1.3一元二次方程根的判别式—对标课时练 2026--2027学年青岛版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程根的判别式，通过基础认知、能力提升、综合应用三层设计，实现从概念理解到几何情境应用的递进，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|根的判别式概念及根的情况判断|选择/填空题直接应用公式（如第1-4题）| |能力提升|参数取值范围确定|含参数问题及逆向判断（如第6-12题）| |综合应用|跨知识综合应用|结合三角形性质的探究题（如第16题）|

1.5　 一元二次方程根的判别式 知识点1 根的判别式与一元二次方程根的情况 1．一元二次方程有两个不相等的实数根，则满足的条件是（ ） A． B． C． D． 2．一元二次方程根的判别式的值为（ ） A． B． C． D． 3．一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 4．下列方程中，没有实数根的是（ ） A． B． C． D． 5．(教材P143例1变式)不解方程，判断下列方程根的情况: (1); (2); (3); (4) 知识点2 根据根的判别式确定字母的取值范围 6．关于的方程有两个不相等的实数根，则的值范围是（ ） A．且 B．且 C． D． 7．如果关于的一元二次方程没有实数根，那么的最小整数值是（ ） A． B． C． D． 8．方程有两个相等的实数根，则的值为 . 9．已知关于的方程,下列说法正确的是( ) A．当时，方程无实数解 B．当时，方程有两个相等的实数解 C．当时，方程有两个不相等的实数解 D．当时，方程有两个相等的实数解 10．若方程有两个相等的实数解，则下列方程中无实数解的是( ) A． B． C． D． 11．已知关于的一元二次方程没有实数根，则一次函数的图象一定不经过( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 12．已知关于的方程有两个实数根，则的化简结果是( ) A． B． C． D． 13．小刚在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是.他核对时发现所抄的比原方程的的值小1，则原方程的根的情况是( ) A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有另一个根是 D．有两个相等的实数根 14．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列关于的值判断正确的是( ) A． B． C． D． 15．(2023·威海期中)已知关于的一元二次方程. (1)求证：方程总有两个实数根; (2)若方程的两个根均为整数，求正整数的值. 16．已知关于的一元二次方程,其中分别为△ ABC三边的长. (1)如果是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由; (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由; (3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根。 解析： 知识点1 根的判别式与一元二次方程根的情况 1．一元二次方程有两个不相等的实数根，则满足的条件是（ ） A． B． C． D． 答案：C 解析：一元二次方程有两个不相等的实数根，则 故选C选项. 2．一元二次方程根的判别式的值为（ ） A． B． C． D． 答案：A 解析：移项，得 ∴ ∴ 故选A选项. 3．一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 答案：B 解析：∵ ∴ ∴ ∴一元二次方程有两个不相等的实数根 故选B选项. 4．(2025·潮州期中)下列方程中，没有实数根的是（ ） A． B． C． D． 答案：B 解析： A选项，，∴一元二次方程有两个相等的实数根； B选项，，∴一元二次方程没有实数根； C选项，，∴一元二次方程有两个不相等的实数根； D选项，，∴一元二次方程有两个不相等的实数根； 故选B选项. 5．(教材P143例1变式)不解方程，判断下列方程根的情况: (1); 解析：∵ ∴ ∴ ∴一元二次方程有两个不相等的实数根 (2); 解析：移项，得 ∴ ∴ ∴一元二次方程有两个相等的实数根 (3); 解析：移项，得 ∴ ∴ ∴一元二次方程没有实数根 (4) 解析：移项，得 ∴ ∴ ∴一元二次方程有两个不相等的实数根 知识点2 根据根的判别式确定字母的取值范围 6．关于的方程有两个不相等的实数根，则的值范围是（ ） A．且 B．且 C． D． 答案：B 解析：∵关于的方程有两个不相等的实数根 ∴ ∴ 即 解得 ∵ ∴ ∴且 故选B选项. 7．如果关于的一元二次方程没有实数根，那么的最小整数值是（ ） A． B． C． D． 答案：D 解析：∵关于的一元二次方程没有实数根 ∴ ∴ 即 解得 ∴的最小整数值是3 故选D选项. 8．方程有两个相等的实数根，则的值为 . 答案：-4 解析：∵方程有两个相等的实数根 ∴ ∴ 即 解得 9．已知关于的方程，下列说法正确的是( ) A．当时，方程无实数解 B．当时，方程有两个相等的实数解 C．当时，方程有两个不相等的实数解 D．当时，方程有两个相等的实数解 答案：D 解析： A选项，当时，方程是一元一次方程 解得；方程有实数解，A选项错误； B，D选项，∵方程有两个相等的实数根 ∴ ∴ 即 解得 B选项错误；D选项正确； C选项，∵方程有两个不相等的实数根 ∴ ∴ 即 解得 C选项错误； 故选D选项. 10．若方程有两个相等的实数解，则下列方程中无实数解的是( ) A． B． C． D． 答案：D 解析： ∵方程有两个相等的实数解 ∴ ∴ ∴ A选项，移项，得 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴方程有两个不相等的实数根，不符合要求，错误； B选项，移项，得 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴方程两个不相等的实数根，不符合要求，错误； C选项，移项，得 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴方程两个不相等的实数根，不符合要求，错误； D选项，移项，得 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴方程无实数根，符合要求，正确； 故选D选项. 11．已知关于的一元二次方程没有实数根，则一次函数的图象一定不经过( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：C 解析：∵方程没有实数根 ∴ ∴ 即 ∴解得， 当时，一次函数经过一二四象限，不经过第三象限。 故选C选项. 12．已知关于的方程有两个实数根，则的化简结果是( ) A． B． C． D． 答案：A 解析：∵方程有两个实数根 ∴ ∴ 即 ∴解得， 当时，。 故选A选项. 13．小刚在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是.他核对时发现所抄的比原方程的的值小1，则原方程的根的情况是( ) A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有另一个根是 D．有两个相等的实数根 答案：A 解析：当，时，原方程为 将代入，得 ∴ ∵所抄的比原方程的的值小1 ∴原方程的值是 ∴原方程为 ∴ ∴方程无实数根 故选A选项. 14．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列关于的值判断正确的是( ) A． B． C． D． 答案：B 解析：方程有两个相等的实数根 ∴ 即 由求根公式，得 ∵ ∴ ∴ 故选B选项. 15．已知关于的一元二次方程. (1)求证：方程总有两个实数根; (2)若方程的两个根均为整数，求正整数的值. 解析：（1）解： ∴方程总有两个实数根; ∴ （2）解：由求根公式，得 ∵是正整数 ∴ ∵方程的两个根均为整数 ∴为正整数 ∴或 16．已知关于的一元二次方程,其中分别为△ ABC三边的长. (1)如果是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由; (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由; (3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根。 解析：（1）解：将代入方程，得 ∴; ∴△ABC是等腰三角形 （2）解：△ABC是直角三角形，理由如下， 去括号，得 整理得， ∵方程有两个相等的实数根 ∴ ∴ ∴ ∴△ABC是直角三角形 （3）解：∵△ABC是等边三角形， ∴ ∴方程为 整理得， 即 ∵ ∴ 解得 1 学科网（北京）股份有限公司 $