第一章 集合与常用逻辑用语 单元复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

单元复习讲义 · 第一章 集合与常用逻辑用语 解析版 第一章 集合与常用逻辑用语 单元复习讲义 一 单元结构图 学完1.1—1.5后使用。本章的关键联系是：把条件所允许的对象组成集合，用包含关系判断推出方向，用交并补表达条件的组合，用量词说明要求对所有对象成立还是只需存在一个对象。复习时先确定对象与范围，再选择表示与方法。 把同一个任务换成合适的语言 讨论什么对象 → 它们构成什么集合 → 集合之间是什么关系 → 相应命题能否推出或成立。图中的分支是知识结构；解题时可以沿这条联系往返转换。 常用数集： 为自然数集，包含 ； 为正整数集； 为整数集， 为有理数集， 为实数集。数集范围是题设条件的一部分。 前置范围：集合与常用逻辑用语、初中方程与一次不等式、基础因式分解。无需函数值域与最值、基本不等式或二次不等式的专门解法。 二 核心条件回顾 回顾对象 必须记清的条件 容易混淆的边界 元素与表示 先看描述法中竖线前的对象，再按竖线后的条件确定元素；输入值、输出值、有序数对不是同一种对象。 元素具有确定性、互异性、无序性；不同取法产生同一结果，只算一个元素。 关系与对象 比较元素与集合； 要求 中每个元素都属于 ； 要双向包含。 还要求 ；不能把“两个集合有公共元素”当成包含。 空集与子集数 总成立。若有限集有 个元素，子集数为 ，真子集数与非空子集数均为 ，非空真子集数为 。 只有一个子集即它自身，没有真子集或非空子集。 则需核对 的元素，不能由 推出。 集合运算 取公共元素， 取至少属于一个集合的元素； 在固定全集 内取不属于 的元素。 先统一元素范围；运算后仍按集合互异性去重。区间端点是否属于结果要分别检查。 充分与必要 判断“ 是 的充分条件”检查 ；判断“ 是 的必要条件”检查 ；充要要求两个方向都成立。 “充分不必要”和“必要不充分”还需证明反向不成立，不能只确认一个方向。 量词与否定 全称要求给定范围内每个对象都满足；存在只要求至少一个对象满足。否定命题时范围不变，量词互换，并否定其后的性质。 否定 得 ，否定 得 。含参命题中的参数在一次判断中固定，不能随被量化的对象改变。 常用运算关系 关系 恒成立的等式 交换律 ；。 结合律 ；。 自身与空集 ；，。 命题是能够判断真假的陈述句。遇到带变量的条件，要先说明讨论对象与范围；“取某个值成立”和“在规定范围内总成立”不能混用。 三 知识联系 集合包含决定推出方向 固定同一讨论范围 。条件 、 对 中每个对象均有明确的真假判断。 记 ，。 若原式带分母、根式等限制，先明确有意义的范围；也可先确定集合，再用“”表述条件。 集合关系 对条件的结论 还须检查什么 是 的充分条件 反向是否成立尚不能据此确定。 是 的充分不必要条件 中确有不属于 的对象。 是 的必要不充分条件 中确有不属于 的对象。 与 互为充要条件 两个方向都成立。 与 互不包含 是 的既不充分也不必要条件 两个方向分别找反例，反例可以不同。 条件组合对应集合运算 同时满足 、 对应 ；至少满足一个对应 ；在 内不满足 对应 。两个集合没有公共元素对应 ；有公共元素对应 。 对 ， 等价于 ，也等价于 。 同一全集 内的补集还满足： ，，。 关键条件 包含比较要求两个集合对应的条件使用同一讨论范围；等式中的补集都相对于同一个全集。先看对象与范围，再看符号。 知识联系 续 量词规定检查哪些对象 在给定且非空的范围 内， 为真等价于 ； 为真等价于 。前者要覆盖全体对象，后者只需构造一个合法对象。 若量词只在 中取值，则 为真等价于 ； 为真等价于 。判断前先核对量词所指的范围，不要把原题中的 擅自换成 。 若题目允许 ，由 和 可知，相应全称命题为真、存在命题为假；若题设 ，须先把它转成参数条件。 否定既改量词也改性质 的否定为 ； 的否定为 。量词互换与性质否定缺一不可；所得命题与原命题真假相反。其中 表示不满足 。 四 方法对照 任务 优先考虑的方法 不能省略的检查 有限集合运算计数 列出不同元素，再按定义取交、并、补或计算子集数。 对象类型、数域、重复结果。 区间运算与包含 数轴比较与端点条件互相核对。 空集、单点、开闭端点；整数范围不能照搬实数区间。 充分必要条件判断 分别求满足条件的对象集合，或分别证明两个推出方向。 反向不成立要给有效反例；同一范围内比较。 量词命题真假 全称用覆盖全体的论证，存在用合法的具体对象。 全称为假须有范围内反例；存在为假须排除所有对象。试几个值不能证明全称。 含参综合 先列出限制，再把文字关系转为集合关系，分类后合并并回代。 除以可能为零的式子之前分支；临界值与充分性。 接下来的综合题先确定数学关系，再选择工具。查漏训练不再提示所属方法，完成后核对错在对象、方向、范围、边界还是论证。 五 跨节综合 先辨量词 再确定集合关系 例1 2026.9.21·湖北随州曾都一中·高一9月月考·原卷第17题 已知集合 ，，且 。 （1）若命题 ：“”是真命题，求实数 的取值范围； （2）若命题 ：“”是真命题，求实数 的取值范围。 【答案】（1）；（2）。 【解析】 两问共有的前提是 。由 得 ；这一条件不能省略。 （1）全称命题要求 中的每个元素都属于 ，即 。两集合是非空闭区间，包含关系等价于 且 ，得 且 。与 联立，得 。 反过来，对任意 ， 非空，且左端不小于 、右端不大于 ，故 。在 时 ，在 时 ，两端均可取。 （2）存在命题要求至少找到一个同时属于 与 的元素，即 。两个非空闭区间有交等价于 且 。与 联立，得 。 也可直接检验充分性：对该范围内任意 ，取 。因 ，有 ，故 ；又有 ，故 ，确有一个共同元素。 时，，所以此端点仍可取。 进一步联系充分必要条件：在共同前提 下，使 为真的参数集合 真包含于使 为真的参数集合 ，因此 是 的充分不必要条件。这是讲后归纳，不是原题新增设问。 【易错辨析】全称要求整个 被包含，存在只要求有一个共同元素；不要把两问都写成包含关系。题设已排除空集，不能再把使 的参数合入答案。 方法归纳 先标出被量化的对象及其范围，再翻译为包含或非空交；求出参数后，用任意参数的证明或合法对象完成充分性检查。 跨节综合 续 由具体运算转向一般结论 例2 2025·安徽亳州二中·高一第一次教学质量检测·原卷第11题 对任意 ，记 ，并称 为集合 的对称差。下列命题中，是真命题的为（ ） A. 若 ，，则 B. 若 ，，则 C. 若 且 ，则 D. 若 且 ，则 【答案】ACD。 【解析】 新定义表示“恰好属于 、 中的一个”：先取并集，再去掉公共元素。以下分别核对四项，不把具体例子的结果当成一般证明。 A：，，去掉公共元素后得 ，故A正确。 B：，，故 。、 均为公共元素，必须排除；原选项保留这两点，故B错误。 C：已知 。假设 中有元素 ：若 ，则它同时属于两集合，按定义不属于 ，与 矛盾；若 ，则它仅属于 ，按定义属于 ，仍矛盾。两种可能都排除，故 ，C正确。 D：已知 。任取 ，若 ，它就属于 ，矛盾，所以 ，得到 。同理可证 ，因此 ，D正确。故选ACD。 【易错辨析】对一般集合命题，找到一个支持的例子不能证明它总真。证明相等需双向包含；证明集合为空需说明不可能存在任何元素。 方法归纳 先把新定义还原成元素归属，再选择有限列举、区间表示或任意元素证明。计算具体集合与证明一般命题的论证力度不同。 六 查漏训练 独立完成后再核对解析。多选题逐项判断，填空题写出必要的推导。 查漏1 2025·吉林长春外国语学校·高一第一次月考·原卷第9题 下列说法正确的是（ ） A. 空集是任意非空集合的真子集 B. “四边形是菱形”是“四边形是正方形”的必要不充分条件 C. 已知 ，，则 与 是两个不同的集合 D. 已知命题“非空集合 的元素都是集合 的元素”是假命题，则 中有不属于 的元素 【答案】ABD。 【解析】 A：空集是任意集合的子集。对非空集合 ，还有 ，所以 ，A正确。 B：每个正方形都是菱形，所以“是菱形”是“是正方形”的必要条件；存在不是正方形的菱形，故不是充分条件，B正确。 C：变量名称不决定集合的元素。任取 ，存在 使 。 令 、，就有 ，说明 。逆向同理得 ，因此 ，C错误。 D：原说法是“ 中每个元素都属于 ”的全称断言。它为假，就存在至少一个 中的元素不属于 ，D正确。这个结论不等于“ 的所有元素都不属于 ”。故选ABD。 【易错辨析】不要用集合的变量字母区分集合；全称断言为假，只能推出至少有一个反例，不能把“有不属于”扩大为“全部不属于”。 查漏2 2026·上海市第二中学·高一上学期期中·原卷第4题 设集合 满足 ，则满足条件的所有 的数目为________。 【答案】。 【解析】 记 ，。由 可知 ，否则并集会出现 以外的元素；又因 ，它们必须属于 。 已经在 中，在 中可选也可不选。因此所有符合条件的集合恰可写成 ，其中 。 反过来，任意这样的 都使 ；不同的 给出不同的 ，形成一一对应。四元素集合共有 个子集，所以共有 个符合条件的 。 【易错辨析】本题数的是集合 的个数，不是某个 的元素数。 是必选元素；只有另外四个元素可独立选取，不能套 或 。 人教A版 · 高一数学必修第一册 | 2026—2027学年 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $单元复习讲义 · 第一章 集合与常用逻辑用语 学生版 第一章 集合与常用逻辑用语 单元复习讲义 一 单元结构图 学完1.1—1.5后使用。本章的关键联系是：把条件所允许的对象组成集合，用包含关系判断推出方向，用交并补表达条件的组合，用量词说明要求对所有对象成立还是只需存在一个对象。复习时先确定对象与范围，再选择表示与方法。 把同一个任务换成合适的语言 讨论什么对象 → 它们构成什么集合 → 集合之间是什么关系 → 相应命题能否推出或成立。图中的分支是知识结构；解题时可以沿这条联系往返转换。 常用数集： 为自然数集，包含 ； 为正整数集； 为整数集， 为有理数集， 为实数集。数集范围是题设条件的一部分。 前置范围：集合与常用逻辑用语、初中方程与一次不等式、基础因式分解。无需函数值域与最值、基本不等式或二次不等式的专门解法。 二 核心条件回顾 回顾对象 必须记清的条件 容易混淆的边界 元素与表示 先看描述法中竖线前的对象，再按竖线后的条件确定元素；输入值、输出值、有序数对不是同一种对象。 元素具有确定性、互异性、无序性；不同取法产生同一结果，只算一个元素。 关系与对象 比较元素与集合； 要求 中每个元素都属于 ； 要双向包含。 还要求 ；不能把“两个集合有公共元素”当成包含。 空集与子集数 总成立。若有限集有 个元素，子集数为 ，真子集数与非空子集数均为 ，非空真子集数为 。 只有一个子集即它自身，没有真子集或非空子集。 则需核对 的元素，不能由 推出。 集合运算 取公共元素， 取至少属于一个集合的元素； 在固定全集 内取不属于 的元素。 先统一元素范围；运算后仍按集合互异性去重。区间端点是否属于结果要分别检查。 充分与必要 判断“ 是 的充分条件”检查 ；判断“ 是 的必要条件”检查 ；充要要求两个方向都成立。 “充分不必要”和“必要不充分”还需证明反向不成立，不能只确认一个方向。 量词与否定 全称要求给定范围内每个对象都满足；存在只要求至少一个对象满足。否定命题时范围不变，量词互换，并否定其后的性质。 否定 得 ，否定 得 。含参命题中的参数在一次判断中固定，不能随被量化的对象改变。 常用运算关系 关系 恒成立的等式 交换律 ；。 结合律 ；。 自身与空集 ；，。 命题是能够判断真假的陈述句。遇到带变量的条件，要先说明讨论对象与范围；“取某个值成立”和“在规定范围内总成立”不能混用。 三 知识联系 集合包含决定推出方向 固定同一讨论范围 。条件 、 对 中每个对象均有明确的真假判断。 记 ，。 若原式带分母、根式等限制，先明确有意义的范围；也可先确定集合，再用“”表述条件。 集合关系 对条件的结论 还须检查什么 是 的充分条件 反向是否成立尚不能据此确定。 是 的充分不必要条件 中确有不属于 的对象。 是 的必要不充分条件 中确有不属于 的对象。 与 互为充要条件 两个方向都成立。 与 互不包含 是 的既不充分也不必要条件 两个方向分别找反例，反例可以不同。 条件组合对应集合运算 同时满足 、 对应 ；至少满足一个对应 ；在 内不满足 对应 。两个集合没有公共元素对应 ；有公共元素对应 。 对 ， 等价于 ，也等价于 。 同一全集 内的补集还满足： ，，。 关键条件 包含比较要求两个集合对应的条件使用同一讨论范围；等式中的补集都相对于同一个全集。先看对象与范围，再看符号。 知识联系 续 量词规定检查哪些对象 在给定且非空的范围 内， 为真等价于 ； 为真等价于 。前者要覆盖全体对象，后者只需构造一个合法对象。 若量词只在 中取值，则 为真等价于 ； 为真等价于 。判断前先核对量词所指的范围，不要把原题中的 擅自换成 。 若题目允许 ，由 和 可知，相应全称命题为真、存在命题为假；若题设 ，须先把它转成参数条件。 否定既改量词也改性质 的否定为 ； 的否定为 。量词互换与性质否定缺一不可；所得命题与原命题真假相反。其中 表示不满足 。 四 方法对照 任务 优先考虑的方法 不能省略的检查 有限集合运算计数 列出不同元素，再按定义取交、并、补或计算子集数。 对象类型、数域、重复结果。 区间运算与包含 数轴比较与端点条件互相核对。 空集、单点、开闭端点；整数范围不能照搬实数区间。 充分必要条件判断 分别求满足条件的对象集合，或分别证明两个推出方向。 反向不成立要给有效反例；同一范围内比较。 量词命题真假 全称用覆盖全体的论证，存在用合法的具体对象。 全称为假须有范围内反例；存在为假须排除所有对象。试几个值不能证明全称。 含参综合 先列出限制，再把文字关系转为集合关系，分类后合并并回代。 除以可能为零的式子之前分支；临界值与充分性。 接下来的综合题先确定数学关系，再选择工具。查漏训练不再提示所属方法，完成后核对错在对象、方向、范围、边界还是论证。 五 跨节综合 先辨量词 再确定集合关系 例1 2026.9.21·湖北随州曾都一中·高一9月月考·原卷第17题 已知集合 ，，且 。 （1）若命题 ：“”是真命题，求实数 的取值范围； （2）若命题 ：“”是真命题，求实数 的取值范围。 方法归纳 先标出被量化的对象及其范围，再翻译为包含或非空交；求出参数后，用任意参数的证明或合法对象完成充分性检查。 跨节综合 续 由具体运算转向一般结论 例2 2025·安徽亳州二中·高一第一次教学质量检测·原卷第11题 对任意 ，记 ，并称 为集合 的对称差。下列命题中，是真命题的为（ ） A. 若 ，，则 B. 若 ，，则 C. 若 且 ，则 D. 若 且 ，则 方法归纳 先把新定义还原成元素归属，再选择有限列举、区间表示或任意元素证明。计算具体集合与证明一般命题的论证力度不同。 六 查漏训练 独立完成后再核对解析。多选题逐项判断，填空题写出必要的推导。 查漏1 2025·吉林长春外国语学校·高一第一次月考·原卷第9题 下列说法正确的是（ ） A. 空集是任意非空集合的真子集 B. “四边形是菱形”是“四边形是正方形”的必要不充分条件 C. 已知 ，，则 与 是两个不同的集合 D. 已知命题“非空集合 的元素都是集合 的元素”是假命题，则 中有不属于 的元素 查漏2 2026·上海市第二中学·高一上学期期中·原卷第4题 设集合 满足 ，则满足条件的所有 的数目为________。 人教A版 · 高一数学必修第一册 | 2026—2027学年 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $