精品解析：上海市建平实验中学2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

2026学年第一学期期中阶段练习 九年级数学学科 （考试时间：100分钟，满分：150分） 一、选择题【本大题共6题，每小题4分，满分24分】 1. 下列函数中，一定是二次函数的是（ ） A. B. C. （为常数） D. 【答案】D 【解析】 【分析】形如的函数是二次函数，根据定义逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A. 不是二次函数，本选项不符合题意； B. ，是一次函数，本选项不符合题意； C. （为常数），当时，该函数不是二次函数，本选项不符合题意； D. ，是二次函数，本选项符合题意． 2. 已知点P为线段AB的黄金分割点，被分得较长的线段，那么较短的线段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割的性质，准确分析计算是解题的关键． 根据黄金分割点的性质，较长的线段与较短线段的比等于整个线段与较长的线段的比，设，列出方程求解． 【详解】是的黄金分割点，且是较长的部分， ， 设，则， ， 交叉相乘得：，即， 整理得：， 解方程： ， ， ， ． 故选． 3. 如图，中，点、分别是边、上的点，且，下列结论不一定能得出的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理可判断A、B选项正确，根据得出，根据相似三角形的性质可判断C选项正确，D选项不一定能得出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，，故B选项正确，不符合题意； ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴，，故C选项正确，不符合题意； ∴， ∵与不一定相等， ∴不一定能得出，故D选项符合题意． 4. 抛物线的部分图像如图所示，若则x的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】观察图象确定对称轴及经过的特殊点，利用抛物线的对称性求解． 【详解】解：由函数图象得：二次函数开口向下，二次函数的对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点的坐标为， ∴关于x的不等式的解集是：． 5. 如图，在中，点，分别在边，上，再添加一个条件，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：已知， A．添加后，有两组角对应相等，能判定与相似，不合题意； B．添加后，可得，有两组角对应相等，能判定与相似，不合题意； C．添加后，满足两组对应边的比相等且夹角对应相等，能判定与相似，不合题意； D．添加后，有两组对应边的比相等，但不能确定夹角相等，不能判定与相似，符合题意． 6. 如图，抛物线（）的部分图象，其顶点坐标为，与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置及与y轴交点判断a，b，c的符号；利用抛物线的对称性确定时y的符号，结合判断①；利用对称轴公式判断③；利用顶点坐标公式判断④，即可解答． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线与轴交于正半轴， ， 对称轴为直线， ，即． ，故②错误． ， ，故③错误． 抛物线与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点在和之间． 当时，，即． ， ，即，故①正确． 抛物线的顶点坐标为， ． ． ，故④正确． 综上所述，正确的结论是①④，共2个． 二、填空题【本大题共11题，每小题4分，满分44分】 7. 抛物线的对称轴是直线________________． 【答案】 【解析】 【详解】解：对称轴为直线． 8. 当x=_______时, 二次函数 有最_______值(填“大”或“小”)． 【答案】 ①. ②. 小 【解析】 【分析】二次函数为顶点式，可直接得到顶点横坐标，根据二次项系数正负判断开口方向，即可得到对应结果． 【详解】解：二次函数是顶点式，顶点横坐标为，二次项系数为． ∵ ， ∴抛物线开口向上， 当时，该二次函数有最小值． 9. 已知，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】将所求分式拆分为整式与已知分式的差，代入已知条件计算即可． 【详解】解：，， ． 10. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】由题意得：， ∴， 如图，过作于点，交于点， ∴，， ∴，即， ∴（）， 即小孔到的距离为， 故答案为：． 11. 若抛物线y=kx2－2x＋l与x轴有两个交点，则k的取值范围是____． 【答案】k＜1，且k≠0 【解析】 【详解】解：∵y=kx2﹣2x+1为二次函数，∴k≠0． ∵抛物线y=kx2﹣2x+1的图象与x轴有两个交点，∴△＞0，即（﹣2）2－4k＞0． 解得：k＜1，∴k的取值范围是k＜1且k≠0． 故答案为k＜1且k≠0． 12. 如图，，如果，那么_____． 【答案】8 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由可得，先求出的长，再代入数据计算即可． 【详解】解： ∵， ∴． ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴． 13. 如图，在中，，是边上的高，，，则等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用直角三角形斜边上的高将原三角形分为两个相似三角形，通过对应边成比例建立等式求解． 【详解】解： ∵是边上的高 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 即 ∵， ∴ ∴． 14. 如图，在中，点是重心，过点作，交边于点，连接，如果，那么___________． 【答案】 【解析】 【分析】在中，点是重心，连接，并延长交于点，得点为边的中点，；由过点作，交边于点，得；再根据相似三角形面积之比等于相似比的平方即可求解． 【详解】 解：在中，点是重心，连接，并延长交于点， 则点为边的中点，且， ∵点是重心， ∴，即， ∵， ∴， ∵过点作，交边于点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 15. 中，，是边上的高且，分别是边上的点，是上的点，连接，交于．若四边形是正方形，则的长__________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明与相似，列出两个相似三角形的边长比例等式，即可求出正方形边长，也就是的长度． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 设， ∴原等式为，解得， ∴正方形边长为， 即的长度为． 16. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园，且在边处设计有宽的通道方便出入，若墙足够长，求这个花园可围成的最大面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】设垂直于墙的一边长为，表示出平行于墙的一边长，再利用矩形面积公式列出二次函数关系式，最后利用二次函数的性质求最值． 【详解】解：设垂直于墙的一边长为，围成的矩形面积为． 因为篱笆长为，且在处设计有宽的通道， 所以平行于墙的一边长为，即， 所以，即， 因为， 所以当时，有最大值，最大值为， 此时平行于墙的一边长为，符合题意， 故这个花园可围成的最大面积是． 17. 如图，中，，，点是中点，点在上且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接并延长，过点作交于点，过点作交延长线于点，得到，平分，，求出，然后证明出，得到，代值求出，，，然后证明出，得到，，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接并延长，过点作交于点，过点作交延长线于点， ∵中，，，点是中点， ∴，平分，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 三、解答题【本大题共7题，满分82分】 18. 已知抛物线经过点，顶点为点B． （1）求抛物线的表达式及顶点B的坐标； （2）将抛物线向上平移1个单位再向左平移1个单位，平移后抛物线顶点记为C点，求． 【答案】（1）， （2）3 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，再把解析式化为顶点式即可得到答案； （2）先根据二次函数图象平移的规律求出点C的坐标，再利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明，最后根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线顶点B的坐标为； 【小问2详解】 解：∵将抛物线向上平移1个单位再向左平移1个单位，平移后抛物线顶点记为C点， ∴点C的坐标为， ∴,,， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，求二次函数顶点坐标，二次函数图象的平移，勾股定理和勾股定理的逆定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为点，，． （1）画出；以原点为位似中心，画出，使它与的位似比为；点的对应点的坐标为                ； （2）用无刻度的直尺画出上的一点，使得（保留作图痕迹，写出结论） 【答案】（1）解：如图，、即为所求； （2）如图，点即为所求； 【解析】 【分析】（1）先画出，再把各顶点的横纵坐标乘以即可画出，进而可知点的坐标； （2）与点右侧的第一个竖直格线交点即为点，由题意可知和高相等，根据“等高三角形的面积比等于底边长的比”可知若，则．利用网格的格点连线，构造出“字形相似”，在上找到将分为的点，该点即为所求点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：和有公共顶点，底边、都在直线上，因此两个三角形的高相等（都是点到直线的距离）．根据“等高三角形的面积比等于底边长的比”，由，可得，即点在上，满足，也就是． 作图略． 20. 如图，公园的花坛正中间有一个喷灌嘴，将开关开至最大时，喷出的水流形状接近于抛物线．当水流距离地面时，距喷灌嘴的水平距离为，水流落地点距喷灌嘴的水平距离． （1）求水流所在抛物线的函数表达式； （2）为了给公园增添艺术氛围，园林部门计划在水流下方放置一些雕塑．若雕塑的高度为，求与喷灌嘴的水平距离在多大范围内时，雕塑不会被水流直接喷到． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，将点，代入抛物线解析式求解即可； （2）令，求出对应的自变量取值，再根据实际意义即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可知，水流所在抛物线经过点，， 将其分别代入得： ，解得， 水流所在抛物线的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：令，则， 解得，， 高度为的雕塑，其与喷灌嘴的水平距离在时，才不会被水流直接喷到． 21. 如图1，在凸六边形中，满足、、，我们把这样的凸六边形叫做“平行六边形”．其中与、与、与叫做“主对边”，和、和、和叫做“主对角”，、、叫做“主对角线”． （1）类比平行四边形性质，有如下猜想．请判断正误，并在横线上填写“正确”或“错误”． ①平行六边形的三组主对边分别相等． ②平行六边形的三组主对角分别相等． ③平行六边形的三条主对角线互相平分． （2）如图2，我们把六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”．如图3，是一张边长为3、4、6的三角形纸片．剪裁掉三个小三角形，使剪裁后的纸片为菱六边形．请在剪裁掉的小三角形中任选一个，求它的各边长． 【答案】（1）错误，正确，错误 （2）各边长分别为，， 【解析】 【分析】（1）连接、、，与交于点，结合相似三角形的判定与性质、平行线的性质逐项分析即可得出结果； （2）设三角形纸片为，裁剪后的纸片为菱六边形，则，，，从而推出，，结合相似三角形的性质计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：如图，连接、、，与交于点， 由图可得， ①平行于，只能知道，其他对边同理， 故平行六边形的三组主对边分别相等是错误的； ②平行于，则， 同理可得， ∴， ∴，其他对角同理， 故平行六边形的三组主对角分别相等是正确的； ③由①可得，平行六边形的三条主对角线互相平分是错误的； 【小问2详解】 解：设三角形纸片为，裁剪后的纸片为菱六边形， ∴，，， ∴，， ∴，， 设，则，， ∴，，， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴裁掉的小三角形的各边长分别为，，． 22. 如图，在四边形中，，相交于点，点在上，且满足，． （1）求证：； （2）若，，的面积为，求的面积． 【答案】（1）证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据两边对应成比例且夹角相等，证明两个三角形相似即可； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵的面积为， ∴． 23. 如图，在中，点、分别在边、上，，与交于点，且． （1）求证：； （2）如果，求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴，即； （2） 证明：由（1）知， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）通过对已知条件变形得到比例式，结合公共角证明，利用相似三角形对应角相等及等腰三角形的性质，推导得出； （2）先利用第（1）问的相似结论得到角相等，结合等腰三角形的性质推导出角相等，再通过三角形外角性质与角的代换，证明新的相似三角形，最终利用相似三角形对应边成比例完成等积式的证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例． 24. 如图所示，已知以为顶点的抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线的表达式为． （1）求抛物线的表达式． （2）若点为抛物线位于第一象限图象上一动点，过作，求的最大值； （3）在轴上是否存在一点，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）求出，，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）作轴于点K，交于点F，设点P的坐标为，则点F的坐标为，则，证明是等腰直角三角形，得到，则，利用二次函数的性质即可得到答案； （3）求出．得到，．则，证明．则当N的坐标为时，．连接，过点C作，交x轴于点N．证明．得到．则，即，解得．即可得到． 【小问1详解】 解：把代入，得， ∴． 把代入得 解得， ∴， 将、代入得：， 解得． ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：作轴于点K，交于点F，如图， 设点P的坐标为，则点F的坐标为， ∴， ∵、 ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，有最大值，最大值为； 【小问3详解】 解：， ∴． 又∵、， ∴，． ∴， ∴． 当时，， 解得， ∴点A的坐标是， ∵， ∴．， ∴． ∴ 又∵， ∴． ∴当N的坐标为时，． 如图所示：连接，过点C作，交x轴于点N． ∵，， ∴． 又∵， ∴． ∴，即， 解得． ∴， ∴． 综上所述，存在，当N的坐标为或时，以A，C，N为顶点的三角形与相似． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期期中阶段练习 九年级数学学科 （考试时间：100分钟，满分：150分） 一、选择题【本大题共6题，每小题4分，满分24分】 1. 下列函数中，一定是二次函数的是（ ） A. B. C. （为常数） D. 2. 已知点P为线段AB的黄金分割点，被分得较长的线段，那么较短的线段的长度为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，中，点、分别是边、上的点，且，下列结论不一定能得出的是（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的部分图像如图所示，若则x的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 或 5. 如图，在中，点，分别在边，上，再添加一个条件，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，抛物线（）的部分图象，其顶点坐标为，与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题【本大题共11题，每小题4分，满分44分】 7. 抛物线的对称轴是直线________________． 8. 当x=_______时, 二次函数 有最_______值(填“大”或“小”)． 9. 已知，那么________． 10. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____． 11. 若抛物线y=kx2－2x＋l与x轴有两个交点，则k的取值范围是____． 12. 如图，，如果，那么_____． 13. 如图，在中，，是边上的高，，，则等于_____． 14. 如图，在中，点是重心，过点作，交边于点，连接，如果，那么___________． 15. 中，，是边上的高且，分别是边上的点，是上的点，连接，交于．若四边形是正方形，则的长__________． 16. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园，且在边处设计有宽的通道方便出入，若墙足够长，求这个花园可围成的最大面积是_____． 17. 如图，中，，，点是中点，点在上且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为__________． 三、解答题【本大题共7题，满分82分】 18. 已知抛物线经过点，顶点为点B． （1）求抛物线的表达式及顶点B的坐标； （2）将抛物线向上平移1个单位再向左平移1个单位，平移后抛物线顶点记为C点，求． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为点，，． （1）画出；以原点为位似中心，画出，使它与的位似比为；点的对应点的坐标为                ； （2）用无刻度的直尺画出上的一点，使得（保留作图痕迹，写出结论） 20. 如图，公园的花坛正中间有一个喷灌嘴，将开关开至最大时，喷出的水流形状接近于抛物线．当水流距离地面时，距喷灌嘴的水平距离为，水流落地点距喷灌嘴的水平距离． （1）求水流所在抛物线的函数表达式； （2）为了给公园增添艺术氛围，园林部门计划在水流下方放置一些雕塑．若雕塑的高度为，求与喷灌嘴的水平距离在多大范围内时，雕塑不会被水流直接喷到． 21. 如图1，在凸六边形中，满足、、，我们把这样的凸六边形叫做“平行六边形”．其中与、与、与叫做“主对边”，和、和、和叫做“主对角”，、、叫做“主对角线”． （1）类比平行四边形性质，有如下猜想．请判断正误，并在横线上填写“正确”或“错误”． ①平行六边形的三组主对边分别相等． ②平行六边形的三组主对角分别相等． ③平行六边形的三条主对角线互相平分． （2）如图2，我们把六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”．如图3，是一张边长为3、4、6的三角形纸片．剪裁掉三个小三角形，使剪裁后的纸片为菱六边形．请在剪裁掉的小三角形中任选一个，求它的各边长． 22. 如图，在四边形中，，相交于点，点在上，且满足，． （1）求证：； （2）若，，的面积为，求的面积． 23. 如图，在中，点、分别在边、上，，与交于点，且． （1）求证：； （2）如果，求证：． 24. 如图所示，已知以为顶点的抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线的表达式为． （1）求抛物线的表达式． （2）若点为抛物线位于第一象限图象上一动点，过作，求的最大值； （3）在轴上是否存在一点，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $