精品解析：上海市徐汇区2025-2026学年八年级上学期期中考试 数学试题

徐汇区2025学年初二年级第一学期 期中考试（数学）试卷 一、选择题（每题2分，共12分） 1. 一个正方形的面积是8，估计它的边长大小在（ ） A. 1与2之间 B. 2与3之间 C. 3与4之间 D. 4与5之间 2. 下列说法正确的是（ ） A. 的平方根是 B. 负数没有立方根 C. 64的立方根是； D. 的算术平方根是5 3. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 4. 二次根式化成最简结果为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，用尺规作图在边上确定一点P，使，则一定符合要求的选项是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题2分，共28分） 7. 25的平方根是_____． 8. 解方程：，则_________． 9. 与最简二次根式为同类二次根式，则______． 10. 比较大小：_______． 11. 的有理化因式是_____． 12. 关于x的一元二次方程的一个根为5，则m的值为________． 13. 科技兴则民族兴，科技强则国家强．近几年我国一直在芯片工艺上进行技术攻坚，目前，我国科学家研发出一款芯片拥有近个晶体管，每个晶体管只有3个原子厚，即厚度约为，则数字“”用科学记数法表示为_______ 14. 若与 互为相反数， 则________． 15. 定义一种新的运算：对于任意实数a，b，都有，则的值是_______ 16. 不等式的解集是____________． 17. 关于的一元二次方程的根的判别式的值为1，那么的值为_____． 18. 我们称一元二次方程的两个根差的绝对值为两个根的距离，若关于x的方程的两根距离为3，则=_______ 19. 定义：若三角形的两个内角和满足，则称这样的三角形为“奇异互余三角形”．在中，，，是射线上一点，若是“奇异互余三角形”，则_______ 20. 已知实数x满足方程：，则_______． 三、解答题 21. 计算： 22. 计算： 23. 计算 24. 用合适方法解方程： 25. 用合适方法解方程： 26. 用合适方法解方程： 27. 超速驾驶是造成交通事故的重要原因之一．交警部门一般会根据刹车后滑行的距离判断车辆的行驶速度，公式为，其中v表示车速（单位：），d表示刹车后滑行的距离（单位：m），f表示摩擦因数．若交警在处理某次交通事故时，测得，，已知该路段限速，那么该汽车超速了吗？请说明理由．（已知∶，，结果保留一位小数） 28. 先化简，后求值：，其中． 29. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． （1）求m的取值范围； （2）当时，求m的值． 30. 如图，中，，平分，求证：是的中点． 31. 阅读材料并解决问题 材料1：我们学了一元二次方程的解法，其中最基本的方式，是利用因式分解进行降次．那么对于更高次的方程，我们也可以用类似方法进行求解．例如：解方程：，可将其左边通过拆项，试根等方式，因式分解为，则方程的根为，， 材料2：当我们知道一个方程两根之和与两根之积时，利用韦达定理，我们可以构建满足这样条件的方程 例如：设一元二次方程的两根为，，且已知，则满足这两个解的方程是： 材料3：我们知道若，，是方程的两个实数根，则我们可以把方程写为，展开后得，比较两个方程的对应系数，不难发现， 由此我们也能得到一元二次方程的根与系数关系： （1）利用材料推导一元三次方程的根与系数关系 即，若，，，是方程的三个实数解，试用，，，表示： ，， （2）根据材料求方程组的一组实数解（写出一组即可） 附加题 32. 已知：，求z的最大值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 徐汇区2025学年初二年级第一学期 期中考试（数学）试卷 一、选择题（每题2分，共12分） 1. 一个正方形的面积是8，估计它的边长大小在（ ） A. 1与2之间 B. 2与3之间 C. 3与4之间 D. 4与5之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根的定义和估算无理数的大小，由正方形的面积等于边长的平方，故根据已知的面积开方即可求出正方形的边长为，然后由可得的取值范围． 【详解】解：设正方形边长为， 由正方形的面积为8得：， 又， ， ， ， ， 即正方形的边长在2与3之间，故B正确． 故选：B． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 的平方根是 B. 负数没有立方根 C. 64的立方根是； D. 的算术平方根是5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方根、立方根、算术平方根的概念，解题的关键是准确理解这些概念的定义． 分别对每个选项根据平方根、立方根、算术平方根的定义进行分析判断． 【详解】解：A、先计算的平方根是，不是，该选项错误； B、负数有立方根，例如的立方根是，该选项错误； C、64的立方根是4，不是，该选项错误； D、先计算的算术平方根是5，该选项正确． 故选：D． 3. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，即无限不循环小数叫做无理数，掌握其概念是解题的关键．根据无理数的概念逐一判断即可． 【详解】解：A、，是无理数，符合题意； B、是小数，不符合题意； C、是分数，不符合题意； D、，是整数，不符合题意； 故选：A． 4. 二次根式化成最简结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选B． 5. 如图，在中，，用尺规作图在边上确定一点P，使，则一定符合要求的选项是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图，垂直平分线判定，准确理解题意是解题的关键． 在上找一点使得，必须使得，所以作线段的垂直平分线即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴点在垂直平分线上， ∴作线段的垂直平分线， 故选：D． 6. 如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴、估算无理数的大小以及探索规律，通过估算无理数的大小，找到图形变化规律是解题的关键．利用表示的数，根据实数与数轴的关系，逐一计算各点所对应的数，在计算1、，得出规律即可解决． 【详解】解：由题意可得表示的数是， ∵右侧最近的整数点为， ∴表示的数是2， ∴， ∴表示的数是，表示的数是3， ∴， 同理可得表示的数是，表示的数是4，， 表示的数是，表示的数是5，， 可知以，两个数一环出现， ∵， ∴， 故选：A． 二、填空题（每题2分，共28分） 7. 25的平方根是_____． 【答案】±5 【解析】 【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的一个平方根． 【详解】∵（±5）2=25， ∴25的平方根是±5． 【点睛】本题主要考查了平方根的意义，正确利用平方根的定义解答是解题的关键． 8. 解方程：，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】先整理，然后再求的立方根，进而可得的值． 【详解】解：， ， ， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了立方根，关键是掌握立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 9. 与最简二次根式为同类二次根式，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，掌握同类二次根式定义，最简二次根式定义是解题的关键．化成最简二次根式后，根据被开方数相等解答即可． 【详解】解：， 与最简二次根式为同类二次根式， ， 故答案为： 10. 比较大小：_______． 【答案】> 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，利用作差法比较实数的大小是解题的关键．利用作差法比较实数的大小即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：>． 11. 的有理化因式是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了有理数因式的定义，根据“ 如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式”，即可解答． 【详解】解：∵ ， ∴的有理化因式是， 故答案为：． 12. 关于x的一元二次方程的一个根为5，则m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，将代入求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为5， ∴， 解得． 故答案为：． 13. 科技兴则民族兴，科技强则国家强．近几年我国一直在芯片工艺上进行技术攻坚，目前，我国科学家研发出一款芯片拥有近个晶体管，每个晶体管只有3个原子厚，即厚度约为，则数字“”用科学记数法表示为_______ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：． 故答案为：． 14. 若与 互为相反数， 则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组，相反数，非负数的性质，熟练掌握运算法则是解答关键． 利用相反数的性质和非负数的性质列出方程求出和，再进行计算求解． 【详解】解：与 互为相反数， , ，， ， 解得， ． 故答案为：． 15. 定义一种新的运算：对于任意实数a，b，都有，则的值是_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算、实数的混合运算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据新运算的定义进行计算即可． 【详解】解：由定义，， 代入 ，，得： ． 故答案为：10． 16. 不等式的解集是____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，分母有理化，严格遵循解不等式的基本步骤是解本题的关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向要改变．通过移项、合并同类项、系数化为1，再根据人次根式分母有理化化简即可求出不等式的解集． 【详解】解： ，即 故答案为：． 17. 关于的一元二次方程的根的判别式的值为1，那么的值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及因式分解法解一元二次方程，利用二次项系数非零及根的判别式为1，找出的值是解题的关键．由二次项系数非零可得出，由根的判别式可得出关于的方程，解之即可得出的值． 【详解】解：方程为一元二次方程， 方程的根的判别式的值为1， ， ∴， ∴， 解得：（不合题意，舍去），． 故答案为：2． 18. 我们称一元二次方程的两个根差的绝对值为两个根的距离，若关于x的方程的两根距离为3，则=_______ 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解绝对值方程． 由方程可得两根分别为和．根据两根距离为3，得 ，即．解此绝对值方程，得到或．代入所求表达式 ，即可求得值． 【详解】方程 的两根为，． 两根距离为． 即， 解得或， 所以或． ． 当时，； 当时，． 故答案为：或． 19. 定义：若三角形的两个内角和满足，则称这样的三角形为“奇异互余三角形”．在中，，，是射线上一点，若是“奇异互余三角形”，则_______ 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查了“奇异互余三角形”的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质等知识，理解新定义“奇异互余三角形”是解题关键．根据“奇异互余三角形”的定义，分三种情况：当点P在延长线上，，则，当点P在延长线上，时，则，当点P在线段上时，，，分别求出结果即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 分三种情况讨论， 如图，当点P在延长线上，，则， 此时， 即， ∴①， ∵②， 由，可得， ∴； 如图，当点P在延长线上，时，则， 此时，即， ∴③， ∵④， ∴得， ∴； 如图，当点P在线段上时，，， ∴， ∴此时； 综上所述，的所有可能的度数为或或． 故答案为：或或． 20. 已知实数x满足方程：，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了换元法、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 通过换元法，将原方程转化为关于新变量的二次方程，求解后验证实数解的存在性． 【详解】解：设 ，则原方程化为： ， ， ∴， 即 或 ， 当 时， ，即， 判别式为 ：，无实数解； 当 时，，即， 判别式为：，有实数解； ∴． 故答案为：6． 三、解答题 21. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握平方差公式和完全平方公式，二次根式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键. 根据平方差公式与完全平方公式展开，合并，即可． 【详解】解： ． 22. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，先化简二次根式，计算二次根式的乘法与除法运算，再合并即可． 【详解】解： = =． 23. 计算 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，解决此题的关键是注意符号的正负；根据二次根式化简的步骤化简即可 【详解】解： ． 24. 用合适方法解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， 或， ． 25. 用合适方法解方程： 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求根公式，利用公式法解一元二次方程的条件是．先确定a、b、c及判别式的值，然后再利用求根公式求解即可． 【详解】解：， ∵，，， ∴， ∴，． 26. 用合适方法解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键． 方程可以变形为，再两边同时开平方解方程即可得． 【详解】解：， ， ， ， 或， 或， 所以方程的解为． 27. 超速驾驶是造成交通事故的重要原因之一．交警部门一般会根据刹车后滑行的距离判断车辆的行驶速度，公式为，其中v表示车速（单位：），d表示刹车后滑行的距离（单位：m），f表示摩擦因数．若交警在处理某次交通事故时，测得，，已知该路段限速，那么该汽车超速了吗？请说明理由．（已知∶，，结果保留一位小数） 【答案】 解：该汽车超速了；理由： ∵，，， ∴ ． 故该汽车超速了． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式乘法运算的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式运算法则，根据二次根式性质进行运算即可． 【详解】略 28. 先化简，后求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简求值．先将分子进行因式分解，再约分化简，最后代入数据求值． 【详解】解： ， 当时， 原式． 29. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． （1）求m的取值范围； （2）当时，求m的值． 【答案】（1）且； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得，据此求解即可； （2）由根与系数的关系得到，， 再根据已知条件得到，解之即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，，且 ∴且； 【小问2详解】 由题意得，，， ∵， ∴，即， 整理得：， 解得：或（舍）， ∴． 30. 如图，中，，平分，求证：是的中点． 【答案】 证明：如图，延长至点，使得，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的中点． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．延长至点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，则，再根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质可得，则，然后证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得证． 【详解】略 31. 阅读材料并解决问题 材料1：我们学了一元二次方程的解法，其中最基本的方式，是利用因式分解进行降次．那么对于更高次的方程，我们也可以用类似方法进行求解．例如：解方程：，可将其左边通过拆项，试根等方式，因式分解为，则方程的根为，， 材料2：当我们知道一个方程两根之和与两根之积时，利用韦达定理，我们可以构建满足这样条件的方程 例如：设一元二次方程的两根为，，且已知，则满足这两个解的方程是： 材料3：我们知道若，，是方程的两个实数根，则我们可以把方程写为，展开后得，比较两个方程的对应系数，不难发现， 由此我们也能得到一元二次方程的根与系数关系： （1）利用材料推导一元三次方程的根与系数关系 即，若，，，是方程的三个实数解，试用，，，表示： ，， （2）根据材料求方程组的一组实数解（写出一组即可） 【答案】（1）；； （2），，． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元三次方程根与系数的关系和整式乘法，解决此题的关键是熟练运用因式分解的方法解方程； （1）根据题意和因式分解方法解方程把方程变形，进而得到答案； （2）根据（1）中得到的关系，a，b，c可以看作一元三次方程的三个根，根据题目中试根的方法得到答案即可； 【小问1详解】 解：∵，，是方程的三个实数解， 由材料可知方程可写成：， 化简得：， 而方程可化为：， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）和题意可知a，b，c可以看作方程的三个根； 通过试根可知当时，方程左右两边相等，即是的根， 根据材料因式分解方程可化为：， ∴令或， ∴， 解一元二次方程得或， ∴，，． 附加题 32. 已知：，求z的最大值 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，因式分解法解一元二次方程，由条件可得，，可得是方程的两根，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴是方程的两根， ∴， ∴当时， 解得：或， ∴， ∴的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $