1.3 集合的基本运算 核心知识清单-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

核心知识清单 · 第一章 集合与常用逻辑用语 学生版 第一章 集合与常用逻辑用语 1.3 集合的基本运算 核心知识清单 学生版 章节定位 在会判断元素归属和集合关系的基础上，用交、并、补表示“同时满足”“至少满足一个”“在给定范围内排除”。重点是把运算符号、元素条件和图形范围对应起来。 前置：集合的表示与关系，初中方程和简单不等式。运算时先确定元素与范围，再依据定义、图形和性质核对结果。 知识结构 运算 元素条件 表示与核对 并集 属于 或属于 合并覆盖范围；公共元素只写一次。 交集 属于 且属于 保留共同部分；没有公共元素时为 。 补集 属于 且不属于 先定全集；从 中排除 。 核心概念 知识点1 并集与交集 并集收集至少属于两集合之一的元素；交集只保留同时属于两集合的元素。 或；且。 这里的“或”包含“两者都属于”；“且”要求两个条件同时成立。运算结果仍是集合。 知识点2 全集与补集 全集 是本次研究范围内所有对象组成的集合，不一定是 。给定 ， 在 中的补集为 且。 图中浅色区域表示运算结果；图形面积不表示元素个数。补集只取全集矩形内部，不含矩形外部。 性质与公式 条件核对 求补集必须明确全集。例如 ：在 中，；在 中，。 知识点3 交、并运算的基本性质 情形 并集 交集 与自身运算 与空集运算 交换次序 已知 特别地，当 时，，。 总有 ，也有 。交集不会添入新元素，并集不会丢掉原集合的元素。 反过来， 或 中任一条件成立，都能推出 。不要把这个结论误写成真包含。 知识点4 补集的基本性质 下列结论均在同一全集 中使用，并要求 。 性质 公式 含义 原集合与补集无公共元素 不能既属于 又不属于 。 原集合与补集合成全集 全集中的元素恰好分为两部分。 连续取补回到原集合 两次补集必须相对同一个 。 两个边界 ； 全集与空集互为补集。 知识点5 交、并、补的联结（补充结论） 由元素条件或Venn图可以得到下列结论，前提是 、，且始终使用同一全集： ； 。 这两式称为德摩根律。理解时先看元素条件：不在并集中，表示两边都不属于；不在交集中，表示至少有一边不属于。 知识点6 有限集的元素个数（阅读补充） 用 表示有限集合 的元素个数，教材阅读材料也记作 。 。公共元素被数了两次，需减去一次。 若 有限且 ，则 。只在有限集计数中使用这里的减法。 适用条件 · 易混辨析 适用条件 知识点7 运算前后要核对的条件 检查项 如何落实 对象与范围 看元素是数、点还是其他对象；保留 、、 等限制。整数集不能画成连续实线段。 先化简再运算 先确定集合的实际元素或取值范围，再取交、并、补。结果为单元素集时也要保留花括号。 运算层次 先算括号内的集合；补号只作用于紧随其后的整个集合。分步写出中间集合，避免凭字面次序拼接。 端点与空集 交集看“同时取到”，并集看“至少一边取到”；无公共元素时交集写 。 补集与全集 先确认 ；不要把不属于 的对象放进 。 数轴例释 相接处是否留下空缺 本例在实数范围内讨论。取 、。两集合没有公共元素，故 ；但2属于 ，合并后的覆盖范围在2处不断开。 若把 B 的左端改为 ，交集便为 。相接点只有在两集合中都被取到，才进入交集。 易混辨析 易混说法 正确理解 “或”只表示二选一 并集包含公共元素，但同一元素只记一次。 ，所以其中一个为空 不成立。两个非空集合也可以没有公共元素。 交集为0，或交集不存在 若只有元素0，应写 ；若没有元素，应写 。 取补只需把不等号改变方向 先定全集，再保留全集中未被 覆盖的部分；逐一检查端点。 知道 就能求 、 一般不能唯一确定；单个运算结果并不记录每个原集合。 概念例释与边界核验 先读元素条件，再核对全集、端点与括号。以下概念例释用于说明容易混淆的边界。 全集改变时 先改变筛选范围 取 。在 中，；在 中，。4只在第二个全集中，所以只进入第二个补集。 若研究范围改为 ，原来的 不再是 的子集。要沿用本节补集定义，应先把研究对象限制为 ，再求 ，不能不说明就沿用原式。 同一个端点 三种不同结果 实数范围内的条件 交集 并集 ， ， ， 表示 ， 表示 ；方括号取端点、圆括号不取。第一行有一个公共元素0，第二行无公共元素但并集不断开，第三行的并集漏掉0。 补号作用于谁 由括号确定 取 ，，。则 ，而 。第一式排除共同部分，第二式保留“在 内而在 外”的部分，不能互换。 德摩根律 逐个元素说明为什么 元素所处区域 只在 中 不保留 保留 同时在 、 中 不保留 不保留 只在 中 不保留 保留 在 中且两边都不在 保留 保留 左式要求“两边都不在”，对应两个补集的交；右式只需“不是两边都在”，对应两个补集的并。不能把“不是都在”误读为“两边都不在”。 逆向推理与分类讨论 知识点8 从运算结果反推条件 看到 或 ，先转为 ；看到 ，先转为“没有公共元素”。 若 ，则 也等价于 。这些条件不自动给出真包含。 已知补集可再取一次补集恢复原集合： 时，。已知并集和交集时，交集中的元素属于两边，并集之外的元素两边都不能取；其余元素需要结合题目中的另一个条件确定归属。 有限含参集先把“必须出现”或“不能出现”的元素代回定义，得到候选参数；再求出整个集合并重做运算。仅让某个元素满足方程，不足以保证交集或并集恰好等于题设结果。 知识点9 区间运算的分类顺序 先判断含参集合是否为空，再判断它与固定集合的位置。闭区间式 在 时为空、 时为单元素集；开区间式 在 时为空。半开区间在两端相等时也为空。 非空区间的位置可分为分离、相接、部分重叠和包含。求交集非空时，相接点必须两边都包含；求并集连续时，相接点只需至少一边包含。求交集为空时，要保留“某个原集合为空”的情形。 交集只有一个元素，不等于交集为空。两个非退化区间通常只在相接且两边都闭时出现单点交集；若原集合本身可退化成单点，还要单独检查该点是否属于另一集合。 知识点10 情境与计数的区域划分 把“既……又……”对应交集，“至少参加一项”对应并集，“都不参加”对应并集在总人群中的补集。先明确总人群，再分为仅在 、仅在 、两者都在、两者都不在四个互不重叠的部分。 两项合计包含重复人数时，用 。若只给范围或最值条件，先把每个区域的人数设为非负整数，再结合总数求范围；不要把“至多”“至少”直接当作相等。 自测题 1．（2025·江苏泗阳县实验高级中学·高一第一次调研测试·原卷第1题）已知集合 ，，则 （ ）。 A． B． C． D． 2．（2025·普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅰ卷·原卷第2题）设全集 ，集合 ，则 中元素的个数为（ ）。 A．0 B．3 C．5 D．8 3．（2025·陕西西安高新第一中学·高一上学期10月月考·原卷第1题）设集合 ，，，则 （ ）。 A． B． C． D． 4．（2025·普通高等学校招生全国统一考试·天津卷·第1题（公开整理本））已知集合 ，，，则 （ ）。 A． B． C． D． 5．（2026·云南部分学校（金太阳）·高三9月月考·原卷第1题）已知全集 ，集合 ，，则 （ ）。 A． B． C． D． 6．（2025·吉林长春外国语学校·高一第一学期第一次月考·原卷第1题）设集合 ，，，则 （ ）。 A． B． C． D． 7．（2025·四川威远中学校·高一上期第一次月考·原卷第3题）全集 ，集合 ，，则阴影部分表示的集合是（ ）。 A． B． C． D． 8．（2025·山西怀仁市大地学校·高一上学期第一次月考A卷·原卷第6题）已知全集 ，集合 ，，则 （ ）。 A． B． C． D． 9．（2026·辽宁鞍山部分高中·高三9月一模学情调研·原卷第2题）已知集合 ，，则 （ ）。 A． B． C． D． 10．（2026·浙江浙南名校联盟·高三10月联考·原卷第1题）已知集合 ，，则 （ ）。 A． B． C． D． 11．（2025·山东省济宁市·高考模拟考试（一模）·原卷第1题）已知集合 ，，则集合 中元素的个数为（ ）。 A．0 B．1 C．2 D．3 12．（2026·广东深圳中学·高三第一次阶段考试B卷（10月）·原卷第1题）设集合 ，集合 ，若集合 只含一个元素，则（ ）。 A． B． C． D． 13．（2026·山西太原五中·高三第一学期学科阶段性检测（9月）·原卷第1题）已知集合 ，则集合 的子集个数为（ ）。 A．3 B．4 C．8 D．7 14．（2025·江苏南京金陵中学·高一上学期10月月考·原卷第3题）若全集 ，且 ，则集合 的非空真子集的个数为（ ）。 A．4 B．5 C．6 D．7 15．（2026·浙江省杭州市·高一下学期6月教学质量检测（期末）·原卷第3题）在机器学习中，常用 来衡量两个集合 之间的相似度，其中 表示集合 的元素的个数。已知 ，，则 （ ）。 A． B． C． D． 16．（2025·江苏南京金陵中学·高一上学期10月月考·原卷第6题）对于全集 的子集 ，若 ，则下列集合为 的是（ ）。 A． B． C． D． 17．（2026·北京人大附中·高一上学期统练一·原卷第6题）已知全集 ， ，则 （ ）。 A． B． C． D． 18．（2026·湖北襄阳四中·高一上学期9月素养测评·原卷第9题）（多选）已知全集 ，集合 ，，且 ，则（ ）。 A． B． C． 中元素个数为1 D． 19．（2025·江苏南京金陵中学·高一上学期10月月考·原卷第8题）已知集合 ，设 ，且 ，则集合 的元素的个数为（ ）。 A．5 B．4 C．3 D．2 20．（2025·陕西西安高新第一中学·高一上学期10月月考·原卷第15题）已知集合 ，，。 （Ⅰ）若 ，求实数 的值； （Ⅱ）若 ，求实数 的取值范围。 作答检查 □ 元素对象与数域一致 □ 全集没有遗漏 □ 开闭端点逐个检查 □ 空集与单点分别核对 □ 参数已回代原式 人教A版 · 高一数学必修第一册 | 2026—2027学年 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 核心知识清单 · 第一章 集合与常用逻辑用语 解析版 第一章 集合与常用逻辑用语 1.3 集合的基本运算 核心知识清单 解析版 章节定位 在会判断元素归属和集合关系的基础上，用交、并、补表示“同时满足”“至少满足一个”“在给定范围内排除”。重点是把运算符号、元素条件和图形范围对应起来。 前置：集合的表示与关系，初中方程和简单不等式。运算时先确定元素与范围，再依据定义、图形和性质核对结果。 知识结构 运算 元素条件 表示与核对 并集 属于 或属于 合并覆盖范围；公共元素只写一次。 交集 属于 且属于 保留共同部分；没有公共元素时为 。 补集 属于 且不属于 先定全集；从 中排除 。 核心概念 知识点1 并集与交集 并集收集至少属于两集合之一的元素；交集只保留同时属于两集合的元素。 或；且。 这里的“或”包含“两者都属于”；“且”要求两个条件同时成立。运算结果仍是集合。 知识点2 全集与补集 全集 是本次研究范围内所有对象组成的集合，不一定是 。给定 ， 在 中的补集为 且。 图中浅色区域表示运算结果；图形面积不表示元素个数。补集只取全集矩形内部，不含矩形外部。 性质与公式 条件核对 求补集必须明确全集。例如 ：在 中，；在 中，。 知识点3 交、并运算的基本性质 情形 并集 交集 与自身运算 与空集运算 交换次序 已知 特别地，当 时，，。 总有 ，也有 。交集不会添入新元素，并集不会丢掉原集合的元素。 反过来， 或 中任一条件成立，都能推出 。不要把这个结论误写成真包含。 知识点4 补集的基本性质 下列结论均在同一全集 中使用，并要求 。 性质 公式 含义 原集合与补集无公共元素 不能既属于 又不属于 。 原集合与补集合成全集 全集中的元素恰好分为两部分。 连续取补回到原集合 两次补集必须相对同一个 。 两个边界 ； 全集与空集互为补集。 知识点5 交、并、补的联结（补充结论） 由元素条件或Venn图可以得到下列结论，前提是 、，且始终使用同一全集： ； 。 这两式称为德摩根律。理解时先看元素条件：不在并集中，表示两边都不属于；不在交集中，表示至少有一边不属于。 知识点6 有限集的元素个数（阅读补充） 用 表示有限集合 的元素个数，教材阅读材料也记作 。 。公共元素被数了两次，需减去一次。 若 有限且 ，则 。只在有限集计数中使用这里的减法。 适用条件 · 易混辨析 适用条件 知识点7 运算前后要核对的条件 检查项 如何落实 对象与范围 看元素是数、点还是其他对象；保留 、、 等限制。整数集不能画成连续实线段。 先化简再运算 先确定集合的实际元素或取值范围，再取交、并、补。结果为单元素集时也要保留花括号。 运算层次 先算括号内的集合；补号只作用于紧随其后的整个集合。分步写出中间集合，避免凭字面次序拼接。 端点与空集 交集看“同时取到”，并集看“至少一边取到”；无公共元素时交集写 。 补集与全集 先确认 ；不要把不属于 的对象放进 。 数轴例释 相接处是否留下空缺 本例在实数范围内讨论。取 、。两集合没有公共元素，故 ；但2属于 ，合并后的覆盖范围在2处不断开。 若把 B 的左端改为 ，交集便为 。相接点只有在两集合中都被取到，才进入交集。 易混辨析 易混说法 正确理解 “或”只表示二选一 并集包含公共元素，但同一元素只记一次。 ，所以其中一个为空 不成立。两个非空集合也可以没有公共元素。 交集为0，或交集不存在 若只有元素0，应写 ；若没有元素，应写 。 取补只需把不等号改变方向 先定全集，再保留全集中未被 覆盖的部分；逐一检查端点。 知道 就能求 、 一般不能唯一确定；单个运算结果并不记录每个原集合。 概念例释与边界核验 先读元素条件，再核对全集、端点与括号。以下概念例释用于说明容易混淆的边界。 全集改变时 先改变筛选范围 取 。在 中，；在 中，。4只在第二个全集中，所以只进入第二个补集。 若研究范围改为 ，原来的 不再是 的子集。要沿用本节补集定义，应先把研究对象限制为 ，再求 ，不能不说明就沿用原式。 同一个端点 三种不同结果 实数范围内的条件 交集 并集 ， ， ， 表示 ， 表示 ；方括号取端点、圆括号不取。第一行有一个公共元素0，第二行无公共元素但并集不断开，第三行的并集漏掉0。 补号作用于谁 由括号确定 取 ，，。则 ，而 。第一式排除共同部分，第二式保留“在 内而在 外”的部分，不能互换。 德摩根律 逐个元素说明为什么 元素所处区域 只在 中 不保留 保留 同时在 、 中 不保留 不保留 只在 中 不保留 保留 在 中且两边都不在 保留 保留 左式要求“两边都不在”，对应两个补集的交；右式只需“不是两边都在”，对应两个补集的并。不能把“不是都在”误读为“两边都不在”。 逆向推理与分类讨论 知识点8 从运算结果反推条件 看到 或 ，先转为 ；看到 ，先转为“没有公共元素”。 若 ，则 也等价于 。这些条件不自动给出真包含。 已知补集可再取一次补集恢复原集合： 时，。已知并集和交集时，交集中的元素属于两边，并集之外的元素两边都不能取；其余元素需要结合题目中的另一个条件确定归属。 有限含参集先把“必须出现”或“不能出现”的元素代回定义，得到候选参数；再求出整个集合并重做运算。仅让某个元素满足方程，不足以保证交集或并集恰好等于题设结果。 知识点9 区间运算的分类顺序 先判断含参集合是否为空，再判断它与固定集合的位置。闭区间式 在 时为空、 时为单元素集；开区间式 在 时为空。半开区间在两端相等时也为空。 非空区间的位置可分为分离、相接、部分重叠和包含。求交集非空时，相接点必须两边都包含；求并集连续时，相接点只需至少一边包含。求交集为空时，要保留“某个原集合为空”的情形。 交集只有一个元素，不等于交集为空。两个非退化区间通常只在相接且两边都闭时出现单点交集；若原集合本身可退化成单点，还要单独检查该点是否属于另一集合。 知识点10 情境与计数的区域划分 把“既……又……”对应交集，“至少参加一项”对应并集，“都不参加”对应并集在总人群中的补集。先明确总人群，再分为仅在 、仅在 、两者都在、两者都不在四个互不重叠的部分。 两项合计包含重复人数时，用 。若只给范围或最值条件，先把每个区域的人数设为非负整数，再结合总数求范围；不要把“至多”“至少”直接当作相等。 自测题 1．（2025·江苏泗阳县实验高级中学·高一第一次调研测试·原卷第1题）已知集合 ，，则 （ ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在全集 中去掉 的元素1、2、4，剩下0、3、5，所以 。0属于全集，不能遗漏。 2．（2025·普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅰ卷·原卷第2题）设全集 ，集合 ，则 中元素的个数为（ ）。 A．0 B．3 C．5 D．8 【答案】C 【解析】。正整数不含0，且“小于9”不含9。故 ，共有5个元素。 3．（2025·陕西西安高新第一中学·高一上学期10月月考·原卷第1题）设集合 ，，，则 （ ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先求 ，再与 取交集，得 。 4．（2025·普通高等学校招生全国统一考试·天津卷·第1题（公开整理本））已知集合 ，，，则 （ ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先合并得 ，再从 中排除它，故 。补号作用于整个并集。 5．（2026·云南部分学校（金太阳）·高三9月月考·原卷第1题）已知全集 ，集合 ，，则 （ ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直角三角形都属于 ，即 ，故 。三角形按角分为锐角、直角、钝角三类，排除前两类后只剩钝角三角形。 6．（2025·吉林长春外国语学校·高一第一学期第一次月考·原卷第1题）设集合 ，，，则 （ ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先取 ，再与 合并去重，得 。 7．（2025·四川威远中学校·高一上期第一次月考·原卷第3题）全集 ，集合 ，，则阴影部分表示的集合是（ ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】阴影在 内、在 外，表示 。 中的5也属于 ，应去掉，剩下4、6、8。 8．（2025·山西怀仁市大地学校·高一上学期第一次月考A卷·原卷第6题）已知全集 ，集合 ，，则 （ ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 包含两侧及边界−2、3，因此 。再要求 ，得 。 9．（2026·辽宁鞍山部分高中·高三9月一模学情调研·原卷第2题）已知集合 ，，则 （ ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由根式有意义得 ，再由 得 ，故 。 与 重叠，合并得 。 10．（2026·浙江浙南名校联盟·高三10月联考·原卷第1题）已知集合 ，，则 （ ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】交集同时满足两组不等式，故 。2不在 中，7不在 中，它们均不属于交集，因而都应进入实数补集，结果为 。 11．（2025·山东省济宁市·高考模拟考试（一模）·原卷第1题）已知集合 ，，则集合 中元素的个数为（ ）。 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】这里的元素是有序数对。属于交集的 必须同时满足两个方程。将 代入 ，得 ，即 。 所以 或 ，分别对应 、。这两个有序数对都满足原条件，因此交集有2个元素。这里只用初中代入消元，无需借助圆与直线的知识。 12．（2026·广东深圳中学·高三第一次阶段考试B卷（10月）·原卷第1题）设集合 ，集合 ，若集合 只含一个元素，则（ ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当 时，交集为空；当 时，交集为 。当 时，交集为 ；当 时，交集为 。后两种情形均含无穷多个元素。故 。 13．（2026·山西太原五中·高三第一学期学科阶段性检测（9月）·原卷第1题）已知集合 ，则集合 的子集个数为（ ）。 A．3 B．4 C．8 D．7 【答案】C 【解析】原不等式要求 ，所以 。在自然数集 中取补，得 ，有3个元素，子集数为 。分母为0使2不属于 ，但2仍属于全集，故在补集中。 14．（2025·江苏南京金陵中学·高一上学期10月月考·原卷第3题）若全集 ，且 ，则集合 的非空真子集的个数为（ ）。 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】，故 。其子集共有 个，排除空集与 本身后，非空真子集有 个。 15．（2026·浙江省杭州市·高一下学期6月教学质量检测（期末）·原卷第3题）在机器学习中，常用 来衡量两个集合 之间的相似度，其中 表示集合 的元素的个数。已知 ，，则 （ ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由交、并集定义，，，元素个数分别为2和5。 按题目给出的定义代入，。分母是并集的元素个数，公共元素只计一次，不能直接把两个集合的元素个数相加。 16．（2025·江苏南京金陵中学·高一上学期10月月考·原卷第6题）对于全集 的子集 ，若 ，则下列集合为 的是（ ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】任取 ：若 ，由 知 ；若 ，则 。所以 中每个元素都属于 ，而后者不含全集外元素，故两者相等。 其余选项并非一定成立。例如 ，，，A、B、D三项依次为 、、，均不等于 。 17．（2026·北京人大附中·高一上学期统练一·原卷第6题）已知全集 ， ，则 （ ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对已知集合在同一全集中取补集，得 。因此所求为 中除去1、3、4、6后的元素，即 。 也可按元素归属理解：不属于“在 中但不在 中”的元素，必定“不在 中，或在 中”。这正是目标集合。 18．（2026·湖北襄阳四中·高一上学期9月素养测评·原卷第9题）（多选）已知全集 ，集合 ，，且 ，则（ ）。 A． B． C． 中元素个数为1 D． 【答案】BC 【解析】判别式 ，所以 始终有两个不同实根，且两根之积为−4。 内乘积为−4的不同元素对只有 、，分别给出 、。 当 时，，，。当 时，相应结果为 、、。两支均符合B、C，A、D不一定成立。 19．（2025·江苏南京金陵中学·高一上学期10月月考·原卷第8题）已知集合 ，设 ，且 ，则集合 的元素的个数为（ ）。 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解析】条件等价于 ，所以1、2都必须是方程的根。代入1得 或 ；代入2得 或 。 不可能同时等于−1和−2， 也不可能同时等于−3和−8。因此只剩 或 。 第一支原方程为 ，得 ；第二支为 ，得 。两支都恰有4个元素。 20．（2025·陕西西安高新第一中学·高一上学期10月月考·原卷第15题）已知集合 ，，。 （Ⅰ）若 ，求实数 的值； （Ⅱ）若 ，求实数 的取值范围。 【答案】（Ⅰ） 或 ；（Ⅱ）。 【解析】先解 ，得 。 （Ⅰ） 等价于 。，其中1已属于 ，故只需 或 ，即 或4。分别回代得 或 ，均成立。 （Ⅱ） 等价于 。对方程 ，判别式为 。 ① ，即 时，，满足条件。 ② 时， 给出 ，成立； 给出 ，不成立。 ③ 时有两个不同实根。若都属于 ，它们只能为1和3，乘积为3；但原方程两根之积为1，矛盾。因此这一支无解。 合并各支，实数 的取值范围为 。 作答检查 □ 元素对象与数域一致 □ 全集没有遗漏 □ 开闭端点逐个检查 □ 空集与单点分别核对 □ 参数已回代原式 人教A版 · 高一数学必修第一册 | 2026—2027学年 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $