31.4位似（分层作业·练题型）数学新教材人教版九年级下册

分层作业 31.4位似 目 录 A组 巩固过关 题型01 位似图形的有关概念 题型02 位似图形的性质 题型03 位似变换作图 题型04 平面直角坐标系中位似变换的相关计算 题型05 平面直角坐标系中位似变换作图 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 位似图形的有关概念题型01 1．（26-27九年级上·贵州·期中）下列选项中属于位似图形的是（ ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·河南平顶山·期中）如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（     ） A． B．点A，O，三点在同一直线上 C． D． 3．如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 4．指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心． 位似图形的性质题型02 5．（26-27九年级上·四川达州·期中）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积比为（     ） A． B． C． D． 6．（26-27九年级上·湖南娄底·期中）如图， 四边形与四边形位似，其位似中心为点，且，则四边形与四边形面积之比是（     ） A．1 B．2 C． D． 7．（26-27九年级上·山西朔州·期中）如图，和是以点O为位似中心的位似三角形，已知，，则的长为（     ） A． B． C． D． 8．如图，和是位似图形，点是位似中心，若，的周长为，则的周长是（     ） A． B． C． D． 9．如图，以点为位似中心，作四边形的位似图形(四边形)，，若四边形的面积是，则四边形的面积是__________． 位似变换作图题型03 10．如图，在每个小正方形的边长为的网格中，是格点三角形（三角形的顶点都在格点上）． (1)与是位似图形，在图中画出位似中心． (2)在图中画出与相似且面积最大的格点三角形． 11．（26-27九年级上·浙江宁波·期中）如图，在正方形网格中，点、、都在格点上，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） (1)在图1中，以为位似中心，位似比为；请画出放大后的． (2)在图2中，线段上作点，利用格点作图使得． 12．（26-27九年级上·宁夏银川·期中）在由边长为的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上（网格线的交点）． (1)以点为位似中心，在网格区域内将放大倍得到（的对应点是，的对应点是）． (2)用无刻度的直尺在线段上找一点，使得．（保留作图痕迹） 平面直角坐标系中位似变换的相关计算题型04 13．（26-27九年级上·上海奉贤·期中）如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将缩小得到，点，的对应点分别为，．若，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 14．（26-27九年级上·广西贵港·期中）如图，四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形．若，，，则（     ） A． B． C． D． 15．（26-27九年级上·陕西西安·期中）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，且．若点C的坐标为，则点F的坐标为（     ） A． B． C． D． 16．（26-27九年级上·北京延庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 17．（26-27九年级上·上海金山·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．以点为位似中心，在第四象限内作与的位似比为的位似图形，那么点的坐标为______． 18．（26-27九年级上·湖南永州·期中）如图，在直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为⁠___________． 19．（26-27九年级上·山东青岛·期中）如图，和是位似图形，点是位似中心，且．若点的坐标为，则点的坐标为___________． 20．（26-27九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是点．，都与轴平行，点，，均在轴上，点，均在轴上．若点的坐标是，点的横坐标为，则点的坐标为__________． 平面直角坐标系中位似变换作图题型05 21．（26-27九年级上·上海浦东新·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于原点位似的三角形，且与的位似比为． (2)用无刻度直尺在直线上找一点，使得（不写作法，保留作图痕迹） 22．（26-27九年级上·广东深圳·期中）如图，在单位长度为的平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按要求完成以下作图． (1)在线段上找一点，使得： (2)以原点为位似中心，将缩小为原来的，请在网格纸内画出缩小后的三角形，并直接写出点的对应点坐标 ． 23．（26-27九年级上·宁夏银川·期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为． (1)在第四象限画出以点O为位似中心的位似图形，与的位似比为； (2)直接写出点的坐标_______；与的周长比是_______；与的面积比是_______； 24．（26-27九年级上·浙江金华·期中）在网格中建立平面直角坐标系，，，，． (1)以点为位似中心，在网格中作的位似图形，使的边长放大到原来的倍． (2)某同学在探索“函数的系数，，与图象的关系”时分别经过，，，这四个点中的三个点画出二次函数的图象，则选哪三个点的抛物线对应的函数表达式最小？请在中选择个填入横线________ 25．（26-27九年级上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为、、（正方形网格中每个小正方形的边长均是1个单位长度）． (1)画出向下平移4个单位长度得到的，点的坐标是________； (2)以点B为位似中心，在指定网格的范围中画出，使与位似，且位似比为，点的坐标是________； (3)根据图形，与是关于某一点Q为位似中心的位似图形，点Q的坐标为________，面积比为________． 1．如图，正方形的两边，分别在平面直角坐标系的、轴的正半轴上，正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形，已知，若点的坐标为，则正方形与正方形的相似比是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将扩大到原来的2倍，得到．若点B的坐标为，则点的坐标为_____________． 3．（26-27九年级上·辽宁铁岭·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别是，，，，已知矩形与矩形位似，位似中心是原点，且矩形面积等于矩形面积的，则点的坐标为________． 4．（26-27九年级上·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别是，，，．已知矩形与矩形位似，位似中心是原点，且矩形的面积是矩形的9倍，则点的坐标为_____________． 5．（2026·浙江绍兴·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形和矩形位似，位似中心为点O．已知点A，D，G都在轴上，且点B的坐标为．若E为的中点，则点F的坐标为______． 6．（26-27九年级上·广东深圳·期中）已知方程的一个根是． (1)求方程的另一个根及k的值； (2)在如图所示的网格中有，用无刻度直尺画一个，以点A为位似中心使它与位似，且相似比为k． 7．（26-27九年级上·广东深圳·期中）如图，在单位长度为1的平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． (1)在第四象限内，以原点为位似中心作出的位似图形，使它与的相似比为； (2)内有一点，经过（1）中位似变换后对应点的坐标为_____； (3)与的面积之比为_____； (4)利用网格和无刻度直尺，在线段上确定一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 1．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，的坐标分别为，，正方形的顶点，的坐标分别为，，则这两个正方形的位似中心的坐标为__________． 2．如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为，B点坐标为，以为边在第一象限内作正方形，以原点O为位似中心，在第三象限内作正方形，使其与正方形位似，且，则点的坐标是__________． 3．【规律探索】如图，，，，，是以点为位似中心的位似图形，已知，的面积为1，则的面积是_________． 4．【代几综合】（2026·江苏苏州·三模）如图1所示，点与分别为两个抛物线的顶点，与、与分别为两个抛物线上的点，若与关于点位似且位于点的同侧，则称这两条抛物线为位似抛物线，其中点为两抛物线的位似中心，与的相似比为两抛物线的位似比． (1)如图2所示的两抛物线和，点、为抛物线上两点，连接、分别交于点、，判断和是否为位似抛物线，并说明理由； (2)如图3所示抛物线，试直接写出抛物线关于原点位似，按照位似比放大后开口向上的抛物线解析式________； (3)如图4，已知抛物线和为位似抛物线，点、为他们的顶点，试仅用无刻度直尺和圆规作图，找出它们的位似中心的位置（保留必要的作图痕迹，不需要说明理由），并直接写出抛物线和的位似比________（结果用、、、、中的某些字母表示）． 5．【代几综合】（2026·江苏盐城·二模）“沙漏”初探，位似寻踪——二次函数图象的相似探究 数学社团开展二次函数图象探究活动中，胡老师带领同学们在绘制图象时，发现：过原点的两条正比例函数图象，与二次函数图象交于，，，四点，这四点与原点连线构成的图形形似“沙漏”（如图1）．通过对线段长度与夹角的测量分析，猜想：，结合，可以得到． (1)如图2，二次函数的表达式分别为和，过点作直线，交函数图象于，两点．试求的值． 【一般探究】 (2)如图3，若二次函数的表达式分别为（，为常数）和（，为常数），过点任意作直线，分别交二次函数图象于，两点．若直线绕点旋转，的值是否变化？请说明理由． 【归纳结论】 (3)二次函数的图象均可通过几何变换，化为顶点在坐标原点的形式．结合位似的定义以及探究过程可知：上述图象为位似图形，位似中心为坐标原点，位似比为某一常数．换言之，任意两个二次函数的图象都________．（填“相似”或“全等”） 【迁移拓展】 (4)若二次函数，以点为位似中心将二次函数图象按放大，直接写出放大后新的二次函数图象的表达式． 1．（2026·甘肃天水·中考真题）如图，四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形．若，，，则（     ） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点O，已知，则的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在第三象限画与位似，若与的相似比为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将以点O为位似中心放大后得到，则与的周长之比是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·浙江·中考真题）如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（   ） A． B．4 C． D．5 6．（2025·广东·中考真题）如图，把放大后得到，则与的相似比是_____． 7．（2025·黑龙江绥化·中考真题）在平面直角坐标系中，把以原点为位似中心放大，得到．若点和它的对应点的坐标分别为，，则与的相似比为________． 8．（2025·山东烟台·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为______． 9．（2025·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和． (1)在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标； (2)以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 31.4位似 目 录 A组 巩固过关 题型01 位似图形的有关概念 题型02 位似图形的性质 题型03 位似变换作图 题型04 平面直角坐标系中位似变换的相关计算 题型05 平面直角坐标系中位似变换作图 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 位似图形的有关概念题型01 1．（26-27九年级上·贵州·期中）下列选项中属于位似图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、不属于位似图形，故本选项不符合题意； B、属于位似图形，故本选项符合题意； C、不属于位似图形，故本选项不符合题意； D、不属于位似图形，故本选项不符合题意． 2．（26-27九年级上·河南平顶山·期中）如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（     ） A． B．点A，O，三点在同一直线上 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到， ∴，点A，O，三点在同一直线上，， ，即， ∴四个选项中只有C选项的说法不正确，符合题意． 3．如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【详解】解：如图，连接、，交点即为位似中心， ， 由图形可得位似中心是点， 故选：D． 4．指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心． 【答案】①②和④中的两个图形都是位似图形，①中的位似中心是点A，②中的位似中心是点P，④中的位似中心是点Q 【详解】解：观察①②和④中的两个图形，结合题目所给条件，可得： ①②和④中的两个图形是相似图形，且对应点的连线相交于同一点，符合位似图形定义， ∴①②和④中的两个图形是位似图形，其中①中的位似中心是点A，②中的位似中心是点P，④中的位似中心是点Q． ∵③的图形是相似图形，但对应点的连线不相交于同一点，不符合位似图形定义， ∴③的图形不是位似图形． 位似图形的性质题型02 5．（26-27九年级上·四川达州·期中）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积比为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 和 是以点 为位似中心的位似图形， ， ，且相似比为 ． 与 的面积比为 ． 6．（26-27九年级上·湖南娄底·期中）如图， 四边形与四边形位似，其位似中心为点，且，则四边形与四边形面积之比是（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形与四边形位似， ∴四边形与四边形相似， ∵， ∴四边形与四边形相似比为， ∴四边形与四边形面积之比是． 7．（26-27九年级上·山西朔州·期中）如图，和是以点O为位似中心的位似三角形，已知，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：和是以点O为位似中心的位似三角形， ， ，， ， ． 8．如图，和是位似图形，点是位似中心，若，的周长为，则的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：和是位似图形，点是位似中心， ， ， 相似比为， 的周长的周长， 的周长为， 的周长． 9．如图，以点为位似中心，作四边形的位似图形(四边形)，，若四边形的面积是，则四边形的面积是__________． 【答案】 【详解】解：∵四边形是四边形的位似图形， ∴两四边形的相似比为． ∵位似图形的面积比等于相似比的平方， ∴四边形的面积与四边形的面积之比为． ∵四边形的面积是， ∴四边形的面积是． 位似变换作图题型03 10．如图，在每个小正方形的边长为的网格中，是格点三角形（三角形的顶点都在格点上）． (1)与是位似图形，在图中画出位似中心． (2)在图中画出与相似且面积最大的格点三角形． 【答案】(1)如图1，连结两组对应顶点并延长，交点即为所求的位似中心． (2)如图2，即为所求与相似且面积最大的格点三角形． 【详解】（1）解：∵位似图形的对应顶点连线都经过位似中心， ∴连结图1中两组对应顶点所在的直线，两线相交于位似中心． 图略 （2）解：设所求格点三角形与的相似比为． ∵三边长的平方依次为、、， ∴所求三角形三边长的平方依次为、、． ∵格点间距离的平方是整数， ∴、都是整数． ∵， ∴是整数，记为． ∵网格内两格点距离的平方不超过， ∴，即． ∵要能写成两个整数的平方和， ∴时、、、都不合要求；时含超过的数，也放不进网格． 当时，，． 由勾股定理，，． 又． ∴，相似比为． ∵的面积为， ∴所求最大面积为． 11．（26-27九年级上·浙江宁波·期中）如图，在正方形网格中，点、、都在格点上，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） (1)在图1中，以为位似中心，位似比为；请画出放大后的． (2)在图2中，线段上作点，利用格点作图使得． 【答案】(1)，即为所作 (2)点M即为所作 【详解】（1）解：延长至网格点，延长至网格点，连接，点与点C重合，图形如答案所示， 结合网格图可知：，， 即：，，满足位似比为； （2）连接，线段刚好被点A、点B之间四根竖直的网格线分为5等分，选取如图所示的5等分点M， 即有， 作图见答案． 12．（26-27九年级上·宁夏银川·期中）在由边长为的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上（网格线的交点）． (1)以点为位似中心，在网格区域内将放大倍得到（的对应点是，的对应点是）． (2)用无刻度的直尺在线段上找一点，使得．（保留作图痕迹） 【详解】(1)如图，即为所求； (2)如图，点即为所求． 解：过点、作，且满足，，连接，与的交点即为所求的点； ∵， ∴， ∴． 平面直角坐标系中位似变换的相关计算题型04 13．（26-27九年级上·上海奉贤·期中）如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将缩小得到，点，的对应点分别为，．若，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，以原点为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将缩小得到， ∴点的坐标为，即. 14．（26-27九年级上·广西贵港·期中）如图，四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形．若，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴，， ∵四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形， ∴，即， ∴． 15．（26-27九年级上·陕西西安·期中）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，且．若点C的坐标为，则点F的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵和是以点O为位似中心的位似图形，且， ∴位似比为； ∵由图可知，点F与点C在位似中心O的两侧， ∴ 点F的横坐标为，纵坐标为， ∴点F的坐标为． 16．（26-27九年级上·北京延庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为， ∴与的位似比为2， ∴点的对应点的坐标为，即． 17．（26-27九年级上·上海金山·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．以点为位似中心，在第四象限内作与的位似比为的位似图形，那么点的坐标为______． 【答案】 【详解】解： 与关于点位似，且位似比为 ， ∴点的坐标是点的坐标乘以 ， ∵ ， ∴点的横坐标为 ， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标是． 18．（26-27九年级上·湖南永州·期中）如图，在直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为⁠___________． 【答案】 【详解】解：与是以原点为位似中心的位似图形，且点的对应点为， 位似比． 点的坐标为，且点是点的对应点， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为． 19．（26-27九年级上·山东青岛·期中）如图，和是位似图形，点是位似中心，且．若点的坐标为，则点的坐标为___________． 【答案】 【详解】解：和是位似图形，点是位似中心， ， ， 点与点是对应点，且位于原点两侧， 点的坐标是点坐标的倍， 点的坐标为， 点的坐标为，即 ． 20．（26-27九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是点．，都与轴平行，点，，均在轴上，点，均在轴上．若点的坐标是，点的横坐标为，则点的坐标为__________． 【答案】 【详解】解：∵，都与轴平行，点，均在轴上．点的坐标是，点的横坐标为， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 平面直角坐标系中位似变换作图题型05 21．（26-27九年级上·上海浦东新·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于原点位似的三角形，且与的位似比为． (2)用无刻度直尺在直线上找一点，使得（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)如图1，即为所求． (2)如图1，点D即为所求． 【详解】（1）解：位似中心为原点，，且与的位似比为．根据位似变换的坐标规律，对应点坐标为原坐标乘以． 点，，， 可得，， 顺次连接、、即得所求三角形． （2）由得，即点D在线段上且为靠近B的三等分点． 在网格中取格点（位于点正上方2个单位处）与格点（位于点正下方1个单位处）． 因为与均垂直于x轴，所以，且，，即． 用无刻度直尺连接P，Q，设直线与交于点D． 由得，， 所以， 从而，即． 故点D即为所求． 22．（26-27九年级上·广东深圳·期中）如图，在单位长度为的平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按要求完成以下作图． (1)在线段上找一点，使得： (2)以原点为位似中心，将缩小为原来的，请在网格纸内画出缩小后的三角形，并直接写出点的对应点坐标 ． 【详解】(1)如图，点即为所求； (2)如图，和即为所求，点对应点的坐标为或； 23．（26-27九年级上·宁夏银川·期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为． (1)在第四象限画出以点O为位似中心的位似图形，与的位似比为； (2)直接写出点的坐标_______；与的周长比是_______；与的面积比是_______； 【详解】(1) （2）解：根据位似变换的性质，得的坐标，且与的相似比为， ∴与的周长比等于，面积比为． 24．（26-27九年级上·浙江金华·期中）在网格中建立平面直角坐标系，，，，． (1)以点为位似中心，在网格中作的位似图形，使的边长放大到原来的倍． (2)某同学在探索“函数的系数，，与图象的关系”时分别经过，，，这四个点中的三个点画出二次函数的图象，则选哪三个点的抛物线对应的函数表达式最小？请在中选择个填入横线________ 【详解】解(1)如图所示： 作图思路：位似作图：以原点为位似中心，放大倍，坐标直接乘：，，，依次连接，，，得到． （2）解：四点中任取三点共可组成四组，逐一求出二次项系数： 选、、：过、，设，代入得，． 选、、：设，由解得． 选、、：设，代入得，． 选、、：设，代入三点坐标得，解得． 比较得，最小的一组为、、， 故填、、． 25．（26-27九年级上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为、、（正方形网格中每个小正方形的边长均是1个单位长度）． (1)画出向下平移4个单位长度得到的，点的坐标是________； (2)以点B为位似中心，在指定网格的范围中画出，使与位似，且位似比为，点的坐标是________； (3)根据图形，与是关于某一点Q为位似中心的位似图形，点Q的坐标为________，面积比为________． 【详解】(1)； (2)； （3）解：如图，连接并延长，确定位似中心． 通过网格可得点Q的坐标为， 与的位似比为对应边的长度比，位似比为， 根据相似图形面积比等于相似比的平方，可得二者的面积比的值为． 1．如图，正方形的两边，分别在平面直角坐标系的、轴的正半轴上，正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形，已知，若点的坐标为，则正方形与正方形的相似比是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，延长交于点E， 在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∵正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴正方形与正方形的相似比是． 2．（26-27九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将扩大到原来的2倍，得到．若点B的坐标为，则点的坐标为_____________． 【答案】或 【详解】解：以原点O为位似中心，将扩大到原来的2倍，得到， 对应点的坐标乘以2或， 点B的坐标为， 点的坐标为或． 3．（26-27九年级上·辽宁铁岭·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别是，，，，已知矩形与矩形位似，位似中心是原点，且矩形面积等于矩形面积的，则点的坐标为________． 【答案】或 【详解】解：∵矩形与矩形位似，位似中心是原点，且矩形等于矩形面积的， ∴矩形与矩形位似，且位似比为， ∵， ∴或， ∴点的坐标为或． 4．（26-27九年级上·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别是，，，．已知矩形与矩形位似，位似中心是原点，且矩形的面积是矩形的9倍，则点的坐标为_____________． 【答案】或 【详解】∵在矩形中， ∴原矩形长为3、宽为2，面积为， ∵位似图形是特殊的相似图形，相似图形的面积比等于相似比的平方，且新矩形面积是原矩形的9倍 ∴面积比为， ∴相似比（即位似比）为， ∵位似中心是原点， ∴平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换，位似比为时， 原坐标对应的位似点坐标为或， 当位似图形和原图形在原点同侧时，坐标为； 当位似图形和原图形在原点异侧时，坐标为． 5．（2026·浙江绍兴·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形和矩形位似，位似中心为点O．已知点A，D，G都在轴上，且点B的坐标为．若E为的中点，则点F的坐标为______． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接， 根据位似图形的性质可得，点在上，点在上， ∵四边形和四边形为矩形，且点B的坐标为， ∴，， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴，， 由位似图形的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴点F的坐标为． 6．（26-27九年级上·广东深圳·期中）已知方程的一个根是． (1)求方程的另一个根及k的值； (2)在如图所示的网格中有，用无刻度直尺画一个，以点A为位似中心使它与位似，且相似比为k． 【答案】(1)， (2)即为所作 【详解】（1）解：∵方程的一个根是， ∴， ∴， 即， ， 即，或者， ∴，， ∴方程的另一个根为：； （2）根据（1）可知，即相似比为， 如图，取格点，再连线，构造两组平行线，即：，， 直线与线段交于点E，直线与线段交于点F，连接， 即为所作． 证明：∵， ∴结合网格有：， ∴， 同理：， ∴是以点A为位似中心与位似，相似比为． 7．（26-27九年级上·广东深圳·期中）如图，在单位长度为1的平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． (1)在第四象限内，以原点为位似中心作出的位似图形，使它与的相似比为； (2)内有一点，经过（1）中位似变换后对应点的坐标为_____； (3)与的面积之比为_____； (4)利用网格和无刻度直尺，在线段上确定一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【详解】(1)如图，即为所求； （2）解：∵内有一点， ∴经过（1）中位似变换后对应点的坐标为； （3）解：∵以原点为位似中心作出的位似图形，使它与的相似比为， ∴与的面积之比为：． (4)如图，点P即为所求． 解：∵， ∴， ∴， 即． 1．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，的坐标分别为，，正方形的顶点，的坐标分别为，，则这两个正方形的位似中心的坐标为__________． 【答案】或 【详解】解：正方形中、， ∴边长为， ∴，， 正方形中、， ∴边长为， ∴，， 分两种情况讨论： 情况1：两个正方形在位似中心的异侧 连接对应顶点和、和， 设直线和的解析式分别为，，则，， 解得：，，则直线和的解析式分别为，， 联立，，解得：， ∴此时这两个正方形的位似中心的坐标为； 情况2：两个正方形在位似中心的同侧连接对应顶点和、和并延长， 设直线和的解析式分别为，，则，， 解得：，， 则直线和的解析式分别为，， 联立，， 解得：， ∴此时这两个正方形的位似中心的坐标为； 综上，这两个正方形的位似中心的坐标为或． 2．如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为，B点坐标为，以为边在第一象限内作正方形，以原点O为位似中心，在第三象限内作正方形，使其与正方形位似，且，则点的坐标是__________． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点C作轴于点E， ∴， ∴； ∵A点坐标为，B点坐标为， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵原点O为位似中心，在第三象限内作正方形，使其与正方形位似，且， ∴位似比为， 又∵正方形在第三象限， ∴点的坐标为，即． 3．【规律探索】如图，，，，，是以点为位似中心的位似图形，已知，的面积为1，则的面积是_________． 【答案】 【详解】解：由位似可知：， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为1， ∴， 同理可得：，， ∴， ∴的面积是． 4．【代几综合】（2026·江苏苏州·三模）如图1所示，点与分别为两个抛物线的顶点，与、与分别为两个抛物线上的点，若与关于点位似且位于点的同侧，则称这两条抛物线为位似抛物线，其中点为两抛物线的位似中心，与的相似比为两抛物线的位似比． (1)如图2所示的两抛物线和，点、为抛物线上两点，连接、分别交于点、，判断和是否为位似抛物线，并说明理由； (2)如图3所示抛物线，试直接写出抛物线关于原点位似，按照位似比放大后开口向上的抛物线解析式________； (3)如图4，已知抛物线和为位似抛物线，点、为他们的顶点，试仅用无刻度直尺和圆规作图，找出它们的位似中心的位置（保留必要的作图痕迹，不需要说明理由），并直接写出抛物线和的位似比________（结果用、、、、中的某些字母表示）． 【详解】（1）(1)解：和是位似抛物线，理由如下： ∵、， ∴设直线的解析式为，则，解得， ∴， 联立，解得或， ∴； 同法可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵三点共线，三点共线，点是两条抛物线的共用顶点， ∴和关于点位似，且在点的同侧， ∴抛物线和是位似抛物线； （2）解：∵，设其顶点坐标为 则， ∵两条抛物线关于点为位似抛物线，且位似比为， ∴另一条抛物线的顶点坐标为， ∴设另一条抛物线的解析式为， 设抛物线任意一点的坐标为，则其关于原点位似的对应点的坐标为，该点在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线关于原点位似，按照位似比放大后开口向上的抛物线解析式为； （3）解：①如图，点即为所求； ②过点作轴的平行线，交两条抛物线的交点分别为， 则位似抛物线的位似比为，即两条抛物线的开口大小之比， 又∵抛物线的开口大小只由二次项的系数决定， ∴抛物线和的位似比为. 5．【代几综合】（2026·江苏盐城·二模）“沙漏”初探，位似寻踪——二次函数图象的相似探究 数学社团开展二次函数图象探究活动中，胡老师带领同学们在绘制图象时，发现：过原点的两条正比例函数图象，与二次函数图象交于，，，四点，这四点与原点连线构成的图形形似“沙漏”（如图1）．通过对线段长度与夹角的测量分析，猜想：，结合，可以得到． (1)如图2，二次函数的表达式分别为和，过点作直线，交函数图象于，两点．试求的值． 【一般探究】 (2)如图3，若二次函数的表达式分别为（，为常数）和（，为常数），过点任意作直线，分别交二次函数图象于，两点．若直线绕点旋转，的值是否变化？请说明理由． 【归纳结论】 (3)二次函数的图象均可通过几何变换，化为顶点在坐标原点的形式．结合位似的定义以及探究过程可知：上述图象为位似图形，位似中心为坐标原点，位似比为某一常数．换言之，任意两个二次函数的图象都________．（填“相似”或“全等”） 【迁移拓展】 (4)若二次函数，以点为位似中心将二次函数图象按放大，直接写出放大后新的二次函数图象的表达式． 【详解】（1）解：联立与得：， 解得：（舍去）， ∴， 同理可得 ∴，， ∴； （2）解：不变，理由如下： 联立与得：， 解得（舍去）， 即 同理可得 如图，作轴交y轴于M，作轴交y轴于N， ∵， ∴ ∴， ∵是与无关的常数， ∴的值不随直线旋转变化； （3）解：位似图形一定是相似图形， 因此任意两个二次函数的图象都相似； （4）解：设放大后新坐标为， ∵以点为位似中心将二次函数图象按放大， ∴，或， 当，时，， 代入得， 即， 可知放大后新的二次函数图象的表达式为； 当，时，同理可得放大后新的二次函数图象的表达式为； 综上所述，放大后新的二次函数图象的表达式为 或． 1．（2026·甘肃天水·中考真题）如图，四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形．若，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴，， ∵四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形， ∴，即， ∴． 2．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点O，已知，则的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵与位似，位似中心是原点O， ∴位似比为， ∵， ∴，即， 故选：B． 3．（2025·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在第三象限画与位似，若与的相似比为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵与位似，相似比为， ∴， ∵，位似中心为原点， ∴， 故选：B． 4．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将以点O为位似中心放大后得到，则与的周长之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意可得：以点O为位似中心放大2倍后得到， ∵， ∴与的周长之比是； 故选：B. 5．（2025·浙江·中考真题）如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【详解】解：∵五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点的坐标分别为 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6．（2025·广东·中考真题）如图，把放大后得到，则与的相似比是_____． 【答案】 【详解】解：把放大后得到，则与位似， 与的相似比为， 故答案为：． 7．（2025·黑龙江绥化·中考真题）在平面直角坐标系中，把以原点为位似中心放大，得到．若点和它的对应点的坐标分别为，，则与的相似比为________． 【答案】 【详解】解：把以原点为位似中心缩小得到，点和它的对应点的坐标分别为，， 则与的相似比为， 故答案为：． 8．（2025·山东烟台·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为______． 【答案】 【详解】解：依题意，， ∴， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴ 设 ∴ 解得：（舍去） ∴ 故答案为：． 9．（2025·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和． (1)在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标； (2)以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出． 【详解】(1)如图所示，点D即为边的中点， 点D的坐标为． (2)如图所示，即为所求作的三角形． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $