2.1 等式性质与不等式性质 教学设计- 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

《2.1 等式性质与不等式性质》教学设计

教材版本：2019版人教A版《高中数学》必修第一册

课题：2.1 等式性质与不等式性质（第1课时）

课时：1课时（约40分钟）

一、教材分析

（一）教材地位与作用：本节课选自《普通高中数学教科书·数学（必修第一册）》（人教A版）第二章“一元二次函数、方程和不等式”的起始节，属于课程标准“预备知识”主题中“等式与不等式”单元。

相等关系与不等关系是刻画现实世界数量关系的两类基本数学模型。学生在初中已经学习了一元一次方程与一元一次不等式（组）的解法，对等式与不等式有了初步认识，但还没有系统地研究过“式的性质”。本节课先梳理等式的基本性质，归纳其中蕴含的研究方法，再以两个实数大小关系的基本事实为依据，类比等式性质猜想并证明不等式的基本性质。这既是对初中相关内容的系统化与深化，又为后续学习基本不等式、解一元二次不等式以及研究函数性质奠定推理基础，在初中与高中数学之间起着承上启下的桥梁作用。

（二）内容结构：教材按“实际问题中的不等关系—实数大小关系的基本事实—不等式的性质”的线索展开，具体包括：

1. 用不等式（组）表示实际问题中的不等关系；

2. 借助数轴认识两个实数大小关系的基本事实，把比较大小转化为比较差与0的大小，形成作差法；

3. 梳理等式的基本性质，通过类比猜想并证明不等式的基本性质；

4. 运用作差法与不等式的基本性质比较两个代数式的大小。

二、学情分析

（一）知识基础：学生在义务教育阶段积累了用方程表示相等关系、用不等式（组）表示不等关系的经验，掌握了解一元一次不等式（组）的方法，并在勾股定理的探究中接触过赵爽弦图，具备本课学习所需的知识储备。

（二）能力与思维特点：高一学生的抽象思维与逻辑推理能力尚在发展之中，能理解生活中的大小比较，但从实际背景中抽象出数学关系并用严谨的符号语言表达仍有困难，代数证明的经验比较缺乏。

（三）可能遇到的困难：1. 将文字语言转化为符号语言时，容易忽略“不少于”“不超过”等关键词中隐含的相等成分；2. 对“运算中的不变性就是性质”的理解不到位，类比迁移时容易机械照搬；3. 容易忽视“两边同乘负数时不等号方向改变”这一与等式的本质差异。

三、教学目标

（一）基础知识与基本技能：

1. 能从实际情境中抽象出不等关系，并用不等式（组）表示；

2. 掌握两个实数大小关系的基本事实，会用作差法比较两个代数式的大小；

3. 经历类比、猜想、证明的过程，掌握不等式的基本性质并能进行简单应用。

（二）基本活动体验：

1. 通过梳理等式性质、类比猜想不等式性质，体会研究“式的基本性质”的一般方法；

2. 经历“观察—猜想—证明—应用”的完整探究过程，感受代数证明的严谨性；

3. 在赵爽弦图的探究中体会数形结合思想，感受数学文化的魅力。

（三）学科素养：

1. 数学抽象：从实际情境与图形中抽象出不等关系与不等式；

2. 逻辑推理：类比等式性质猜想并证明不等式性质，发展严谨推理的能力；

3. 数学运算：在作差变形与性质运用中提升运算求解的素养。

四、教学重难点

（一）教学重点：

1. 用不等式（组）表示实际问题中的不等关系；

2. 两个实数大小关系的基本事实与作差法；

3. 不等式基本性质的探究、证明与初步应用。

（二）教学难点：

1. 从实际背景中抽象出不等关系并用严谨的符号语言表达；

2. 类比等式性质发现不等式性质，并理解两者的联系与差异；

3. 理解不等式性质证明中每一步的推理依据。

五、教学准备

（一）教具：多媒体课件、实物投影、直尺、彩色粉笔。

（二）情境素材：

案例1：某路段限速40 km/h的交通标志牌；

案例2：2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标（依据赵爽弦图设计）。

六、教学过程

（一）创设情境，导入新课（5分钟）。

情境引入：现实世界与日常生活中大量存在着相等关系与不等关系，例如多与少、大与小、长与短、快与慢、不超过与不少于等。相等关系用等式表示，不等关系用不等式表示。

问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？

（1）某路段限速40 km/h；

（2）某品牌酸奶的质量检查规定：酸奶中脂肪的含量f（单位：%）不少于2.5，蛋白质的含量p（单位：%）不少于2.3；

（3）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

师生活动：学生独立思考并动笔写出不等关系，教师投影展示学生的答案并组织点评。

预设解答：

（1）设该路段行驶汽车的速度为（单位：km/h），“限速40 km/h”就是v不超过40，于是 ；

（2）由题意得 ，且 ；

（3）设三角形的三条边为a，b，c，则 ，，；且 ，，；

（4）设P为直线l外一点，PO⊥l，垂足为O，Q为直线l上异于O的任意一点，则 。

师生归纳：不等关系常用符号“＞”“＜”“≥”“≤”“≠”表示；将不等关系表示成不等式的思路是——读懂题意，找准不等式所联系的量，再用适当的不等号连接；多个不等关系用不等式组表示。

【设计意图】从学生熟悉的生活情境出发，引导学生发现现实世界中的相等关系与不等关系，经历把文字语言转化为符号语言的过程，发展数学抽象素养。

（二）探究新知一：两个实数大小关系的基本事实（8分钟）。

问题2：要研究不等式，先要弄清两个实数怎样比较大小。我们知道，实数与数轴上的点一一对应，数轴上的点从左到右所表示的实数越来越大。那么，如何比较两个实数a与b的大小？

师生活动：教师引导学生观察数轴，从“形”的角度认识两实数的大小关系。

如图1，设a，b为两个实数，它们在数轴上对应的点分别为A，B。当点A在点B的左边时，a＜b；当点A在点B的右边时，a＞b。

图1  数轴上两实数的大小关系

追问：能不能把这个几何事实转化为代数运算？

师生活动：教师引导学生发现，点A与点B的左右位置关系可以由它们的坐标之差确定，师生共同归纳出两个实数大小关系的基本事实，并用符号语言规范表述。

两个实数大小关系的基本事实：

如果 ，那么 ；如果 ，那么 ；如果 ，那么 。反过来也对。

即：

这个基本事实把“比较两个实数的大小”转化为“判断它们的差与0的大小”。0是正数与负数的分界点，为实数比较大小提供了“标杆”。由此得到比较两个数（式）大小的作差法。

【设计意图】借助数轴的直观，让学生经历由“形的直观”到“数的运算”的转化，理解基本事实的双向等价性，为作差法和不等式性质的证明做好准备。