2.1 等式性质与不等式性质 同步讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

 2.1　等式性质与不等式性质

 必修第一册　第二章　一元二次函数、方程和不等式

[学习目标]

1．会用不等式或不等式组表示现实问题与几何问题中的不等关系，理解两个实数大小关系的基本事实，会用作差法比较两个代数式的大小。

2．掌握等式的基本性质与不等式的七条性质，能说清每条性质的条件与结论，会用它们证明简单的不等式，并判断相关命题的真假。

3．知道同向可加、同向同正可乘的适用条件，掌握取倒数、开方、乘方时不等号方向的变化规律，会用不等式的性质求代数式的取值范围。

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 1．不等关系与不等式（组）

在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、长与短、高与矮、快与慢、不超过与不少于。反映在数量关系上，就是相等与不等：相等用等式表示，不等用不等式表示。

(1) 观察图 1，设 是线段 外的任意一点， 垂直于 ，垂足为 ， 是线段 上不同于 的任意一点。 与 都是连接点 与直线 上一点的线段，但垂线段 比斜线段 短，用式子表示就是 。

图 1: 垂线段 短于斜线段

(2) 定义：用符号 >、<、≥、≤、 表示不等关系的式子叫做；用符号 = 表示相等关系的式子叫做等式。把几个不等式合在一起，表示同一个量要同时满足的不等关系，叫做由这些不等式组成的不等式。

(3) 设汽车在该路段行驶的速度为 （单位：km/h），“限速 40”指 不能超过 40，表示为 ；某品牌酸奶规定脂肪含量 不少于 ，蛋白质含量 不少于 ，表示为不等式组 与 ；设 的三条边长为 ，，，则“任意两边之和大于第三边”表示为 ，，。

判断（先在括号内打“√”或“×”，再说清理由）

(1) “ 不超过 4”表示为 。（　　）

(2) “ 与 的和是非负实数”表示为 。（　　）

 2．两个实数大小关系的基本事实

由于数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系。如图 2，设 ， 是两个实数，它们在数轴上对应的点分别是 ，：当点 在点 的左边时，；当点 在点 的右边时，。点 在点 的右边，表示从点 沿数轴正方向移动 个单位长度可以到达点 ，这时 是正数。

图 2: 点 在点 左边时 ，在右边时

(1) 基本事实：如果 是正数，那么 ；如果 等于 0，那么 ；如果 是负数，那么 。反过来也对，即

(2) 作差法：要比较两个实数或两个代数式的大小，可以转化为比较它们的差与 0 的大小，步骤依次是作差、变形、定号、下结论。0 是正数与负数的分界点，它为实数比较大小提供了基准。

判断

(1) 若 ，则 且 。（　　）

(2) 若 ，则 。（　　）

(3) 若 ，则 与 在数轴上对应同一个点。（　　）

 3．等式的基本性质与不等式的性质1至4

不等式与等式一样，都是对大小关系的刻画，研究不等式的性质可以从等式的性质及其研究方法中获得启发。初中整理的等式的基本性质如下表。

性质 1、2 反映相等关系自身的特性，性质 3、4、5 从运算的角度提出，反映等式在运算中的不变性。把表中的 = 换成 >，哪些结论仍然成立？如图 3，把数轴上的两点 与 同时沿相同方向移动相等的距离，得到点 与 ，移动前后 与 的左右位置关系不改变。

图 3: 两点沿相同方向移动相同距离，左右位置关系不变

(1) 性质 1（对称性）如果 ，那么 ；如果 ，那么 ，即 。

(2) 性质 2（传递性）如果 ，，那么。

(3) 性质 3（可加性）如果 ，那么 ，即不等式两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向。由性质 3 可得 即 ，这说明不等式中任何一项改变符号后可以移到不等号的另一边。

(4) 性质 4（可乘性）如果 ，，那么 ；如果 ，，那么 。

 提醒： 性质 4 中两边同乘负数时不等号必须反向，这是不等式与等式在运算上的主要差别；两边同乘 0 时只能得到等式 。

判断

(1) 若 ，则 。（　　）

(2) 若 ，则 。（　　）

(3) 若 ，，则 。（　　）

 4．不等式的推论性质

性质 3 连续使用两次就能得到新的性质：由 得 ，由 得 ，再由性质 2 得 。那么由 与 能否确定 与 的大小？下表给出四组满足 且 的数。

(1) 性质 5（同向可加性）如果 ，，那么 。

(2) 性质 6（同向同正可乘性）如果 ，，那么 。

(3) 性质 7（同正可乘方性）如果 ，那么 ，其中 是不小于 2 的正整数。

(4) 由性质 4 与性质 2 还能推出两条常用结论。倒数性质：如果 ，且 ，那么 ；开方性质：如果 ，那么 。