精品解析：上海市浦东新区建平康梧中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025－2026学年上海市浦东新区建平康梧中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若相似△ABC与△DEF的相似比为1：3，则△ABC与△DEF的周长比为（　　） A. 1：3 B. 1：9 C. 3：1 D. 9：1 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比即可求出答案． 【详解】解：∵相似△ABC与△DEF的相似比为1：3， ∴△ABC与△DEF的周长比为1：3， 故选：A． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质． 2. 如果线段a是线段b、c的比例中项，，那么下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键；根据题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：由线段a是线段b、c的比例中项，可知：， ∵， ∴，即， ∴； 故选B． 3. 已知，下列说法中，错误的是（ ）． A. B. C. D. 与方向相同 【答案】B 【解析】 【分析】根据相等向量的定义，结合向量的性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：， 与的长度相等，且方向相同， A．；C．；D．与方向相同均正确； 根据向量的加减运算法则可知，而不是一个实数， B选项错误，符合题目要求， 故选：B． 【点睛】本题考查相等向量的定义、性质及线性运算，理解相等向量的定义和性质，掌握向量的加减法运算法则进行推导是解问题的关键． 4. 如图，在三角形纸片中，，，．沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题的关键． 根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案． 【详解】解：A：∵，对应边， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似，故该选项不合题意； B：∵，对应边， 即：，， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似，故该选项符合题意； C：∵，对应边， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似，故该选项不合题意； D：∵，对应边， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似，故该选项不合题意． 故选：B． 5. 在中，，如果，，那么等于（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，根据直角三角形中三角函数的定义，利用的正弦值求解斜边即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：C． 6. 如图，矩形中，点在对角线上，延长交于点，过点作，分别交、于点、，，．如果，那么的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，过点作于点，根据矩形的性质得，由得，由勾股定理得，证明得，即，证明得∴继而得到，设，则，得，解得：，再根据可得结论． 【详解】如图，过点作于点， ∵矩形中，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 在中，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， 中，， ∴的长是． 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，等积变换等知识点．掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分． 7. 已知，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值．通过已知，利用比例的基本性质(内项之积等于外项之积)，用含的式子表示，再代入到中进行化简计算，从而求出该式子的值． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ． 故答案为：． 8. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查向量的线性计算，根据向量的计算法则进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 9. 已知点P是线段的黄金分割点（），若的长为4，则的长是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．根据黄金分割点的定义，知是较长线段；则，代入数据即可得出的长． 【详解】解：由于P为线段的黄金分割点，且是较长线段, 则． 故答案为：． 10. 第七届中国国际进口博览会（简称“进博会”）于2024年11月5日至10日在国家会展中心（上海）隆重举办．以“新时代、共享未来”为主题，是世界上首个以进口为主题的国家级博览会．小海在地图上（如图1）测量他家与国家会展中心（上海）的距离为厘米，那么请帮小海计算出他家与国家会展中心（上海）的实际距离为______千米． 【答案】52 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握“”是解题的关键，注意单位的统一． 设小海家与国家会展中心（上海）的实际距离为厘米，根据“比例尺图上距离实际距离”列出比例式，由此即可得出小海家与国家会展中心（上海）的实际距离． 【详解】解：设小海家与国家会展中心（上海）的实际距离为厘米，依题意得： ， ， 厘米千米， 故答案：52． 11. 如图，，相交于点，，，，是的中位线，且，则的长为__________．  【答案】 【解析】 【分析】先依据三角形中位线定理求出的长度，再由判定与相似，最后根据相似三角形对应边成比例求出的长．本题主要考查三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】∵是的中位线 ∴ ∵ ∴ ∴ 即 解得 故答案为：2． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限内，若与轴负半轴的夹角的正切值为，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形． 过点作轴，交轴于点，根据题意得出，，即可求出． 【详解】解：过点作轴，交轴于点， 点在第二象限， ，， ，， ∴， ， 故答案为：． 13. 在梯形中，，对角线、相交于点，设．用的式子表示向量______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面向量，相似三角形的性质与判定，先证明，根据相似三角形的性质可得，得到，再根据即可求解. 【详解】解：∵ ∴， 即 ， 故答案为：． 14. 如图，长方形的边在的边上，顶点D、G分别在、上．已知的边长，高为，且长方形的长是宽的2倍，那么的长度是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题重点考查矩形的性质、两条平行线之间的距离处处相等、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 设交于点I，由矩形的边在的边上，顶点D、G分别在、上，得，则，由矩形的长是宽的2倍，得，由是的高，得，，则，由，得，而，，所以，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点I， 矩形的边在的边上，顶点D、G分别在、上， ， ， 矩形的长是宽的2倍， ， 是的高， ， ， ， ， ，，， ， ， ，， ， 解得， 的长度是， 故答案为：． 15. 如图，在中，点是重心，过点作，交于点，连接，如果，那么______． 【答案】18 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的重心，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．连接并延长交于点E，连接并延长交于点H，由重心的性质得，根据中线的性质可得，证明得，设，代入可求出，进而可求出． 利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：如图，连接并延长交于点E，连接并延长交于点H， ∵点是重心， ∴是中线，， ∴，，． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 则， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：18． 16. 如图，在Rt中，，将折叠，使点落在边上的点处，为折痕．若______． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，由等边对等角，折叠的性质可得，，由，可求，根据，求解作答即可． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，折叠的性质，三角形内角和定理，正弦等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，折叠的性质，三角形内角和定理，正弦是解题的关键． 17. 已知点P是内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫的费马点，已经证明：在三个内角均小于的中，当时，P就是的费马点，若点P是边长为6的等边三角形的费马点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形；由于等边三角形的费马点与重心重合，且重心到顶点的距离相等，利用锐角三角函数计算、，然后利用即可算出结果. 【详解】解：如图所示： ∵等边三角形费马点与重心重合，点P是边长为6的等边的费马点， ∴，，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴. 故答案为：. 18. 在等腰中，，是边上的高，将线段绕着点D逆时针旋转，点A旋转到点E，与边交于点F，且，如果与相似，那么的值为 ___________ ． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，交于点，先判断出得，由相似三角形的性质得，结合等腰三角形的性质，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，设，，则，，，整理得，，化简得 ，设，，可得，即可求解． 【详解】解：过点作于点，交于点， ， ， ，， ， ， ， ，与相似， ， ， ， ， 由旋转得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，， 则， ， ， ， ， ， 设，， ， ， ， ， ， 解得：（负值已舍）， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定及性质，能熟练利用相似三角形的性质进行求解是解题的关键． 三、解答题：本题共7小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，分母有理化等知识．熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 先计算各特殊角的三角函数值，然后分母有理化，计算乘方与乘法，最后进行减法运算即可． 【详解】解： ． 20. 如图，已知点D为中边上的一点，且，设，． （1）请用，表示向量： （2）在图中画出向量分别在，方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量） 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的三角形加法则依次计算、、即可； （2）根据向量加法的平行四边形法则，过D分别作的平行线，再标上向量方向即可． 【小问1详解】 ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ 【小问2详解】 ，即为向量分别在，方向上的分向量，如图所示： 【点睛】本题考查平面向量，需要掌握一向量在另一向量方向上的分量的定义，以及向量加法的平行四边形法则． 21. 如图，直线、、分别交两条直线于点A，B，C，D，E，F，且， ，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）10 【解析】 【分析】此题重点考查平行线分线段成比例定理、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． （1）过点D作，交于点N，交的延长线于点M，则四边形是平行四边形，所以，由，，得，由，得，由，推导出，则，所以，则，可证明四边形是平行四边形，进而证明 （2）可证明，则，由，，，，得，求得，则，所以，则 【小问1详解】 证明：过点D作，交于点N，交的延长线于点M， ，即， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， 设， ：：3， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ； 【小问2详解】 解：，，， ， ， ，，，， ， ， ， ， ， 的长为 22. 材料阅读： 光从空气中射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射，我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率，即，已知光线从空气进入水中时的折射率为． 问题解答： 如图，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点O，折射后照到水槽底部的点Q．测得，，若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料回答以下问题： （1）求的正弦值； （2）求的长（结果精确到，参考数据：，，）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再根据已知易得：，从而根据对顶角相等可得； （2）然后在中，根据锐角三角函数的定义可设，则，从而利用勾股定理进行计算可求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 解：中，，， ， ∵我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率，即，已知光线从空气进入水中时的折射率为． ∴， ； 【小问2详解】 解：， ， ∴在中，， 设，则， ， ， 解得：， ， ， 答：的长约为． 23. 已知：如图，点D、E分别在的边上，，联结． （1）求证：； （2）取的中点，联结，求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）先证明，转化为比例式为，再由可得结论； （2）由点是线段的中点，可得，再由可得，即，可证明，最后由相似三角形的性质可得答案． 【小问1详解】 证明： ， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：如图， 点是线段的中点， ， ， ， ， 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）分别求一次函数及反比例函数的表达式； （2）在第三象限内的B点右侧的反比例函数图象上取一点P，连接且满足． i）求点P的坐标； ii）过点A作直线，在直线l上取一点Q，且点Q位于点A的左侧，连接，试问：能否与相似？若能，求出此时点Q的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】（1）一次函数表达式为，反比例函数表达式为； （2）i）；ii）当点Q的坐标为或时，与相似． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法先求出反比例函数解析式，从而可求出，再次利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）i）过点P作轴，交直线于点C．设，则，即可求出．根据，即得出关于t的一元二次方程，解出t的值，结合点P在第三象限内的B点右侧的反比例函数图象上舍去不合题意的t的值即可求解； ii）由题意易求出直线解析式为，根据，可设直线的解析式为，利用待定系数法即可求出直线的解析式为．设，根据两点的距离公式可求出，结合点Q位于点A的左侧，进而得出．又可求出，．再根据平行线的性质得出，即可分类讨论：①当时，，根据相似三角形的性质可列出关于a的方程，解出a的值，即得出此时点Q坐标；②当时，，同理列出关于a的方程，解出a的值，即得出此时点Q坐标． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得：， ∴反比例函数解析式为． ∵点也在反比例函数的图象上， ∴， ∴． ∵点，在一次函数的图象上， ∴，解得：， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：i）如图，过点P作轴，交直线于点C． 设，则， ∴． ∵， ∴， 解得：，． ∵点P在第三象限内的B点右侧的反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴点P的坐标； ii）解：设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为． ∵， ∴可设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为． 设， ∵， ∴， ∵点Q位于点A的左侧， ∴． ∵，， ∴，． ∵， ∴， ∴可分类讨论：①当时，，如图， ∵， ∴，即， 解得：， ∴， ∴此时点Q坐标为； ②当时，，如图， ∵， ∴，即， 解得：， ∴， ∴此时点Q坐标为． 综上可知当点Q的坐标为或时，与相似． 【点睛】本题为反比例函数与一次函数的综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，两点的距离公式，相似三角形的判定和性质等知识．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 25. 如图，矩形中，，点P为对角线上一点，射线交线段于点D，射线交线段于点． （1）当时，求的长度； （2）设，，当时，求y关于x的函数表达式； （3）如图，连接，交于点M，若，求点P到线段的距离． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）作于F，易知，，再利用，，建立方程求出、，进而求出，即可得解； （2）作于可表示出和及，根据可表示出，进而表示出的面积，根据可表示出，从而表示出的面积，进一步得出结果； （3）连接，根据，得出，进而得出，从而，，从而得出，进而得出，从而求得的值，进一步得出结果． 【小问1详解】 解：过P作于点F， ， 为等腰直角三角形， ， ， 设，则， ， ， 解得， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解∶ 如图，作于F， 四边形是矩形， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得，， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解∶如图，连接，交于G， ，， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 点P到线段OC的距离为 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年上海市浦东新区建平康梧中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若相似△ABC与△DEF的相似比为1：3，则△ABC与△DEF的周长比为（　　） A. 1：3 B. 1：9 C. 3：1 D. 9：1 2. 如果线段a是线段b、c的比例中项，，那么下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，下列说法中，错误的是（ ）． A. B. C. D. 与方向相同 4. 如图，在三角形纸片中，，，．沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（　　） A B. C. D. 5. 在中，，如果，，那么等于（    ） A. B. C. D. 6. 如图，矩形中，点在对角线上，延长交于点，过点作，分别交、于点、，，．如果，那么的长是（ ） A B. C. D. 二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分． 7. 已知，那么________． 8. 计算：__________． 9. 已知点P是线段的黄金分割点（），若的长为4，则的长是________． 10. 第七届中国国际进口博览会（简称“进博会”）于2024年11月5日至10日在国家会展中心（上海）隆重举办．以“新时代、共享未来”为主题，是世界上首个以进口为主题的国家级博览会．小海在地图上（如图1）测量他家与国家会展中心（上海）的距离为厘米，那么请帮小海计算出他家与国家会展中心（上海）的实际距离为______千米． 11. 如图，，相交于点，，，，是的中位线，且，则的长为__________．  12. 如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限内，若与轴负半轴的夹角的正切值为，则的值为___________． 13. 在梯形中，，对角线、相交于点，设．用的式子表示向量______ 14. 如图，长方形的边在的边上，顶点D、G分别在、上．已知的边长，高为，且长方形的长是宽的2倍，那么的长度是________． 15. 如图，在中，点是重心，过点作，交于点，连接，如果，那么______． 16. 如图，在Rt中，，将折叠，使点落在边上点处，为折痕．若______． 17. 已知点P是内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫的费马点，已经证明：在三个内角均小于的中，当时，P就是的费马点，若点P是边长为6的等边三角形的费马点，则________． 18. 在等腰中，，是边上的高，将线段绕着点D逆时针旋转，点A旋转到点E，与边交于点F，且，如果与相似，那么的值为 ___________ ． 三、解答题：本题共7小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19 计算：． 20. 如图，已知点D为中边上的一点，且，设，． （1）请用，表示向量： （2）在图中画出向量分别在，方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量） 21. 如图，直线、、分别交两条直线于点A，B，C，D，E，F，且， ，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 材料阅读： 光从空气中射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射，我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率，即，已知光线从空气进入水中时的折射率为． 问题解答： 如图，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点O，折射后照到水槽底部的点Q．测得，，若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料回答以下问题： （1）求的正弦值； （2）求的长（结果精确到，参考数据：，，）． 23. 已知：如图，点D、E分别在的边上，，联结． （1）求证：； （2）取的中点，联结，求证：． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）分别求一次函数及反比例函数表达式； （2）在第三象限内的B点右侧的反比例函数图象上取一点P，连接且满足． i）求点P的坐标； ii）过点A作直线，在直线l上取一点Q，且点Q位于点A的左侧，连接，试问：能否与相似？若能，求出此时点Q的坐标；若不能，请说明理由． 25. 如图，矩形中，，点P为对角线上一点，射线交线段于点D，射线交线段于点． （1）当时，求的长度； （2）设，，当时，求y关于x的函数表达式； （3）如图，连接，交于点M，若，求点P到线段的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $