专题6.4（1） 用二次函数解决问题：应用题 讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学下册

简一数理 初中专题讲义 专题6.4(1) 用二次函数解决问题：应用题 （新教材苏科版） 知识点一、用二次函数解决实际问题的一般步骤 2 知识点二、利用二次函数解决利润最值的方法 2 知识点三、利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法 2 知识点四、利用二次函数解决面积最值的方法 2 【题型1 图形问题】 2 【题型2 图形运动问题】 3 【题型3 拱桥问题】 5 【题型4 销售问题】 6 【题型5 投球问题】 7 【题型6 喷水问题】 8 【题型7 增长率问题】 9 【题型8 其他问题】 10 【探究式学习】 13 【课后检测】 15 【复盘笔记】 20 知识点一、用二次函数解决实际问题的一般步骤 1.审：仔细审题，理清题意； 2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 知识点二、利用二次函数解决利润最值的方法 巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题。 知识点三、利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法 先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。 知识点四、利用二次函数解决面积最值的方法 先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。 【题型1 图形问题】 【例1】如图，现有长为20米的篱笆，一面利用墙（墙的长度足够），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，建造篱笆花圃时在边留了两个宽为1米的出入口（不需材料），设的长为米，花圃的面积为平方米，则与之间的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】嘉琪以二次函数的图象为灵感，为某葡萄酒大赛设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，则杯身的高为(     ) A．6 B．8 C．11 D．12 【变式1-2】为了节省材料，某工厂利用岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80米的材料围成一个由三块面积相等的小长方形组成的矩形区域（如图），若米，则下列4个结论：①米；②；③；④矩形的最大面积为300平方米．其中正确结论的个数为（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】一个矩形周长为，不能围成的面积是（   ） A． B． C． D． 【题型2 图形运动问题】 【例2】如图，在边长为4的正方形中，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点运动，同时动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，当运动到点时，、两点同时停止运动．设点运动的时间为，的面积为，则与的函数关系的图象是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，矩形中，，，动点M从点A出发以的速度沿折线运动到点C停止．连接，作交于点N．设点M运动时，长为，则y关于t的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，四边形为矩形，，，点从点出发沿以的速度向终点匀速运动，同时，点从点出发沿以的速度向终点匀速运动，设点运动的时间为，的面积为，下列选项中能表示与之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，在四边形中，，，，．点E由B出发，沿折线向D运动，，垂足为M，，垂足为N，设，矩形的面积为y，那么y与x间的函数关系的图象大致是（    ）    A． B．   C．   D．   【题型3 拱桥问题】 【例3】一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面时，水面宽．突降暴雨后水面上升，此时水面宽为（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】石拱桥是我国古代人民建筑艺术上的智慧象征如图，拱桥的形状是抛物线，其函数解析式为，当水面离拱顶的距离为m时，水面的宽度为（     ）. A． B． C． D． 【变式3-2】如图1，一圆弧形桥拱的圆心为，拱桥的水面跨度为，桥拱到水面的最大高度为2米．汛期水面上涨的过程中，设水面上涨的高度为（单位：），为（单位：），如图2，是关于的函数图象的一部分，图象与轴交于点，且经过点．下列选项正确的是（     ） A．拱桥的水面跨度为4米 B．拱桥的半径为4米 C．点在该函数图象上 D．该函数图象是某一个一次函数图象的一部分 【变式3-3】某公园拱桥为抛物线形，以水面为x轴，拱桥竖直对称轴为轴建立平面直角坐标系．已知拱桥最高点距离水面，水面跨度为，则该拱桥的抛物线表达式为（        ） A． B． C． D． 【题型4 销售问题】 【例4】某商品的进货单价为30元/个，当销售单价为40元/个时，每天能卖出40个，若销售单价每上涨1元/个，则每天的销量就减少1个．设该商品的销售单价为x元/个，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出200件，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，售价为多少时利润最大？（     ） A．55 B．57 C．58 D．59 【变式4-2】某产品的成本是每件元，试销阶段每件产品的售价x（单位：元）与日销售量y（单位：件）之间的关系式为．为获得最大的日销售利润，每件产品的售价应定为（    ） A．120元 B．130元 C．150元 D．160元 【变式4-3】“直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某直播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．经调查发现每件售价99元时，日销售量为300件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加3件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为（元），主播每天的利润为（元），则与之间的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【题型5 投球问题】 【例5】在一名运动员的某次投篮中，篮球的运动路线是抛物线的一部分（如图），已知篮球运动的最大高度是．若篮球投入篮筐（篮筐距地面高度为），则运动员到篮筐正下方的距离的大小是（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】投壶是“投箭入壶”的简称，作为非物质文化遗产，不仅具有深厚的历史渊源和文化背景，还承载着中华民族的传统礼仪和娱乐文化，其中箭头的行进路线可看作一条抛物线．已知一名男生投壶时，箭头的行进高度（单位：）与水平距离（单位：）的关系可以表示为，则这名男生此次投壶箭头行进的最大高度为（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】一位运动员掷出铅球，铅球离地高度（单位：米）关于水平距离（单位：米）的函数表达式为，此运动员这一掷的成绩是（     ） A．9米 B．8米 C．7米 D．6米 【变式5-3】某同学投出的篮球的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，篮球运动的竖直高度与水平位移近似满足函数关系．根据上述函数模型和以下数据，可推断出篮球运动到最高点时，其水平位移为（     ） A． B． C． D． 【题型6 喷水问题】 【例6】某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子恰为水面中心，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过的任一平面上，建立平面直角 坐标系（如图），水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是 ，则下列结论错误的是（  ） A．柱子的高度为 B．喷出的水流距柱子处达到最大高度 C．喷出的水流距水平面的最大高度是 D．水池的半径至少要才能使喷出的水流不至于落在池外 【变式6-1】小明周末外出游玩时看到某公园有一圆形喷水池，如图1，简单测量得到如下数据：圆形喷水池直径为，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈拋物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，小明根据图示建立了平面直角坐标系，如图2，则的高度是（）    A． B． C． D． 【变式6-2】如图1是某城市广场音乐喷泉，出水口A处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度与水平距离之间的关系如图2所示，点B为该水流的最高点，点C为该水流的落地点，且，垂足为点D，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，长为．水流在各个方向上沿抛物线路径落到水池．某方向上抛物线路径的形状如图所示，已知落点B到点O的距离为．建立如图所示的平面直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间满足函数关系，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 【题型7 增长率问题】 【例7】某出版社一月份发行65万册新书，如果从二月份起，每月发行量的增长率都为，那么三月份的发行量（万册）与的函数表达式是______． 【变式7-1】“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的万人增加到2023年的50万人．设该市参加健身运动人数的年平均增长率为x． (1)用含x的代数式表示2023年参加健身运动的人数y（单位：万人），并化为二次函数的一般形式； (2)根据题意，求该市参加健身运动人数的年平均增长率． 【变式7-2】在数学课上学习一元二次方程应用——变化率问题时，小雨同学发现若两种商品原价相同，分别经过两轮涨价之后的价格也相同，其中一种商品第一轮涨价，在第一次涨价后的价格基础上，第二轮涨价的百分率为，另一种商品两轮涨价的百分率均为（），则与存在函数关系，试写出与的函数解析式． 【变式7-3】某区今年月份工业生产值达亿元，第一季度总产值为亿元，设平均每月增长率为，则与之间的函数关系式为________． 【题型8 其他问题】 【例8】某飞机着陆后滑行距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是．飞机着陆后滑行至停止时的距离，为滑行距离函数的最大值．已知当滑行时间为2s时，滑行距离为114米，滑行时间为10s时，滑行距离为450m． (1)求y关于t的函数解析式，并写出飞机从着陆滑行至滑行停止时的自变量t的取值范围； (2)当滑行时间为16s时，求滑行距离； (3)求滑行停止前最后4s飞机的滑行距离． 【变式8-1】大同南城墙永泰门广场的音乐喷泉夏季夜晚开启灯光秀，本地人和外地游客络绎不绝．喷泉喷出的水流轨迹如下图近似抛物线型，水流从水面点喷出，落在水面上点，以所在的直线为轴，水流喷出点为坐标原点建立平面直角坐标系，，水流最高点距离水面． (1)求这条水流抛物线的函数表达式； (2)在水面上、两点处装有两个射灯，射出的两条光线垂直打到抛物线型水流的、两点处，垂直高度都是，求、两点之间的水平距离． 【变式8-2】我国新能源汽车产销量连续多年位居全球第一，是中国制造的一张“亮丽名片”．某企业测试一款新型电动汽车的电池续航性能，在匀速行驶等理想条件下，测得部分数据如下： 行驶速度（公里/小时） 50 60 70 80 90 实际能耗（千瓦时/百公里） 14.82 14.1 13.86 14.1 14.82 (1)请根据表格中的数据在坐标系中画出相应的点； (2)结合（1）中所描点的分布特征，从反比例函数、一次函数、二次函数中选择最符合实际能耗与行驶速度之间关系的函数，并求出该函数表达式； (3)该款汽车的电池容量为60.48千瓦时，其实际续航里程（公里），当汽车匀速行驶且速度介于60公里/小时到85公里/小时之间（含60与85）时，求实际续航里程的最小值． 【变式8-3】为探究不同土壤肥力条件下小麦产量与施氮量的关系，科研团队在某地选择土壤基础肥力不同的若干试验田开展研究，并对试验数据进行整理分析．研究发现，在中肥力与低肥力两种麦田中，小麦每亩的产量(千克)与每亩施氮量(千克)之间的关系可近似用如图中的两条抛物线描述，其中．设中肥力麦田每亩的产量为(千克)，低肥力麦田每亩的产量为(千克)．已知点，，均在描述与关系的抛物线上，且点是这条抛物线的顶点． (1)求中肥力麦田中小麦每亩的产量与之间的函数解析式； (2)已知低肥力麦田中小麦每亩的产量与之间的函数解析式为． ①假设低肥力、中肥力两种麦田每亩施氮量相同，当低肥力麦田每亩的产量最大时，求每亩的施氮量，以及此时两种麦田小麦每亩产量的差； ②现有面积均为亩的中肥力、低肥力麦田各一块．当两块麦田每亩施氮量相同时，两块麦田总产量的最大值为千克，请直接写出的值． 【探究式学习】 1．综合与实践： 【项目主题】探究新款迷你无人机校园营销案． 【项目背景】某校科技实践小组计划引入一批符合国家微型无人机标准、具备简易编程模块的新款迷你无人机，作为教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费． 【项目实施】校园调查发现该迷你无人机的进价为每架元，当售价定为每架元时，每天能销售架，每架的售价每降低1元，每天可多销售架． (1)设每天销售获得的利润为元，每架迷你无人机的售价应降低元，求与之间的函数关系式； (2)当每架迷你无人机的售价降低多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 2．问题：如何设计击球路线？情境：某校羽毛球社团的同学们经常运用数学知识对羽毛球技术进行分析，下面是他们对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，球网与轴的水平距离，击球点在轴上． 击球方案： 扣球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系，当羽毛球的水平距离为时，飞行高度为． 吊球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系，此时当羽毛球飞行的水平距离是1米时，达到最大高度． 高远球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系，且飞行的最大高度在和之间． 探究： (1)求扣球和吊球时，羽毛球飞行满足的函数表达式； (2)小鹰经过分析发现，若选择扣球的方式，刚好能使球过网，求球网的高度为多少？并通过计算判断若选择吊球的方式能否使球过网． (3)通过对本次训练进行分析，若高远球的击球位置保持不变，接球人站在离球网处，他可前后移动各，接球的高度为，要使得这类高远球刚好让接球人接到，请求出此类高远球抛物线解析式的取值范围． 【课后检测】 1．第三届河南省青少年科技运动会由河南省科协、河南省教育厅联合主办，分两个阶段进行，分赛区选拔赛于2026年6月—10月上旬举行，总决赛定于10月下旬举行．水火箭比高是运动会中的一项比赛项目，参赛者需在规定时间内现场制作以饮料瓶为主要材料的水火箭，并通过发射比较其飞行高度．一个水火箭在空中的高度关于时间的函数解析式为，则其图象的对称轴为直线（    ） A． B． C． D． 2．在适宜环境中，某实验种群的数量（单位：只）与培养时间（单位：天，）满足二次函数关系（受环境承载力限制，后期呈负增长趋势），则该实验种群数量的最大值为（    ） A．240只 B．250只 C．260只 D．265只 3．某公司的生产利润原来是万元，经过连续两年的增长达到了万元，如果每年增长的百分数都是，那么与之间的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 4．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论：①小球从抛出到落地需要；②小球运动中的高度可以是；③小球落地的水平距离是；④当小球运动的时间是时，小球运动的最大高度是．其中正确结论的个数为（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 5．小亮爸爸想用长为米的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为米，面积为平方米，则与的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 6．某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是，该型号飞机着陆后需滑行 （     ）m才能停下来． A．20 B．40 C．600 D．900 7．若汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶的时间（单位：）的函数解析式为．则汽车从刹车到停下来用时（     ） A． B． C． D． 8．掷实心球时，实心球的行进路线是抛物线的一部分．小林是一个数学爱好者，他将自己某次掷实心球的过程用视频记录下来后，把实心球的行进路线涂画于纸上，并以球的初始位置所在的竖直直线为轴，脚所在的位置为坐标原点，建立了平面直角坐标系（球的初始位置在脚的正上方），如图所示．小林将脱手后实心球的行进高度与水平距离的相关数据记录如表： 0 1 2 3 4 … 3 … 若小林掷实心球的场地为水平地面，实心球运动路径为抛物线，则小林这次掷实心球的成绩为（    ） A． B． C． D． 9．如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园，花园两边由总长为的篱笆围成，墙长，． ①的长可以为；②的长只有一个值满足花园面积为；③花园面积可以达到．其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．如图，在某学校秋季运动会排练时，无人机进行高空展示．无人机操作员将其飞行轨迹设计为抛物线的一部分，其中y为飞行高度（单位：米），x为水平距离（单位：米）．已知无人机从地面原点处起飞，且飞行过程中的最大高度为25米，则该抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 11．掷实心球是东营市高中阶段学校招生体育考试的必考项目．如图1是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示．掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．根据东营市高中阶段学校招生体育考试男生评分标准，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，得分为满分．请计算该男生在此项考试中______(填“能”或“不能”)得满分． 12．汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶的时间t（单位：秒）的函数解析式是，汽车刹车后到停下来前进了______米． 13．黑龙江雪乡国家森林公园内的太平沟林场素有“深山明珠”的美誉．研学小组发现景区内落玉盘瀑布旁的一座拱桥可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则桥拱所在抛物线可以表示为，则桥拱最高点与其在水中倒影之间的距离为________米．    14．甲，乙两名同学进行羽毛球比赛，羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图建立平面直角坐标系，羽毛球从点的正上方发出，飞行过程中羽毛球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）之间近似满足函数关系． 比赛中，甲同学连续进行了两次发球． (1)甲同学第一次发球时，羽毛球的水平距离与竖直高度的七组对应数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度 1 2.75 4 4.75 5 4.75 4 根据以上数据，回答下列问题： ①当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是________； ②在水平距离处，放置一个高的球网，羽毛球________（填“是”或“否”）可以过网； ③求出满足上述数据的函数关系； (2)甲同学第二次发球时，羽毛球的竖直高度与水平距离之间近似满足函数关系，乙同学在两次接球中，都是原地起跳后使得球拍达到最大高度时刚好接到球，记乙同学第一次接球的起跳点的水平距离为，第二次接球的起跳点的水平距离为，则________ 15．图是一座上承式拱桥．某综合实践小组进行拱桥模型设计，其示意图如图所示，桥拱近似为一条抛物线，跨度为，桥面与平行．立柱，与桥面垂直，长为，拱顶到桥面距离为．为了桥体的稳固，在桥面和桥拱之间需加设根立柱，加设后，所有立柱均平行，且相邻两根立柱的水平距离相等． (1)在图中建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式． (2)求加设的最长立柱的长度． 16．某服装店销售一款T恤，每件进价40元，当售价为每件60元时，每天可卖出20件．市场调查反映：每件T恤每降价1元，每天可多卖出2件． (1)设每件T恤售价为x元，则每天的销售量为___________件（请用含x的代数式表示） (2)在（1）的条件下，如果店家想要每天获得利润448元，还想尽快减少库存，那么每件T恤售价为多少元？ (3)在（1）的条件下，如果店家想要每天获得最大利润W，那么当每件T恤售价是多少元时，获得最大利润，最大利润是多少？ 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 44 页 第 1 页 共 44 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题6.4(1) 用二次函数解决问题：应用题 （新教材苏科版） 知识点一、用二次函数解决实际问题的一般步骤 2 知识点二、利用二次函数解决利润最值的方法 2 知识点三、利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法 2 知识点四、利用二次函数解决面积最值的方法 2 【题型1 图形问题】 2 【题型2 图形运动问题】 6 【题型3 拱桥问题】 11 【题型4 销售问题】 14 【题型5 投球问题】 16 【题型6 喷水问题】 18 【题型7 增长率问题】 22 【题型8 其他问题】 23 【探究式学习】 29 【课后检测】 32 【复盘笔记】 44 知识点一、用二次函数解决实际问题的一般步骤 1.审：仔细审题，理清题意； 2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 知识点二、利用二次函数解决利润最值的方法 巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题。 知识点三、利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法 先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。 知识点四、利用二次函数解决面积最值的方法 先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。 【题型1 图形问题】 【例1】如图，现有长为20米的篱笆，一面利用墙（墙的长度足够），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，建造篱笆花圃时在边留了两个宽为1米的出入口（不需材料），设的长为米，花圃的面积为平方米，则与之间的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设的长为米，根据篱笆的总长度用表示出的长度，再由长方形的面积公式即可解答． 【详解】解：根据题意米，米， 则与之间的函数关系式是． 【变式1-1】嘉琪以二次函数的图象为灵感，为某葡萄酒大赛设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，则杯身的高为(     ) A．6 B．8 C．11 D．12 【答案】B 【分析】根据二次函数解析式确定顶点坐标，利用对称性由长确定点横坐标，代入解析式求纵坐标即可求解． 【详解】解：， 抛物线顶点的坐标为，对称轴为轴 ， ，关于轴对称， 点的横坐标为 当时， ． 点的纵坐标为 ． 【变式1-2】为了节省材料，某工厂利用岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80米的材料围成一个由三块面积相等的小长方形组成的矩形区域（如图），若米，则下列4个结论：①米；②；③；④矩形的最大面积为300平方米．其中正确结论的个数为（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了求二次函数的最大值，用代数式表示，长方形的面积相等，且，根据图示可知，则，设，根据面积相等得，再根据面积相等得出a，x的关系，即可判断A，B，C，再根据得出二次函数讨论极值即可． 【详解】解：如图所示，材料总长为80米，设，且， ∵长方形的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴． 根据分析得， ∴． ∵用总长为80米的材料围成一个由三块面积相等的小长方形， ∴， 解得， ∴， ∴米． 所以①错误，不符合题意； 根据题意，设由①得， ∵. ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 所以②不正确，不符合题意； 根据题意，设由①的论证结果可知， ∴， 所以③正确，符合题意； 根据②可知 ∴， ∴长方形的面积是， ∴根据抛物线的顶点可知， ∴（平方米）， 所以结论④正确，符合题意． 正确的有2个． 故选：B． 【变式1-3】一个矩形周长为，不能围成的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，矩形的性质，设矩形的宽为，则长为，设面积为，根据矩形的面积公式求出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设矩形的宽为，则长为，设面积为， 根据题意，得 ， ∵， ∴抛物线开口方向向下， ∴当时，y有最大值为256， 即矩形的面积最大值为， 观察四个选项，只有选项D符合题意， 故选：D． 【题型2 图形运动问题】 【例2】如图，在边长为4的正方形中，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点运动，同时动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，当运动到点时，、两点同时停止运动．设点运动的时间为，的面积为，则与的函数关系的图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题应分两段进行解答，①点P在上运动，点Q在上运动，②点P在上运动，点Q在上运动，依次得出S与t的关系式即可得出函数图象． 【详解】解：①点P在上运动，点Q在上运动，即时，，， 故可得，函数图象为抛物线； ②点P在上运动，点Q在上运动，即时，，底边上的高保持不变，为正方形的边长4， 故可得，函数图象为一次函数． 综上，总过程的函数图象，先是一段抛物线，然后是一条线段，故D正确． 【变式2-1】如图，矩形中，，，动点M从点A出发以的速度沿折线运动到点C停止．连接，作交于点N．设点M运动时，长为，则y关于t的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分点M在和上运动两种情况，分别根据矩形的性质、相似三角形的判定与性质以及二次函数的性质求出函数解析式，最后根据函数解析式判断即可． 【详解】解：①当点M在边上时，即， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 即， 此时，图象为一次函数； ②当点M在边上时，即，则，， 如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，，，， ∴， 此时，图象为二次函数，最大值为； 只有D选项中图象符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的图象等知识点，根据题意确定函|数解析式是解答本题的关键． 【变式2-2】如图，四边形为矩形，，，点从点出发沿以的速度向终点匀速运动，同时，点从点出发沿以的速度向终点匀速运动，设点运动的时间为，的面积为，下列选项中能表示与之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的应用，矩形的性质，熟练掌握相关知识点，求出每一段对应的函数解析式是解题的关键．分类讨论，利用三角形面积公式求出每一阶段对应的函数解析式，结合对应的函数图像及性质分析即可． 【详解】解：当时，如图， 此时， ∴， ∴当时，图像为二次函数的部分图像，开口向上，且当时，； 当时，如图， 此时， ∴当时，图像为一次函数图像一部分，且当时，； 当时，如图， 此时， 则， ∴， ∴当时，图像为开口向下的二次函数的图像一部分，且时，． 综合分析，只有B符合题意． 故选：B． 【变式2-3】如图，在四边形中，，，，．点E由B出发，沿折线向D运动，，垂足为M，，垂足为N，设，矩形的面积为y，那么y与x间的函数关系的图象大致是（    ）    A． B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数和二次函数的应用，结合实际问题与图象解决问题．分两种情况：点E在未到达C之前或点E到达C之后，利用面积列出二次函数和一次函数解析式，利用面积的变化选择答案． 【详解】解：当点E在未到达C之前， 作于点H，   ， ， 四边形是矩形， ，， ， 点E在未到达C之前，， ，，， ， ， 且，当x从0变化到3时，y逐渐变大，当时，y有最大值，当时，y逐渐变小； 当点E到达C之后，如下图：   ， ， 综上所述，y与x间的函数关系的图象符合的只有A， 故选：A． 【题型3 拱桥问题】 【例3】一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面时，水面宽．突降暴雨后水面上升，此时水面宽为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以拱桥的拱顶为原点，经过拱顶的水平直线为x轴，建立平面直角坐标系，求出拱桥所在抛物线的解析式，进而即可求解 【详解】解：以拱桥的拱顶为原点，经过拱顶的水平直线为x轴，建立平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为：（）， 把代入，得：，解得：， ∴抛物线的解析式为：， 当突降暴雨后水面上升，新的水面所在直线为， 把代入，得，解得：， ∴水面宽度为： 【变式3-1】石拱桥是我国古代人民建筑艺术上的智慧象征如图，拱桥的形状是抛物线，其函数解析式为，当水面离拱顶的距离为m时，水面的宽度为（     ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，得到方程求解，进而得到水面的宽度． 【详解】解：根据题意，令，解得：， 故水面的宽度为米． 【变式3-2】如图1，一圆弧形桥拱的圆心为，拱桥的水面跨度为，桥拱到水面的最大高度为2米．汛期水面上涨的过程中，设水面上涨的高度为（单位：），为（单位：），如图2，是关于的函数图象的一部分，图象与轴交于点，且经过点．下列选项正确的是（     ） A．拱桥的水面跨度为4米 B．拱桥的半径为4米 C．点在该函数图象上 D．该函数图象是某一个一次函数图象的一部分 【答案】C 【分析】根据图象与轴交于点，可得当时，，进一步可得A不符合题意；设拱桥的半径是r，可得，进一步可得B不符合题意；当水位上升米时，如图，可得，，进一步可得C符合题意；当水面上涨的高度为（单位：）时，可得，可得D不符合题意. 【详解】解：∵图象与轴交于点， ∴当时，， ∴（米），故A不符合题意； 设拱桥的半径是r， 则由垂径定理知，于F， ∴，， 由勾股定理知，， 则：， 解得：； 即桥拱的半径为5米；故B不符合题意； 当水位上升米时，如图， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即当时，， ∴点在该函数图象上，故C符合题意； 当水面上涨的高度为（单位：）时， 同理可得：， ∴， ∴该函数图象是某一个二次函数图象的一部分，故D不符合题意. 【变式3-3】某公园拱桥为抛物线形，以水面为x轴，拱桥竖直对称轴为轴建立平面直角坐标系．已知拱桥最高点距离水面，水面跨度为，则该拱桥的抛物线表达式为（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意确定抛物线顶点坐标及与轴交点坐标，利用待定系数法求解． 【详解】解：由题意知抛物线顶点为，设表达式为． ∵水面跨度为，对称轴为轴， ∴抛物线过点． 将代入得． 解得． ∴表达式为． 【题型4 销售问题】 【例4】某商品的进货单价为30元/个，当销售单价为40元/个时，每天能卖出40个，若销售单价每上涨1元/个，则每天的销量就减少1个．设该商品的销售单价为x元/个，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据利润（售价进价）销量，列函数关系式即可． 【详解】解：由题意得，每个商品的利润为元，销量为（个）， ∴每天的利润． 【变式4-1】某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出200件，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，售价为多少时利润最大？（     ） A．55 B．57 C．58 D．59 【答案】A 【分析】根据总利润单件利润销售量列函数，结合二次函数性质与选项范围求解． 【详解】解：设售价为元，总利润为元， 由题意得，销售量为件， ∵销售量非负， ∴， ∴， ∵现在的售价为每件60元，且要高于进价才有利润， ∴， ∴总利润为， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，有最大值， 即售价55元时利润最大． 【变式4-2】某产品的成本是每件元，试销阶段每件产品的售价x（单位：元）与日销售量y（单位：件）之间的关系式为．为获得最大的日销售利润，每件产品的售价应定为（    ） A．120元 B．130元 C．150元 D．160元 【答案】D 【分析】本题考查的知识点为利用二次函数解决利润问题，解题的关键是写出正确的二次函数解析式． 根据题意，日销售利润为每件利润乘以销售量。建立二次函数模型，利用顶点式求最大值对应的售价． 【详解】解：设日销售利润元。 每件利润为元，销售量为件，则： 二次项系数为 此抛物线开口向下，最大值在顶点处 顶点横坐标为： 当售价定为160元时，日销售利润最大， 故选D． 【变式4-3】“直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某直播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．经调查发现每件售价99元时，日销售量为300件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加3件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为（元），主播每天的利润为（元），则与之间的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，设每件电子产品售价为（元），主播每天的利润为（元），则销售量为件，由此即可得出答案，理解题意，找准变量之间的关系是解此题的关键． 【详解】解：设每件电子产品售价为（元），主播每天的利润为（元）， 每件售价99元时，日销售量为300件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加3件， 每件电子产品售价为（元）时，销售量为件， 与之间的函数解析式为， 故选：C． 【题型5 投球问题】 【例5】在一名运动员的某次投篮中，篮球的运动路线是抛物线的一部分（如图），已知篮球运动的最大高度是．若篮球投入篮筐（篮筐距地面高度为），则运动员到篮筐正下方的距离的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出篮球运动路线的抛物线的解析式，再令，代入函数解析式，进而即可求解 【详解】解：∵抛物线的对称轴是y轴，篮球运动的最大高度是， ∴， ∴解析式为：， 令，代入，则， 解得：或（舍去）， ∴ 【变式5-1】投壶是“投箭入壶”的简称，作为非物质文化遗产，不仅具有深厚的历史渊源和文化背景，还承载着中华民族的传统礼仪和娱乐文化，其中箭头的行进路线可看作一条抛物线．已知一名男生投壶时，箭头的行进高度（单位：）与水平距离（单位：）的关系可以表示为，则这名男生此次投壶箭头行进的最大高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】最大高度对应二次函数的最大值，即抛物线顶点的纵坐标． 【详解】解：对配方，得 ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴这名男生此次投壶箭头行进的最大高度为． 【变式5-2】一位运动员掷出铅球，铅球离地高度（单位：米）关于水平距离（单位：米）的函数表达式为，此运动员这一掷的成绩是（     ） A．9米 B．8米 C．7米 D．6米 【答案】A 【分析】掷铅球的成绩为铅球落地时的水平距离，需求解时的正根． 【详解】解：当铅球落地时，， 代入函数表达式，得， 两边同乘，得， 因式分解，得， 解得，， ∵水平距离为正数， ∴舍去，即成绩为9米． 【变式5-3】某同学投出的篮球的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，篮球运动的竖直高度与水平位移近似满足函数关系．根据上述函数模型和以下数据，可推断出篮球运动到最高点时，其水平位移为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】篮球最高点的水平位移对应抛物线的对称轴，代入已知点坐标求出二次函数系数，再计算对称轴即可． 【详解】解：将，代入，得， 将，代入解析式得，化简得①， 将，代入解析式得，化简得②， 得， 解得， 将代入①得， 解得， 抛物线对称轴为， 即最高点的水平位移为． 【题型6 喷水问题】 【例6】某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子恰为水面中心，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过的任一平面上，建立平面直角 坐标系（如图），水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是 ，则下列结论错误的是（  ） A．柱子的高度为 B．喷出的水流距柱子处达到最大高度 C．喷出的水流距水平面的最大高度是 D．水池的半径至少要才能使喷出的水流不至于落在池外 【答案】C 【分析】在已知抛物线解析式的情况下，利用其性质，求顶点（最大高度），与x轴，y轴的交点，解答题目的问题． 【详解】解：∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4， ∴当x=0时，y=3，即OA=3m，故A正确， 当x=1时，y取得最大值，此时y=4，故B正确，C错误 当y=0时，x=3或x=-1（舍去），故D正确， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 【变式6-1】小明周末外出游玩时看到某公园有一圆形喷水池，如图1，简单测量得到如下数据：圆形喷水池直径为，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈拋物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，小明根据图示建立了平面直角坐标系，如图2，则的高度是（）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题主要考查了二次函数实际应用中的喷泉问题，解题的关键是根据题意得到点的坐标； 设解析式为由题意得到顶点坐标及与轴交点的坐标，代入求解即可得到抛物线解析式；令，代入求解即可得到答案； 【详解】选择图2中第一象限内的抛物线求其对应的函数关系式， 由题意，得抛物线的顶点坐标为， 设抛物线对应的函数关系式为6， 将点代入，得，解得， ∴抛物线对应的函数关系式为， 当时，， ∴点的纵坐标为； 则的高度是， 故选：B． 【变式6-2】如图1是某城市广场音乐喷泉，出水口A处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度与水平距离之间的关系如图2所示，点B为该水流的最高点，点C为该水流的落地点，且，垂足为点D，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式． 根据题意可得，设抛物线的表达式为．将代入，求出a的值，即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴， 设抛物线的表达式为． 将代入，得， 解得． 抛物线的表达式为． 令，则． 解得，（不合题意，舍去）． 的长为． 故选：D． 【变式6-3】广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，长为．水流在各个方向上沿抛物线路径落到水池．某方向上抛物线路径的形状如图所示，已知落点B到点O的距离为．建立如图所示的平面直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间满足函数关系，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际进行求解． 由题意可得，抛物线经过点和，把上述两个点坐标代入二次函数表达式，可求出a和c的值，则抛物线的解析式可求出，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出水流喷出的最大高度． 【详解】解：由题意可得，抛物线经过点和， 把上述两个点坐标代入二次函数表达式得： ， 解得：， ∴函数表达式为：， ∵， ∴函数有最大值， ∴当时，y取得最大值，此时， 即水流喷出的最大高度为． 故选：B． 【题型7 增长率问题】 【例7】某出版社一月份发行65万册新书，如果从二月份起，每月发行量的增长率都为，那么三月份的发行量（万册）与的函数表达式是______． 【答案】 【分析】已知一月份发行量和每月增长率，依次计算出二月份、三月份发行量，即可得到与的函数表达式． 【详解】解：∵一月份发行量为万册，且从二月份起，每月发行量的增长率都为， ∴二月份的发行量为（万册）， ∴三月份的发行量为（万册）， 即三月份的发行量（万册）与的函数表达式是． 【变式7-1】“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的万人增加到2023年的50万人．设该市参加健身运动人数的年平均增长率为x． (1)用含x的代数式表示2023年参加健身运动的人数y（单位：万人），并化为二次函数的一般形式； (2)根据题意，求该市参加健身运动人数的年平均增长率． 【答案】(1)含的代数式为，二次函数一般形式为 (2)该市参加健身运动人数的年平均增长率为 【分析】（1）初始量为，平均增长率为，经过次增长后的量为，则满足等量关系，再化为一般式即可； （2）令，则，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设该市参加健身运动人数的年平均增长率为x， 由题意得：2023年参加健身运动的人数， ∴二次函数一般形式为 （2）解：由题意得：，则， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴该市参加健身运动人数的年平均增长率为． 【变式7-2】在数学课上学习一元二次方程应用——变化率问题时，小雨同学发现若两种商品原价相同，分别经过两轮涨价之后的价格也相同，其中一种商品第一轮涨价，在第一次涨价后的价格基础上，第二轮涨价的百分率为，另一种商品两轮涨价的百分率均为（），则与存在函数关系，试写出与的函数解析式． 【答案】 【详解】解：根据两种商品两轮涨价后的最终价格相等，得， 去括号，得， 移项得， 系数化为1，得． 【变式7-3】某区今年月份工业生产值达亿元，第一季度总产值为亿元，设平均每月增长率为，则与之间的函数关系式为________． 【答案】 【分析】平均每月增长率为，第一季度总产值为1月、2月、3月的产值和，依次表示出三个月产值再求和即可得到函数关系式． 【详解】解：∵1月份工业生产值为亿元，平均每月增长的百分率为， ∴2月份的产值为亿元， ∴3月份的产值为亿元， ∵第一季度总产值是三个月产值的和， ∴． 【题型8 其他问题】 【例8】某飞机着陆后滑行距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是．飞机着陆后滑行至停止时的距离，为滑行距离函数的最大值．已知当滑行时间为2s时，滑行距离为114米，滑行时间为10s时，滑行距离为450m． (1)求y关于t的函数解析式，并写出飞机从着陆滑行至滑行停止时的自变量t的取值范围； (2)当滑行时间为16s时，求滑行距离； (3)求滑行停止前最后4s飞机的滑行距离． 【答案】(1)函数解析式为，自变量的取值范围是 (2)滑行距离为 (3)滑行停止前最后4s飞机的滑行距离为 【分析】（1）根据题意得出方程组，化简得，再解方程组进一步得出，进一步得出当时取得最大值，结合时间为非负数，即可解答； （2）将代入解析式计算即可； （3）先将代入解析式计算，再根据飞机滑行停止前4s对应的时间是16s，求出两个时刻的距离之差即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意，将，代入得，， 将，代入得，， 故联立得， 化简得， 解得， ． 飞机停止滑行时滑行距离最大，用时最长，此时， 自变量t的取值范围为． （2）解：由题意得，当时，． 答：当滑行时间为16s时，滑行距离为． （3）解：由题意得，当时，， 又飞机滑行停止前4s对应的时间是16s， 且由（2）可知，当滑行时间为16s时，滑行距离为， ． 答：滑行停止前最后4s飞机的滑行距离为． 【变式8-1】大同南城墙永泰门广场的音乐喷泉夏季夜晚开启灯光秀，本地人和外地游客络绎不绝．喷泉喷出的水流轨迹如下图近似抛物线型，水流从水面点喷出，落在水面上点，以所在的直线为轴，水流喷出点为坐标原点建立平面直角坐标系，，水流最高点距离水面． (1)求这条水流抛物线的函数表达式； (2)在水面上、两点处装有两个射灯，射出的两条光线垂直打到抛物线型水流的、两点处，垂直高度都是，求、两点之间的水平距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得顶点坐标，把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）把代入解析式求出x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴顶点坐标为， 设抛物线的解析式为 把代入得：； 解得 ∴抛物线的解析式为 （2）解：把代入解析式得 解得， ∴、两点之间的水平距离为． 【变式8-2】我国新能源汽车产销量连续多年位居全球第一，是中国制造的一张“亮丽名片”．某企业测试一款新型电动汽车的电池续航性能，在匀速行驶等理想条件下，测得部分数据如下： 行驶速度（公里/小时） 50 60 70 80 90 实际能耗（千瓦时/百公里） 14.82 14.1 13.86 14.1 14.82 (1)请根据表格中的数据在坐标系中画出相应的点； (2)结合（1）中所描点的分布特征，从反比例函数、一次函数、二次函数中选择最符合实际能耗与行驶速度之间关系的函数，并求出该函数表达式； (3)该款汽车的电池容量为60.48千瓦时，其实际续航里程（公里），当汽车匀速行驶且速度介于60公里/小时到85公里/小时之间（含60与85）时，求实际续航里程的最小值． 【答案】(1) (2) (3)420 【分析】（1）根据表格描点即可； （2）根据点的分布得出其符合二次函数的抛物线特征，再根据待定系数法解答即可； （3）求出在范围内的最小值即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：根据点的分布得出其符合二次函数的抛物线特征， 由表格数据的特点可看出对称轴为，顶点为， ∴设函数表达式为， 将点代入得：， 解得， 验证其余点均满足该式， 函数表达式为：， 最符合的是二次函数，函数表达式为：； （3）解：设实际续航里程为，则根据题意， ∴随的增大而减小， 当最大时，取最小值， 二次函数开口向上，对称轴为直线， 在范围内，随增大而减小，在范围内，随增大而增大； 当时，， 当时，， 在范围内的最大值为14.4， ∴， 故实际续航里程的最小值为420千米． 【变式8-3】为探究不同土壤肥力条件下小麦产量与施氮量的关系，科研团队在某地选择土壤基础肥力不同的若干试验田开展研究，并对试验数据进行整理分析．研究发现，在中肥力与低肥力两种麦田中，小麦每亩的产量(千克)与每亩施氮量(千克)之间的关系可近似用如图中的两条抛物线描述，其中．设中肥力麦田每亩的产量为(千克)，低肥力麦田每亩的产量为(千克)．已知点，，均在描述与关系的抛物线上，且点是这条抛物线的顶点． (1)求中肥力麦田中小麦每亩的产量与之间的函数解析式； (2)已知低肥力麦田中小麦每亩的产量与之间的函数解析式为． ①假设低肥力、中肥力两种麦田每亩施氮量相同，当低肥力麦田每亩的产量最大时，求每亩的施氮量，以及此时两种麦田小麦每亩产量的差； ②现有面积均为亩的中肥力、低肥力麦田各一块．当两块麦田每亩施氮量相同时，两块麦田总产量的最大值为千克，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)①每亩产量的差为千克；②的值为 【分析】（1）由点是抛物线的顶点设出顶点式，把点的坐标代入求出待定系数，再把点的坐标代入检验； （2）①用配方法求的最大值及对应的施氮量，再把同一个代入求两种麦田每亩产量的差， ②把两块麦田的每亩产量相加得到一个新的二次函数，用配方法并结合求总产量的最大值． 【详解】（1）解：∵点是抛物线的顶点． ∴设． ∵点在这条抛物线上． ∴． ∴． ∴． ∵点在这条抛物线上． ∴把代入得，与点的纵坐标一致． ∴)． （2）解：①． ∵二次项系数，且． ∴当时，低肥力麦田每亩产量最大，为千克． ∵此时． ∴两种麦田每亩产量的差为(千克)． ②设两块麦田每亩施氮量都为千克，总产量为千克． ． ． ． ∵，且二次项系数． ∴当时，取得最大值． ∴． 【探究式学习】 1．综合与实践： 【项目主题】探究新款迷你无人机校园营销案． 【项目背景】某校科技实践小组计划引入一批符合国家微型无人机标准、具备简易编程模块的新款迷你无人机，作为教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费． 【项目实施】校园调查发现该迷你无人机的进价为每架元，当售价定为每架元时，每天能销售架，每架的售价每降低1元，每天可多销售架． (1)设每天销售获得的利润为元，每架迷你无人机的售价应降低元，求与之间的函数关系式； (2)当每架迷你无人机的售价降低多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)（）． (2)当每架迷你无人机的售价降低元时，每天获得的利润最大，最大利润是元． 【分析】第问先根据利润问题的基本等量关系，建立总利润和降价金额之间的函数关系，结合实际意义确定自变量取值范围； 第问利用二次函数的图像性质，判断开口方向，找到顶点位置，验证顶点在取值范围内后求出最大利润． 【详解】（1）解：每架降价元后，单件利润为， 每天销量为． 由“总利润单件利润销量”得： 售价不能低于进价，，即． ∴ （2）解：中，，抛物线开口向下，顶点处取最大值． 顶点横坐标：， 在内， 当时取最大值． 代入得：． 答：当每架售价降低元时，每天获得的利润最大，最大利润为元． 2．问题：如何设计击球路线？情境：某校羽毛球社团的同学们经常运用数学知识对羽毛球技术进行分析，下面是他们对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，球网与轴的水平距离，击球点在轴上． 击球方案： 扣球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系，当羽毛球的水平距离为时，飞行高度为． 吊球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系，此时当羽毛球飞行的水平距离是1米时，达到最大高度． 高远球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系，且飞行的最大高度在和之间． 探究： (1)求扣球和吊球时，羽毛球飞行满足的函数表达式； (2)小鹰经过分析发现，若选择扣球的方式，刚好能使球过网，求球网的高度为多少？并通过计算判断若选择吊球的方式能否使球过网． (3)通过对本次训练进行分析，若高远球的击球位置保持不变，接球人站在离球网处，他可前后移动各，接球的高度为，要使得这类高远球刚好让接球人接到，请求出此类高远球抛物线解析式的取值范围． 【答案】(1)扣球：，吊球：； (2)球网的高度为，选择吊球的方式正好能过网； (3)的范围是 【分析】（1）把代入可得扣球时的函数解析式，再求解点P的坐标为，设抛物线为：，将代入计算，可得吊球时的函数解析式； （2）把代入，可得的高度；把代入，可得选择吊球的方式能否使球过网； （3）先求出接球点过 和 两点，再分两种情况，当接球点为时，若最大高度为5.8，，a为最小；当接球点为时，若最大高度为4.8，，a为最大，计算即可． 【详解】（1）解：扣球时，当羽毛球的水平距离为时，飞行高度为， ， 解得， 一次函数解析式为， 当时，， 则点P的坐标为， 吊球时，当羽毛球飞行的水平距离是时，达到最大高度， 设抛物线为：， 将代入得， 解得， ； （2）当时，， 球网的高度为， 当时，， 球网的高度为， 选择吊球的方式正好能过网； （3）球网在，接球人站在离球网处，他可前后移动各，接球的高度， 接球横坐标范围到， 接球点过 和 两点， 高远球：，飞行的最大高度在和之间， 当接球点为时，若最大高度为5.8，，a为最小， ， 解得， 当接球点为时，若最大高度为4.8，，a为最大， ， 解得， 抛物线开口向下， 的范围是． 【课后检测】 1．第三届河南省青少年科技运动会由河南省科协、河南省教育厅联合主办，分两个阶段进行，分赛区选拔赛于2026年6月—10月上旬举行，总决赛定于10月下旬举行．水火箭比高是运动会中的一项比赛项目，参赛者需在规定时间内现场制作以饮料瓶为主要材料的水火箭，并通过发射比较其飞行高度．一个水火箭在空中的高度关于时间的函数解析式为，则其图象的对称轴为直线（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：其图象的对称轴为直线． 2．在适宜环境中，某实验种群的数量（单位：只）与培养时间（单位：天，）满足二次函数关系（受环境承载力限制，后期呈负增长趋势），则该实验种群数量的最大值为（    ） A．240只 B．250只 C．260只 D．265只 【答案】B 【分析】将二次函数一般式配方为顶点式，结合开口方向与自变量取值范围求最大值． 【详解】解：∵ ∵，且， ∴当时，取得最大值，最大值为只． 3．某公司的生产利润原来是万元，经过连续两年的增长达到了万元，如果每年增长的百分数都是，那么与之间的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据第二次增长是在第一次增长的基础上增长的，经过连续两年的增长达到，再结合题意即可解答． 【详解】解：∵某公司的生产利润原来是万元，经过连续两年的增长达到了万元，每年增长的百分数都是， ∴一年后为，两年后为，即与之间的函数关系式是． 4．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论：①小球从抛出到落地需要；②小球运动中的高度可以是；③小球落地的水平距离是；④当小球运动的时间是时，小球运动的最大高度是．其中正确结论的个数为（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】令，解方程可得的值，即可得①正确；求出二次函数的最大值即可得④、②正确；根据小球从地面竖直向上抛出可得小球落地的水平距离为，则可得③错误． 【详解】解：令，则，解得，， ∴小球从抛出到落地需要；结论①正确； ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为9， 即当小球运动的时间是时，小球运动的最大高度是；结论④正确； ∵， ∴小球运动中的高度可以是；结论②正确； ∵小球是从地面竖直向上抛出， ∴小球落地的水平距离为；结论③错误； 综上，正确结论的个数为3个． 5．小亮爸爸想用长为米的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为米，面积为平方米，则与的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据栅栏总长表示出平行于墙的一边长，利用矩形面积公式列出函数关系式． 【详解】解：设矩形与墙垂直的一边长为米， ∵栅栏总长为米，且一边靠墙， ∴与墙平行的一边长为米， ∴． 6．某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是，该型号飞机着陆后需滑行 （     ）m才能停下来． A．20 B．40 C．600 D．900 【答案】C 【分析】将函数关系式配方，求出滑行距离的最大值，即为飞机停下来时滑行的距离． 【详解】解：， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为600， ∴该型号飞机着陆后需滑行才能停下来． 7．若汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶的时间（单位：）的函数解析式为．则汽车从刹车到停下来用时（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵汽车刹车后到停下来时，行驶距离取得最大值， 又∵，， ∴当时，取得最大值，即汽车刹车后停下来， 则汽车从刹车到停下来用时． 8．掷实心球时，实心球的行进路线是抛物线的一部分．小林是一个数学爱好者，他将自己某次掷实心球的过程用视频记录下来后，把实心球的行进路线涂画于纸上，并以球的初始位置所在的竖直直线为轴，脚所在的位置为坐标原点，建立了平面直角坐标系（球的初始位置在脚的正上方），如图所示．小林将脱手后实心球的行进高度与水平距离的相关数据记录如表： 0 1 2 3 4 … 3 … 若小林掷实心球的场地为水平地面，实心球运动路径为抛物线，则小林这次掷实心球的成绩为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数解析式，取其与x轴正半轴交点的横坐标即可． 【详解】解：设实心球运动路径为， 根据表格可知， 解得：， ∴实心球运动路径为， 当时， 解得（舍去）， ∴小林这次掷实心球的成绩为． 9．如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园，花园两边由总长为的篱笆围成，墙长，． ①的长可以为；②的长只有一个值满足花园面积为；③花园面积可以达到．其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】设长为，根据墙长限制确定的取值范围，再结合一元二次方程和二次函数性质逐条判断． 【详解】解：设的长为，则的长为， 由题意得， 解得 对于①，， 的长不可以为，故①错误； 对于②，令， 整理得， 解得， ， ，此时，即的长只有一个值，故②正确； 对于③，设面积为，则， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 当时，取最大值，最大值为， ， 面积不能达到，故③错误， 综上所述，正确的结论只有②，个数为 1． 10．如图，在某学校秋季运动会排练时，无人机进行高空展示．无人机操作员将其飞行轨迹设计为抛物线的一部分，其中y为飞行高度（单位：米），x为水平距离（单位：米）．已知无人机从地面原点处起飞，且飞行过程中的最大高度为25米，则该抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无人机在飞行过程中达到的最大高度为25米，得到 ，把代入解析式，确定a值即可． 【详解】解：根据题意得 ，抛物线的解析式为， 把代入解析式，得， 解得， 抛物线的解析式为． 11．掷实心球是东营市高中阶段学校招生体育考试的必考项目．如图1是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示．掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．根据东营市高中阶段学校招生体育考试男生评分标准，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，得分为满分．请计算该男生在此项考试中______(填“能”或“不能”)得满分． 【答案】能 【分析】根据待定系数法求得解析式，令，即，解得，再与比较即可解答． 【详解】解：由题意可知：抛物线顶点为， 设函数表达式为， 抛物线过点， ，解得：， 关于的函数表达式为：． 令，即， 解得，(不合题意，舍去)， ， 该男生在此项考试中得满分．． 12．汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶的时间t（单位：秒）的函数解析式是，汽车刹车后到停下来前进了______米． 【答案】 12 【分析】汽车刹车后停止行驶时，行驶距离达到最大值，通过对给定的二次函数变形求出的最大值，即可得到刹车后前进的总距离． 【详解】解：对函数解析式进行配方变形 ， ∵二次项系数， ∴该函数存在最大值， 当时，取得最大值， 即汽车刹车后到停下来前进了米． 13．黑龙江雪乡国家森林公园内的太平沟林场素有“深山明珠”的美誉．研学小组发现景区内落玉盘瀑布旁的一座拱桥可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则桥拱所在抛物线可以表示为，则桥拱最高点与其在水中倒影之间的距离为________米．    【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质．由题意可知抛物线经过点，，对称轴为，则顶点式中的，进而求出的值，最高点与其在水中的倒影之间的距离即为． 【详解】解：由题意可知，抛物线经过点，， 、两点关于抛物线对称轴对称， 因此对称轴为直线，即顶点式中的． 将点，代入抛物线解析式， 可得，， 解得， 抛物线顶点坐标为，水中倒影， 桥拱最高点与其在水中倒影之间的距离为米． 14．甲，乙两名同学进行羽毛球比赛，羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图建立平面直角坐标系，羽毛球从点的正上方发出，飞行过程中羽毛球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）之间近似满足函数关系． 比赛中，甲同学连续进行了两次发球． (1)甲同学第一次发球时，羽毛球的水平距离与竖直高度的七组对应数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度 1 2.75 4 4.75 5 4.75 4 根据以上数据，回答下列问题： ①当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是________； ②在水平距离处，放置一个高的球网，羽毛球________（填“是”或“否”）可以过网； ③求出满足上述数据的函数关系； (2)甲同学第二次发球时，羽毛球的竖直高度与水平距离之间近似满足函数关系，乙同学在两次接球中，都是原地起跳后使得球拍达到最大高度时刚好接到球，记乙同学第一次接球的起跳点的水平距离为，第二次接球的起跳点的水平距离为，则________ 【答案】(1)①4；②是；③ (2) 【分析】（1）①由表中数据直接可以得出结论； ②由表中数据直接可以得出结论； ③用待定系数法求函数解析式； （2）把分别代入（1）、（2）解析式求出和，进而相减即可． 【详解】（1）解：①由表格中数据知，当和时，， 对称轴为，顶点坐标为， 当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是， ②当时，， 羽毛球是可以过网， ③，， ， 把，代入解析式得，， 解得， ； （2）解：在第一次接球中，当时， 则， 解得，， 接球时球越过球网， ， 在第二次接球中，当时， 则， 解得，， 接球时球越过球网， ， ． 15．图是一座上承式拱桥．某综合实践小组进行拱桥模型设计，其示意图如图所示，桥拱近似为一条抛物线，跨度为，桥面与平行．立柱，与桥面垂直，长为，拱顶到桥面距离为．为了桥体的稳固，在桥面和桥拱之间需加设根立柱，加设后，所有立柱均平行，且相邻两根立柱的水平距离相等． (1)在图中建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式． (2)求加设的最长立柱的长度． 【答案】(1)以点为原点、所在直线为轴、所在直线为轴建立平面直角坐标系（如图）． 抛物线的函数表达式为． (2)加设的最长立柱长为． 【分析】（1）以为原点，把、分别作为坐标轴，由跨度与立柱长写出各点坐标，用顶点式设解析式，代入端点求系数； （2）由立柱总数把跨度等分，写出各加设立柱的横坐标，代入解析式求桥拱高度，再用桥面高度作差比较出最长的一根． 【详解】（1）解：图略 ∵，，， ∴、、、，拱顶的纵坐标为，横坐标为． 设抛物线的表达式为． 把代入，得． ∴． ∴所求表达式为． （2）解：∵加设根立柱后共有根立柱，相邻两根的水平距离相等， ∴每相邻两根的水平距离为． ∴加设的立柱横坐标依次为、、、、． 把代入解析式，得． ∴该立柱长为． 把代入解析式，得． ∴该立柱长为． 把代入解析式，得，该立柱长为；由抛物线的对称性，横坐标为、的立柱分别与横坐标为、的立柱等长． ∴，加设的最长立柱长为． 16．某服装店销售一款T恤，每件进价40元，当售价为每件60元时，每天可卖出20件．市场调查反映：每件T恤每降价1元，每天可多卖出2件． (1)设每件T恤售价为x元，则每天的销售量为___________件（请用含x的代数式表示） (2)在（1）的条件下，如果店家想要每天获得利润448元，还想尽快减少库存，那么每件T恤售价为多少元？ (3)在（1）的条件下，如果店家想要每天获得最大利润W，那么当每件T恤售价是多少元时，获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)每件T恤售价为54元． (3)当每件T恤售价为55元时，获得最大利润，最大利润是450元． 【分析】（1）根据售价与原售价的差值计算降价金额，结合销售量随降价的变化规律列代数式． （2）利用总利润的等量关系列一元二次方程，结合尽快减少库存的条件选取合适的解． （3）先建立总利润关于售价的函数关系式，结合实际意义确定自变量范围，再通过配方求最大值． 【详解】（1）解：设每件T恤售价为x元，则每件降价元，每天多销售件， 每天的销售量为件． （2）解：每件利润为元， 由题意得， 整理得， 解得，， ∵要尽快减少库存，需销售量尽可能大，销售量随售价降低而增大， ∴取， 答：每件T恤售价为54元． （3）解：总利润， 整理得（）， 配方得， ∵，且在的范围内， ∴当时，W取得最大值，最大值为450， 答：当每件T恤售价为55元时，获得最大利润，最大利润是450元． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 44 页 第 1 页 共 44 页 学科网（北京）股份有限公司 $