1.5 全称量词与存在量词 核心知识清单-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

核心知识清单 · 第一章 集合与常用逻辑用语 解析版 第一章 集合与常用逻辑用语 1.5 全称量词与存在量词 核心知识清单 解析版 知识梳理 知识点1 量词 论域与命题 全称量词表示“所有、任意、每一个、一切”；存在量词表示“存在一个、至少一个、有些、某个”。含有全称量词的命题叫全称量词命题，含有存在量词的命题叫存在量词命题。判断类型看命题对对象提出什么要求，不看结论最终是真是假。 全称量词命题的一般形式为 ，读作“对集合 中的任意一个 ， 成立”。存在量词命题的一般形式为 ，读作“存在集合 中的一个 ，使 成立”。 是讨论对象的范围，称为论域； 是对象需要满足的条件。读题时依次明确“对象是谁、在哪里取值、要求全部还是至少一个、检验什么条件”。变量可以统一改名，但同一个条件中的变量应保持一致。 “存在一个”允许有多个甚至全部对象成立，不等于“有且只有一个”。“至少有两个”则要求两个不同对象，不能用同一个对象重复计数。 知识点2 省略量词的自然语言 命题中的量词有时被省略。“矩形的对角线相等”表示“任意矩形的对角线都相等”，仍是全称量词命题。“某个整数满足这个方程”“方程有整数解”表达至少存在一个合格整数。不能只找是否出现“所有”或“存在”这两个字眼。 把自然语言改写成符号时，先写对象范围，再写量词后的条件。被限制的对象不能擅自扩大，例如“每个正整数”不能改为“每个实数”。把符号改回文字时，同样不能遗漏正数、整数、非零或集合归属等限制。 给出固定对象的断言，如“ 是偶数”，本身不是在一类对象中作“任意”或“存在”的数量要求。要区分量词命题类型与普通命题的真假。 知识点3 真假的四种判定任务 全称命题为真：证明论域内每一个对象都满足条件。只检验少量对象而未穷尽论域，不能证明全称为真。 全称命题为假：给出一个论域内不满足条件的对象，称为反例。一个合格反例就足够，不需要证明所有对象都失败。 存在命题为真：给出一个论域内满足条件的对象，称为实例或见证；也可证明这样的对象必定存在。题目只要求举一个时，不必求全体解。 存在命题为假：证明论域内没有任何对象满足条件，也就是论域内每一个对象都不满足。试了几个对象都不成立，不能代替一般证明。 例如， 可由 一般地证明； 可取 推翻。 可取 证明；若论域换为 ，则任意 都有 ，所以不存在满足者。 知识点4 有限范围与无限范围 论域为有限集合时，可以逐一列举检查，但必须真正穷尽。例如 ，检验“对所有 ”须覆盖三个元素；检验“存在 ”只要找到一个合格元素即可。 论域为无限集合时，判全称为真或存在为假，通常要用不等式、因式分解、平方非负、整除或集合包含等一般理由。判全称为假或存在为真，则往往可以寻找特殊值、端点或零值；找到后还须回代原条件。 自然数集 含 ，正整数集 不含 。同一个候选对象在不同论域中可能合法，也可能不合法。有理数、无理数和实数范围也不能混用。 知识点5 否定全称与存在命题 命题 的否定记作 ，它否定原命题的整个断言。 与 一真一假；否定两次回到原命题。 的否定是 。意思是：不是所有对象都满足，即至少有一个对象不满足。 的否定是 。意思是：不存在满足者，即每个对象都不满足。 书写否定要同时完成三件事：交换全称与存在量词，否定量词后面的条件，保持论域不变。论域中的不等号不是待否定的条件。例如 的否定为 ，不能把 改成 。 知识点6 谓词与语言的否定 在实数范围内， 与 互为否定， 与 互为否定， 与 互为否定。集合条件 与 互为否定。否定“不是”时，恢复为“是”。 “不都是”表示“至少有一个不是”；“都不是”表示“没有一个是”。例如“所有整数都是偶数”的否定是“有的整数不是偶数”，而不是“所有整数都不是偶数”。 “至少有一个”失败时是“一个也没有”；“一个也没有”失败时是“至少有一个”。“至多一个”的否定为“至少两个”，要注意对象互不相同。 若量词后的条件由“且”连接，否定后用“或”连接各条件的否定；若原来用“或”，否定后各部分的否定必须同时成立。例如 的否定是 或 。否定的对象是整个条件，不能只改其中一个符号。 知识点7 反例必须合格 对“若 则 ”找反例，必须同时满足 成立、 不成立。只让结论不成立而不满足题设前提，不能推翻原命题。多变量命题要给出完整的一组取值，并逐项验证。 含分式时先排除分母为零的值，含实数根式时保留根号内非负等限制。无定义的式子不能直接当成真或假，更不能拿来凑反例。 在同一论域中，否定“若 则 ”应表述为“存在一个对象，使 成立且 不成立”。交换 与 得到的是逆命题，并不是否定命题。 两个任意命题刚好一真一假，并不说明它们互为否定。应先核量词、论域和条件是否互相否定，再检查真假是否相反。 知识点8 量词与集合关系 对给定集合 ，命题“”为真，等价于 ；命题“”为真，等价于 。全称包含为假时，需要在 中找到一个不属于 的元素。 “”为假，表示 的每个元素都属于 ；“”为真，表示两集合没有公共元素。先按量词理解，再翻译集合关系，不能只看到 和 就写交集。 题目中论域可能随参数变为空集时要单独检查：空域中没有反例，所以全称命题为真；空域中没有见证，所以存在命题为假。若题目已限定论域非空，应先保留该限制，不能用空域参数作答案。 知识点9 含参命题先固定参数 参数先看作固定的数，再判断命题。有限论域中的“对任意”要求每个对象给出的参数条件同时满足；“存在”要求至少一个对象给出的条件成立。对两个命题组合判断时，可先分别求真值对应的参数范围，再按“都真、至少一个真、一真一假”等要求组合。 否定为假等价于原命题为真；原命题为假等价于否定为真。先把真假要求改写成清晰的全称或存在任务，再运算，可以避免把“恒成立”与“有解”混为一谈。 用平方非负、配方或因式分解找界时，要同时核对界能否取到。端点取不到时，“对每个对象都严格小于某个界”仍可能成立；不能把上界误称为已经取得的最大值。需要说明必要性时，应给出合格对象或一般构造。 二次项系数可能为零时，应先检查是否退化为一次式或常数式；区间端点随参数变化时，应分空集、单点和非空区间。得到参数后回代原命题，检查范围、等号和特殊值。 知识点10 求范围与举一个值 “求参数的取值范围”要求找全并证明充分与必要；“写出一个可能值”只需给出符合要求的值并验证。存在命题可同时给出参数值和见证，使验证直接可查；反例填空则给出满足前提而使结论失败的完整对象。 写解答时，先说清量词对应的任务，再给证据，最后作真假或范围结论。一个具体实例、一个具体反例、覆盖全部对象的一般论证，各自承担的证明任务不同，不能互相替代。 自测题 1．（2025·江苏泗阳实验高中·高一上首次调研·原卷第9题） （多选）已知命题 ，命题 ：所有能被4整除的数都是偶数，则（　　） A． 是存在量词命题，是真命题 B． 是存在量词命题，是假命题 C． 是全称量词命题，是真命题 D． 是全称量词命题，是假命题 【答案】AC 【解析】 含有存在量词。取 ，有 ，所以 为真命题。 中“所有”表示全称。能被4整除的数可写为 ，其中 ，所以一定是偶数， 为真命题。故选AC。 2．（2025·浙江台州十校联盟·高一上学期期中联考·原卷第3题） 下列命题是全称量词命题的是（　　） A．有一个偶数是素数 B．至少存在一个奇数能被15整除 C．有些三角形是直角三角形 D．每个四边形的内角和都是360° 【答案】D 【解析】A中的“有一个”、B中的“至少存在一个”、C中的“有些”都表示至少有一个对象满足所述性质，均为存在量词命题。 D中的“每个”指论域内所有四边形，是全称量词命题，因此选D。四个选项都是真命题，不能仅凭真假判断量词类型。 3．（2025·湖南高一年级阶段考试（10月）·原卷第15题） 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断这些命题的真假。 （1）有些奇数是合数； （2）任何实数都有算术平方根； （3）至少有一个数能被3和5整除； （4）所有的反比例函数的图象都是中心对称图象。 【答案】（1）存在量词命题，真；（2）全称量词命题，假；（3）存在量词命题，真；（4）全称量词命题，真。 【解析】（1）“有些”表示存在。9既是奇数又是合数，是一个合格的见证。 （2）“任何”表示全称。−1是实数，但任何实数的平方都非负，所以−1没有实数范围内的算术平方根。 （3）“至少有一个”表示存在。15同时能被3和5整除，故为真命题。 （4）“所有”表示全称。初中反比例函数 （）的图象关于原点中心对称：若点 满足 ，则 ，对应的点 也在图象上。 4．（2025·四川内江一中·高一上10月月考·原卷第9题） （多选）已知集合 ，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】A项，取 ，它同时属于 和 ，所以为真。 B项，任意 都满足 ，从而 ，即 ，不存在所要求的对象，故为假。 C项， 但 ，是一个反例，故为假。D项，由 可知为真。 5．（2025—2026学年度上期·重庆复旦中学教共体·高2028届二段考试·原卷第9题） （多选）下列命题中，真命题的是（　　） A．所有的素数都是奇数 B． C． D． 【答案】BCD 【解析】A： 是素数，也是偶数，因此一个反例就能否定“所有”的结论，A 错误。 B：当 时，。又 ，它只在 时为0，而此时不满足 。因此 ，B正确。 C：取 ，有 。若 是最简分数，其中 为整数且 ，则 ，所以 为偶数。令 ，得 ，于是 也是偶数，与最简矛盾。因此 ，C正确。 D：对任意实数 ，都有 ，D 正确。 6．（2025·山西怀仁大地学校·高一上第一次月考A卷·原卷第2题） 命题“所有偶数都是2的倍数”的否定是（　　） A．所有偶数都不是2的倍数 B．有的偶数是2的倍数 C．有的偶数不是2的倍数 D．所有不是偶数的数都不是2的倍数 【答案】C 【解析】把全称量词“所有”改为存在量词“有的”，保持论域“偶数”不变，同时将“是2的倍数”改为“不是2的倍数”。故选C。否定的形式是否正确，与这个否定命题是真是假，是不同的问题。 7．（2025·高一上学期第一次段考·原卷第2题） 命题“”的否定为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】把 改为 ，保留论域 ，将 改为 。故选B。 8．（2025·安徽江南十校·新高三第一次综合素质检测·原卷第1题） 已知命题 ，则 是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】存在量词改为全称量词，论域 保持不变，将等式改为不等式，得 。本题只要求否定，不必求原方程的解。 9．（2026·湖北华中师大一附中·高一上9月月考·原卷第6题） 命题“，”的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】将全称量词改为存在量词，保留实数论域，将 改为 ，故选B。原命题为真，其否定为假，不能因此改变否定的形式。 10．（2025·四川威远中学校·2026届高三上学期第一次月考·原卷第2题） 已知命题 ；命题 ，则（　　） A． 和 都是真命题 B． 和 都是真命题 C． 和 都是真命题 D． 和 都是真命题 【答案】B 【解析】对 ，取 ，有 ，不满足大于1，故 为假， 为真。 对 ，取 ，有 ，故 为真， 为假。因此选B。 11．（2025·辽宁省辽阳市·高考二模·原卷第2题） 已知命题 ，命题 ，则（　　） A． 和 都是真命题 B． 和 都是真命题 C． 和 都是真命题 D． 和 都是真命题 【答案】A 【解析】对任意实数 ，由 ，得 ，所以 为真。 取 ，有 ，所以 为真。故选A。 12．（2025·北京东城·高一上学期期末（1月）·原卷第12题） 已知 ，命题 ：若 ，则 。能说明 为假命题的一组 的值为 ______，______，______。 【答案】（答案不唯一） 【解析】取 ，满足前提 ，但 ，严格不等式 不成立。这组取值的前提真而结论假，构成反例。 13．（2025·江苏省盐城市五校联考·高三上学期10月月考·原卷第12题） 写出使得命题“”的否定是假命题的一个实数 的值______。 【答案】4（答案不唯一） 【解析】取 。取 ，有 ，所以原存在命题为真，其否定为假。题目只要求一个符合条件的值，不必求出 的全部范围。 14．（2026·北京人大附中·高一上统练（一）·原卷第3题） 若命题“”为假命题，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】原命题为假，即对任意实数 都有 。配方得 。 取 ，必要条件为 。反过来，当 时，平方项非负，原式对所有实数都非负。因此范围为 ，选D。 15．（2026·江西九江同文中学·高二下学期5月月考·原卷第4题） 若命题“”是假命题，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】原命题为假，等价于存在 ，使 。因为 ，所以 ，从而 。 反过来，任取 ，令 ，则 ，且 。所以区间内每一个参数都能找到见证，答案为C。 16．（2026·安徽合肥四校·高三上10月联考·原卷第5题） 若命题 ，使得 为假命题，则实数 的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】原式可写为 。令 ，原命题为假，等价于对每个 都有 。 若 ，由 得 ，符合要求。若 ，取 ，则 ，原存在命题反而为真。 所以必须且只需 ，即 或 。两处等号都可以取，选C。 17．（2025·陕西西安高新一中·高一上第一次月考·原卷第5题） 若命题“，不等式 成立”为假命题，则实数 的最大值为（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】D 【解析】令 ，则 ，当 ，即 时取到7。 原存在命题为假，等价于每个 都满足 。当 时成立；当 时， 就使原不等式成立，不能为假。因此 ，最大值为7，选D。 18．（2026·江苏南京市第二十九中学·高一10月第一次阶段性检测·原卷第14题） 对任意实数 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是________。 【答案】 【解析】移项并因式分解，原条件为 对每个 成立。这里被“任意”约束的是 ，待求的是 。 若 ，两因子均为负，乘积恒正；若 ，则 ，且 ，所以包括 在内均成立。 时乘积为0，不符合。对任意 ，取 ，则 ，而 ，乘积为负，给出反例。因此这些 均不符合。 综上，所求范围为 。注意 不在论域内，不能用它否定 。 19．（2026·江苏南京市中华中学·高一上9月学情摸底测试·原卷第14题） 已知对任意的 ，，不等式 恒成立，则实数 的最小值是________。 【答案】4 【解析】先求两个论域，得 ，。题意要求每一组合法的 都满足不等式。 必要性：取合法的一组 ，原式为 ，所以 。 充分性：当 时，，对所有合法的 都成立，且 可以取到。 因此 的最小值是4。这里只需找到合法取等对象并证明全部对象都成立，不能把有界论域擅自扩大为全体实数。 20．（2026·河南青桐鸣·高二下学期期末考试·原卷第9题） （多选）对于所有实数 ，使得不等式 恒成立的一个充分不必要条件可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】先求使原全称命题为真的全部参数。若 ，则 ，对每个实数 都成立；若 ，取 ，原不等式不成立。故目标条件等价于 。 能推出 ，但反向不成立，例如 ； 同样充分但不必要，例如 。故A、C正确。 B、D给出的范围都包含 ，而此时原全称命题为假，所以二者都不是充分条件。故选AC。 人教A版 · 高一数学必修第一册 | 2026—2027学年 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 核心知识清单 · 第一章 集合与常用逻辑用语 学生版 第一章 集合与常用逻辑用语 1.5 全称量词与存在量词 核心知识清单 学生版 知识梳理 知识点1 量词 论域与命题 全称量词表示“所有、任意、每一个、一切”；存在量词表示“存在一个、至少一个、有些、某个”。含有全称量词的命题叫全称量词命题，含有存在量词的命题叫存在量词命题。判断类型看命题对对象提出什么要求，不看结论最终是真是假。 全称量词命题的一般形式为 ，读作“对集合 中的任意一个 ， 成立”。存在量词命题的一般形式为 ，读作“存在集合 中的一个 ，使 成立”。 是讨论对象的范围，称为论域； 是对象需要满足的条件。读题时依次明确“对象是谁、在哪里取值、要求全部还是至少一个、检验什么条件”。变量可以统一改名，但同一个条件中的变量应保持一致。 “存在一个”允许有多个甚至全部对象成立，不等于“有且只有一个”。“至少有两个”则要求两个不同对象，不能用同一个对象重复计数。 知识点2 省略量词的自然语言 命题中的量词有时被省略。“矩形的对角线相等”表示“任意矩形的对角线都相等”，仍是全称量词命题。“某个整数满足这个方程”“方程有整数解”表达至少存在一个合格整数。不能只找是否出现“所有”或“存在”这两个字眼。 把自然语言改写成符号时，先写对象范围，再写量词后的条件。被限制的对象不能擅自扩大，例如“每个正整数”不能改为“每个实数”。把符号改回文字时，同样不能遗漏正数、整数、非零或集合归属等限制。 给出固定对象的断言，如“ 是偶数”，本身不是在一类对象中作“任意”或“存在”的数量要求。要区分量词命题类型与普通命题的真假。 知识点3 真假的四种判定任务 全称命题为真：证明论域内每一个对象都满足条件。只检验少量对象而未穷尽论域，不能证明全称为真。 全称命题为假：给出一个论域内不满足条件的对象，称为反例。一个合格反例就足够，不需要证明所有对象都失败。 存在命题为真：给出一个论域内满足条件的对象，称为实例或见证；也可证明这样的对象必定存在。题目只要求举一个时，不必求全体解。 存在命题为假：证明论域内没有任何对象满足条件，也就是论域内每一个对象都不满足。试了几个对象都不成立，不能代替一般证明。 例如， 可由 一般地证明； 可取 推翻。 可取 证明；若论域换为 ，则任意 都有 ，所以不存在满足者。 知识点4 有限范围与无限范围 论域为有限集合时，可以逐一列举检查，但必须真正穷尽。例如 ，检验“对所有 ”须覆盖三个元素；检验“存在 ”只要找到一个合格元素即可。 论域为无限集合时，判全称为真或存在为假，通常要用不等式、因式分解、平方非负、整除或集合包含等一般理由。判全称为假或存在为真，则往往可以寻找特殊值、端点或零值；找到后还须回代原条件。 自然数集 含 ，正整数集 不含 。同一个候选对象在不同论域中可能合法，也可能不合法。有理数、无理数和实数范围也不能混用。 知识点5 否定全称与存在命题 命题 的否定记作 ，它否定原命题的整个断言。 与 一真一假；否定两次回到原命题。 的否定是 。意思是：不是所有对象都满足，即至少有一个对象不满足。 的否定是 。意思是：不存在满足者，即每个对象都不满足。 书写否定要同时完成三件事：交换全称与存在量词，否定量词后面的条件，保持论域不变。论域中的不等号不是待否定的条件。例如 的否定为 ，不能把 改成 。 知识点6 谓词与语言的否定 在实数范围内， 与 互为否定， 与 互为否定， 与 互为否定。集合条件 与 互为否定。否定“不是”时，恢复为“是”。 “不都是”表示“至少有一个不是”；“都不是”表示“没有一个是”。例如“所有整数都是偶数”的否定是“有的整数不是偶数”，而不是“所有整数都不是偶数”。 “至少有一个”失败时是“一个也没有”；“一个也没有”失败时是“至少有一个”。“至多一个”的否定为“至少两个”，要注意对象互不相同。 若量词后的条件由“且”连接，否定后用“或”连接各条件的否定；若原来用“或”，否定后各部分的否定必须同时成立。例如 的否定是 或 。否定的对象是整个条件，不能只改其中一个符号。 知识点7 反例必须合格 对“若 则 ”找反例，必须同时满足 成立、 不成立。只让结论不成立而不满足题设前提，不能推翻原命题。多变量命题要给出完整的一组取值，并逐项验证。 含分式时先排除分母为零的值，含实数根式时保留根号内非负等限制。无定义的式子不能直接当成真或假，更不能拿来凑反例。 在同一论域中，否定“若 则 ”应表述为“存在一个对象，使 成立且 不成立”。交换 与 得到的是逆命题，并不是否定命题。 两个任意命题刚好一真一假，并不说明它们互为否定。应先核量词、论域和条件是否互相否定，再检查真假是否相反。 知识点8 量词与集合关系 对给定集合 ，命题“”为真，等价于 ；命题“”为真，等价于 。全称包含为假时，需要在 中找到一个不属于 的元素。 “”为假，表示 的每个元素都属于 ；“”为真，表示两集合没有公共元素。先按量词理解，再翻译集合关系，不能只看到 和 就写交集。 题目中论域可能随参数变为空集时要单独检查：空域中没有反例，所以全称命题为真；空域中没有见证，所以存在命题为假。若题目已限定论域非空，应先保留该限制，不能用空域参数作答案。 知识点9 含参命题先固定参数 参数先看作固定的数，再判断命题。有限论域中的“对任意”要求每个对象给出的参数条件同时满足；“存在”要求至少一个对象给出的条件成立。对两个命题组合判断时，可先分别求真值对应的参数范围，再按“都真、至少一个真、一真一假”等要求组合。 否定为假等价于原命题为真；原命题为假等价于否定为真。先把真假要求改写成清晰的全称或存在任务，再运算，可以避免把“恒成立”与“有解”混为一谈。 用平方非负、配方或因式分解找界时，要同时核对界能否取到。端点取不到时，“对每个对象都严格小于某个界”仍可能成立；不能把上界误称为已经取得的最大值。需要说明必要性时，应给出合格对象或一般构造。 二次项系数可能为零时，应先检查是否退化为一次式或常数式；区间端点随参数变化时，应分空集、单点和非空区间。得到参数后回代原命题，检查范围、等号和特殊值。 知识点10 求范围与举一个值 “求参数的取值范围”要求找全并证明充分与必要；“写出一个可能值”只需给出符合要求的值并验证。存在命题可同时给出参数值和见证，使验证直接可查；反例填空则给出满足前提而使结论失败的完整对象。 写解答时，先说清量词对应的任务，再给证据，最后作真假或范围结论。一个具体实例、一个具体反例、覆盖全部对象的一般论证，各自承担的证明任务不同，不能互相替代。 自测题 1．（2025·江苏泗阳实验高中·高一上首次调研·原卷第9题） （多选）已知命题 ，命题 ：所有能被4整除的数都是偶数，则（　　） A． 是存在量词命题，是真命题 B． 是存在量词命题，是假命题 C． 是全称量词命题，是真命题 D． 是全称量词命题，是假命题 2．（2025·浙江台州十校联盟·高一上学期期中联考·原卷第3题） 下列命题是全称量词命题的是（　　） A．有一个偶数是素数 B．至少存在一个奇数能被15整除 C．有些三角形是直角三角形 D．每个四边形的内角和都是360° 3．（2025·湖南高一年级阶段考试（10月）·原卷第15题） 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断这些命题的真假。 （1）有些奇数是合数； （2）任何实数都有算术平方根； （3）至少有一个数能被3和5整除； （4）所有的反比例函数的图象都是中心对称图象。 4．（2025·四川内江一中·高一上10月月考·原卷第9题） （多选）已知集合 ，，则（　　） A． B． C． D． 5．（2025—2026学年度上期·重庆复旦中学教共体·高2028届二段考试·原卷第9题） （多选）下列命题中，真命题的是（　　） A．所有的素数都是奇数 B． C． D． 6．（2025·山西怀仁大地学校·高一上第一次月考A卷·原卷第2题） 命题“所有偶数都是2的倍数”的否定是（　　） A．所有偶数都不是2的倍数 B．有的偶数是2的倍数 C．有的偶数不是2的倍数 D．所有不是偶数的数都不是2的倍数 7．（2025·高一上学期第一次段考·原卷第2题） 命题“”的否定为（　　） A． B． C． D． 8．（2025·安徽江南十校·新高三第一次综合素质检测·原卷第1题） 已知命题 ，则 是 A． B． C． D． 9．（2026·湖北华中师大一附中·高一上9月月考·原卷第6题） 命题“，”的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 10．（2025·四川威远中学校·2026届高三上学期第一次月考·原卷第2题） 已知命题 ；命题 ，则（　　） A． 和 都是真命题 B． 和 都是真命题 C． 和 都是真命题 D． 和 都是真命题 11．（2025·辽宁省辽阳市·高考二模·原卷第2题） 已知命题 ，命题 ，则（　　） A． 和 都是真命题 B． 和 都是真命题 C． 和 都是真命题 D． 和 都是真命题 12．（2025·北京东城·高一上学期期末（1月）·原卷第12题） 已知 ，命题 ：若 ，则 。能说明 为假命题的一组 的值为 ______，______，______。 13．（2025·江苏省盐城市五校联考·高三上学期10月月考·原卷第12题） 写出使得命题“”的否定是假命题的一个实数 的值______。 14．（2026·北京人大附中·高一上统练（一）·原卷第3题） 若命题“”为假命题，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 15．（2026·江西九江同文中学·高二下学期5月月考·原卷第4题） 若命题“”是假命题，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 16．（2026·安徽合肥四校·高三上10月联考·原卷第5题） 若命题 ，使得 为假命题，则实数 的取值范围为（　　） A． B． C． D． 17．（2025·陕西西安高新一中·高一上第一次月考·原卷第5题） 若命题“，不等式 成立”为假命题，则实数 的最大值为（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 18．（2026·江苏南京市第二十九中学·高一10月第一次阶段性检测·原卷第14题） 对任意实数 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是________。 19．（2026·江苏南京市中华中学·高一上9月学情摸底测试·原卷第14题） 已知对任意的 ，，不等式 恒成立，则实数 的最小值是________。 20．（2026·河南青桐鸣·高二下学期期末考试·原卷第9题） （多选）对于所有实数 ，使得不等式 恒成立的一个充分不必要条件可以是（　　） A． B． C． D． 人教A版 · 高一数学必修第一册 | 2026—2027学年 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $