第09课时 二次函数与幂函数 限时练-2027届高三数学一轮复习

课时作业（学生使用） 一、单项选择题（每小题5分，共35分） 1．若幂函数 的图象经过第三象限，则 的值可以是（ ）. A. B. 2 C. D. 2．已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（ ）. A. B. C. D. 3．已知，点，，都在二次函数的图象上，则（ ）. A. B. C. D. 4．已知幂函数是上的偶函数，且函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 5．函数是幂函数，对任意，，且，满足.若，，且，，则的值（ ）. A. 恒大于0 B. 恒小于0 C. 等于0 D. 无法判断 6．已知函数,当时,,则实数的取值范围为（ ）. A. B. , C. , D. , 7．（原创）在同一平面直角坐标系中,二次函数与幂函数的图象可能为（ ）. A. B. C. D. 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 8．幂函数在上单调递增,则（ ）. A. B. 函数在上单调递增 C. 函数是偶函数 D. 函数的图象关于原点对称 9．已知幂函数 的图象经过点，则（ ）. A. 是偶函数 B. 是增函数 C. 当时， D. 当时， 10．已知函数，若，则（ ）. A. B. C. D. 三、填空题（每小题5分，共15分） 11．若函数 ，则不等式的解集是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 12．如图，这是三个幂函数，，在其定义域上的部分图象，则实数，，从小到大的排列顺序为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 13．（“最优解”二次函数 不等式）定义：设不等式的解集为，若中只有唯一整数，则称是“最优解”.若关于的不等式有“最优解”，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 四、解答题（共32分） 14．设二次函数满足：①当时，总有；②函数的图象与轴的两个交点为，，且；． （1）求的解析式；（6分） （2）若存在，只要，就有成立，求满足条件的实数的最大值.（9分） 15．（原创）已知幂函数在,上的最大值为4,函数,. （1）若存在,使成立,求实数的取值范围；（7分） （2）设函数,记为函数在上的最大值,求的最小值.（10分） 第页/共页 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时作业（教师使用） 一、单项选择题（每小题5分，共35分） 1．若幂函数 的图象经过第三象限，则 的值可以是（ ）. A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】当 时，为偶函数，图象在第一和第二象限，不经过第三象限，不符合题意； 当 时，为偶函数，图象过原点，分布在第一和第二象限，不经过第三象限，不符合题意； 当 时，，，图象过原点，分布在第一象限，不经过第三象限，不符合题意； 当 时，，，为奇函数，图象经过原点和第一、三象限，符合题意. 故选. 2．已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为 为幂函数， 所以，即，解得 或, 所以 或. 又因为 的图象与坐标轴没有公共点， 所以，则. 故选. 3．已知，点，，都在二次函数的图象上，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】二次函数，其图象的对称轴方程为，而， 所以，即，当 时，单调递增，因为，所以， 所以，即. 综上，.故选． 4．已知幂函数是上的偶函数，且函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为幂函数 是 上的偶函数， 所以，解得 或， 当 时，，该函数是定义域为 的奇函数，不符合题意； 当 时，，该函数是定义域为 的偶函数，符合题意． 所以，则，其图象的对称轴方程为， 因为 在区间 上单调递减，所以，解得.故选． 5．函数是幂函数，对任意，，且，满足.若，，且，，则的值（ ）. A. 恒大于0 B. 恒小于0 C. 等于0 D. 无法判断 【答案】B 【解析】因为对任意，，且，满足，所以函数 在 上单调递减． 由 是幂函数，可得，解得 或. 当 时，在 上单调递增，故不成立． 当 时，在 上单调递减，满足条件，故，，故 为奇函数． 因为，，所以， 故，所以， 所以.故选． 6．已知函数,当时,,则实数的取值范围为（ ）. A. B. , C. , D. , 【答案】C 【解析】由 可得, 即二次函数 的图象开口向上,对称轴为直线,其函数图象如图所示. 易知当 时,;当 或 时,. 结合图象可知,所以实数 的取值范围是,.故选. 7．（原创）在同一平面直角坐标系中,二次函数与幂函数的图象可能为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】依题意得,解得 或. 对于,二次函数 的图象开口向上,则,即,其对称轴,则,即幂函数 为增函数,不合题意; 对于,二次函数 的图象开口向下,则,即,其对称轴,则,即幂函数 为减函数,不合题意; 对于,二次函数 的图象开口向上,则,即,其对称轴,则,即幂函数 为减函数,不合题意; 对于,二次函数 的图象开口向下,则,即,其对称轴,则,即幂函数 为增函数,符合题意.故选. 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 8．幂函数在上单调递增,则（ ）. A. B. 函数在上单调递增 C. 函数是偶函数 D. 函数的图象关于原点对称 【答案】ABD 【解析】因为幂函数 在 上单调递增, 所以 解得,所以, 所以,故 为奇函数,则函数图象关于原点对称,所以 在 上单调递增.故选. 9．已知幂函数 的图象经过点，则（ ）. A. 是偶函数 B. 是增函数 C. 当时， D. 当时， 【答案】BCD 【解析】因为幂函数 的图象经过点， 所以，则，所以. 的定义域为，不关于原点对称，所以该函数不是偶函数，故 错误； 因为，所以 是增函数，故 正确； 当 时，，故 正确； 当 时， 因为， ， 所以 ， 所以，故 正确．故选． 10．已知函数，若，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】函数 的图象关于直线 对称，在 上单调递减，在 上单调递增.由，可知，存在，，使得，其中，则，所以，故 正确；，则 可能小于0，也可能属于，故 的符号不确定，故 错误；根据对称性可得，故 正确；因为，且，所以，又 在 上单调递增，所以，故 正确.故选． 三、填空题（每小题5分，共15分） 11．若函数 ，则不等式的解集是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】， 【解析】因为 在定义域 内为增函数，且， 所以 解得，所以不等式的解集是，． 12．如图，这是三个幂函数，，在其定义域上的部分图象，则实数，，从小到大的排列顺序为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】对于，由其图象可知；对于，由其图象可知；对于，由其图象可知.故. 13．（“最优解”二次函数 不等式）定义：设不等式的解集为，若中只有唯一整数，则称是“最优解”.若关于的不等式有“最优解”，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】， 【解析】 可转化为， 在同一平面直角坐标系中分别作出函数，的图象，如图所示.当 时，要存在唯一的整数，满足，则 即 解得, 所以实数 的取值范围是，． 四、解答题（共32分） 14．设二次函数满足：①当时，总有；②函数的图象与轴的两个交点为，，且；． （1）求的解析式；（6分） （2）若存在，只要，就有成立，求满足条件的实数的最大值.（9分） 【解析】（1）由题意知，函数 的图象关于直线 对称，且方程 的两根为 和1.设，又，所以，解得.故． （2）只要，就有，即.取，则，解得.取，则，即. 由 得，，故当 时，. 当 时，存在，只要，就有 成立，满足题意.故满足条件的实数 的最大值为9． 15．（原创）已知幂函数在,上的最大值为4,函数,. （1）若存在,使成立,求实数的取值范围；（7分） （2）设函数,记为函数在上的最大值,求的最小值.（10分） 【解析】（1）由题意可知,所以幂函数 在,上单调递增,所以,故,即,所以. 由题意可知存在,使得,可转化为不等式 在 上有解. 令,则当 时,. 图象的对称轴方程为,且抛物线开口向上. 当,即 时,,无解; 当,即 时,,解得. 综上可得,实数 的取值范围为 ,. （2）由题意可得,此时 的图象的对称轴为直线. 当 时,对任意 恒成立,所以, 此时,所以 在 上单调递增,则; 当 时,对任意 恒成立,所以, 此时,所以 在 上单调递增,则. 故当 或 时,在 上单调递增, 则. 当 时,, 所以,,, 令 解得, 故当 时, 综上, 当 时,单调递减,,没有最小值. 当 或 时,在 上单调递减,在 上单调递增, 又,, 所以 的最小值为. 第页/共页 学科网（北京）股份有限公司 $