当一次函数与二次函数联立方程，得， 一元二次方程有且只有两个相等实数根时： 整理得， 解得，此时，交点横坐标分别为或（不在x取值范围舍去） 综上所述，，或时，图象与线段恰有一个公共点． 【变式2】（26-27九年级上·辽宁大连·期中）已知抛物线的对称轴为直线． (1)若抛物线经过点． ①求这条抛物线的表达式；②将抛物线向右平移（）个单位得到抛物线，当时，抛物线对应的函数值的最大值为16，求的值；③过点的直线与抛物线交于不同的两点，，设点的横坐标为，点的横坐标为，求的值； (2)已知点，，若抛物线与线段只有一个交点，直接写出的范围． 【答案】(1)①；②1或5；③；(2)，或 【详解】（1）解：①抛物线的对称轴为直线，，即1，解得， 将代入中，得，解得，； ②， 将抛物线向右平移个单位得到抛物线， 抛物线的开口向上，对称轴为直线，，． 当时，即，在对称轴左侧，随的增大而减小， 当时，抛物线对应的函数值最大为，，解得，， ，均不符合，舍去； 当时，即，若，则， 当时，时，抛物线对应的函数值最大为16，，解得，（舍去）， 当时，时，抛物线对应的函数值最大为16，，解得（舍去）， 综上所述，的值为1或5； ③设过点的直线解析式为，则，，， 联立得，整理得， 由题意得，、是这个方程的两个实数根，，， ； （2），或．设直线的解析式为，代入，， ，解得，， 令，整理得，当时，， 此时，解得，符合，抛物线与线段只有一个交点； 当抛物线过点时，，此时，当时，， ，此时抛物线与线段只有一个交点； 当抛物线过点时，，解得，此时抛物线与线段有两个交点，不符合题意；． 综上所述，的取值范围是或． 题型七：二次函数中最值、函数值大小问题（含参） 【典例】（2025·成都·二模）已知抛物线． (1)若点在抛物线上，①求此抛物线的解析式及顶点坐标．②已知点，的坐标分别为，，连结，若线段与抛物线只有一个公共点，求的取值范围．(2)已知点，是抛物线上的两点，若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1)①，顶点，②或(2)或 【详解】（1）解：①将已知点在抛物线上，将代入可得： ，解得：，所以抛物线解析式为， 将其化为顶点式：，所以顶点坐标为； ②当时，代入得：， 当时，， 因为线段与抛物线只有一个公共点， 当时，线段过顶点，此时只有一个公共点； 当时，线段与抛物线也只有一个公共点，所以或； （2）解：抛物线，对称轴为直线． 当时，．因为对于都有． 当时，抛物线开口向上，在对称轴右侧随的增大而增大． 要满足条件，则，解得：； 当时，抛物线的开口向下，在对称轴的右侧y随x的增大而减小， 横坐标为3关于对称轴的对称点的横坐标为， 对于，（等号不同时成立），都有，则， 解不等式得：，又∵，∴ 综上所述，的取值范围是或． 【变式1】（2025·成都·二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点（在的左侧）． (1)二次函数的顶点坐标为__________； (2)若二次函数由平移所得， ①求线段的长；②当时，二次函数的最大值与最小值的和等于，求的值． 【答案】(1)(2)①②或 【详解】（1）解：∵，∴抛物线的顶点坐标为； （2）①∵二次函数由平移所得，∴， 联立，解得：或， ∵，在的左侧，∴， ∴； ②由（1）知：，∵，∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，关于的对称点为， ∵，即：， （i）当，即：时， 则当时，函数取得最小值为：， 当时，函数取得最大值为：， ∴，解得：，不符合题意，舍去； （ii）当，即：时， 当时，函数取得最大值为，当时，函数取得最小值为， 则：，解得：，符合题意； （iii）当，即：时，则：当时，函数取得最大值为， 当时，函数取得最小值为：， 则：，解得：或（舍去）；综上：或． 【变式2】（2025·成都·三模）已知抛物线． (1)请用配方法求出抛物线的对称轴和顶点坐标（用含b，c的代数式表示）． (2)已知点M，N是该抛物线上的两个不同的点． （i）如果点M的坐标为，点N的坐标为，且，求b的取值范围； （ii）如果点M的坐标为，点N的坐标为，当时，y的最大值为11，最小值为2，请求出的取值范围． 【答案】(1)抛物线的对称轴为，顶点坐标为 (2)（i）；（ii） 【详解】（1）解：， 则抛物线的对称轴为，顶点坐标为； （2）解：（i）由（1）知抛物线对称轴为， ∵抛物线中，，∴抛物线开口向下， ∵点M的坐标为，点N的坐标为，且，∴， 当时，解得：，此时，，解得：，∴； 当时，不等式组无解； 当时，解得：，此时，，解得：，∴不存在此种情况； 当时，解得：，此时，，解得：，∴； 综上，b的取值范围为； （ii）根据题意，∴，∴， 令，则， 由题意得方程的解为， ∴，， ∴，，两式相减：，解得， 则，，∴抛物线解析式为， ∵，∴当时，抛物线有最大值， ∵当时，y的最大值为11，最小值为2，令，则， 解得：或，∴当时，，则； 当时，，则；综上，的取值范围为． 题型八：二次函数中其他问题 【典例】（2025·湖北黄冈·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于和两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为．    (1)如果抛物线还经过点．①求抛物线的解析式；②求四边形的面积； ③动直线与抛物线交于点，与直线交于点，线段的长为，求关于的函数解析式； (2)我们规定：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点，之间的部分与线段所围成的区域内（不含边界）恰有6个整点，试结合函数图象直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②9；③(2)或 【详解】（1）解：①∵抛物线与轴交于和两点， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：，解得：． 抛物线的解析式为； ②连接，如图， ，点坐标为． 和，，， 当时，，，． ∴． ③设直线的解析式为，把点，代入得∶ ，解得：，∴直线的解析式为， 动直线与抛物线交于点，与直线交于点， ∴可设，则， 线段的长为，， 即关于的函数解析式为； （2）解：， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．当时，，． 当时，由图象可得：符合条件的6个整点分别为，，，，，． 则，解得； 若，同理可得；的取值范围是或． 【变式1】（2025·山东青岛·模拟预测）【问题探究】数学兴趣小组成员小亮在研究抛物线的性质时，发现其开口也可向左或向右．如图①，曲线相当于作为自变量的二次函数，抛物线开口朝向轴正半轴方向，在平面直角坐标系中，即为一条开口向右的抛物线，根据书写习惯，一般将其写为．已知抛物线过，与原点三点． （1）请直接写出的解析式； 【延伸拓展】小亮所在小组的组长小蓝对该问题经过研究后，便寻找更复杂的情况进行学习研究： 如图②，已知抛物线：与直线：有两个交点，，在直线上有一点，连接， （2）请直接写出点A，B的坐标；（3）小亮和小蓝通过资料查阅得到了平面内两点的距离公式如下： 在平面直角坐标系中，设两点，，则A，B两点间的距离公式为： 则当取得最小值时，请求出点的坐标和的长度． 【答案】（1）；（2），；（3）， 【详解】解：（1）设的解析式为，将代入得：， 解得：；∴的解析式为； （2）由：得：：；由直线：得： 联立①②得：，解得：； ∴或；即：，； （3）作关于直线的对称点，连接如图所示： ∵∴的最小值为线段的长度； 设直线的解析式为：，则，解得：， ∴直线的解析式为：，∴当时，；即：； ∵，，∴； 【变式2】（2025·江苏镇江·中考真题）在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与二次函数（、为常数）的图像交于点、（点在点的左侧），点在直线上，当点满足时，我们称点是该二次函数图像的生长点． (1)二次函数的图像如图所示． ①在的不同取值2、、5中，使该函数图像有生长点的的值是_____； ②已知是该函数图像的生长点，猜想的取值范围，并说明理由． (2)二次函数（h、k为常数）的图像经过点，若是该函数图像的生长点，求该函数的表达式． 【答案】(1)①②猜想，理由见解析 (2)或 【详解】（1）解：①当时，， ∴，∴，∴当时，， 此时在线段的延长线上或线段的延长线上，存在点使，满足题意； 当时，，∴当点在线段上时，，满足题意； 当时，，∴直线上不存在点使，不满足题意； 综上：使该函数图像有生长点的的值是； ②猜想，理由如下： ∵点在直线上，∴，由（1）知：当时，此时， ∴当时，，此时直线上不存在点使，∴； 又∵过点作轴的垂线与的图像交于点，而的最小值为， ∴；∴； （2）∵二次函数（h、k为常数）的图像经过点，∴； ∵是该函数图像的生长点，∴， 当时，则：，∴， ∴，∴， ①当点在线段上时，则：，∴，解得， 把代入，得：或， 当时，，满足题意； 当时，，此时点不在线段上，不符合题意，舍去；∴； ②当点在点的左侧时，则：， ∴，∴，∴， 把，代入，得：， 此时，符合题意；∴； ③当点在点的右侧时，则：， ∴，∴， 把，代入，得：，∴ 此时，点不在点的右侧，不符合题意，舍去； 综上：或． 【巩固训练】 1．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，直线与抛物线交于两点(点在轴左侧，点在轴右侧)，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式；(2)若与的面积之比是，求的值； (3)若作点关于轴的对称点，直线与直线相交于点，试探究：的面积是否为定值？若为定值，请求出的面积；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)的面积为定值，的面积为4 【详解】（1）解：已知抛物线经过点， 将点代入抛物线方程可得：，解得，∴抛物线的函数表达式为． （2）解：若与的面积之比是，则， ∵点在同一直线上，则，即①， 联立直线与抛物线的方程得：， 整理得，∴，②， 由①②得：，解得：， ∵点在轴左侧，∴，∴，即，∴，即． （3）解：点关于轴的对称点，直线与轴交于点，则点， 设点的坐标分别为：、， 由点的坐标得，直线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：，整理得：， 由点的坐标得，直线的表达式为：， 同理可得，的表达式为：， 联立上述两式得：，解得：， ，则，，， ∴点的纵坐标为为定值，即的面积为定值， ∵，到的距离为，∴． 2．（2026·浙江台州·二模）如图，二次函数，（a为常数，且）的图象在同一平面直角坐标系中，且的图象过点． (1)求的值．(2)与轴平行的直线与的图象交于，两点，记点，的横坐标分别是，，且，当时，求的函数值的取值范围．(3)已知点，（其中，）分别在，图象上，求的最小值． 【答案】(1)(2)(3)的最小值为 【详解】（1）解：∵的图象过点，∴，解得：． （2）解：∵，∴的对称轴为直线， ∵与轴平行的直线与的图象交于，两点，∴，即， ∵∴，∴，由（1）可知，， ∴，∴的顶点坐标为， 把代入得，，把代入得，， ∵，∴当时，的函数值的取值范围为． （3）解：∵点，分别在，图象上，∴，， ∴，整理得，， ∵关于的一元二次方程需有实数根，∴，整理得， ∵，∴，解得：，∴的最小值为． 3．（2025·辽宁抚顺·一模）一般地，在实数范围内的两个变量x，y，以及对应关系f，对于每一个实数x，y都有唯一确定的实数与之对应，则称f为定义在实数范围内的一个函数，即（x为使对应关系成立的全体实数）．例如：若，则；若，则．如图，函数的图象与x轴交于点A，且，与y轴交于点C，且．函数的图象经过点A和点C． (1)求的表达式．(2)如图，若为函数图象上的一点，作垂直x轴，垂足为E，延长交的图象于点F，此时称点D与点F互为“垂直点”，两垂直点函数值的差，即称为“垂直差”．当时，求的最大值以及此时的值．(3)若是函数图象上不与点B重合的一点，当的面积与的面积相等时，求出的值． 【答案】(1) (2)的最大值为3，此时的值为1.5． (3)或或 【详解】（1）解：，，， ． 当时，；当时，．点． 把点代入，得解得． （2）， ． 拋物线的开口向下．当时，有最大值，最大值为3． 此时．的最大值为3，此时的值为1.5． （3）当时，．解得． 点的坐标为点的坐标为．． ．． ，， ．解得（舍去），，，． ∴当时，；当时，；当时，． 综上所述，的值为，，． 4．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）在平面直角坐标系中，一次函数图象分别与轴，轴交于点、，点是线段上一点，与不重合．二次函数（是常数，且）的图象经过点，顶点是，将该二次函数的图象平移后得到新抛物线，、分别是、的对应点，且点落在轴正半轴上，点的纵坐标为．(1)______；(2)①求点的坐标；②求原抛物线的函数表达式；(3)已知新抛物线与轴交于点，点、在新抛物线上，若对于满足任意实数总成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2)①；②(3)的取值范围为或 【详解】（1）解：对于一次函数，令，得： ，，；故答案为： （2）解：①如图，过点作轴于点， 点落在轴正半轴上，点的纵坐标为，， ∵将原二次函数的图像平移后得到新抛物线，，分别是的对应点， ，即，，， 将代入，得，∴点的坐标为． ②二次函数的图象顶点是，设原抛物线的函数表达式为， ∵原抛物线过点，，解得：，∴原抛物线的函数表达式为． （3）解：∵点的坐标为，点的纵坐标为，∴原抛物线向下平移个单位， ∴可设平移后新抛物线的函数表达式为， 将点代入，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴平移后新抛物线的函数表达式为，令，则， 点， ①当点E在点D的左边时，点D关于直线的对称点为， ，∴，， ，解得：， ②当点在点的右边时，此时恒成立，即， ，，综上所述，的取值范围为或． 5．（2026·四川德阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”．如图，点在函数的图象上，点的“关联点”是点． (1)如果点在函数的图象上，求点的坐标；(2)将点称为点的“待定关联点”其中如果点的“待定关联点”在函数的图象上，试用含的代数式表示点的坐标． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：由题意，得点的关联点为， 由点在抛物线上，可得 又在抛物线上，，解得， 将代入得，点的坐标为； （2）点的待定关联点为 在抛物线的图象上，，， 又，，当时，，点的坐标为. 6．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）已知二次函数（t为常数）． (1)若二次函数图象经过原点，求t的值． (2)已知点，在该二次函数图象上，若，，试比较m，n的大小关系． (3)当时，函数y的最大值与最小值的差为1，求t的取值范围． 【答案】(1)或(2)(3) 【详解】（1）解：把代入二次函数得：，解得或； （2）解：因为抛物线对称轴为直线，而，，所以点P离对称轴更远， 因为抛物线开口向上，所以； （3）解：由题可得，所以； ①当时，当时，， 当时，，所以，解得； ②当时，当时，，当时，，此时恒成立，即； ③当时，当时，，当时，则， 解得或4（都不符合，舍去）；综上，当t的取值为． 7．（2026·江苏连云港·二模）如图，“爱心”图案是由抛物线的一部分及其关于直线的对称图形组成，点E、F是“爱心”图案与其对称轴的两个交点，点A、B、C、D是该图案与坐标轴的交点，且点D的坐标为．    (1)求m的值及AC的长；(2)求的长；(3)若点P是该图案上的一动点，点P、点Q关于直线对称，连接，求的最大值及此时Q点的坐标． 【答案】(1)，(2)(3)， 【详解】（1）把代入得解得 ∴抛物线的解析式为：∴ 根据对称性可得， ∴ （2）联立解得或∴，∴ （3）设，则∴ 整理得∵ ∴当时，即时，有最大值为 ∴的最大值为∴故 8．（2025·湖南湘西·模拟预测）【定义】在平面直角坐标系中，我们给出一个“积值”的定义： 点是函数图象上任意一点，横坐标与纵坐标的乘积称为点在函数图象上的“积值”； 【举例】已知点在函数的图象上，点在函数图象上的“积值”为． 【问题】根据定义，解答下列问题：(1)已知点是函数图象上一点，则点在该函数图象上的“积值”为______；(2)求点在函数图象上的“积值”；(3)已知点在函数（为常数，且）的图象上，当时，点在函数图象上的“积值”的最小值为，求的值． 【答案】(1)(2)6(3) 【详解】（1）解：∵点B是函数图象上任意一点，∴， ∴点B在该函数图象上的“积值”为；故答案为：； （2）解：∵点在函数图象上，∴， ∴，∴，即，∴， 则点在函数图象上的“积值”为； （3）解：已知点在函数（b为常数，且）的图象上，∴， ∵当时，点P在函数图象上的“积值”的最小值为，∴， ∵，函数开口向上，则对称轴为， ∵，∴对称轴，∴当时，随的增大而减小， ∴时，有最小值，最小值为，∴，即． 9．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）已知抛物线经过原点，且对称轴与轴的交于点，点在抛物线的对称轴上．(1)求抛物线的解析式；(2)如图（1），过点作一条直线交抛物线于，两点（点在点的左侧，），若的面积为，求直线的解析式； (3)如图（2），若直线交抛物线于另一点，过点作一条动直线交抛物线于点，（在的左侧），直线、分别交抛物线的对称轴于点，，请问在抛物线的对称轴上是否存在定点（点的下方），使得为定值？若存在，请求出定点，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)直线的解析式为(3)存在点使为定值 【详解】（1）解：∵抛物线经过原点，， ∵在抛物线的对称轴上，∴对称轴为直线，，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为，设， ∵直线经过点，，， 联立：，整理得：，， ，，，， ，， 解得：或（舍），，∴直线的解析式为； （3）解：设，设直线的解析式为， 将代入得：，∴直线的解析式为：， 联立：，解得：或，，设直线的解析式为：， ，解得：， ∴直线的解析式为， 同理可以求得：直线的解析式为：，直线的解析式为：， ，∵直线经过点，， ， ，当，即． ∴存在点使为定值． 【强化训练】 1．（2026·四川成都·模拟预测）如图，抛物线与轴交于A、两点（点A在点的左侧），与轴交于点．(1)若，求的值；(2)在（1）的条件下，点为第三象限内抛物线上一点，交于点，交轴于点，且，求点的坐标；(3)在第三象限内的抛物线上是否存在两个不同的点、关于直线对称？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：将点代入，∴，解得； （2）解：连接，如图， 由（1）可知，当时，或，∴， 当时，，∴， ∴，，， ∴，∴是直角三角形，，∴， ∵，∴，∵，∴，∴， 在中，，∴，解得，∴， 设直线的解析式为，将点代入得， ，解得，∴直线的解析式为， 当时，解得（舍）或，∴； （3）假设存在两个不同的点、关于直线对称，设，， ∵、关于直线对称，∴与直线垂直， ∵直线是一三象限的角平分线，直线与二四象限的角平分线直线互相垂直， ∴所在直线与平行，设直线的解析式为， 当时，整理得，∴，∴， ∵，，， ∴、的中点横坐标为，∴、中点坐标为， ∵、的中点也直线上，∴，解得，∴，∴， ∵、在第一象限，∴，∴，解得，∴． 2．（2026·四川成都·二模）【学习与思考】类比圆的切线，抛物线的切线是指过抛物线上一点的直线，这条直线不与x轴垂直并且与抛物线只有一个公共点．比如在平面直角坐标系中，抛物线上的点，过点P的切线可写作：，代入，，得到，所以，与联立，得到，因为只有一个公共点，所以，得到，所以经过点P的切线为． 【理解与应用】在平面直角坐标系中，抛物线． (1)点在抛物线上，设过点A的切线为l．①若，求l的表达式； ②设l与y轴交于点B，过点A作轴于点C，求证：四边形为平行四边形； (2)动点D，E在该抛物线上，分别过点D，E作抛物线切线，，设，交于点F．若点F始终在直线上，试说明直线经过定点，并求出该定点坐标． 【答案】(1)①，②证明：∵l与y轴交于点B，∴∴ ∵过点A作轴于点C，∴，∴∴四边形为平行四边形； (2) 【详解】（1）∵点在抛物线上，∴ ∴设过的直线l的表达式为， ∵过点A的切线为l∴与联立，得到，整理得 ∵只有一个公共点，∴，∴ ∴直线l的表达式为 ①当时，，，此时l的表达式 ②略 （2）∵点D，E在该抛物线上，∴设，，设直线解析式为， ∴，解得，∴直线解析式为 设过点D，E作抛物线切线，分别为，， 与联立，得到，整理得 ∵只有一个公共点，∴，∴ ∴直线的表达式为同理可得，直线的表达式为， ∵设，交于点F．∴联立，解得∴ ∵点F始终在直线上，∴，整理得 ∴直线解析式为 ∴当时，与坐标无关，此时，即直线经过定点． 3．（2026·河南安阳·二模）定义：我们把函数的“变化率”规定为研究函数增减快慢的量，对于函数，任取两个不相等的自变量，，记，，则叫做函数在到的平均变化率． 特别地： 1．若对于任意，，平均变化率为定值，则称该函数为常变率函数，这个定值叫做该函数的固定变率；例如正比例函数，平均变化率恒为3，故其固定变率为3； 2．若平均变化率随自变量变化，当无限趋近于（记）时，的定值叫做函数在x处的瞬时变率，记作； 3．瞬时变率的计算规则：可通过代数变形消去，再直接去掉，即可得到． (1)已知一次函数，记其表达式为①求该函数的固定变率；②若一次函数的固定变率为，且过点，求的解析式． (2)已知反比例函数①按定义推导该函数的瞬时变率（用含k，x的式子表示）； ②若，点在的图象上，过A作轴于B，点C在x轴正半轴上，且，记直线的斜率为，当时，求面积的最大值与最小值． (3)已知二次函数，其图象与y轴交于点D ①按定义推导该二次函数的瞬时变率（用含a，b，x的式子表示）； ②若，，过点D作直线L，使得直线L的斜率等于在点处的瞬时变率，直线L与的图象交于另一点E，点F为图象的顶点，连接，，记的面积为S，求E的坐标； ③在②的条件下，点P在的图象上，且点P的横坐标为m，其瞬时变率满足，求S关于t的函数解析式，并求S的最大值与最小值及对应m的取值范围． [即函数值，例如可表示为，即] 【答案】(1)①2， ② (2)①，②最大值与最小值均为4 (3)①，②，③，最大值，最小值0，对应 【详解】（1）解：①任取，∴，∴； ②由定义得，代入得，解得，故． （2）解：①，，，去掉得； ②，则，，，或 当时，，令，解得， 当时，，无负解，舍去，； 又，由推导得为唯一解，故面积定值4，∴最大值和最小值均为4． （3）解：①，， ，去掉得，； ②，，则，∴，，， 直线L的解析式：，联立，解得或，故； ③，由，得， 分情况讨论：当或时，， 当时，，无最大值；当时，；当时，； 综上，，最大值，最小值0，对应． 4．（2025·湖南永州·三模）【定义】在平面直角坐标系中，与x轴有交点的函数称为：“零点函数”，交点的横坐标称为“零点”．例如：函数与x轴的交点坐标是，所以函数是“零点函数”，1是该函数的零点． 【探究】运用上述定义解决下列问题：（1）下列函数是“零点函数”的是______，其零点是：______． ①            ②            ③ （2）已知二次函数是“零点函数”，且两个零点，，，求实数a的取值范围． 【应用】如图：已知二次函数（b，c为常数，）的一个零点为，点是x轴正半轴上的动点，点在抛物线上，当的最小值为时，求二次函数的另一个零点． 【答案】（1）③，；（2）；（3）二次函数的另一个零点为5 【详解】探究：（1）解：令，x无解，则①不是“零点函数”； 令，x无解，则②不是“零点函数”； 令，解得：，则③是“零点函数”，其零点是；故答案为：③，； （2）解：由题意可知： 由①得：，由②得：，∴，由③得：，∴实数a的取值范围是：； 应用：解：∵二次函数的一个零点为，∴，即， 又∵，∴，即另一个零点大于1，， ∵Q点在抛物线上，∴， 在y轴上取点，连接．过点M作于点P，作轴于H，即， ∵，∴， ∴在中，，即， 当取最小值时，取最小值，即P、M、Q三点共线，此时，M为与x轴的交点， ∵，，∴， 在中，，，∵点，∴，即， 又∵的最小值为，，， ∴，解之得：，∴二次函数， 令，解得或（舍去），∴二次函数的另一个零点为5． 5．（2026·四川自贡·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数（b、c为常数）的图象与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），交y轴于点C，对称轴为直线，． (1)求二次函数关系式．(2)连接，抛物线上是否存在点P，使，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．(3)如图2，点M、N为x轴下方抛物线上两点（点M在点N的左边），直线、与y轴分别交于R、T两点，若，试探究直线是否经过定点，若是，求定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)(2)存在，(3)经过定点，为 【详解】（1）解：∵对称轴为直线，∴，∴，即； （2）解：设与线段交于点，当时，∴，∴， ∴为等腰直角三角形，，∴ ∵∴∵，∴ ∴∴∴， 过点作轴于点，则为等腰直角三角形， ∴∴∴ 设直线则解得∴直线 与抛物线表达式联立可得，整理得， 解得，（舍去）∴； （3）解：直线经过定点，定点为， 设直线，直线与抛物线的交点,， 与抛物线表达式联立，则，整理得， ∴，设直线 则解得，∴直线 ∴当时，∴同理， ∵点M、N为x轴下方抛物线上两点 ∴ ∴∴∴∴ ∴直线 当时，即时， ∴直线经过定点，定点为． 6．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）已知过点的抛物线还经过点，，中的两个点，且当时，y随x的增大而增大． (1)求该抛物线的解析式；(2)直线交抛物线于两点（点M在点N左侧）． ①当，时，若，求t的值；②线段的中点为E，过点E作轴交抛物线于点F，若，则直线必过一定点，请直接写出该定点的坐标． 【答案】(1)(2)①；② 【详解】（1）解：∵抛物线经过，∴，抛物线的对称轴为， ∵当时，y随x的增大而增大，∴， 当抛物线经过点，时，抛物线的对称轴为，则，∴； 当抛物线经过点，时，抛物线的对称轴为，不符合题意； 当抛物线经过点，时，抛物线的对称轴为，不符合题意； 综上，，∴抛物线的解析式为； （2）①当，时，，联立，整理得：， 解得：，，则，， 由勾股定理可得：， ，， ∵，即， ，，∴； ②联立，整理得：，，设，， 则，，， 则 ， ∵为线段的中点∴点的横坐标为， 纵坐标为， 则点的纵坐标为：， ∴ ， ∵，∴，则， ∴，整理得：，∴， 当时，，∴经过定点． 7．（2025·辽宁营口·模拟预测）在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：点在函数图象上，点A的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 根据定义，解答下列问题：(1)函数的“最优纵横值”为_____； (2)若二次函数图象的顶点在直线上，且“最优纵横值”为3，求的值； (3)抛物线图象的顶点在直线上． ①当，当时，二次函数的“最优纵横值”为7，求的值． ②抛物线上，两点的“纵横值”分别为m，n且，直接写出的取值范围．（用含的代数式表示） 【答案】(1)(2)(3)①或；② 【详解】（1）解：，， ，时，的最大值是，故答案为：； （2）解：∵二次函数 的顶点在直线上，， ，， ， ∵最优纵横值为，，； （3）①解：当时，二次函数的顶点在直线上， ，， ， ∵当 时，二次函数的最优纵横值为， 当 即时，则时，有最大值为， 解得或 (舍去)， 当 即时，则时，有最大值为， ，解得或 (舍去)，故的值为或； ②∵抛物线上，两点的“纵横值”分别为m，n， ∴；， ∵，∴，整理得：， 当时，∴， ∵，∴，∴，∴，， ∵，∴，∵，∴，即． 8．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，且对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式；(2)如图1，在第二象限的抛物线上作点D，连接交直线于点E，若与相似，求点D的横坐标；(3)如图2，经过点的直线交抛物线于两点（M在第三象限，N在第一象限），直线交线段于点Q（不与重合），若的值与k无关，求的值． 【答案】(1)抛物线的解析式为(2)或者(3) 【详解】（1）由已知，知点，且对称轴为直线则 解得所以抛物线的解析式为． （2）如图，①当时，，则；设直线为， 将代入得解得，所以直线， 因为，所以直线为：，联立抛物线与直线得 即，解得（舍去）； ②当时，，作，由，对称轴为直线， 则，所以， 所以，作，则， 设得，点， 直线为：，联立抛物线与直线，解得（舍去） 综上所述点D的横坐标为或者．          （3）  如图，设点， 因为直线经过点，所以，直线 联立直线与直线，解得① 联立直线与抛物线得即 由韦达定理得② 如图分别作，则，，所以， 将及①②代入得，设， ，因为若的值与k无关， 解得，或． 当时，P与Q重合，不合题意，故舍；． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数与代数综合压轴问题（解答类） 1）会处理含参二次函数定点、定值问题； 2）掌握函数交点个数、区间根、恒成立、存在性不等式问题的转化方法； 3）能利用韦达定理整体代换，不解方程求代数式的值或范围； 4）掌握函数图像平移、对称后参数变化，结合自变量范围分析函数值变化； 5）含参二次函数：求解析式、定点定值证明、韦达定理（根与系数关系）整体代换； 6）素养目标：强化函数与方程思想、转化思想、分类讨论、整体思想；区分“恒成立”“存在性”“对任意”“至少有一个”的逻辑差异；规范代数说理步骤。 二次函数与代数方面的结合（如与根与系数的关系），主要题型方面出现直线（曲线）过定点问题、动点过定直线问题、与根与系数相关的新定义和定值问题等。 1）直线（曲线）过定点问题：这类题的关键是‌无论参数如何变化，直线或曲线始终经过某个固定点‌。 ‌‌参数法（通法）：将曲线方程用参数表示，整理成关于参数的方程。若方程对所有参数值成立，则参数的系数必须为零，由此解出定点坐标。 2）动点过定直线问题：是“过定点”的逆向思维，‌无论动点如何运动，其轨迹始终在某条固定直线上‌。 解法思路‌：通常通过几何性质（如对称、相似）或代数方法（消参）证明动点的横坐标或纵坐标恒为定值，或横坐标与纵坐标存在某种关联。 3）‌韦达定理相关的定值或新定义问题：这类题将‌韦达定理与二次函数结合，考查新定义或定值证明。 韦达定理是桥梁‌：直线与二次曲线联立后，利用韦达定理表示根的和与积，简化计算。 题型01：二次函数中的直线过定点问题 【典例】（2026成都校考一模）已知抛物线与轴交于A，两点，与轴交于点，．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，已知点为第一象限内抛物线上的一点，点的坐标为，；求点的坐标；(3)如图2，将抛物线平移到以坐标原点为顶点，记为，点在抛物线上，过点作分别交抛物线于，两点，求直线过定点的坐标． 【变式1】（2026·福建福州·模拟预测）已知抛物线 与x轴交于、B两点，顶点为P，与y轴交于C点，且的面积为6． (1)求抛物线的对称轴和解析式；(2)平移这条抛物线，平移后的抛物线交y轴于E，顶点Q在原抛物线上，当四边形是平行四边形时，求平移后抛物线的表达式；(3)若过定点K的直线交抛物线于M、N两点（N在M点右侧），过N点的直线 与抛物线交于点 G， 求证： 直线必过定点． 【变式2】（25-26九年级下·江苏无锡·期中）已知二次函数的图像与x轴交于点，两点，与y轴交于点C．(1)直接写出这个二次函数的表达式；(2)如图1，连接，点P是直线上的一个动点，过点P的直线l与平行，则在直线l上是否存在点Q，使点B与点P关于直线对称？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，点G，H为x轴上方的抛物线上两点（点G在点H的右边），直线、与y轴分别交于S，T两点，若，试探究直线是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．      题型02 二次函数中动点在定直线问题 【典例】（2026·四川成都·校考一模）如图，直线分别交x轴，y轴于A，C两点，点B在x轴正半轴上．抛物线过A，B，C三点．(1)求抛物线的解析式；(2)过点B作交y轴于点D，交抛物线于点F．若点P为直线下方抛物线上的一动点，连接交于点E，连接，求的最大值及最大值时点P的坐标；(3)如图2，将原抛物线进行平移，使其顶点为原点，进而得到新抛物线，直线与新抛物线交于O，G两点，点H是线段的中点，过H作直线（不与重合）与新抛物线交于R，Q两点，点R在点Q左侧．直线与直线交于点T，点T是否在某条定直线上？若是，请求出该定直线的解析式，若不是，请说明理由． 【变式1】（25-26九年级上·成都·校考期中）如图1，抛物线与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若． (1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接，D是上方抛物线上异于B、C的一点，连接交y轴于点E，当时，求点D的坐标；(3)如图2，是抛物线上异于B，C的两个动点，直线与直线交于点T，若直线经过定点，求证：点T的运动轨迹是一条定直线． 【变式2】（25-26九年级上·成都·校考期末）如图1，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式；(2)为轴下方抛物线上一点，，求点坐标； (3)如图2，直线与抛物线交于，两点，直线与直线交于点，问：点是否在定直线运动，若是，求直线的解析式，若不是，请说明理由． 题型03 二次函数过定点和二次函数轨迹问题 【典例】（25-26九年级上·成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点和点，直线与抛物线交于两点，与轴交于点．  (1)求抛物线的解析式和点的坐标；(2)已知抛物线沿轴向右平移个单位长度后得到抛物线．①用含的式子表示抛物线的顶点坐标；②当时，直线与轴交于点，与直线交于点．若抛物线与线段有公共点，求的取值范围；(3)已知是的中点．当变化时，试探究点的运动轨迹是否为一条直线或一条抛物线的一部分？若是，请直接写出该直线或抛物线的解析式；若不是，请说明理由．[提示：若，则的中点坐标为 【变式1】（2025·山东淄博·二模）如图，已知抛物线经过定点． (1)直接写出点的坐标；(2)直线与抛物线交于，两点（不与点重合），过点作于点，存在的取值，使得对于任意的，恒成立．求的值； (3)如图，若上述抛物线经过原点，与轴交于另一点，将绕点顺时针旋转一定的角度，使点的对应点落在抛物线的对称轴上． 直接写出的度数；请判断，此时点的对应点是否在抛物线上，请说明理由． 【变式2】（25-26九年级上·浙江舟山·阶段检测）如图，抛物线C：的对称轴为直线，且抛物线经过，两点，与x轴交于点N． (1)点N的坐标为 ；(2)已知抛物线与抛物线C关于y轴对称，且抛物线与x轴交于点A，（点A在点的左边）；①抛物线的解析式为 ；②当抛物线和抛物线C上y都随x的增大而增大时，请直接写出此时x的取值范围．(3)若抛物线∁n的解析式为，抛物线的顶点为，与x轴的交点为A，（点A在点的左边）． ①求的值；②判断抛物线的顶点，，，…，是否在一条直线上，若在，请直接写出该直线的解析式；若不在，请说明理由． 题型四： 二次函数中的定值问题 【典例】（25-26九年级上·广东江门·月考）已知，如图，抛物线与轴正半轴交于、两点，与轴交于点，直线经过、两点．(1)求抛物线的解析式；(2)为抛物线上一点，若点关于直线对称点落在轴上，直接写出点坐标；(3)现将抛物线平移，保持顶点在直线上，若平移后的抛物线与直线交于、两点，求证：的长度为定值． 【变式1】（26-27九年级上·湖北黄石·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点在轴正半轴上． (1)如图（1），菱形的顶点，，在二次函数的图象上，且轴，已知点，求抛物线解析式及菱形的边长．(2)如图（1），已知菱形的顶点，，在二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长．(3)如图（2），已知正方形的顶点，在二次函数的图象上，点，在轴的同侧，且点在点的左侧，设点，的横坐标分别为，，探究是否为定值如果是，求出这个值如果不是，请说明理由． 【变式2】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图①，已知抛物线与x轴交于两点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q．(1)求抛物线的表达式；(2)设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值；(3)如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 题型五： 二次函数与新定义综合压轴 【典例】（2026·河北邯郸·校考一模）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究（）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点的距离，始终等于它到定直线l：的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为l：，其中，． 【基础训练】（1）①请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的方程： ， ； ②抛物线上的动点P到它的焦点之间距离最小值为 ． 【技能训练】（2）如图2，已知抛物上一点（）到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标； 【能力提升】（3）如图3，已知抛物线的焦点为F，准线方程为l．直线m：，过抛物线上P点作x轴垂线，交直线m于点Q，，，当时，请直接写出P点横坐标x的取值范围． 【拓展延伸】该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线（）平移至（）．坐标系内有一定点，直线l过点．且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线上的动点P到点的距离等于点P到直线l：的距离． 请阅读上面的材料，探究下题： （4）如图4，点是第二象限内一定点，点P是抛物线上一动点，当取最小值时，请直接写出最小值及此时的面积． 【变式1】（2025·广东深圳·三模）规定1：一个点纵坐标与横坐标的比“”称为点的“纵横比”．例如：点，则它的“纵横比”为． 规定2：若点是函数图象上任意一点，则函数图象上所有点的“纵横比”中的最大值称为函数的“最优纵横比”． 例如：点在函数图象上，图象上所有点的“纵横比”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的（）“最优纵横比”为7． 根据规定，解答下列问题：(1)点的“纵横比”为_____； (2)若当时，一次函数的最优纵横比为5，则的值为_____； (3)若已知二次函数的顶点在直线上，当时，二次函数的最优纵横比为2，求的值． (4)若已知二次函数的图象如图所示，平面中有、两点，且，，现向左右平移该二次函数图象，使得图象与线段只有一个交点．若平移的距离为，请求出的取值范围，并直接写出交点“纵横比”的对应范围_____． 【变式2】（2025·成都·模拟预测）我们约定：如果一个二次函数的二次项系数和一个一次函数和一次项系数相同，且二次函数的一次项系数和一次函数的常数项相同，则称这两个函数互为“友情函数”，例如：二次函数与一次函数互为“友情函数”． (1)已知二次函数满足，试说明该二次函数与它的“友情函数”有两个不同的交点； (2)当二次函数与它的“友情函数”仅有一个交点，且时，请判断这两个函数是否有交点，如果有，请写出交点的横坐标； (3)若二次函数满足以下条件：①函数图像过点，②，若该二次函数与它的“友情函数”的交点的横坐标，，试判断的取值范围． 题型六：二次函数中交点问题 【典例】（2025·四川乐山·二模）有二次函数，且等式恒成立．(1)求的值；(2)当时，该二次函数满足随的增大而减小，求的取值范围；(3)是否存在这样的实数，使得同时满足下列两个条件：①关于的方程（其中）恰好有四个不同的实数解；②函数的图象与轴的两个相异交点都在直线的左侧．若存在，请求出的取值或取值范围；若不存在，请说明理由． 【变式1】（2025·江苏南京·一模）已知二次函数的图象为．(1)用表示图象的顶点坐标；(2)证明：当时，图象与轴有两个交点；(3)记一次函数（是常数，，）的图象为线段，若图象与线段恰有一个公共点，直接写出的取值范围． 【变式2】（26-27九年级上·辽宁大连·期中）已知抛物线的对称轴为直线． (1)若抛物线经过点． ①求这条抛物线的表达式；②将抛物线向右平移（）个单位得到抛物线，当时，抛物线对应的函数值的最大值为16，求的值；③过点的直线与抛物线交于不同的两点，，设点的横坐标为，点的横坐标为，求的值； (2)已知点，，若抛物线与线段只有一个交点，直接写出的范围． 题型七：二次函数中最值、函数值大小问题（含参） 【典例】（2025·成都·二模）已知抛物线． (1)若点在抛物线上，①求此抛物线的解析式及顶点坐标．②已知点，的坐标分别为，，连结，若线段与抛物线只有一个公共点，求的取值范围．(2)已知点，是抛物线上的两点，若对于，都有，求的取值范围． 【变式1】（2025·成都·二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点（在的左侧）． (1)二次函数的顶点坐标为__________； (2)若二次函数由平移所得， ①求线段的长；②当时，二次函数的最大值与最小值的和等于，求的值． 【变式2】（2025·成都·三模）已知抛物线． (1)请用配方法求出抛物线的对称轴和顶点坐标（用含b，c的代数式表示）． (2)已知点M，N是该抛物线上的两个不同的点． （i）如果点M的坐标为，点N的坐标为，且，求b的取值范围； （ii）如果点M的坐标为，点N的坐标为，当时，y的最大值为11，最小值为2，请求出的取值范围． 题型八：二次函数中其他问题 【典例】（2025·湖北黄冈·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于和两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为．    (1)如果抛物线还经过点．①求抛物线的解析式；②求四边形的面积； ③动直线与抛物线交于点，与直线交于点，线段的长为，求关于的函数解析式； (2)我们规定：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点，之间的部分与线段所围成的区域内（不含边界）恰有6个整点，试结合函数图象直接写出的取值范围． 【变式1】（2025·山东青岛·模拟预测）【问题探究】数学兴趣小组成员小亮在研究抛物线的性质时，发现其开口也可向左或向右．如图①，曲线相当于作为自变量的二次函数，抛物线开口朝向轴正半轴方向，在平面直角坐标系中，即为一条开口向右的抛物线，根据书写习惯，一般将其写为．已知抛物线过，与原点三点．（1）请直接写出的解析式； 【延伸拓展】小亮所在小组的组长小蓝对该问题经过研究后，便寻找更复杂的情况进行学习研究： 如图②，已知抛物线：与直线：有两个交点，，在直线上有一点，连接， （2）请直接写出点A，B的坐标；（3）小亮和小蓝通过资料查阅得到了平面内两点的距离公式如下： 在平面直角坐标系中，设两点，，则A，B两点间的距离公式为： 则当取得最小值时，请求出点的坐标和的长度． 【变式2】（2025·江苏镇江·中考真题）在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与二次函数（、为常数）的图像交于点、（点在点的左侧），点在直线上，当点满足时，我们称点是该二次函数图像的生长点． (1)二次函数的图像如图所示．①在的不同取值2、、5中，使该函数图像有生长点的的值是_____；②已知是该函数图像的生长点，猜想的取值范围，并说明理由． (2)二次函数（h、k为常数）的图像经过点，若是该函数图像的生长点，求该函数的表达式． 【巩固训练】 1．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，直线与抛物线交于两点(点在轴左侧，点在轴右侧)，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式；(2)若与的面积之比是，求的值； (3)若作点关于轴的对称点，直线与直线相交于点，试探究：的面积是否为定值？若为定值，请求出的面积；若不为定值，请说明理由． 2．（2026·浙江台州·二模）如图，二次函数，（a为常数，且）的图象在同一平面直角坐标系中，且的图象过点． (1)求的值．(2)与轴平行的直线与的图象交于，两点，记点，的横坐标分别是，，且，当时，求的函数值的取值范围．(3)已知点，（其中，）分别在，图象上，求的最小值． 3．（2025·辽宁抚顺·一模）一般地，在实数范围内的两个变量x，y，以及对应关系f，对于每一个实数x，y都有唯一确定的实数与之对应，则称f为定义在实数范围内的一个函数，即（x为使对应关系成立的全体实数）．例如：若，则；若，则．如图，函数的图象与x轴交于点A，且，与y轴交于点C，且．函数的图象经过点A和点C． (1)求的表达式．(2)如图，若为函数图象上的一点，作垂直x轴，垂足为E，延长交的图象于点F，此时称点D与点F互为“垂直点”，两垂直点函数值的差，即称为“垂直差”．当时，求的最大值以及此时的值．(3)若是函数图象上不与点B重合的一点，当的面积与的面积相等时，求出的值． 4．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）在平面直角坐标系中，一次函数图象分别与轴，轴交于点、，点是线段上一点，与不重合．二次函数（是常数，且）的图象经过点，顶点是，将该二次函数的图象平移后得到新抛物线，、分别是、的对应点，且点落在轴正半轴上，点的纵坐标为．(1)______；(2)①求点的坐标；②求原抛物线的函数表达式；(3)已知新抛物线与轴交于点，点、在新抛物线上，若对于满足任意实数总成立，求实数的取值范围． 5．（2026·四川德阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”．如图，点在函数的图象上，点的“关联点”是点． (1)如果点在函数的图象上，求点的坐标；(2)将点称为点的“待定关联点”其中如果点的“待定关联点”在函数的图象上，试用含的代数式表示点的坐标． 6．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）已知二次函数（t为常数）． (1)若二次函数图象经过原点，求t的值． (2)已知点，在该二次函数图象上，若，，试比较m，n的大小关系． (3)当时，函数y的最大值与最小值的差为1，求t的取值范围． 7．（2026·江苏连云港·二模）如图，“爱心”图案是由抛物线的一部分及其关于直线的对称图形组成，点E、F是“爱心”图案与其对称轴的两个交点，点A、B、C、D是该图案与坐标轴的交点，且点D的坐标为．    (1)求m的值及AC的长；(2)求的长；(3)若点P是该图案上的一动点，点P、点Q关于直线对称，连接，求的最大值及此时Q点的坐标． 8．（2025·湖南湘西·模拟预测）【定义】在平面直角坐标系中，我们给出一个“积值”的定义： 点是函数图象上任意一点，横坐标与纵坐标的乘积称为点在函数图象上的“积值”； 【举例】已知点在函数的图象上，点在函数图象上的“积值”为． 【问题】根据定义，解答下列问题：(1)已知点是函数图象上一点，则点在该函数图象上的“积值”为______；(2)求点在函数图象上的“积值”；(3)已知点在函数（为常数，且）的图象上，当时，点在函数图象上的“积值”的最小值为，求的值． 9．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）已知抛物线经过原点，且对称轴与轴的交于点，点在抛物线的对称轴上．(1)求抛物线的解析式；(2)如图（1），过点作一条直线交抛物线于，两点（点在点的左侧，），若的面积为，求直线的解析式； (3)如图（2），若直线交抛物线于另一点，过点作一条动直线交抛物线于点，（在的左侧），直线、分别交抛物线的对称轴于点，，请问在抛物线的对称轴上是否存在定点（点的下方），使得为定值？若存在，请求出定点，若不存在，请说明理由． 【强化训练】 1．（2026·四川成都·模拟预测）如图，抛物线与轴交于A、两点（点A在点的左侧），与轴交于点．(1)若，求的值；(2)在（1）的条件下，点为第三象限内抛物线上一点，交于点，交轴于点，且，求点的坐标；(3)在第三象限内的抛物线上是否存在两个不同的点、关于直线对称？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由． 2．（2026·四川成都·二模）【学习与思考】类比圆的切线，抛物线的切线是指过抛物线上一点的直线，这条直线不与x轴垂直并且与抛物线只有一个公共点．比如在平面直角坐标系中，抛物线上的点，过点P的切线可写作：，代入，，得到，所以，与联立，得到，因为只有一个公共点，所以，得到，所以经过点P的切线为． 【理解与应用】在平面直角坐标系中，抛物线． (1)点在抛物线上，设过点A的切线为l．①若，求l的表达式； ②设l与y轴交于点B，过点A作轴于点C，求证：四边形为平行四边形； (2)动点D，E在该抛物线上，分别过点D，E作抛物线切线，，设，交于点F．若点F始终在直线上，试说明直线经过定点，并求出该定点坐标． 3．（2026·河南安阳·二模）定义：我们把函数的“变化率”规定为研究函数增减快慢的量，对于函数，任取两个不相等的自变量，，记，，则叫做函数在到的平均变化率． 特别地： 1．若对于任意，，平均变化率为定值，则称该函数为常变率函数，这个定值叫做该函数的固定变率；例如正比例函数，平均变化率恒为3，故其固定变率为3； 2．若平均变化率随自变量变化，当无限趋近于（记）时，的定值叫做函数在x处的瞬时变率，记作； 3．瞬时变率的计算规则：可通过代数变形消去，再直接去掉，即可得到． (1)已知一次函数，记其表达式为①求该函数的固定变率；②若一次函数的固定变率为，且过点，求的解析式． (2)已知反比例函数①按定义推导该函数的瞬时变率（用含k，x的式子表示）； ②若，点在的图象上，过A作轴于B，点C在x轴正半轴上，且，记直线的斜率为，当时，求面积的最大值与最小值． (3)已知二次函数，其图象与y轴交于点D ①按定义推导该二次函数的瞬时变率（用含a，b，x的式子表示）； ②若，，过点D作直线L，使得直线L的斜率等于在点处的瞬时变率，直线L与的图象交于另一点E，点F为图象的顶点，连接，，记的面积为S，求E的坐标； ③在②的条件下，点P在的图象上，且点P的横坐标为m，其瞬时变率满足，求S关于t的函数解析式，并求S的最大值与最小值及对应m的取值范围． [即函数值，例如可表示为，即] 4．（2025·湖南永州·三模）【定义】在平面直角坐标系中，与x轴有交点的函数称为：“零点函数”，交点的横坐标称为“零点”．例如：函数与x轴的交点坐标是，所以函数是“零点函数”，1是该函数的零点． 【探究】运用上述定义解决下列问题：（1）下列函数是“零点函数”的是______，其零点是：______． ①            ②            ③ （2）已知二次函数是“零点函数”，且两个零点，，，求实数a的取值范围． 【应用】如图：已知二次函数（b，c为常数，）的一个零点为，点是x轴正半轴上的动点，点在抛物线上，当的最小值为时，求二次函数的另一个零点． 5．（2026·四川自贡·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数（b、c为常数）的图象与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），交y轴于点C，对称轴为直线，． (1)求二次函数关系式．(2)连接，抛物线上是否存在点P，使，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．(3)如图2，点M、N为x轴下方抛物线上两点（点M在点N的左边），直线、与y轴分别交于R、T两点，若，试探究直线是否经过定点，若是，求定点坐标；若不是，请说明理由． 6．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）已知过点的抛物线还经过点，，中的两个点，且当时，y随x的增大而增大． (1)求该抛物线的解析式；(2)直线交抛物线于两点（点M在点N左侧）． ①当，时，若，求t的值；②线段的中点为E，过点E作轴交抛物线于点F，若，则直线必过一定点，请直接写出该定点的坐标． 7．（2025·辽宁营口·模拟预测）在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：点在函数图象上，点A的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 根据定义，解答下列问题：(1)函数的“最优纵横值”为_____； (2)若二次函数图象的顶点在直线上，且“最优纵横值”为3，求的值； (3)抛物线图象的顶点在直线上． ①当，当时，二次函数的“最优纵横值”为7，求的值． ②抛物线上，两点的“纵横值”分别为m，n且，直接写出的取值范围．（用含的代数式表示） 8．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，且对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式；(2)如图1，在第二象限的抛物线上作点D，连接交直线于点E，若与相似，求点D的横坐标；(3)如图2，经过点的直线交抛物线于两点（M在第三象限，N在第一象限），直线交线段于点Q（不与重合），若的值与k无关，求的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $