专题1.2 集合间的基本关系 重难点题型专训讲义（2个知识点+8大基础题型+2大提高题型+自我检测）-2026-2027学年高一上学期数学重难点专训（人教A版必修第一册）

该高中数学讲义以“集合间的基本关系”为核心，通过表格系统梳理子集、真子集、集合相等与空集等2个知识点，明确定义、记法、图示及结论，结合即时训练构建知识脉络，清晰呈现重难点分布与内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层练习设计，8大基础题型如“判断子集个数”“根据包含关系求参数”夯实基础，2大提高题型如“子集相关求解”提升综合能力，培养学生数学思维与推理能力。自我检测模块辅助学生自主复习，教师可据此实施精准教学，助力不同层次学生提升。

专题1.2 集合间的基本关系重难点题型专训 （2个知识点+8大基础题型+2大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、判断集合的子集(真子集)的个数 题型二、求集合的子集(真子集) 题型三、判断两个集合的包含关系 题型四、根据集合的包含关系求参数 题型五、判断两个集合是否相等 题型六、根据两个集合相等求参数 题型七、空集的概念以及判断 题型八、空集的性质及应用 第二部分·练提高题型 题型一、子集(真子集)相关求解 题型二、两个集合的相关求解 第三部分・自我检测 知识点01 子集与真子集 1．子集的概念 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作 (或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 （1）任何一个集合是它本身的子集，即； （2）对于集合A，B，C，若，且，则 2．真子集的概念 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作 图示 结论 （1）且，则； （2），且，则 【注】（1）“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B． （2）不能把“”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B． （3）特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A． (4)对于集合A，B，C，若，，则；任何集合都不是它本身的真子集． (5)若，且，则． (6)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个． 【即时训练】 1．（25-26高一上·江西九江·课后作业）已知集合，，则的真子集的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据交集的定义求出，再根据真子集个数公式求出的真子集个数. 【详解】由题意得集合，集合，因此， 根据真子集个数公式是， 因为有个元素，所以真子集个数为. 故选：C. 2．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）已知集合，则集合的所有子集为_______. 【答案】，，， 【分析】明确集合，根据子集的概念可得集合的所有子集. 【详解】由或，所以. 所以集合的子集为：，，，. 故答案为：，，， 知识点02 集合相等与空集 1．集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B．也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B． 2．空集的概念 （1）定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅． （2）规定：空集是任何集合的子集． 【注】注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集． 【即时训练】 1．（25-26高一上·湖北·阶段检测）下列表述中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合与元素的关系依次判断各选项即可. 【详解】对于A，是含一个元素0的集合，不含任何元素，故A错误； 对于B，集合元素具有无序性，故正确； 对于C，是包含空集的集合（有一个元素），是空集（无元素），故错误； 对于D，表示有序数对的集合，表示有序数对的集合，有序数对与不相等，故这两集合不相等，故错误； 故选：B 2．（25-26高一上·新疆喀什·期中）已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是______. 【答案】 【分析】根据题意分析可知方程无解，结合判别式分析求解. 【详解】由题意可知：集合是空集，即方程无解， 则，解得， 所以a的取值范围值是. 故答案为：. 【基础题型一 判断集合的子集(真子集)的个数】 【例1】（2026·湖南长沙·三模）集合的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【详解】由题意得，元素个数为，子集个数为. 1．（25-26高三下·湖北咸宁·阶段检测）已知集合，则的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【详解】由于集合， 所以的子集个数为． 2．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）（多选）已知集合，若集合至多有2个子集，则的取值可能是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】BCD 【分析】根据集合子集的个数确定集合中元素的个数，再分和，根据方程解的个数确定的值. 【详解】由集合至多有2个子集，所以或集合中只有1个元素. 若，则方程无解，所以，故D成立； 若集合只有1个元素，则或，所以或，故B，C成立. 综上，可得B，C，D成立. 故选：BCD 3．（25-26高一上·江苏盐城·期中）设集合A满足，且是集合的真子集，则满足条件的A有__________个. 【答案】3 【分析】根据给定条件，写出含有元素的集合的真子集即可. 【详解】由集合A满足，且是集合的真子集， 得含有元素的集合的真子集为：， 所以满足条件的A有3个. 故答案为：3 4．（24-25高一上·上海·开学考试）已知R的子集U为一个数集，集合. (1)设，求：集合A的非空真子集个数； (2)设，证明：若，则. 【答案】(1)254 (2)证明见解析 【分析】（1）先分类讨论求出集合A，然后求出集合A的非空真子集个数； （2）结合条件设，将7x变形为，即可证明. 【详解】（1）当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，； 所以，它有8个元素，有个非空真子集； （2）因为，所以设， 所以，得证. 【基础题型二 求集合的子集(真子集)】 【例2】（25-26高二下·浙江宁波·期末）已知集合，则的所有子集中的元素之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的子集直接求解即可. 【详解】由题知，的所有非空子集为， 所以以上集合所有元素之和为. 1．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）若集合U的三个子集A，B，C满足⫋⫋，则称为集合U的一组“亲密子集”，已知集合，则U的所有“亲密子集”的组数为（   ） A．12 B．15 C．18 D．24 【答案】C 【分析】先确定出的子集，然后根据集合中元素个数分类讨论，由此可求结果. 【详解】的所有子集有：； （1）若，为单元素集合，为双元素集合，符合要求的有： ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋， ⫋⫋，⫋⫋，共组； （2）若，为单元素集合，为三元素集合，符合要求的有： ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，共组； （3）若，为双元素集合，为三元素集合，符合要求的有： ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，共组； （4）若为单元素集合，为双元素集合，为三元素集合，符合要求的有： ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋， ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，共组； 综上所述，满足要求的“亲密子集”一共有组. 故选：C. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）已知，，集合，，则集合可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由集合子集定义验证各选项即可得答案. 【详解】A选项，若集合，则满足，A正确； B选项，若集合，则满足，B正确； C选项，若集合，则满足，但不是的子集，C错误； D选项，若集合，则满足，但不是的子集，D错误． 故选：AB 3．（25-26高一上·浙江·期末）已知，，若，则所有集合B中全部元素之和为______. 【答案】72 【分析】根据集合之间的关系写出集合B所有的情况，再计算即可. 【详解】因为，， 集合B可以为， 所有元素之和为. 故答案为：. 4．（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）已知集合． (1)若中有两个元素，求实数的取值集合； (2)若中只有一个元素，写出实数的取值集合B的所有子集． 【答案】(1)或或； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据方程有两个不同的解的问题直接可得； （2）根据方程有一个解进行分类讨论可得实数的取值，再列所有子集. 【详解】（1）由中有两个元素，得方程有两个不同的解， 所以，，解得或且. 故实数的取值集合为或或. （2）由中只有一个元素，得方程有一个解. 当时，方程有一个解； 当时，，解得或. 所以实数的取值集合， 故集合B的所有子集有：，，，，，，，. 【基础题型三 判断两个集合的包含关系】 【例3】（2026·天津红桥·一模）集合，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题知， 所以与的关系为 1．（2025·广西·模拟预测）已知集合，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明对任意，则，再证明，但，由此可得结论. 【详解】对任意，存在，使得， 由于，令，则，所以，故， 又（当时），但（由解得），所以是的真子集， 故选：C 2．（25-26高一上·湖南长沙·期中）（多选）下列集合中，是集合的子集的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由子集的概念逐项判断即可. 【详解】因为集合是所有奇数构成的集合， 对于选项A，集合里有偶数，所以选项A的集合不是集合A的子集； 对于选项B，元素全是奇数，所以选项B的集合是集合A的子集； 对于选项C，表示所有奇数构成的集合，所以选项C的集合是集合A的子集； 对于选项D，表示所有4的倍数加1构成的集合，元素都是奇数，但不是所有奇数都在集合里， 所以D选项的集合是集合A的子集． 故选：BCD． 3．（24-25高一上·上海·课后作业）设集合，，则、之间的关系为_________． 【答案】 【分析】表示的奇数倍，而表示的整数倍，故得解. 【详解】因为， 所以集合中的元素是的奇数倍， 又因为集合中的元素是的整数倍， 所以N. 故答案为：. 4．（24-25高一上·陕西商洛·期中）已知集合. (1)判断5，12，14是否属于，并说明理由； (2)集合，证明：； (3)写出集合中的所有偶数. 【答案】(1)，，理由：∵，，∴ 假设，则， 且，， ∴，或，均无整数解，∴ (2)证明：∵集合，恒有 ∴，∴ (3)， 【分析】（1）根据定义可判断为中元素，利用反证法可判断不是中元素； （2）由，即可证明； （3）根据，同奇同偶及，可得中所有偶数的形式. 【详解】（1）略 （2）略 （3）集合，成立， 同奇或同偶时，，均为偶数，为4的倍数， 一奇一偶时，，均为奇数，为奇数. 因为，故， 所以，集合中的所有偶数为，. 【基础题型四 根据集合的包含关系求参数】 【例4】（2026·安徽安庆·三模）设集合，若，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合，， 所以，所以. 1．（2026高三·全国·专题练习）已知集合，，若，则实数m的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解方程，因式分解得，解得或，故. 当时，方程无解，即，空集是任意非空集合的真子集，满足. 当时，，由可知： 若，解得； 若，解得. 综上，实数的取值集合为. 2．（25-26高一上·山东济宁·期中）（多选）已知集合，，若，则实数的所有可能取值为（） A．2 B． C． D．0 【答案】BCD 【分析】对的取值进行分类讨论，利用可确定的值. 【详解】当时，不成立，，满足． 当时，， 当时，；当时，； 综上得，的所有可能取值为． 故选：． 3．（2026高一·全国·专题练习）已知集合或 ，若，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】由集合包含关系结合题设可得答案. 【详解】由题意，因集合或 ，， 则或，即或， 即实数的取值范围是 4．（2026高一·全国·专题练习）设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由，对集合进行分类讨论：①若，②若为，，③若，由此求得的值即可. （2）先化简集合，，再由 ，能求得的值. 【详解】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. 【基础题型五 判断两个集合是否相等】 【例5】（25-26高一上·福建福州·期中）下列四组中，表示相等集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相等集合的定义逐一判断可得. 【详解】对于A，两集合表示点的坐标不同，不是同一个集合，故A错误； 对于B，两集合元素相同，是相等集合，故B正确； 对于C，集合中有元素，集合为空集，不是相等集合，故C错误； 对于D，集合表示抛物线上的点，集合为数集，故D错误. 故选：B 1．（25-26高一下·安徽合肥·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为集合， ， 所以. 2．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）（多选）已知集合，则下列集合与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由题意，用列举法分别将各集合表示出来，再根据集合相等的条件，逐项判断即可. 【详解】根据题意，，故A选项正确； 对于B，，故B选项错误； 对于C，，故C选项正确； 对于D，，故D选项错误. 故选：AC 3．（24-25高一上·北京顺义·阶段检测）下列四个命题中 ①若A＝{x|x＝2n，n∈Z}，B＝{x|x＝2（n﹣1），n∈Z}，则A＝B； ②若M＝{x|x＝2n﹣1，n∈N}，N＝{x|x＝2n+1，n∈N}，则M＝N； ③若C＝{x|x2﹣x＝0}，D＝{x|x，n∈Z}，则C＝D； ④若P＝{x|x＝2k，k∈Z}，Q＝{x|x＝4k，k∈Z}，则P⊆Q． 其中真命题的是_____． 【答案】①③ 【分析】根据集合相等的定义逐一进行判断即可． 【详解】①集合和集合都是偶数集，故，①正确； ②集合是由1，3，所有正奇数组成的集合， 是由3，5，所有大于1的正奇数组成的集合，所以； ③，，中，当为奇数时，， 当为偶数时，，，，所以，③正确． ④集合是所有偶数的集合，集合是0，，，，8，，部分偶数的集合，所以，故④错误． 故答案为：①③． 4．（25-26高一·全国·课后作业）已知集合 ，． （1）若 ，求 的取值范围； （2）若 ，求 的取值范围； （3）集合 与 能够相等？若能，求出 的值，若不能，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）不能，理由如下： 时， 无解， 集合 与 不能相等． 【分析】（1）确定集合中元素，根据包含关系得出不等关系后求解． （2）包含关系得出不等关系后求解． （3）由集合相等定义判断求解． 【详解】（1） 集合 ，． ，，解得 ， 的取值范围是 ． （2）， 当 时，，； 当 即时，，解得 ， 的取值范围是 ． （3）略 【基础题型六 根据两个集合相等求参数】 【例6】（25-26高二下·河南·期末）已知集合，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【答案】A 【分析】利用集合相等的知识求解. 【详解】因为集合，所以或. 显然不成立，当时，,符合题意. 所以. 1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知二次函数.若集合与集合相等，其中集合中相同元素只记一次，则（   ） A．-1 B．-2 C．-3 D．-4 【答案】C 【分析】应用已知得出列式，再分类讨论计算求解参数. 【详解】设. 则，，，. 对两边集合中的所有元素同时减去，题设等价于. 要使两集合相等，右侧集合中必须含有0. 若，即，则左右两边分别为，，不相等. 若，即，则左右两边分别为，，不相等. 若，即，则左右两边分别为，，相等. 因此. 2．（25-26高一上·河北保定·阶段检测）（多选）已知集合，则的值可能为（   ） A．2 B．0 C． D．4 【答案】AC 【分析】分或或三种情况讨论的值即可求解. 【详解】若，则，此时，符合题意； 若，则，此时，这不符合集合中元素的互异性，所以不符合题意； 若，则，此时，符合题意． 故选：AC 3．（2026高一·全国·专题练习）已知集合A=，B=｛0,,1｝（a,b∈R），若A=B，则________. 【答案】1 【分析】根据集合相等的定义求得后可得结论． 【详解】集合A=，B=｛0,,1｝（a,b∈R）. 由A＝B， 得①解得此时集合A中，＝0与元素0重复，，违反互异性； ②解得，此时A＝B＝，符合题意. 综上，，所以. 4．（25-26高三上·江西·阶段检测）已知集合，. (1)若，且，求的值； (2)当时，若，求，的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合，再根据得出即可求解； （2）先根据及，得出集合，再列式计算求参. 【详解】（1）当时，，又因为， 所以，所以，所以； （2）当时，， 因为，， 所以只有一个元素且， 所以，所以. 【基础题型七 空集的概念以及判断】 【例7】（25-26高一上·河南·开学考试）下列各选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的定义和空集的定义逐项判断. 【详解】对于A，空集不含任何元素，故，故A错误； 对于B，空集不含任何元素，而集合含有一个元素0，二者不相等，故B错误； 对于C，空集是任何集合的子集，故C正确； 对于D，0是一个元素，而是一个集合，元素和集合是不同的概念，不能相等，故D错误. 故选：C. 1．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空集的定义，逐项判别，可得答案. 【详解】对于A，因为，不为空集，故A错误； 对于B，因为，不为空集，故B错误； 对于C，因为，不为空集，故C错误； 对于D，因为，所以无解， 所以，故D正确. 故选：D. 2．（25-26高一上·甘肃甘南·阶段检测）（多选）给出下列四个集合，其中为空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用空集的定义、一元二次方程、方程组、不等式的性质直接求解． 【详解】对于A，是以为元素的集合，不是空集，A不是； 对于B，方程中，，方程无实根， 因此是空集，B是； 对于C，由，得无实根，因此是空集，C是； 对于D，不是空集，D不是. 故选：BC 3．（24-25高一上·上海浦东新·期中）关于x的不等式解集为空集，则实数m的值为________. 【答案】1 【分析】不等式化为，然后对系数进行分类讨论可得． 【详解】可化为， 若，不等式为，不成立，不等式解集为空集， 若，不等式的解为， 若，不等式的解为， 综上，， 故答案为：1. 4．（25-26高一上·辽宁朝阳·阶段检测）已知集合，或． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用非空集合思想来得到参数的不等式求解即可； （2）根据子集思想，讨论空集和非空集合两种情形，再进行端点值比较，得到不等式求解即可. 【详解】（1）由，则， 因为集合，所以， 解得：，故实数的取值范围是； （2）由，则， 当为空集时满足题意，此时有，即； 当，且，或．则, 而且还满足或，解得：或， 由于，所以此时只有， 综上可得：实数的取值范围是. 【基础题型八 空集的性质及应用】 【例8】（24-25高一上·山西大同·阶段检测）若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据子集个数确定是空集，然后由方程无实数解得参数范围，确定正确选项． 【详解】由集合A有且仅有1个子集可知，A是， 当时，，不符合题意； 当时，由可得． 故选：C． 1．（24-25高一上·新疆·期中）下列四个关系式中正确的个数是（    ） （1）；（2）；（3）；（4）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据空集的定义，可得答案. 【详解】解：对于（1），由于空集是任何非空集合的真子集，故（1）正确； 对于（2），表示有一个元素0的单元素集合，所以（2）错误； 对于（3），，所以错误； 对于（4），由于空集是任何集合的子集，故正确． 所以正确的有：（1），（4）共2个． 故选：B． 2．（24-25高一上·河南南阳·期中）（多选）下列表述正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据元素与集合的关系，以及空集的定义和性质即可求解. 【详解】，故A错误，B正确 空集是不含任何元素的集合，且空集是任何集合的子集，故C错误，D正确， 故选：BD 3．（24-25高一上·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】利用空集的意义，结合方程根的情况列式求解即得. 【详解】当时，不成立，即，则； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 4．（24-25高一上·上海·阶段检测）已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程判别式列出不等式组并求解即得. 【详解】（1）由，得，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）由A和B有且只有一个是，得且或且， 则有或，解得或， 所以实数a的取值范围是或. 【提高题型一 子集(真子集)相关求解】 【例1】（25-26高三上·广西贵港·开学考试）设集合，则A的真子集的个数是（   ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】先计算集合，再根据子集计算公式计算求解. 【详解】，因为集合A中有3个元素，所以真子集个数为． 1．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）集合的子集的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据题意，解得，再由子集个数的计算即可求解． 【详解】，解得或， ，集合A有两个元素， 所以其有4个子集． 故选：D． 2．（25-26高一上·江苏南京·期中）（多选）下列各个选项中，满足的集合A有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先化简集合，利用子集、真子集的含义可得答案. 【详解】因为，即有， 所有满足条件的集合A为：，，. 故选：AC. 3．（25-26高三上·上海杨浦·期中）若，则集合B的子集的个数为___________； 【答案】 【分析】先求出集合，再根据子集个数公式计算求解. 【详解】因为， 所以， 则集合B的子集为，所以子集的个数为； 故答案为：. 4．（25-26高一上·浙江·阶段检测）（1）从集合中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，则这样的子集共有多少个？ （2）设集合，集合B是A的子集，且集合B任意两数之差都不等于6或7．问：集合B中最多有多少个元素？说明理由． 【答案】（1）32；（2）6个，理由见解析. 【分析】（1）先找出和为11的5组数，然后从这五组每组中各取一个数就符合题意，即可得出答案. （2）构造A的差为6或7的13个子集，假设从A中取7个元素，由抽屉原理知其中必有2个元素属于同一个子集，它们的差为6或7，不成立，再举例说明B中可以有6个元素即可. 【详解】（1）将和为11的数分组：共5组，只要从这五组每组中各取一个数就符合题意，每组有2种取法，故有个子集； （2）构造A的下列13个子集：，，A中每一个数恰好属于2个子集， 假设从A中取7个元素，由抽屉原理知其中必有2个元素属于同一个子集，它们的差为6或7． 因此，A中任意7个元素都不能同时属于集合B，即B中最多只有6个元素， 又中任意两数之差不等于6或7，此时符合要求， ∴集合B中最多有6个元素． 【提高题型二 两个集合的相关求解】 【例2】（2026高一·全国·专题练习）集合 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 【答案】A 【分析】由题意可得，，，即可得答案. 【详解】集合， ， 所以， ， ， 所以⫋. 故选：A 1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知集合，若，则实数的取值集合为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，可得，再分和两种情况讨论即可. 【详解】因为，所以， 当时，则，所以，得， 此时； 当时，则，所以，所以，所以，则， 此时， 综上所述，实数的取值集合为. 故选：B. 2．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）（多选）与集合相等的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】分析集合中的关系式得到题目中集合对应的区间，然后逐个分析各个选项，集合对应区间相同即可. 【详解】∵，∴， A选项中，∴，A选项错误； B选项为函数函数图像上所有的点的集合，B选项错误； C选项∵，∴，C选项正确； D选项∵，∴，D选项正确. 故选：CD. 3．（25-26高三·全国·一轮复习）已知a，，若，则______. 【答案】 【分析】利用集合相等可得，代值求解即可. 【详解】由已知得，则，所以， 于是，即或， 又由集合中元素的互异性知应舍去，故， 所以. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，，为实数且． (1)当，时，判断集合，间的关系； (2)若，求实数和的值． 【答案】(1)B A (2)或． 【分析】（1）解出集合，再判断结果即可； （2）分和两种情况分别在时求出对应的即可； 【详解】（1）当时，集合，故B A． （2）①当时，集合，由得，解得； ②当时，集合，此时，解得． 综上所述，或． 1．（25-26高二下·福建厦门·期末）已知集合A，B，，，，则满足条件的B的个数为（    ） A．16 B．32 C．36 D．64 【答案】B 【分析】应用元素和集合关系及集合的包含关系判断求解. 【详解】已知，，且，所以的个数为. 2．（25-26高一上·山西大同·阶段检测）已知集合A满足⫋则满足条件的集合A的个数是（   ） A．7 B．8 C．15 D．16 【答案】A 【分析】利用集合间的基本关系计算即可. 【详解】由题意可知若A中有三个元素，则，仅此1种情况； 若A中有四个元素，则在包含三数的前提下，还可包含1或2024或2026，有3种情况； 若A中有五个元素，则在包含三数的前提下，可包含或或，有3种情况； 综上所述满足条件的集合A的个数是7个. 故选：A 3．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算集合，根据元素与集合、集合与集合之间的关系判断各个选项. 【详解】因为，所以，可知 对于A，是集合不是集合的元素，故错误，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，因为，不满足，D错误； 故选：C. 4．（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将集合内式子进行通分，列举法判断表示的数即可比较． 【详解】， ∵，∴表示所有奇数，也表示所有奇数， ∴， 故选：D． 5．（25-26高一上·江苏徐州·期末）下面关于集合的表示正确的是（   ） A． B．. C． D．. 【答案】C 【分析】对于A，根据集合元素的无序性判断；对于B，根据特征元素判断；对于C，根据集合相等的定义判断；对于D，根据集合相等的定义判断. 【详解】对于A，根据集合元素的无序性，可知，故错误； 对于B，特征元素不相同，故不是相等集合，故错误； 对于C，都是数集，且范围相同，故相等，故正确； 对于D，不是空集，0是一个元素，故错误； 故选C. 6．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）（多选）下列选项不正确的是（   ） A．集合用列举法表示为 B．空集是任何集合的子集 C．任何集合至少有两个子集 D．满足方程组的点集为 【答案】ACD 【分析】利用列举法表示集合判断AD；利用空集、子集的意义判断BC. 【详解】对于A，集合用列举法表示为，A错误； 对于B，空集是任何集合的子集，B正确； 对于C，空集只有一个子集，C错误； 对于D，满足方程组的点集为，D错误. 故选：ACD 7．（24-25高一上·广西河池·期中）（多选）已知集合，则下列集合中哪些是A的子集（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】，解得，集合， 中元素均属于集合，是集合的子集，故A正确； 中有元素不属于集合，不是集合的子集，故B错误； 等于集合，是集合A的子集，故C正确； 中元素均属于集合，是集合的子集，故D正确． 8．（25-26高一上·广东江门·阶段检测）（多选）下列关系表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据集合与集合的包含、相等关系逐项判断即可. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C对； 对于D选项，是数集，为点集，这两个集合不相等，D错. 故选：BC. 9．（25-26高一上·四川宜宾·阶段检测）（多选）下列关系式中错误的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由集合的包含关系逐项判断即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，是无理数，故B错误； 对于C，因,故，故C正确； 对于D，因,故，故D错误. 故选：ABD 10．（25-26高一上·浙江杭州·期中）（多选）已知集合，，若，则符合条件的实数的值可能为（   ） A． B． C． D．0 【答案】ABD 【分析】讨论集合中的参数和，再利用子集关系求解. 【详解】由，可知. 当时，，此时，满足条件. 当时，，则有或， 解得或. 11．（25-26高一上·云南文山·阶段检测）已知集合，，则满足的集合的个数为_____. 【答案】7 【分析】由，得中含有，再结合的真子集即可求解. 【详解】， 由，得中含有， 又，所以集合的个数即为的真子集个数， 故答案为：7 12．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）集合的全部非空子集的元素和等于_________. 【答案】240 【分析】先确定集合中的元素个数，对于集合中的任意一个元素，其余个元素每个都有“选”和“不选”两种情况，即可得到任意一个元素所在所有子集中出现的次数，进而可求解. 【详解】集合中共有个元素， 对于集合中的任意一个元素，它在所有子集中出现的次数为次， 则集合的全部非空子集的元素和等于. 故答案为：. 13．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知集合，，则满足条件⫋的集合C的个数为______. 【答案】3 【分析】确定集合，再结合子集、真子集的概念即可求解. 【详解】由题得，. 因为， 所以根据子集的定义，集合C必须含有元素2，5， 所以或或. 故答案为：3 14．（2026高三下·湖北·竞赛）已知且，集合，．若，则______． 【答案】5 【分析】利用集合相等则元素和相等先求出的可能值，结合集合元素性质排除不符合的解，再匹配对应元素求出，最终计算. 【详解】若，则两个集合元素之和相等，中元素和为，因此的元素和也为， 即 解得或. 若，则，但时中元素均不为，矛盾，排除； 若，则，结合，得元素乘积相等，即， 化简得，结合得，此时，符合条件. 所以. 15．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知非空集合，且⫋，则___________ 【答案】8 【分析】根据集合A是非空集合且⫋，得到中只有1个元素，即一元二次方程只有一个根，然后由求解. 【详解】由题意得，中只有1个元素，则，解得， 当时，，此时，则， 当时，，此时，则， 则. 16．（24-25高一上·河北沧州·阶段检测）设集合． (1)当时，求A的非空真子集的个数； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2){或} 【分析】（1）先解不等式确定集合A，再由元素个数计算非空真子集即可； （2）根据集合间的基本关系，分类讨论B是否为空集计算即可. 【详解】（1）由知，且可得， 所以A的非空真子集的个数为； （2）因为，若，则，可得； 若，则，解之得； 综上所述：实数m的取值范围为{或}. 17．（25-26高一上·四川达州·阶段检测）已知集合. (1)求集合； (2)写出集合的所有子集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据的正负情况讨论求解即可； （2）根据子集的定义即可求解. 【详解】（1）当都为正数时，； 当都为负数时，； 当中有一个是正数，另外两个是负数时，； 当中有一个是负数，另外两个是正数时，. 综上所述，. （2）集合的所有子集为： . 18．（24-25高一上·上海·课堂例题）指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)是等腰三角形}，是等边三角形}. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据子集和真子集的定义，结合已知中给定集合，逐一分析，可得结论． 【详解】（1）中唯一元素， 又， 所以； （2）， 的元素都是的元素，而的元素不是的元素， 所以； （3）是等腰三角形}，是等边三角形}， 又∵为等边三角形也是等腰三角形，而等腰三角形不一定是等边三角形； 所以. 19．（25-26高一上·海南·期中）已知集合. (1)若，求； (2)若，求的取值集合. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两个集合相等得出一元二次方程有两个实数根代入联立方程组解出检验即可； （2）由，分与讨论分析即可. 【详解】（1）若，则和是方程的两个实数根， 所以， 解得，代入中得：， 解得：或，满足， 所以. （2）当时，，满足， 当且时，或， 当时，，                         当时，，                          故的取值构成的集合为. 20．（24-25高一上·河南驻马店·阶段检测）已知集合，. (1)若是的真子集，求的取值范围； (2)若是的子集，求的取值范围； (3)若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由真子集的定义，确定的取值范围； （2）由子集的定义，确定的取值范围； （3）由集合相等求出的值. 【详解】（1）   若是的真子集，则由图知，， 故的取值范围为. （2）   若是的子集，已知，则， 则由图知，， 故的取值范围为. （3）若，则. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 集合间的基本关系重难点题型专训 （2个知识点+8大基础题型+2大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、判断集合的子集(真子集)的个数 题型二、求集合的子集(真子集) 题型三、判断两个集合的包含关系 题型四、根据集合的包含关系求参数 题型五、判断两个集合是否相等 题型六、根据两个集合相等求参数 题型七、空集的概念以及判断 题型八、空集的性质及应用 第二部分·练提高题型 题型一、子集(真子集)相关求解 题型二、两个集合的相关求解 第三部分・自我检测 知识点01 子集与真子集 1．子集的概念 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作 (或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 （1）任何一个集合是它本身的子集，即； （2）对于集合A，B，C，若，且，则 2．真子集的概念 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作 图示 结论 （1）且，则； （2），且，则 【注】（1）“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B． （2）不能把“”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B． （3）特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A． (4)对于集合A，B，C，若，，则；任何集合都不是它本身的真子集． (5)若，且，则． (6)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个． 【即时训练】 1．（25-26高一上·江西九江·课后作业）已知集合，，则的真子集的个数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）已知集合，则集合的所有子集为_______. 知识点02 集合相等与空集 1．集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B．也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B． 2．空集的概念 （1）定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅． （2）规定：空集是任何集合的子集． 【注】注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集． 【即时训练】 1．（25-26高一上·湖北·阶段检测）下列表述中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·新疆喀什·期中）已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是______. 【基础题型一 判断集合的子集(真子集)的个数】 【例1】（2026·湖南长沙·三模）集合的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 1．（25-26高三下·湖北咸宁·阶段检测）已知集合，则的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 2．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）（多选）已知集合，若集合至多有2个子集，则的取值可能是（   ） A． B．0 C．1 D．2 3．（25-26高一上·江苏盐城·期中）设集合A满足，且是集合的真子集，则满足条件的A有__________个. 4．（24-25高一上·上海·开学考试）已知R的子集U为一个数集，集合. (1)设，求：集合A的非空真子集个数； (2)设，证明：若，则. 【基础题型二 求集合的子集(真子集)】 【例2】（25-26高二下·浙江宁波·期末）已知集合，则的所有子集中的元素之和为（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）若集合U的三个子集A，B，C满足⫋⫋，则称为集合U的一组“亲密子集”，已知集合，则U的所有“亲密子集”的组数为（   ） A．12 B．15 C．18 D．24 2．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）已知，，集合，，则集合可以是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·浙江·期末）已知，，若，则所有集合B中全部元素之和为______. 4．（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）已知集合． (1)若中有两个元素，求实数的取值集合； (2)若中只有一个元素，写出实数的取值集合B的所有子集． 【基础题型三 判断两个集合的包含关系】 【例3】（2026·天津红桥·一模）集合，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 1．（2025·广西·模拟预测）已知集合，则（   ）． A． B． C． D． 2．（25-26高一上·湖南长沙·期中）（多选）下列集合中，是集合的子集的有（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·课后作业）设集合，，则、之间的关系为_________． 4．（24-25高一上·陕西商洛·期中）已知集合. (1)判断5，12，14是否属于，并说明理由； (2)集合，证明：； (3)写出集合中的所有偶数. 【基础题型四 根据集合的包含关系求参数】 【例4】（2026·安徽安庆·三模）设集合，若，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 1．（2026高三·全国·专题练习）已知集合，，若，则实数m的取值集合是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·山东济宁·期中）（多选）已知集合，，若，则实数的所有可能取值为（） A．2 B． C． D．0 3．（2026高一·全国·专题练习）已知集合或 ，若，则实数的取值范围是________． 4．（2026高一·全国·专题练习）设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【基础题型五 判断两个集合是否相等】 【例5】（25-26高一上·福建福州·期中）下列四组中，表示相等集合的是（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高一下·安徽合肥·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）（多选）已知集合，则下列集合与相等的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·北京顺义·阶段检测）下列四个命题中 ①若A＝{x|x＝2n，n∈Z}，B＝{x|x＝2（n﹣1），n∈Z}，则A＝B； ②若M＝{x|x＝2n﹣1，n∈N}，N＝{x|x＝2n+1，n∈N}，则M＝N； ③若C＝{x|x2﹣x＝0}，D＝{x|x，n∈Z}，则C＝D； ④若P＝{x|x＝2k，k∈Z}，Q＝{x|x＝4k，k∈Z}，则P⊆Q． 其中真命题的是_____． 4．（25-26高一·全国·课后作业）已知集合 ，． （1）若 ，求 的取值范围； （2）若 ，求 的取值范围； （3）集合 与 能够相等？若能，求出 的值，若不能，请说明理由． 【基础题型六 根据两个集合相等求参数】 【例6】（25-26高二下·河南·期末）已知集合，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知二次函数.若集合与集合相等，其中集合中相同元素只记一次，则（   ） A．-1 B．-2 C．-3 D．-4 2．（25-26高一上·河北保定·阶段检测）（多选）已知集合，则的值可能为（   ） A．2 B．0 C． D．4 3．（2026高一·全国·专题练习）已知集合A=，B=｛0,,1｝（a,b∈R），若A=B，则________. 4．（25-26高三上·江西·阶段检测）已知集合，. (1)若，且，求的值； (2)当时，若，求，的值. 【基础题型七 空集的概念以及判断】 【例7】（25-26高一上·河南·开学考试）下列各选项正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·甘肃甘南·阶段检测）（多选）给出下列四个集合，其中为空集的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海浦东新·期中）关于x的不等式解集为空集，则实数m的值为________. 4．（25-26高一上·辽宁朝阳·阶段检测）已知集合，或． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【基础题型八 空集的性质及应用】 【例8】（24-25高一上·山西大同·阶段检测）若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 1．（24-25高一上·新疆·期中）下列四个关系式中正确的个数是（    ） （1）；（2）；（3）；（4）． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高一上·河南南阳·期中）（多选）下列表述正确的有（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是_____. 4．（24-25高一上·上海·阶段检测）已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 【提高题型一 子集(真子集)相关求解】 【例1】（25-26高三上·广西贵港·开学考试）设集合，则A的真子集的个数是（   ） A．4 B．6 C．7 D．8 1．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）集合的子集的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高一上·江苏南京·期中）（多选）下列各个选项中，满足的集合A有（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·上海杨浦·期中）若，则集合B的子集的个数为___________； 4．（25-26高一上·浙江·阶段检测）（1）从集合中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，则这样的子集共有多少个？ （2）设集合，集合B是A的子集，且集合B任意两数之差都不等于6或7．问：集合B中最多有多少个元素？说明理由． 【提高题型二 两个集合的相关求解】 【例2】（2026高一·全国·专题练习）集合 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知集合，若，则实数的取值集合为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）（多选）与集合相等的集合是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三·全国·一轮复习）已知a，，若，则______. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，，为实数且． (1)当，时，判断集合，间的关系； (2)若，求实数和的值． 1．（25-26高二下·福建厦门·期末）已知集合A，B，，，，则满足条件的B的个数为（    ） A．16 B．32 C．36 D．64 2．（25-26高一上·山西大同·阶段检测）已知集合A满足⫋则满足条件的集合A的个数是（   ） A．7 B．8 C．15 D．16 3．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·江苏徐州·期末）下面关于集合的表示正确的是（   ） A． B．. C． D．. 6．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）（多选）下列选项不正确的是（   ） A．集合用列举法表示为 B．空集是任何集合的子集 C．任何集合至少有两个子集 D．满足方程组的点集为 7．（24-25高一上·广西河池·期中）（多选）已知集合，则下列集合中哪些是A的子集（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·广东江门·阶段检测）（多选）下列关系表示正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·四川宜宾·阶段检测）（多选）下列关系式中错误的有（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·浙江杭州·期中）（多选）已知集合，，若，则符合条件的实数的值可能为（   ） A． B． C． D．0 11．（25-26高一上·云南文山·阶段检测）已知集合，，则满足的集合的个数为_____. 12．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）集合的全部非空子集的元素和等于_________. 13．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知集合，，则满足条件⫋的集合C的个数为______. 14．（2026高三下·湖北·竞赛）已知且，集合，．若，则______． 15．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知非空集合，且⫋，则___________ 16．（24-25高一上·河北沧州·阶段检测）设集合． (1)当时，求A的非空真子集的个数； (2)若，求实数m的取值范围． 17．（25-26高一上·四川达州·阶段检测）已知集合. (1)求集合； (2)写出集合的所有子集. 18．（24-25高一上·上海·课堂例题）指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)是等腰三角形}，是等边三角形}. 19．（25-26高一上·海南·期中）已知集合. (1)若，求； (2)若，求的取值集合. 20．（24-25高一上·河南驻马店·阶段检测）已知集合，. (1)若是的真子集，求的取值范围； (2)若是的子集，求的取值范围； (3)若，求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $