1.5 全称量词与存在量词讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学“全称量词与存在量词”核心知识点，系统梳理全称量词（∀）、存在量词（∃）的定义，全称/存在量词命题的表述形式及否定规则，构建从概念理解到命题判断、改写、真假辨析，再到由命题真假求参数的完整学习支架。 资料以“题型汇编”为特色，每个题型含基础知识、方法技巧、典型例题及巩固练习，通过具体实例培养学生数学思维（逻辑推理、问题转化）和数学语言（符号表达）能力，课中助力教师系统授课，课后帮助学生强化练习、查漏补缺。

1.5 全称量词与存在量词 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高一上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 1．全称量词与全称量词命题 （1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示． （2）含有全称量词的命题，叫做全称量词命题． （3）全称量词命题的表述形式：对中任意一个，有成立，可简记为：_，_______，读作“对任意属于，有成立”． 2．存在量词与存在量词命题 （1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示． （2）含有存在量词的命题，叫做存在量词命题． （3）存在量词命题的表述形式：存在中的一个，使成立，可简记为：__，______，读作“存在中的元素，使成立”． 3．全称量词与存在量词命题的否定： 命题的类型 命题的符号表示 命题的否定的符号表示 命题的否定的类型 全称量词命题 _，__ 存在量词命题 存在量词命题 _，__ 全称量词命题 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 全称命题与特称命题的判断 基础知识 核心知识 全称量词：所有，任意，一切，每一个符号 全称命题：含有全称量词的命题形式 存在量词：存在，有一个，至少有一个符号 特称命题：含有存在量词的命题形式 方法技巧 1.寻找命题中的量词关键词区分类型 2.省略量词的命题要还原量词再判断 3.对应全称命题对应特称命题 典型例题 【例题 1】（26-27高一上·全国·课堂例题）下列命题中，不是全称量词命题的是（    ） A．任何一个实数乘以都等于 B．任意一个负数都比零小 C．每一个正方形都是矩形 D．一定存在没有最大值的二次函数 【答案】D 【分析】直接根据是否含有全称量词判断可得. 【详解】全称量词命题的特征是含有全称量词（如“任何一个”“任意一个”“每一个”等），表述对指定范围内所有对象都成立的判断： 选项A：含全称量词“任何一个”，是全称量词命题； 选项B：含全称量词“任意一个”，是全称量词命题； 选项C：含全称量词“每一个”，是全称量词命题； 选项D：中的“存在”是存在量词，该命题是存在量词命题，不属于全称量词命题. 【例题2】（2026高一·全国·专题练习）下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．有些自然数是13的约数 B．正方形是菱形 C．能被6整除的数也能被3整除 D．， 【答案】A 【分析】根据存在量词命题的概念判断即可. 【详解】有些自然数是13的约数，“有些”是存在量词，故A符合题意； 正方形是菱形即所有正方形是菱形，是全称量词命题，故B不符合题意； 能被6整除的数也能被3整除即一切能被6整除的数也能被3整除， 是全称量词命题，故C不符合题意； ，，是全称量词命题，故D不符合题意； 故选：A 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026·湖南长沙·模拟预测）下列命题中，是存在量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有三个角是的三角形是等边三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是奇数 【答案】D 【详解】A选项完整含义为“所有正方形的四条边相等”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； B选项完整含义为“所有有三个角是的三角形是等边三角形”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； C选项完整含义为“所有正数的平方根不等于0”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； D选项含有存在量词“至少有一个”，属于存在量词命题. 【巩固练习2】（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）下列命题是存在量词命题的是（    ） A．对任意正实数 B．不存在实数 C．矩形对角线相等 D．有一个数不能作除数 【答案】D 【分析】根据存在量词命题的概念逐一判断即可. 【详解】对于A：任意是全称量词，所以该命题是全称命题，故A错误； 对于B：对于B：命题“不存在实数”是“存在实数”的否定， 其等价命题为“对任意实数，都有”，这是一个全称量词命题，故B错误； 对于C：矩形是指所有矩形，所以该命题是全称命题，故C错误； 对于D：有一个是存在量词，所以该命题是存在量词命题，故D正确. 故选：D 【巩固练习3】（25-26高一上·吉林白城·阶段检测）判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并用量词符号“”或“”表述下列命题. (1)对任意，成立； (2)对所有实数，，方程恰有一个解； (3)有些整数既能被2整除，又能被3整除； (4)某个四边形不是平行四边形. 【答案】(1)全称量词命题，表示为， (2)全称量词命题，表示为，，方程恰有一个解 (3)存在量词命题，表示为，既能被2整除，又能被3整除 (4)存在量词命题，表示为，不是平行四边形 【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的定义求解判断各小题即可. 【详解】（1）全称量词命题，表示为，. （2）全称量词命题，表示为，，方程恰有一解. （3）存在量词命题，表示为，既能被2整除，又能被3整除. （4）存在量词命题，表示为，不是平行四边形. 【题型2】 用全称量词与特称量词改写命题 基础知识 核心知识 全称命题描述集合中全部元素满足性质 特称命题描述集合中至少一个元素满足性质 方法技巧 1.确定变量取值范围 2.判断是全部满足还是部分满足 3.选用或规范写出命题形式 4.改写后保证原意不变 典型例题 【例题1】（26-27高一上·全国·课后作业）用量词符号“”“”表述下列命题： (1)凸边形的外角和等于. (2)有一个有理数满足. (3)对任意角，都有. 【答案】(1)是凸边形，的外角和是， (2)，. (3)，. 【分析】（1）用全称量词符号表述； （2）用存在量词符号表述； （3）用全称量词符号表述. 【详解】（1）是凸边形，的外角和是； （2），； （3），. 【例题2】（2026高三·全国·专题练习）用符号“”与“”表示下面含有量词的命题： (1)实数的平方大于等于0； (2)存在一对实数对，使成立； (3)勾股定理． 【答案】(1)，； (2)，，，使得； (3)，则． 【详解】（1），； （2），，，使得； （3），则． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高一上·全国·课前预习）用量词符号“”“”表示下列命题： (1)有理数都能写成分数形式； (2)方程有实数解； (3)有一个实数乘以任意一个实数都等于0． 【答案】(1)一个有理数都能写成分数形式 (2)，使方程成立 (3)，它乘以任意一个实数都等于0 【分析】（1）根据全称量词命题书写形式进行书写； （2）（3）根据存在量词命题书写形式进行书写. 【详解】（1）这是全称量词命题，一个有理数都能写成分数形式． （2）这是存在量词命题，，使方程成立． （3）这是存在量词命题，，它乘以任意一个实数都等于0． 【巩固练习2】（24-25高一上·全国·课后作业）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表示． (1)整数的平方大于或等于零； (2)存在实数，满足； (3)实数的绝对值是非负数； (4)存在实数，使函数的值随的增大而增大． 【答案】(1)全称量词命题，符号表示为 (2)存在量词命题，符号表示为 (3)全称量词命题，符号表示为 (4)存在量词命题，符号表示为,的值随的增大而增大． 【分析】（1）（2）（3）（4）根据全称命题、特称命题的定义及形式求解． 【详解】（1）这是全称量词命题，隐藏了全称量词“所有的”，符号表示为； （2）这是存在量词命题，符号表示为； （3）这是全称量词命题，隐藏了全称量词“所有的”，符号表示为； （4）这是存在量词命题，符号表示为，的值随的增大而增大． 【巩固练习3】（23-24高一上·贵州遵义·阶段检测）用量词符号表述下列命题： (1)任意一个实数乘以都等于它的相反数； (2)对任意实数，都有； (3)有些整数既能被2整除，又能被3整除； (4)某个四边形不是平行四边形. 【答案】(1) (2) (3)且. (4)｛四边形｝，｛平行四边形｝ 【分析】根据全称量词命题或存在量词命题的知识写出正确答案. 【详解】（1）. （2）. （3）且. （4）｛四边形｝，｛平行四边形｝. 【题型3】 全称命题与特称命题真假的判断 基础知识 核心知识 全称命题：全部元素成立则为真找到1个反例即为假 特称命题：找到1个元素成立则为真全部都不成立才为假 方法技巧 1.全称命题：找反例有反例则假无反例则真 2.特称命题：找特例找到满足条件的值则真 3.否定命题真假性与原命题相反可辅助判断 典型例题 【例题1】（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．，使 C．矩形都有外接圆 D．都有平方根 【答案】C 【分析】根据全称量词命题的定义即可知选项B不合题意，再判断出ACD选项中命题的真假即可得出结论. 【详解】A选项，素数2不是奇数，“所有的素数都是奇数”是全称量词命题，但是假命题，A选项错误； B选项，“，使”是存在量词命题，B选项错误； C选项，矩形的对角互补，都有外接圆，“矩形都有外接圆” 既是全称量词命题又是真命题，C选项正确； D选项，负整数没有平方根，“都有平方根” 是全称量词命题，但是假命题，D选项错误； 故选：C 【例题2】（25-26高一上·辽宁丹东·阶段检测）下列命题中为真命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式恒成立、绝对值、数集及一元二次方程根的判别式逐项分析判断即可. 【详解】选项A：，因为恒成立，所以，即恒成立，故不存在实数使原式小于0，为假命题，A错误； 选项B：当时，，不满足，为假命题，B错误； 选项C：是整数集，自然数集是非负整数集，故为真命题，C正确； 选项D：一元二次方程的，方程无实数根，不存在实数使方程成立，为假命题，D错误. 故选：C. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026·陕西西安·模拟预测）已知命题，则，命题，，则（   ） A．和都是假命题 B．是真命题，是假命题 C．是假命题，是真命题 D．和都是真命题 【答案】C 【详解】对于命题，当时，，所以为假命题； 对于命题，解不等式，得，所以为真命题． 【巩固练习2】（25-26高三上·山东青岛·期末）下列命题正确的是（    ） A．所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0 B．任意一个偶数都不是素数 C．至少有一个整数n，使得是奇数 D．任意一个整数n，都不是4的倍数 【答案】D 【分析】根据反例可判断AB的正误，根据连续两个整数必有一个偶数可得判断C的正误，就的奇偶性讨论后可判断D的正误. 【详解】对于A，可以被5整除的整数，但末尾数字是，故A错误； 对于B，为偶数且为素数，故B错误； 对于C，因为必有一个偶数，故必为偶数，故C错误； 对于D，若，则，故不是4的倍数， 若，则，因为4的倍数， 故不是4的倍数， 故任意一个整数n，都不是4的倍数，故D正确. 故选：D. 【巩固练习3】（25-26高一上·广东深圳·期中）（多选）下列命题中是真命题的有（    ） A．若，，且，则，中至少有一个大于1 B．的充要条件是 C．， D．， 【答案】AC 【分析】利用反证法，可判断A的正误；代入特殊值，根据充分、必要条件的定义，可判断B的正误，代入特殊值检验，可判断C、D的正误. 【详解】选项A：假设，都不大于1，即，则，与条件矛盾， 所以假设不成立，故A正确； 选项B：当时，满足，但， 所以不是必要条件，故B错误； 选项C：当时，满足，所以，，故C正确； 选项D：当时，，不满足，故D错误. 故选：AC 【题型4】 全称命题或特称命题的否定 基础知识 核心知识 全称命题的否定： 特称命题的否定： 规律：改量词否结论变量范围不变 方法技巧 1.第一步更换量词 2.第二步否定结论不能否定变量范围 3.注意结论含有不等号时的方向转换 4.命题的否定和否命题不是同一概念 典型例题 【例题1】（26-27高三上·山西临汾·阶段检测）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】命题“，”的否定是“，”. 【例题2】（25-26高二下·北京·学业考试真题）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】命题“，”为全称量词命题， 它的否定是：，. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高一上·辽宁铁岭·开学考试）已知命题：，，则是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据全称命题的否定形式，前面改变量词，后面否定结论即可. 【详解】根据全称命题的否定形式，前面改变量词，后面否定结论， 所以“”变为“”，否定结论为“”， 即为：，. 【巩固练习2】（26-27高二上·浙江·开学考试）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】全称量词改为存在量词，否定结论， 所以命题“，”的否定是“”. 【巩固练习3】（26-27高三上·河北衡水·开学考试）命题“，”的否定是___________． 【答案】 【详解】命题“”的否定为：“”． 【题型5】 由全称命题的真假求参数 基础知识 核心知识 为真：对集合内所有不等式恒成立 为假：集合内存在使不等式不成立 方法技巧 1.恒成立问题优先转化为函数最值问题 2.恒成立 3.恒成立 4.命题为假可先求其否定为真的参数范围再取补集 典型例题 【例题1】（26-27高一上·全国·课后作业）已知命题：“，使得”是真命题，则实数的取值范围是________. 【答案】 【详解】，，∴， 所以实数的取值范围是. 【例题2】（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）命题“”为真命题，则实数的最大值为__________． 【答案】0 【分析】根据题意可得，进而最值可得，即可得结果. 【详解】若命题“”为真命题，即， 因为，当且仅当时，等号成立， 可得，所以实数的最大值为0. 故答案为：0. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·安徽安庆·阶段检测）已知集合，且“”是真命题，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】由题意得，解出即可. 【详解】若“”是真命题，则的最小值大于0， 又且，可知，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【巩固练习2】（25-26高一上·山东菏泽·期中）设全集，集合，集合. (1)求； (2)若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2). 【分析】（1）由补集运算即可求解； （2）由和两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）因为， 所以或； （2）命题“，则”是真命题，则有， 当时，，解得，符合题意， 当时，而，， 则，无解， 综上所述，实数的取值范围. 【巩固练习3】（25-26高一上·四川·期中）已知集合，集合，集合． (1)计算； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据补集及交集的定义直接计算可得； （2）根据题意转化为，再根据包含关系可求得范围. 【详解】（1）由3可得，即，或. 所以. （2）因为命题“，都有”是真命题，所以； 当时，，即，符合题意； 当时，，无解； 综上可得，实数m的取值范围是. 【题型6】 由特称命题的真假求参数 基础知识 核心知识 为真：集合内至少存在一个满足条件能成立问题 为假：集合内所有都不满足条件 方法技巧 1.能成立问题转化为函数最值 2.有解 3.有解 4.命题为假时等价于其全称否定命题恒成立 典型例题 【例题1】（26-27高一上·全国·课堂例题）若命题“，使得方程成立”是真命题，求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】由题意，分和两种情况讨论 【详解】由题意得，关于x的方程有实数根， 当时，方程为，显然有实数根，满足题意； 当时，，解得，且. 综上知，实数a的取值范围是． 【例题2】（2026高一·全国·专题练习）若命题“，使得”为真命题，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】根据存在性问题为真，可推得，利用函数单调性即可求出的取值范围. 【详解】，使得，等价于在上有解,即， 又因为在上单调递增，则可得. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二下·河北沧州·阶段检测）已知命题“，使得”为真命题，则实数的取值范围为____. 【答案】 【详解】因为命题“，使得”为真命题，所以， 解得或，即实数的取值范围为. 【巩固练习2】（25-26高一上·江苏常州·期末）若命题“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】根据题意，若命题“，使得成立”为假命题， 则一元二次方程无实数根， 必有，解得，故的范围是. 【巩固练习3】（2025高一上·江苏南通·专题练习）若命题“”是假命题，则实数a的取值范围为__________． 【答案】 【分析】根据题意，得到是真命题，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解. 【详解】由命题p：是假命题， 可得命题是真命题， 当时，不等式为，显然恒成立； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 故答案为：. 【题型7】 由全称命题和特称命题两个命题的真假求参数 基础知识 核心知识 分别拆解两个命题（全称/特称）（全称/特称） 根据各自真假求出对应参数范围 再结合组合条件：真真/真假/假真/假假取交集 方法技巧 1.单独求出命题为真的参数集合 2.单独求出命题为真的参数集合 3.根据题目给定真假组合求范围 4.最后检验端点取值是否符合题意 典型例题 【例题1】（26-27高一上·全国·课后作业）已知命题：“”，命题：“，”，若命题，都是真命题，求实数的取值范围． 【答案】或 【分析】先分别求出命题、为真时，实数的范围，再求两个范围的公共部分可得答案. 【详解】由为真命题，对恒成立，得；① 由为真命题，即方程有实根，得， 即或;② 对①②求交集，可得或， 综上，所求实数的取值范围为或. 【例题2】（2026高一·全国·专题练习）已知命题p：，命题q：，若p为真命题，q为假命题，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【详解】因为，且， 若命题p：是真命题，则，即. 命题q：为假命题， 则，即， 综合可得，所以实数a的取值范围是. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·江苏淮安·期中）设命题，；命题， (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为假命题，求实数的取值范围； (3)若、至多有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意得出，即可求得实数的取值范围； （2）由题意可知，是真命题，则，即可求得实数的取值范围； （3）求出当命题、都是真命题时的取值范围，结合补集思想可求得结果. 【详解】（1）若是真命题，则，得， 故实数的取值范围为. （2）若是假命题，则，是真命题， 由解得，即实数的取值范围是. （3）可知为真命题时，， 由（2）可知，为真命题时，或， 若、都是真命题，则， 所以若、至多有一个为真命题，则，即实数的取值范围是. 【巩固练习2】（25-26高一上·云南昭通·阶段检测）已知命题：，.命题：，． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）问题转化为，求解. （2）先根据命题和均为真命题，分别求实数的取值范围，再求它们的交集即可. 【详解】（1）命题为真命题，， ，，则， 实数的取值范围是． （2）为真命题，由（1）得. ，为真命题， ，得. 由命题和均为真命题，得. 实数的取值范围是． 【巩固练习3】（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）设命题，，命题，. (1)命题为真，求实数的取值范围； (2)若都为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，计算即可得； （2）结合（1）中所得，再解出即可得. 【详解】（1）命题为真时，有，解得， （2）命题为真时，有，解得， 又命题为真时，，故都为真命题时，. 课后过关检测 一、单选题 1．（26-27高一上·辽宁铁岭·开学考试）已知集合，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】已知集合，，由集合关系可知是的真子集，即，故. 2．（26-27高三上·江苏镇江·开学考试）已知命题：，，则的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据全称量词命题的否定规则，变换量词并否定结论即可得出结果 【详解】原命题为：，， 按规则否定：量词替换：将改为；取值范围保留：仍为； 结论否定：的否定为， 因此的否定为，. 3．（25-26高二下·浙江宁波·期末）已知命题，；命题，，则（      ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】C 【详解】因为，所以是假命题，是真命题； 若，则；若，则， 故是真命题. 4．（2024高一上·江苏南京·专题练习）命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据命题是真命题，得，再利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】当命题是真命题时，只需当时，， 又因为当时，的最小值是，所以， 结合各个选项可知，只有是的充分不必要条件， 故选：D. 5．（25-26高一上·四川绵阳·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．集合的所有子集个数为个 B．梯形的对角线相等 C．对任意一个无理数，也是无理数 D．存在一个无理数，它的立方为有理数 【答案】D 【分析】对于选项A，将集合的子集一一列出，即可判断A错误；对于选项B，根据梯形的性质即可判断B错误；对于选项C，取特值，即可判断C错误；对于选项D，取特值，即可判断D正确. 【详解】对于A选项，集合的子集包括，，和，共个，故A错误； 对于B选项，仅等腰梯形的对角线相等，一般梯形的对角线并不相等，故B错误； 对于C选项，令，为无理数，则，为有理数，故C错误； 对于D选项，令，为无理数，则，为有理数，故D正确. 故选：D 6．（25-26高一上·天津蓟州·阶段检测）已知命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据原命题为假，则否命题为真，写出否命题，由题意列不等式求解即可. 【详解】命题“”为假命题， 则其否定为：“”真命题， 所以，解得. 故选：B 7．（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）命题：“”为假命题，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据原命题为假命题，则命题的否定为真命题，可得方程无实数解，用判别式可得. 【详解】由“”为假命题，则“”为真命题， 所以方程无实数解，得，解得. 故选：A. 8．（2026高三·全国·专题练习）若命题，则是（    ） A．且 B．或 C．且 D． 【答案】B 【详解】命题， 则是或. 二、多选题 9．（25-26高一上·广东江门·阶段检测）下列各命题中的假命题是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AD 【分析】利用特殊值法可判断AC选项；分、两种情况讨论，去绝对值，可判断B选项；解方程，可判断D选项. 【详解】对于A选项，取，则，A中的命题为假命题； 对于B选项，当时，；当时，. 综上所述，，，B中的命题为真命题； 对于C选项，取，则，C中的命题为真命题； 对于D选项，若，则，D中的命题为假命题. 故选：AD. 三、填空题 10．（25-26高一上·四川宜宾·阶段检测）已知“，使得成立”为真命题，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【分析】结合二次函数的单调性和存在命题解不等式可得. 【详解】因为的最大值为4， 又“，使得成立”为真命题， 所以，解得. 故答案为：. 11．（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）若“”为真命题，则实数的最小值为______. 【答案】 【分析】根据存在量词命题为真命题得，求解最小值即可. 【详解】因为“”， 所以，因为，所以， 所以，即实数的最小值为. 故答案为： 12．（25-26高一上·海南三亚·阶段检测）若命题“，使”是真命题，则的取值范围是_____________. 【答案】 【分析】由可构造不等式求得结果. 【详解】，，，解得， 的取值范围为. 故答案为：. 13．（25-26高二下·河北承德·期末）命题“，”的否定是________． 【答案】， 【详解】命题“，”的否定是，. 14．（25-26高一上·安徽·阶段检测）若“”是假命题，则实数的取值范围是___________.（用集合表示） 【答案】 【分析】由题意转化为命题“，”是真命题，即恒成立，故可求解实数的取值范围. 【详解】若“，”是假命题，则“，”是真命题， 所以，对恒成立，所以，得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（26-27高一上·全国·课堂例题）判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)有的平行四边形是菱形； (3)有一个数是素数也是合数； (4)菱形的对角线相互垂直． 【答案】(1)全称量词命题 (2)存在量词命题 (3)存在量词命题 (4)全称量词命题 【分析】依据全称量词与存在量词的概念判断． 【详解】（1）由题意可知说的是所有凸多边形的外角和等于360°， 故为全称量词命题； （2）因为原命题中含有“有的”，故为存在量词命题； （3）因为原命题中含有“有一个”，故为存在量词命题； （4）由题意可知说的是所有菱形的对角线相互垂直， 故为全称量词命题； 16．（25-26高一上·陕西宝鸡·期中）已知全集，集合，非空集合，其中. (1)当时，求； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数a的取值范围. 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用集合的并集和补集运算定义求解. （2）由已知可得，再结合非空列出不等式组求解. 【详解】（1）当时，，而，则， 所以或. （2）由命题“，都有”是真命题，得，而 B 为非空集合， 因此，解得， 所以实数a的取值范围是. 17．（25-26高一上·山西临汾·阶段检测）已知命题关于的方程有两个不相等的正实数根，命题，. (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若，均为假命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据命题真假，以及一元二次方程判别式，列出不等式组，求出参数范围； （2）根据命题真假，分别求出两个命题为假的参数范围，进而求出同时为假的参数范围即可. 【详解】（1）若是真命题，则，解得， 所以实数的取值范围是. （2）由题意可知命题为真命题等价于在上的最小值小于等于0， 所以，解得， 所以若命题为假命题，则， 由（1）知，若是假命题，则或， 若，均为假命题，则， 即实数的取值范围是. 18．（25-26高一上·广东湛江·阶段检测）（1）已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． （2）命题p：且，命题q：，，若p与q同时为真命题，求m的取值范围． 【答案】（1）[0，2]；（2） 【分析】（1）由“”是“”的充分不必要条件，得A真包含于B，构造不等式即可求解； （2）通过p与q同时为真命题，求范围. 【详解】（1）由“”是“”的充分不必要条件，得A真包含于B， 而，显然， 于是，解得， 所以a的取值范围为[0，2]； （2）当命题p为真命题时， 当命题q为真命题时，，即， 所以p与q同时为真命题时有，解得， 所以m的取值范围是 19．（2026高三·全国·专题练习）若下列三个关于的方程，，中至少有一个方程有实根，求实数的取值范围． 【答案】或 【分析】从“三个方程中至少有一个方程有实根”的否定“三个方程都无实根”考虑，根据三个方程的判别式均小于零可得出关于的不等式组，解出此时的范围，结合补集思想即可得出答案. 【详解】从“三个方程中至少有一个方程有实根”的否定“三个方程都无实根”考虑． 若三个方程都无实根，结合判别式可得， 解得， 所以，当三个方程中至少有一个方程有实根时，的取值范围是或. 20．（26-27高一上·甘肃嘉峪关·开学考试）（1）已知集合，集合，是否存在实数使得，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． （2）若（1）中的条件不变，是否存在实数使得，若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． （3）若（1）中的条件“”改为“且”，其他条件不变，求实数的取值范围． （4）若（1）中条件不变，命题“，使得”为真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）不存在，理由如下： 假设存在实数使得， 因为集合，集合， 所以，解得，显然无解， 所以不存在实数使得 （2）存在，；（3）；（4） 【分析】（1）假设存在实数使得，再根据集合关系求解范围即可判定； （2）分和两种情况讨论求解即可； （3）分和两种情况讨论求解即可； （4）转化为，再根据集合关系求解即可. 【详解】解：（1）略. （2）假设存在实数使得， 则当时，，解得； 当时，由得：，解得，即， 综上，实数的取值范围为. （3）因为，，， 所以，当时，，解得； 当时，由得：，解得，即， 综上，实数的取值范围为. （4）因为命题“，使得”为真命题，所以， 所以且，即，解得，即. 所以，实数的取值范围为. $1.5 全称量词与存在量词 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高一上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 1．全称量词与全称量词命题 （1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示． （2）含有全称量词的命题，叫做全称量词命题． （3）全称量词命题的表述形式：对中任意一个，有成立，可简记为：_，_______，读作“对任意属于，有成立”． 2．存在量词与存在量词命题 （1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示． （2）含有存在量词的命题，叫做存在量词命题． （3）存在量词命题的表述形式：存在中的一个，使成立，可简记为：__，______，读作“存在中的元素，使成立”． 3．全称量词与存在量词命题的否定： 命题的类型 命题的符号表示 命题的否定的符号表示 命题的否定的类型 全称量词命题 _，__ 存在量词命题 存在量词命题 _，__ 全称量词命题 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 全称命题与特称命题的判断 基础知识 核心知识 全称量词：所有，任意，一切，每一个符号 全称命题：含有全称量词的命题形式 存在量词：存在，有一个，至少有一个符号 特称命题：含有存在量词的命题形式 方法技巧 1.寻找命题中的量词关键词区分类型 2.省略量词的命题要还原量词再判断 3.对应全称命题对应特称命题 典型例题 【例题 1】（26-27高一上·全国·课堂例题）下列命题中，不是全称量词命题的是（    ） A．任何一个实数乘以都等于 B．任意一个负数都比零小 C．每一个正方形都是矩形 D．一定存在没有最大值的二次函数 【例题2】（2026高一·全国·专题练习）下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．有些自然数是13的约数 B．正方形是菱形 C．能被6整除的数也能被3整除 D．， 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026·湖南长沙·模拟预测）下列命题中，是存在量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有三个角是的三角形是等边三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是奇数 【巩固练习2】（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）下列命题是存在量词命题的是（    ） A．对任意正实数 B．不存在实数 C．矩形对角线相等 D．有一个数不能作除数 【巩固练习3】（25-26高一上·吉林白城·阶段检测）判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并用量词符号“”或“”表述下列命题. (1)对任意，成立； (2)对所有实数，，方程恰有一个解； (3)有些整数既能被2整除，又能被3整除； (4)某个四边形不是平行四边形. 【题型2】 用全称量词与特称量词改写命题 基础知识 核心知识 全称命题描述集合中全部元素满足性质 特称命题描述集合中至少一个元素满足性质 方法技巧 1.确定变量取值范围 2.判断是全部满足还是部分满足 3.选用或规范写出命题形式 4.改写后保证原意不变 典型例题 【例题1】（26-27高一上·全国·课后作业）用量词符号“”“”表述下列命题： (1)凸边形的外角和等于. (2)有一个有理数满足. (3)对任意角，都有. 【例题2】（2026高三·全国·专题练习）用符号“”与“”表示下面含有量词的命题： (1)实数的平方大于等于0； (2)存在一对实数对，使成立； (3)勾股定理． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高一上·全国·课前预习）用量词符号“”“”表示下列命题： (1)有理数都能写成分数形式； (2)方程有实数解； (3)有一个实数乘以任意一个实数都等于0． 【巩固练习2】（24-25高一上·全国·课后作业）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表示． (1)整数的平方大于或等于零； (2)存在实数，满足； (3)实数的绝对值是非负数； (4)存在实数，使函数的值随的增大而增大． 【巩固练习3】（23-24高一上·贵州遵义·阶段检测）用量词符号表述下列命题： (1)任意一个实数乘以都等于它的相反数； (2)对任意实数，都有； (3)有些整数既能被2整除，又能被3整除； (4)某个四边形不是平行四边形. 【题型3】 全称命题与特称命题真假的判断 基础知识 核心知识 全称命题：全部元素成立则为真找到1个反例即为假 特称命题：找到1个元素成立则为真全部都不成立才为假 方法技巧 1.全称命题：找反例有反例则假无反例则真 2.特称命题：找特例找到满足条件的值则真 3.否定命题真假性与原命题相反可辅助判断 典型例题 【例题1】（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．，使 C．矩形都有外接圆 D．都有平方根 【例题2】（25-26高一上·辽宁丹东·阶段检测）下列命题中为真命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026·陕西西安·模拟预测）已知命题，则，命题，，则（   ） A．和都是假命题 B．是真命题，是假命题 C．是假命题，是真命题 D．和都是真命题 【巩固练习2】（25-26高三上·山东青岛·期末）下列命题正确的是（    ） A．所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0 B．任意一个偶数都不是素数 C．至少有一个整数n，使得是奇数 D．任意一个整数n，都不是4的倍数 【巩固练习3】（25-26高一上·广东深圳·期中）（多选）下列命题中是真命题的有（    ） A．若，，且，则，中至少有一个大于1 B．的充要条件是 C．， D．， 【题型4】 全称命题或特称命题的否定 基础知识 核心知识 全称命题的否定： 特称命题的否定： 规律：改量词否结论变量范围不变 方法技巧 1.第一步更换量词 2.第二步否定结论不能否定变量范围 3.注意结论含有不等号时的方向转换 4.命题的否定和否命题不是同一概念 典型例题 【例题1】（26-27高三上·山西临汾·阶段检测）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【例题2】（25-26高二下·北京·学业考试真题）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高一上·辽宁铁岭·开学考试）已知命题：，，则是（    ） A．， B．， C．， D．， 【巩固练习2】（26-27高二上·浙江·开学考试）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【巩固练习3】（26-27高三上·河北衡水·开学考试）命题“，”的否定是___________． 【题型5】 由全称命题的真假求参数 基础知识 核心知识 为真：对集合内所有不等式恒成立 为假：集合内存在使不等式不成立 方法技巧 1.恒成立问题优先转化为函数最值问题 2.恒成立 3.恒成立 4.命题为假可先求其否定为真的参数范围再取补集 典型例题 【例题1】（26-27高一上·全国·课后作业）已知命题：“，使得”是真命题，则实数的取值范围是________. 【例题2】（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）命题“”为真命题，则实数的最大值为__________． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·安徽安庆·阶段检测）已知集合，且“”是真命题，则实数的取值范围为__________. 【巩固练习2】（25-26高一上·山东菏泽·期中）设全集，集合，集合. (1)求； (2)若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围. 【巩固练习3】（25-26高一上·四川·期中）已知集合，集合，集合． (1)计算； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数m的取值范围． 【题型6】 由特称命题的真假求参数 基础知识 核心知识 为真：集合内至少存在一个满足条件能成立问题 为假：集合内所有都不满足条件 方法技巧 1.能成立问题转化为函数最值 2.有解 3.有解 4.命题为假时等价于其全称否定命题恒成立 典型例题 【例题1】（26-27高一上·全国·课堂例题）若命题“，使得方程成立”是真命题，求实数a的取值范围． 【例题2】（2026高一·全国·专题练习）若命题“，使得”为真命题，则实数的取值范围是_____. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二下·河北沧州·阶段检测）已知命题“，使得”为真命题，则实数的取值范围为____. 【巩固练习2】（25-26高一上·江苏常州·期末）若命题“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是______. 【巩固练习3】（2025高一上·江苏南通·专题练习）若命题“”是假命题，则实数a的取值范围为__________． 【题型7】 由全称命题和特称命题两个命题的真假求参数 基础知识 核心知识 分别拆解两个命题（全称/特称）（全称/特称） 根据各自真假求出对应参数范围 再结合组合条件：真真/真假/假真/假假取交集 方法技巧 1.单独求出命题为真的参数集合 2.单独求出命题为真的参数集合 3.根据题目给定真假组合求范围 4.最后检验端点取值是否符合题意 典型例题 【例题1】（26-27高一上·全国·课后作业）已知命题：“”，命题：“，”，若命题，都是真命题，求实数的取值范围． 【例题2】（2026高一·全国·专题练习）已知命题p：，命题q：，若p为真命题，q为假命题，则实数a的取值范围为______. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·江苏淮安·期中）设命题，；命题， (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为假命题，求实数的取值范围； (3)若、至多有一个为真命题，求实数的取值范围. 【巩固练习2】（25-26高一上·云南昭通·阶段检测）已知命题：，.命题：，． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围． 【巩固练习3】（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）设命题，，命题，. (1)命题为真，求实数的取值范围； (2)若都为真命题，求实数的取值范围. 课后过关检测 一、单选题 1．（26-27高一上·辽宁铁岭·开学考试）已知集合，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（26-27高三上·江苏镇江·开学考试）已知命题：，，则的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26高二下·浙江宁波·期末）已知命题，；命题，，则（      ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 4．（2024高一上·江苏南京·专题练习）命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·四川绵阳·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．集合的所有子集个数为个 B．梯形的对角线相等 C．对任意一个无理数，也是无理数 D．存在一个无理数，它的立方为有理数 6．（25-26高一上·天津蓟州·阶段检测）已知命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）命题：“”为假命题，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．（2026高三·全国·专题练习）若命题，则是（    ） A．且 B．或 C．且 D． 二、多选题 9．（25-26高一上·广东江门·阶段检测）下列各命题中的假命题是（    ） A．， B．， C．， D．， 三、填空题 10．（25-26高一上·四川宜宾·阶段检测）已知“，使得成立”为真命题，则实数的取值范围是___________. 11．（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）若“”为真命题，则实数的最小值为______. 12．（25-26高一上·海南三亚·阶段检测）若命题“，使”是真命题，则的取值范围是_____________. 13．（25-26高二下·河北承德·期末）命题“，”的否定是________． 14．（25-26高一上·安徽·阶段检测）若“”是假命题，则实数的取值范围是___________.（用集合表示） 四、解答题 15．（26-27高一上·全国·课堂例题）判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)有的平行四边形是菱形； (3)有一个数是素数也是合数； (4)菱形的对角线相互垂直． 16．（25-26高一上·陕西宝鸡·期中）已知全集，集合，非空集合，其中. (1)当时，求； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数a的取值范围. 17．（25-26高一上·山西临汾·阶段检测）已知命题关于的方程有两个不相等的正实数根，命题，. (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若，均为假命题，求实数的取值范围. 18．（25-26高一上·广东湛江·阶段检测）（1）已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． （2）命题p：且，命题q：，，若p与q同时为真命题，求m的取值范围． 19．（2026高三·全国·专题练习）若下列三个关于的方程，，中至少有一个方程有实根，求实数的取值范围． 20．（26-27高一上·甘肃嘉峪关·开学考试）（1）已知集合，集合，是否存在实数使得，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． （2）若（1）中的条件不变，是否存在实数使得，若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． （3）若（1）中的条件“”改为“且”，其他条件不变，求实数的取值范围． （4）若（1）中条件不变，命题“，使得”为真命题，求实数的取值范围． $