第一章 含参集合中的空集与临界值讨论 重难点培优讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

重难点培优讲义 · 第一章 集合与常用逻辑用语 解析版 第一章 集合与常用逻辑用语 含参集合中的空集与临界值讨论 重难点培优讲义 一 专题范围 本专题研究参数变化怎样改变集合是否为空、元素组成和相对位置。目标不只是记住“别漏空集”，而是能说明哪些分支确实存在、哪些临界值会改变结论，以及所得参数是否全部充分。 使用建议：学完第一章后使用。需要初中一次不等式、分式、因式分解、平方非负与一元二次方程的判别式；不使用函数最值、基本不等式或二次不等式的专门解法。 二 必备结论 关系 空集情形 非空情形还需做什么 则成立； 时要求 。 证明 的每个元素都属于 。 时，只有 才成立。 先证 ，再确认 。 任一原集合为空就成立。 检查两个集合是否有公共元素。 两个原集合都必须非空。 分别非空仍不够，须找到公共元素。 在同一论域中，“ 是 的充分不必要条件”对应 。这里比较的是使条件成立的全部元素，不能先把“充分不必要”随意替换成某个严格端点不等式。 三 问题分类 集合从哪里来 首先审查什么 需要防止的遗漏 区间或不等式 两端次序、端点开闭、数域。 把空区间当成一段；漏单点。 方程解集 最高次项是否消失；是否有实根。 直接除以可能为零的系数。 由元素运算生成 先核配对是否允许，再查生成结果是否重复。 把表达式个数当成元素个数。 两个含参集合 先分别判空与非空，再联立相对位置及原有限制。 各自范围正确，却不能同时实现。 四 关键突破 先证明分支存在 再在分支内求解 对实数端点 ：闭区间型集合 在 时为空，在 时为单元素集；只要有一个端点开放，非空就要求 。若题目另限 ，端点有先后也未必有整数，必须再查数域。 “考虑空集”不是机械地保留一条空分支。若已知研究的是实数区间且右端点严格大于左端点，或能直接给出一个始终属于集合的元素，应先写出证明，再排除空分支。局部因子的解集为空，也不等于整个集合为空。 退化可能得到空集 也可能得到全集 设 ，研究实数解集 ，先看 。当 时仍要查 ：若 ，为一个元素；若 ，为空集；若 ，则为 。当 时，令 ； 时为空集， 时为单元素集， 时有两个不同元素。 若原题另有限制数域或分母不为零，恒等成立时得到的是原允许数域，不能直接写 。实根仍须按原数域筛选，判别式给出的实根个数未必等于原集合的元素个数。每次除法或约去因式，都应先核对应条件。 临界值不仅来自判别式 还来自结构改变 临界来源 在原条件中具体核对 端点相遇或两集合相等 对非空实数区间，比较两端及开闭；空集或整数限制另查。 重根或不同因式共根 按不同元素去重后，再计数或求和。 分母为零或运算顺序改变 先筛选允许的配对，再按相应规则生成元素。 数域边界或双参数位置限制 各条件必须联立；不能分别找到后就认定同时成立。 怎样把分类结果闭合 ① 划分：说明依据，使各分支互不重叠且覆盖全部允许参数。② 推导：在每个分支内得到必要条件。③ 复核：证明候选范围内任意参数都满足原条件，并单独核验临界值。④ 合并：取各分支结果的并集。若所求是某个量的取值范围，还要证明其中每个值都能实现，不能只展示两个端点。 关键辨析 “边界可以取到”与“区间内每个值都可以取到”是两件事；按重数计算的根数不能直接当作集合元素个数，不同运算取法也可能得到同一个元素。 五 递进例题 元素限制与空集判断不能混淆 例1 2025·北京四中·高一上学期期中·卷（I）原卷第16题 （本小题满分11分）已知集合 ，集合 。 （1）求集合 ； （2）当 时，求 ； （3）若 ，求实数 的取值范围。 【答案】（1）；（2）；（3）。 【解析】 （1）先要求 。若 ，同乘正数 得 ，即 ，合并为 。若 ，同乘负数须反向，得 ，即 ，与本分支矛盾。故 。 （2） 时 ，而 ，所以 。虽然 使原分式无意义，但它是实数且不属于 ，因此属于相对于 的补集。 （3） 等价于 。先由端点次序判断 的形态，不能把 的两端擅自交换。 ① ：此时 ，没有实数满足原条件，故 。空集是 的子集，所有 均满足。 ② ：，不是空集。因 ，此值满足。 ③ ： 为非退化闭区间。要求 且 ；前者自动满足，后者给出 ，故本分支为 。 三类合并得 。对该范围内任意参数，以上分支均已证明包含成立；在临界 时， 而 ，所以不收 。 【易错辨析】 不是合法元素，不意味着参数 非法。事实上 时 ，恰好满足原题关系。元素的限制与参数的限制必须分清。 方法归纳 先查表达式的允许范围，再判集合为空、单点或区间，最后应用集合关系。属于补集的元素，只须在全集内且不在原集合内。 按参数改变的运算顺序分类 先排序再生成结果 例2 2026·北京首都师大附中·高一上学期期中练习·原卷第8题 设集合 是正整数集 的非空子集，对任意 （），定义运算 。若所有这样的运算结果构成的集合记为 ，则称 为集合 的“差倍集”。设集合 ，。若其差倍集 中恰有两个元素，则 的值可能是（ ）。 A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B；所有符合条件的 为 或 。 【解析】 先确定集合 的不同元素及其大小。先检查 或 的退化情形，这两个值都不能使 恰有两个元素；再讨论三元素情形。 ① 或 ：，只有一组满足 的配对，故 ，不符合。 ② ：因 ，只有 或 。 时，按 、、 配对，依次得 、、，去重后 ，符合。 时 ，有三个元素，不符合。 ③ ：满足 的三组配对产生 、、。后两式相差 ，不可能相等；要恰有两个不同结果，只能有 或 。前式得 ，不在本分支；后式得 。此时 。 正整数的所有情形已覆盖，合并得 ，故选B。 【易错辨析】不能在 时仍把配对 的结果写成 ，因为它不满足 ；也不能把三组配对误认为必有三个不同结果。 方法归纳 元素的顺序是运算规则的一部分。先查集合是否退化，再按大小排序列出合法配对，最后把相同结果合并。 六 综合迁移 独立完成。写出完整的分类依据与回代检验，不只写出最终答案。 第（1）（2）问 2026.9.21·湖北随州曾都一中·高一9月月考·原卷第19题（1）（2）（节选） 定义：对于集合 ，称集合 为集合 的生成集（其中 可以相等）。 （1）若集合 的生成集为 ，求集合 ； （2）若集合 的生成集为 ， 的子集个数为4个，求实数 的值。 【答案】（1）；（2）。 【解析】 （1）配对 和 的分母为零，被定义中的条件排除；配对 与 分别生成 和 。所以 。 （2） 有4个子集，故 恰有2个不同元素。配对 始终合法且生成 ，所以整个 不会为空。接下来只讨论哪些配对合法、哪些结果相同。 ① 特殊临界：，即 。两个混合配对被排除，但 与 仍合法，分别生成 与 。故 ，有4个子集，此参数必须保留。 ② 一般情形：。记 ，，，则 。要恰有两个元素，至少一对相等，但不能三者全相等。 ：，得 或 。 ：，得 。 ：，即 ，得 。本分支分母已知非零，故可去分母。 回代排除全部合并： 时 ，，仅有2个子集，不符合。其余候选回代： 时 ； 时 ； 时 ，均恰有两个元素。 特殊分支与一般分支合并，得 。 【易错辨析】条件 筛选的是配对。某类配对不合法，不代表参数 必须舍去；而三个表达式有相等情形，也不代表去重后一定恰有两个元素。 综合迁移 续 第（3）问 2026.9.21·湖北随州曾都一中·高一9月月考·原卷第19题（3）（节选） 定义：对于集合 ，称集合 为集合 的生成集（其中 可以相等）。 （3）若集合 的生成集为 ，求证：。 【答案】证明见解析。 【解析】 任取 ，由定义可找到 ，使 。因 、，有 ，从而 。这是后面判断正负的前提。 ，因为 、。所以 。 ，因为 、。所以 。 因此 ，即 。由于 是 中任意元素，故 。 进一步看，两集合其实相等：对任意 ，取 、，有 、，生成结果正是 ，所以 。这一步不是原题必须完成的结论，但说明“所有生成结果都在区间内”和“区间内每个值都能生成”是两个方向。 【易错辨析】不能只试几组 就证明包含；也不能在没有确认 正负时直接去掉分母比较大小。 方法归纳 先筛合法配对，再合并生成结果，最后回代查元素个数。证明 要从任意生成结果出发；证明 则要为任意目标元素构造合法配对。 学后复盘 能否区分不允许的元素、为空的原集合和不允许的配对；能否从原条件找到全部临界值；能否区分重复输入与重复结果；能否证明得到的参数没有遗漏也没有多收。 人教A版 · 高一数学必修第一册 | 2026—2027学年 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $重难点培优讲义 · 第一章 集合与常用逻辑用语 学生版 第一章 集合与常用逻辑用语 含参集合中的空集与临界值讨论 重难点培优讲义 一 专题范围 本专题研究参数变化怎样改变集合是否为空、元素组成和相对位置。目标不只是记住“别漏空集”，而是能说明哪些分支确实存在、哪些临界值会改变结论，以及所得参数是否全部充分。 使用建议：学完第一章后使用。需要初中一次不等式、分式、因式分解、平方非负与一元二次方程的判别式；不使用函数最值、基本不等式或二次不等式的专门解法。 二 必备结论 关系 空集情形 非空情形还需做什么 则成立； 时要求 。 证明 的每个元素都属于 。 时，只有 才成立。 先证 ，再确认 。 任一原集合为空就成立。 检查两个集合是否有公共元素。 两个原集合都必须非空。 分别非空仍不够，须找到公共元素。 在同一论域中，“ 是 的充分不必要条件”对应 。这里比较的是使条件成立的全部元素，不能先把“充分不必要”随意替换成某个严格端点不等式。 三 问题分类 集合从哪里来 首先审查什么 需要防止的遗漏 区间或不等式 两端次序、端点开闭、数域。 把空区间当成一段；漏单点。 方程解集 最高次项是否消失；是否有实根。 直接除以可能为零的系数。 由元素运算生成 先核配对是否允许，再查生成结果是否重复。 把表达式个数当成元素个数。 两个含参集合 先分别判空与非空，再联立相对位置及原有限制。 各自范围正确，却不能同时实现。 四 关键突破 先证明分支存在 再在分支内求解 对实数端点 ：闭区间型集合 在 时为空，在 时为单元素集；只要有一个端点开放，非空就要求 。若题目另限 ，端点有先后也未必有整数，必须再查数域。 “考虑空集”不是机械地保留一条空分支。若已知研究的是实数区间且右端点严格大于左端点，或能直接给出一个始终属于集合的元素，应先写出证明，再排除空分支。局部因子的解集为空，也不等于整个集合为空。 退化可能得到空集 也可能得到全集 设 ，研究实数解集 ，先看 。当 时仍要查 ：若 ，为一个元素；若 ，为空集；若 ，则为 。当 时，令 ； 时为空集， 时为单元素集， 时有两个不同元素。 若原题另有限制数域或分母不为零，恒等成立时得到的是原允许数域，不能直接写 。实根仍须按原数域筛选，判别式给出的实根个数未必等于原集合的元素个数。每次除法或约去因式，都应先核对应条件。 临界值不仅来自判别式 还来自结构改变 临界来源 在原条件中具体核对 端点相遇或两集合相等 对非空实数区间，比较两端及开闭；空集或整数限制另查。 重根或不同因式共根 按不同元素去重后，再计数或求和。 分母为零或运算顺序改变 先筛选允许的配对，再按相应规则生成元素。 数域边界或双参数位置限制 各条件必须联立；不能分别找到后就认定同时成立。 怎样把分类结果闭合 ① 划分：说明依据，使各分支互不重叠且覆盖全部允许参数。② 推导：在每个分支内得到必要条件。③ 复核：证明候选范围内任意参数都满足原条件，并单独核验临界值。④ 合并：取各分支结果的并集。若所求是某个量的取值范围，还要证明其中每个值都能实现，不能只展示两个端点。 关键辨析 “边界可以取到”与“区间内每个值都可以取到”是两件事；按重数计算的根数不能直接当作集合元素个数，不同运算取法也可能得到同一个元素。 五 递进例题 元素限制与空集判断不能混淆 例1 2025·北京四中·高一上学期期中·卷（I）原卷第16题 （本小题满分11分）已知集合 ，集合 。 （1）求集合 ； （2）当 时，求 ； （3）若 ，求实数 的取值范围。 方法归纳 先查表达式的允许范围，再判集合为空、单点或区间，最后应用集合关系。属于补集的元素，只须在全集内且不在原集合内。 按参数改变的运算顺序分类 先排序再生成结果 例2 2026·北京首都师大附中·高一上学期期中练习·原卷第8题 设集合 是正整数集 的非空子集，对任意 （），定义运算 。若所有这样的运算结果构成的集合记为 ，则称 为集合 的“差倍集”。设集合 ，。若其差倍集 中恰有两个元素，则 的值可能是（ ）。 A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 方法归纳 元素的顺序是运算规则的一部分。先查集合是否退化，再按大小排序列出合法配对，最后把相同结果合并。 六 综合迁移 独立完成。写出完整的分类依据与回代检验，不只写出最终答案。 第（1）（2）问 2026.9.21·湖北随州曾都一中·高一9月月考·原卷第19题（1）（2）（节选） 定义：对于集合 ，称集合 为集合 的生成集（其中 可以相等）。 （1）若集合 的生成集为 ，求集合 ； （2）若集合 的生成集为 ， 的子集个数为4个，求实数 的值。 综合迁移 续 第（3）问 2026.9.21·湖北随州曾都一中·高一9月月考·原卷第19题（3）（节选） 定义：对于集合 ，称集合 为集合 的生成集（其中 可以相等）。 （3）若集合 的生成集为 ，求证：。 学后复盘 能否区分不允许的元素、为空的原集合和不允许的配对；能否从原条件找到全部临界值；能否区分重复输入与重复结果；能否证明得到的参数没有遗漏也没有多收。 记录一次最需要修正的判断： 人教A版 · 高一数学必修第一册 | 2026—2027学年 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $