1.3 一元二次方程根的判别式同步练习2026～2027学年青岛版数学九年级上册

1.3 一元二次方程根的判别式

一．选择题

1．一元二次方程x2+6x﹣1＝0的根的情况是（　　）

A．有两个相等的实数根 

B．有两个不相等的实数根 

C．没有实数根 

D．无法确定

2．若关于x的一元二次方程2x2+bx+1＝0有两个相等的实数根，则b的值为（　　）

A． B． C． D．

3．若关于x的一元二次方程ax2﹣3x+1＝0有实数根，则a应满足（　　）

A． B．且a≠0 

C．且a≠0 D．

4．若关于x的方程x2﹣4x﹣m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（　　）

A．m≤4 B．m＜4 C．m≥﹣4 D．m＞﹣4

5．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（　　）

A．x2+4＝0 B．x2﹣4x+4＝0 C．x2+2x+3＝0 D．x2+2x﹣3＝0

6．关于x的一元二次方程x（x﹣2）﹣p＝0，则下列分析正确的是（　　）

A．当p＞0时，方程有两个不相等的实数根 

B．当p＝0时，方程有两个相等的实数根 

C．当p＜0时，方程没有实数根 

D．方程的根的情况与p的值无关

7．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx+b的大致图象可能是（　　）

A． B． 

C． D．

8．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：

①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；

②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；

③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；

④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则

⑤存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c；

其中正确的（　　）

A．只有①②④ B．只有①②④⑤ C．①②③④⑤ D．只有①②③

9．直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0实数解的个数是（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个

10．如图，M是△ABC三条角平分线的交点，过M作DE⊥AM，分别交AB、AC于D，E两点，设BD＝a，DE＝b，CE＝c，关于x的方程ax2+bx+c＝0（　　）

A．一定有两个相等实根 

B．一定有两个不相等实根 

C．有两个实根，但无法确定是否相等 

D．无实根

二．填空题

1．关于x的一元二次方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是____________________ ．

2．若方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2＝0有实根，则____________________

3．已知关于x的方程x2+（a﹣6）x+a＝0的两根都是整数，则a的值等于_________ ．

4．关于x的方程mx2+x﹣m+1＝0，有以下三个结论：①当m＝0时，方程只有一个实数解；②当

m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是_______ （填序号）．

5．若关于x的一元二次方程x2﹣2mx﹣4m+1＝0有两个相等的实数根，则（m﹣2）2﹣2m（m﹣1）的值为__________________ ．

三．解答题

1．已知关于x的方程2x2+4x+2k﹣1＝0有两个相等的实数根，求k的值．

2．已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣4）x﹣4m＝0．

（1）求证：无论m取何值，方程总有实数根；

（2）若方程有一个根不小于5，求m的取值范围．

3．我们定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，则称该方程为友好方程．请根据此定义，回答下列问题：

（1）请写出一个你认为正确的友好方程，并求出它的根；

（2）若关于x的一元二次方程x2+（1﹣2k）x+k2﹣k＝0是友好方程，求k的值，并判断方程根的情况；

（3）若友好方程3kx2﹣（4k+3m）x+k+2＝0有两个相等的实数根，求k，m的值．

4．已知关于x的一元二次方程mx2+2nx+1＝0（m≠0）有两个相等的实数根．求证：是正数．

5．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．

（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．