专题04图形的相似同步讲义（1）(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年苏科版九年级数学下册

专题04图形的相似同步讲义（1） 【6.1图上距离与实际距离】 【题型01 比例的性质】..................................................4 【题型02 比例线段】....................................................4 【题型03 成比例线段】..................................................5 【题型04 黄金分割】....................................................5 【题型05 相似图形】....................................................7 【题型06 相似多边形】..................................................8 【题型07 相似多边形的性质】............................................9 【解答题5题】.........................................................10 ★知识梳理 知识点01:图上距离与实际距离 一、两条线段的比 定义：两条线段长度的比，记作 a:b 或 （b0）。 注意： 1.有顺序性，前项、后项不能颠倒。 2.必须先统一单位，比值无单位。 3.“比” 是形式，“比值” 是计算结果。 二、成比例线段 定义：四条线段 a,b,c,d 中，若 =​，则称这四条线段成比例。 符号：a:b=c:d 或 = （b,d0）。 项的名称：a,d 为外项，b,c 为内项。 关键：成比例线段有顺序，a,b,c,d 成比例 ≠ a,c,b,d 成比例。 三、比例的基本性质 核心性质：若 =，则 ad=bc（交叉相乘相等）。 逆用：若 ad=bc（b,d0），则 =。 比例中项：若 =，则 b2=ac，b 叫 a,c 的比例中项。 四、比例尺 定义：比例尺= 类型：数值比例尺（如 1:1000）、线段比例尺。 换算： 实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺 图上距离 = 实际距离 × 比例尺 注意：计算时单位必须统一。 知识点02:黄金分割 一、黄金分割定义 点 B 把线段 AC 分成两段，若 ，则线段 AC 被点 B 黄金分割，点 B 为黄金分割点。 文字理解：较长线段是较短线段与原线段的比例中项。 二、黄金比 精确值：≈0.618。. 近似值：计算中常用 0.618。 较长线段 = 原线段 × ​ 较短线段 = 原线段 × ​ 三、重要结论 1.一条线段有两个黄金分割点。 2.黄金比是无理数，无单位。 3.黄金矩形：宽：长 ≈ 0.618 的矩形。 4.黄金三角形：顶角 36∘的等腰三角形，底边：腰 ≈ 0.618。 四.易错点 (1)一条线段有 2 个黄金分割点； (2)要看清题目是较长段还是较短段； (3)黄金分割只看比例，与长度单位无关。 知识点03:相似图形 一、相似图形 定义：形状相同的图形叫做相似图形。 理解：与大小、位置无关；可由一个图形放大 / 缩小得到。 特例：全等图形是相似比为 1 的相似图形。 二、相似多边形 定义：边数相同，对应角相等，对应边成比例的两个多边形。 相似比：对应边的比，记作 k。 性质： 1.对应角相等，对应边成比例。 2.周长比 = 相似比。 3.面积比 = 相似比的平方。 判定（充要条件）：边数相同 + 对应角相等 + 对应边成比例。 【题型1.比例的性质】 【典例】若，则________． 【跟踪专练1】若，则等于（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知，则一次函数必经过的第____________象限． 【跟踪专练3】已知，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【题型2.比例线段】 【典例】若3x=5y，则=_______；已知且b+d+f≠0则=__________. 【跟踪专练1】某地图上1cm2面积表示实际面积900m2，则该地图的比例尺是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知点B在线段上，且，若，则线段______． 【跟踪专练3】如图，将矩形纸片按照以下方法裁剪：剪去矩形边长的，边长的（称为第一次裁剪）；剪去剩下的矩形（阴影部分）边长的，长的（称为第二次裁剪）；如此操作下去，若第五次裁剪后，剩下的图形恰好是正方形，则原矩形的长宽比为（    ） A． B． C． D． 【题型3.成比例线段.】 【典例】若线段a、b、c、d是成比例线段，且，则_____． 【跟踪专练1】嘉嘉周末到沧州博物馆观看沧州诗经文化展．他想了解一本古籍的长度，在古籍旁放了一支笔拍下照片如图所示．回家后量出照片上笔和古籍的长度分别为和，笔的实际长度为，则该古籍的实际长度为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在比例尺为的地图上，量得甲、乙两地的距离为，则甲，乙两地的实际距离为______． 【跟踪专练3】如图,有三个直角三角形,其中OA=AB=BC=CD=1,则线段OA,OD的比例中项线段的长度为(　　) A． B． C．± D． 【题型4.黄金分割】 【典例】我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”．如图．在设计人体雕像时，为了增加视觉美感利用黄金分割法，将雕像分为上下两部分，其中为的黄金分割点，已知长为2米，则的长是___________米． 【跟踪专练1】玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符.实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比时，可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清远的“远”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且．若，则的长为___________ （结果保留根号）． 【跟踪专练3】如图，在正方形中，E为中点，连接，延长至点F，使得，以为边作正方形，《几何原本》中按此方法找到线段的黄金分割点H．现连结并延长，分别交于点P，Q，若的面积与的面积之差为，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 【题型5.相似图形.】 【典例】下列说法： ①放大（缩小）的图片与原图片是相似形； ②比例尺不同的中国地图是相似形； ③放大镜下的五角星与原来的五角星是相似形； ④放电影时胶片上的图像和它映射到屏幕上的图像是相似形； ⑤平面镜中，你的像与你本人是相似形． 其中正确的说法有_______个． 【跟踪专练1】如图，在矩形、锐角三角形、直角三角形的外边加宽度一样的外框，保证外框边与原图形对应边平行，则外框与原图不一定相似的是（      ）．        A．矩形 B．矩形和锐角三角形 C．矩形和直角三角形 D．锐角三角形和直角三角形 【跟踪专练2】如图：梯形ADFE相似于梯形EFCB，若AD＝3，BC＝4，则__． 【跟踪专练3】若一个矩形剪掉一个面积最大的正方形，剩下的小矩形与原来的矩形相似，且原矩形的较长边长为，则剩下的小矩形的较短边长为（    ） A． B． C． D． 【题型6.相似多边形】 【典例】如图，有甲、乙、丙、丁四个矩形，其中相似的是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．丙和丁 D．甲和丁 【跟踪专练1】如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是________．    【跟踪专练2】如图，是矩形内的任意一点，链接，，，，得到，，，，设它们的面积分别是，，，，给出如下结论： ①； ②； ③若，则； ④若，则点在矩形的对角线上． 其中正确的结论的序号是__________．（把所有正确结论的序号都填在横线上） 【跟踪专练3】如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（    ） A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b 【题型7.相似多边形的性质】 【典例】如图，四边形四边形．则的度数为__________． 【跟踪专练1】如图，王老师利用复印机将一张长为，宽为的矩形的数学检测卷等比例缩小，其中缩小后的长为，则缩小后的面积为（   ） A．160 B．80 C．40 D．20 【跟踪专练2】如图，点D、E在线段上，是等边三角形，当时，的度数为_____________． 【跟踪专练3】如图（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1；取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图（2）中阴影部分；取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图（3）中阴影部分；如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为（　　） A． B． C． D． 【解答题】 1．已知线段a、b、c，且． (1)求的值； (2)若线段a、b、c满足，求a的值． 2．已知线段，，满足，且． (1)求，，的值； (2)若线段是线段，的比例中项，求． 3．关于的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数，宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形． (1)求黄金分割数； (2)如图，在黄金矩形中，长，则矩形的面积 ； (3)如图，在正方形中，是边的中点，以为圆心，线段长为半径作弧，交的延长线于点，作矩形，试说明矩形是黄金矩形． 4．如图，四边形四边形． (1)_________度； (2)求边x，y的长． 5．如图，矩形的长，宽． (1)如图①，若在矩形的内部沿四周有宽为1的环形区域，则矩形与矩形相似吗？请说明理由． (2)如图②，当x为多少时，矩形与矩形相似？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04图形的相似同步讲义（1） 【6.1图上距离与实际距离】 【题型01 比例的性质】..................................................4 【题型02 比例线段】....................................................6 【题型03 成比例线段】..................................................8 【题型04 黄金分割】....................................................9 【题型05 相似图形】...................................................13 【题型06 相似多边形】.................................................15 【题型07 相似多边形的性质】...........................................18 【解答题5题】.........................................................21 ★知识梳理 知识点01:图上距离与实际距离 一、两条线段的比 定义：两条线段长度的比，记作 a:b 或 （b0）。 注意： 1.有顺序性，前项、后项不能颠倒。 2.必须先统一单位，比值无单位。 3.“比” 是形式，“比值” 是计算结果。 二、成比例线段 定义：四条线段 a,b,c,d 中，若 =​，则称这四条线段成比例。 符号：a:b=c:d 或 = （b,d0）。 项的名称：a,d 为外项，b,c 为内项。 关键：成比例线段有顺序，a,b,c,d 成比例 ≠ a,c,b,d 成比例。 三、比例的基本性质 核心性质：若 =，则 ad=bc（交叉相乘相等）。 逆用：若 ad=bc（b,d0），则 =。 比例中项：若 =，则 b2=ac，b 叫 a,c 的比例中项。 四、比例尺 定义：比例尺= 类型：数值比例尺（如 1:1000）、线段比例尺。 换算： 实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺 图上距离 = 实际距离 × 比例尺 注意：计算时单位必须统一。 知识点02:黄金分割 一、黄金分割定义 点 B 把线段 AC 分成两段，若 ，则线段 AC 被点 B 黄金分割，点 B 为黄金分割点。 文字理解：较长线段是较短线段与原线段的比例中项。 二、黄金比 精确值：≈0.618。. 近似值：计算中常用 0.618。 公式： 较长线段 = 原线段 × ​ 较短线段 = 原线段 × ​ 三、重要结论 1.一条线段有两个黄金分割点。 2.黄金比是无理数，无单位。 3.黄金矩形：宽：长 ≈ 0.618 的矩形。 4.黄金三角形：顶角 36∘的等腰三角形，底边：腰 ≈ 0.618。 四.易错点 (1)一条线段有 2 个黄金分割点； (2)要看清题目是较长段还是较短段； (3)黄金分割只看比例，与长度单位无关。 知识点03:相似图形 一、相似图形 定义：形状相同的图形叫做相似图形。 理解：与大小、位置无关；可由一个图形放大 / 缩小得到。 特例：全等图形是相似比为 1 的相似图形。 二、相似多边形 定义：边数相同，对应角相等，对应边成比例的两个多边形。 相似比：对应边的比，记作 k。 性质： 1.对应角相等，对应边成比例。 2.周长比 = 相似比。 3.面积比 = 相似比的平方。 判定（充要条件）：边数相同 + 对应角相等 + 对应边成比例。 【题型1.比例的性质】 【典例】若，则________． 【答案】 【分析】设，再代入所求式子中求值即可． 【详解】解：∵， ∴可设， ∴． 【跟踪专练1】若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用分式的运算性质变形所求式子，再代入已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：． 【跟踪专练2】已知，则一次函数必经过的第____________象限． 【答案】二、三 【分析】本题考查了比例的性质、一次函数图象与系数的关系．直线所在的位置与k、b的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限；时，直线与y轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与y轴负半轴相交． 根据比例的性质求得k值，然后根据一次函数图象与系数的关系作出选择． 【详解】解：由可得： ① ② ③ 由得： ， （1）当时； ∴一次函数的解析式是：， ∴该函数经过第一、二、三象限； （2）当时，，④ 将④代入③，得：； 又∵， ∴， ∴一次函数的解析式是：； 该函数经过第二、三、四象限； 综上所述，一次函数一定经过的象限是第二、三象限； 故答案为二、三． 【跟踪专练3】已知，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质及求代数式的值，根据条件利用“设法”是解题的关键． 设，则、、，代入已知等式中，即可求得结果． 【详解】解：设， 则，，， ∴， 故选：A． 【题型2.比例线段】 【典例】若3x=5y，则=_______；已知且b+d+f≠0则=__________. 【答案】 2 【分析】根据比例的基本性质即可求解；根据等比性质求解即可. 【详解】若3x=5y，则= ； ∵且b+d+f≠0 ∴=2 故答案为；2 【点睛】本题考查的是比例的基本性质及等比性质，熟练掌握两个性质是关键. 【跟踪专练1】某地图上1cm2面积表示实际面积900m2，则该地图的比例尺是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设该地图的比例尺是1：x，根据面积比是比例尺的平方比，列出方程，求得x的值即可． 【详解】解：设该地图的比例尺是1：x，根据题意得： 1：x2＝1：9000000， 解得x1＝3000，x2＝−3000（舍去）． 则该地图的比例尺是1：3000； 故选：B． 【点睛】此题考查了线段的比，根据面积比是比例尺的平方比，列出方程是解题的关键． 【跟踪专练2】已知点B在线段上，且，若，则线段______． 【答案】 【分析】本题考查的是比例的性质及解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 根据题意列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得，，（舍去）， ∴ 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，将矩形纸片按照以下方法裁剪：剪去矩形边长的，边长的（称为第一次裁剪）；剪去剩下的矩形（阴影部分）边长的，长的（称为第二次裁剪）；如此操作下去，若第五次裁剪后，剩下的图形恰好是正方形，则原矩形的长宽比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设原矩形的长为x，宽为y，则第一次裁剪所得矩形的长为，宽为，以此类推得出第五次剪所得矩形有，即可求出答案． 【详解】设原矩形的长为x，宽为y， 则第一次裁剪所得矩形的长为，宽为， 第二次裁剪所得矩形的长为，宽为， 第三次裁剪所得矩形的长为，宽为， 第四次裁剪所得矩形的长为，宽为， 第五次裁剪所得剩下的图形恰好是正方形， ，． 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质，正方形的性质，熟悉掌握该知识点是解题关键． 【题型3.成比例线段.】 【典例】若线段a、b、c、d是成比例线段，且，则_____． 【答案】8 【分析】本题考查成比例线段，根据成比例线段的定义，列出比例式并求解即可． 【详解】解：由题意：， ∵， ∴； 故答案为：8 【跟踪专练1】嘉嘉周末到沧州博物馆观看沧州诗经文化展．他想了解一本古籍的长度，在古籍旁放了一支笔拍下照片如图所示．回家后量出照片上笔和古籍的长度分别为和，笔的实际长度为，则该古籍的实际长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例线段的应用（或相似图形的性质）．根据照片中的物体长度与实际物体长度成比例（即比例尺固定），列出比例式求解即可． 【详解】解：设该古籍的实际长度为 照片上物体的长度与实际物体的长度成正比 ∴ 解得 该古籍的实际长度为故选D． 【跟踪专练2】在比例尺为的地图上，量得甲、乙两地的距离为，则甲，乙两地的实际距离为______． 【答案】 【分析】本题考查了比例尺的概念、比例的性质；根据比例尺进行计算，注意单位的转换问题．根据比例尺=图上距离：实际距离，列比例式直接求得甲、乙两地间的实际距离． 【详解】设甲、乙两地间的实际距离为，则： 解得：． ． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图,有三个直角三角形,其中OA=AB=BC=CD=1,则线段OA,OD的比例中项线段的长度为(　　) A． B． C．± D． 【答案】D 【详解】根据勾股定理，由OA=AB=1可求OB==，然后由BC=1，可根据勾股定理求得OC==，同理求得OD=2，然后根据比例中项的性质，可知OA、OD的比例中项线段为. 故选D 【题型4.黄金分割】 【典例】我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”．如图．在设计人体雕像时，为了增加视觉美感利用黄金分割法，将雕像分为上下两部分，其中为的黄金分割点，已知长为2米，则的长是___________米． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义并结合图象计算即可得解，熟练掌握黄金分割的定义是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：米， 故米， 故答案为：． 【跟踪专练1】玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符.实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比时，可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：∵液面高度与瓶高之比为黄金比， ∴， 故选：B． 【跟踪专练2】黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清远的“远”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且．若，则的长为___________ （结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割的定义，正方形的性质及矩形的判定与性质，先证明四边形是矩形，根据求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在正方形中，E为中点，连接，延长至点F，使得，以为边作正方形，《几何原本》中按此方法找到线段的黄金分割点H．现连结并延长，分别交于点P，Q，若的面积与的面积之差为，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，黄金分割，三角形的面积．连接，设，根据线段的中点定义可得，再根据正方形的性质可得，，从而在中，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，然后利用线段的和差关系求出的长，再利用正方形的性质可得，，从而可得，进而可得是等腰直角三角形，最后利用等腰直角三角形的性质可得，再根据已知的面积−的面积=，可得的面积−的面积=，从而利用三角形的面积公式进行计算，即可解答． 【详解】解：连接，         设， ∵E为中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵的面积−的面积， ∴(的面积+的面积）−(的面积+的面积）， ∴的面积−的面积， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 故选：C． 【题型5.相似图形.】 【典例】下列说法： ①放大（缩小）的图片与原图片是相似形； ②比例尺不同的中国地图是相似形； ③放大镜下的五角星与原来的五角星是相似形； ④放电影时胶片上的图像和它映射到屏幕上的图像是相似形； ⑤平面镜中，你的像与你本人是相似形． 其中正确的说法有_______个． 【答案】5 【分析】本题考查相似图形的定义，具有相同形状的图形是相似图形，熟记并理解定义是解决本题的关键．根据相似图形的定义，对各选项进行分析即可得出答案． 【详解】解：①放大（缩小）的图片与原图片是相似形，正确； ②比例尺不同的中国地图是相似形，正确； ③放大镜下的五角星与原来的五角星是相似形，正确； ④放电影时胶片上的图像和它映射到屏幕上的图像是相似形，正确； ⑤平面镜中，你的像与你本人是相同的，正确． 综上所述，正确说法有①②③④⑤，共5个． 故答案为：5． 【跟踪专练1】如图，在矩形、锐角三角形、直角三角形的外边加宽度一样的外框，保证外框边与原图形对应边平行，则外框与原图不一定相似的是（      ）．        A．矩形 B．矩形和锐角三角形 C．矩形和直角三角形 D．锐角三角形和直角三角形 【答案】A 【分析】此题考查了相似三角形的判定．根据相似多边形的判定定理：对应边成比例、对应角相等，对各个选项进行分析，从而确定最后答案． 【详解】解：两矩形对应角相等，对应边的比值不一定相等，不一定相似，符合题意；两锐角三角形对应角相等，对应边的比值相等，两图形相似，不符合题意；两直角三角形对应角相等，对应边的比值相等，两图形相似，不符合题意； 故选：A 【跟踪专练2】如图：梯形ADFE相似于梯形EFCB，若AD＝3，BC＝4，则__． 【答案】 【分析】根据相似的性质，列出比例式，根据已知条件即可求得． 【详解】因为梯形ADFE相似于梯形EFCB，所以，即EF＝， 所以 故答案为： 【点睛】本题考查了相似图形的性质，掌握相似图形的性质是解题的关键． 【跟踪专练3】若一个矩形剪掉一个面积最大的正方形，剩下的小矩形与原来的矩形相似，且原矩形的较长边长为，则剩下的小矩形的较短边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一个矩形剪掉一个面积最大的正方形是以矩形的宽为边长的正方形，根据相似比求解即可． 【详解】 如图，设剩下的小矩形的较短边长为xcm，则剩下的小矩形的较长边长为（8-x）cm， 由题意得：∵剩下的小矩形与原来的矩形相似 ∴，解得：x ∵（舍去） ∴ 故选：D 【点睛】本题主要考查了相似的定义，对应边成比例的图形就是相似图形，熟练的掌握相似的定义并正确运用相似比求解是解题的关键． 【题型6.相似多边形】 【典例】如图，有甲、乙、丙、丁四个矩形，其中相似的是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．丙和丁 D．甲和丁 【答案】A 【分析】本题考查了相似多边形的概念，对应角相等，对应边成比例是解题关键．根据多边形相似的条件逐项分析即可． 【详解】解：A、，对应边成比例，且对应角相等，甲和乙相似，符合题意； B、，对应角相等，但对应边不成比例，乙和丙不相似，不符合题意； C、，对应角相等，但对应边不成比例，乙和丙不相似，不符合题意； D、，对应角相等，但对应边不成比例，乙和丙不相似，不符合题意； 故选：A． 【跟踪专练1】如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是________．    【答案】 【分析】相似图形的相似比等于对应边之比；再由五边形 五边形 可得相似比为，进而求解即可． 【详解】解：设横向相邻的两点距离为1，则，， ∴五边形 五边形 可得相似比为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似图形的相似比，掌握相似比的定义是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，是矩形内的任意一点，链接，，，，得到，，，，设它们的面积分别是，，，，给出如下结论： ①； ②； ③若，则； ④若，则点在矩形的对角线上． 其中正确的结论的序号是__________．（把所有正确结论的序号都填在横线上） 【答案】②④ 【分析】根据三角形面积求法以及矩形性质得出，以及，，即可得出P点一定在上． 【详解】如图，作，作， ∵以AD为底边，以BC为底边， ∴此时两三角形的高的和为AB，即可得到， 同理可得， ∴，故②正确，则①错误， ③若，只能得出与高度之比，不一定等于，故此选项错误； ④若，， ∴与高度之比为：， ∵， ∴四边形是矩形， ∴此时矩形与矩形相似， ∴， ∴P点在矩形的对角线上， 故答案为：②和④． 【点睛】此题考查了矩形的性质以及三角形面积求法，根据已知得出是解题关键． 【跟踪专练3】如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（    ） A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b 【答案】B 【分析】根据对折表示出小长方形的长和宽，再根据相似多边形的判定，对应边成比例列式计算即可． 【详解】解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为， 要使小长方形与原长方形相似，只要满足即可， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似多边形的判定，准确表示出小长方形的长和宽是解题的关键． 【题型7.相似多边形的性质】 【典例】如图，四边形四边形．则的度数为__________． 【答案】 【分析】本题考查相似多边形的性质．根据相似多边形的对应角相等求解即可． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，王老师利用复印机将一张长为，宽为的矩形的数学检测卷等比例缩小，其中缩小后的长为，则缩小后的面积为（   ） A．160 B．80 C．40 D．20 【答案】C 【分析】根据相似多边形的对应边成比例，即可求解． 【详解】解：设缩小后的宽是， ∵缩小前后的两个矩形相似， ∴， 解得， ∴缩小后的宽是， ∴缩小后的矩形的面积为． 【跟踪专练2】如图，点D、E在线段上，是等边三角形，当时，的度数为_____________． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和等边三角形的性质，解决此题的关键是熟练运用外角的性质；先根据相似三角形的性质得到角相等，再根据等边三角形的性质和外角的性质即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1；取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图（2）中阴影部分；取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图（3）中阴影部分；如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别求出第一个正六角星形AFBDCE与第二个边长之比，再根据相似多边形面积的比等于相似比的平方，找出规律即可解答． 【详解】∵A1、F1、B1、D1、C1、E1分别是△ABC和△DEF各边中点， ∴正六角星形AFBDCE∽正六角星形A1F1B1D1C1E1且相似比为2：1， ∵正六角星形AFBDCE的面积为1， ∴正六角星形A1F1B1D1C1E1的面积为， 同理可得，第二个六角形的面积为：， 第三个六角形的面积为：， 第四个六角形的面积为：， 故选D． 【点睛】本题考查的是相似多边形的性质及三角形中位线定理，解答此题的关键是熟知相似多边形面积的比等于相似比的平方． 【解答题】 1．已知线段a、b、c，且． (1)求的值； (2)若线段a、b、c满足，求a的值． 【答案】(1)6 (2)9 【分析】此题主要考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题关键． （1）设，则，代入即可求出的值； （2）根据，，得出，求出k的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：设，则， ∴，， ． （2）解：，， ， ， ． 2．已知线段，，满足，且． (1)求，，的值； (2)若线段是线段，的比例中项，求． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键，同时利用“设法”用表示出、、可以使计算更加简便． 设，可得：，，，根据可得关于的方程，解方程求出的值，再根据的值求出、、的值． 因为线段是线段，的比例中项，可得：，两边直接开平方求出的值，因为表示线段的长度，所以要把负值舍去． 【详解】（1）解：设， 则，，， ， ， 整理得：， 解得：， ，，； （2）解：线段是线段，的比例中项， ， 两边同时开平方，可得：， 是线段的长度， 舍去负值， ． 3．关于的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数，宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形． (1)求黄金分割数； (2)如图，在黄金矩形中，长，则矩形的面积 ； (3)如图，在正方形中，是边的中点，以为圆心，线段长为半径作弧，交的延长线于点，作矩形，试说明矩形是黄金矩形． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，黄金分割数，解题的关键是根据题意理解黄金分割数和黄金矩形的定义． （1）将代入，解方程即可得解； （2）根据黄金矩形的定义列式求得矩形的宽的长，再根据矩形面积公式计算即可； （3）设正方形的边长为，根据中点的性质可得，利用勾股定理可表示出的长，进而得到的长，从而表示出，根据黄金矩形的定义即可得证． 【详解】（1）解：将代入，得， 解得． 该方程的正根称为黄金分割数， 黄金分割数为 ； （2）解：宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，长， ，即， ， 矩形的面积为； 故答案为：； （3）证明：设正方形的边长为， 四边形是正方形， ，， 是边的中点， ， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是黄金矩形． 4．如图，四边形四边形． (1)_________度； (2)求边x，y的长． 【答案】(1)70 (2)， 【分析】本题考查相似多边形的性质，多边形内角和问题． （1）由相似多边形对应角相等，可得，再根据四边形内角和为即可求解； （2）根据相似多边形对应边长成比例，可得，代入数值即可求解． 【详解】（1）解：四边形四边形，， ， 四边形内角和为，，， ， 故答案为：70； （2）解：四边形四边形， ， 即， 解得，． 5．如图，矩形的长，宽． (1)如图①，若在矩形的内部沿四周有宽为1的环形区域，则矩形与矩形相似吗？请说明理由． (2)如图②，当x为多少时，矩形与矩形相似？ 【答案】(1)不相似．理由见解析 (2)当x为1.5或9时，矩形与矩形相似 【分析】（1）要说明相似只要说明对应边成比例，对应角相等； （2）如果两个矩形与相似，对应边成比例，就可以求出的值。 【详解】解：（1）不相似．理由如下： 由题意，在矩形的内部沿四周有宽为1的环形区域得： ． ∴矩形与矩形不相似． （2）由题意，得，． 若矩形与矩形相似， 则或， 即或， 解得或． 故当x为1.5或9时，矩形与矩形相似． 【点睛】本题主要考查了相似多边形的判定，对应边成比例，对应角相等，两个条件必须同时成立。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $