第07课时 函数的单调性与最值 限时练-2027届高三数学一轮复习

课时作业（学生使用） 一、单项选择题（每小题5分，共35分） 1．下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）. A. B. C. D. 2．函数在区间上（ ）. A. 单调递减 B. 单调递增 C. 先单调递减后单调递增 D. 先单调递增后单调递减 3．若函数在上是增函数，则与的大小关系是（ ）. A. B. C. D. 4．已知函数满足对任意，都有，则实数的取值范围为（ ）. A. B. C. D. 5．函数的值域为（ ）. A. B. C. D. 6．（2024·新高考Ⅱ卷）设函数，若，则的最小值为（ ）. A. B. C. D. 1 7．（"可变函数"函数单调性）如果函数在区间上是减函数，且函数在区间上是增函数，那么称函数是区间上的"可变函数"，区间叫作"可变区间".若函数是区间上的"可变函数"，则"可变区间"为（ ）. A. 和 B. C. D. 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 8．下列说法正确的是（ ）. A. 若对任意，，当时，，则在上单调递增 B. 函数在上是增函数 C. 函数在定义域上是增函数 D. 函数的单调递减区间是和 9．已知函数，则（ ）. A. 当时，在定义域上单调递增 B. 当时，的单调递增区间为， C. 当时，的值域为 D. 当时，的值域为 10．已知函数的定义域为，对任意，，，且当时，，则（ ）. A. 对任意， B. 当时， C. 是减函数 D. 如果，那么不等式的解集为 三、填空题（每小题5分，共15分） 11．已知函数则的单调递增区间为_ _ _ _ _ _ _ _ ． 12．已知函数对任意且，都有，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 13．（“兄弟函数”函数单调性）定义：若函数与在同一个区间内取同一个自变量时，同时取得相同的最小值，则称这两个函数为"兄弟函数".已知函数与是定义在区间上的"兄弟函数"，那么在区间上的最大值是_ _ _ _ _ _ . 四、解答题（共32分） 14．已知函数. （1）试判断函数在上的单调性；（6分） （2）求函数在区间上的最大值和最小值.（9分） 15．已知定义在上的函数满足：当时，，且对任意，，都有. （1）求的值，并证明是上的增函数；（7分） （2）若，解关于的不等式.（10分） 第页/共页 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时作业（教师使用） 一、单项选择题（每小题5分，共35分） 1．下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 在区间 上单调递减，故 不符合题意； 在 上单调递增，所以在区间 上单调递增，故 符合题意； 在 上单调递减，所以在区间 上单调递减，故 不符合题意； 在区间 上单调递减，故 不符合题意.故选B. 2．函数在区间上（ ）. A. 单调递减 B. 单调递增 C. 先单调递减后单调递增 D. 先单调递增后单调递减 【答案】C 【解析】 作出 的图象，如图所示， 所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.故选C. 3．若函数在上是增函数，则与的大小关系是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为 在 上是增函数，所以，故.故选． 4．已知函数满足对任意，都有，则实数的取值范围为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】函数 的定义域为，由对任意，都有，得函数 在 上为增函数，于是 解得，所以实数 的取值范围为.故选． 5．函数的值域为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】令，则. 令，则，设，则该函数在 上单调递减，在 上单调递增. 当 时，；当 时，；当 时，. 所以函数 的值域为， 故函数 的值域为.故选C. 6．（2024·新高考Ⅱ卷）设函数，若，则的最小值为（ ）. A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】由题意可知，的定义域为，令，解得， 令，解得. 当 时，，故，所以； 当 时，，故，所以. 故，则， 当且仅当 时，等号成立，所以 的最小值为.故选C. 7．（"可变函数"函数单调性）如果函数在区间上是减函数，且函数在区间上是增函数，那么称函数是区间上的"可变函数"，区间叫作"可变区间".若函数是区间上的"可变函数"，则"可变区间"为（ ）. A. 和 B. C. D. 【答案】A 【解析】因为函数 图象的对称轴为直线，所以函数 在区间 上是减函数.又当 且 时，，令 且，则 在 和 上单调递增，故 的"可变区间"为 和.故选． 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 8．下列说法正确的是（ ）. A. 若对任意，，当时，，则在上单调递增 B. 函数在上是增函数 C. 函数在定义域上是增函数 D. 函数的单调递减区间是和 【答案】AD 【解析】对于A，若对任意，，当 时，， 则，由函数单调性的定义可知 在 上单调递增，故A正确； 对于B，由二次函数的性质可知，在 上单调递减，在 上单调递增，故B错误； 对于C，由反比例函数的单调性可知，在 和 上单调递增，故C错误； 对于D，由反比例函数的单调性可知，的单调递减区间是 和，故D正确．故选． 9．已知函数，则（ ）. A. 当时，在定义域上单调递增 B. 当时，的单调递增区间为， C. 当时，的值域为 D. 当时，的值域为 【答案】BCD 【解析】当 时，，定义域为，则 在，上单调递增，当 时， ，当 时， ，故 的值域为，故A错误，D正确；当 时，为对勾函数，其单调递增区间为，，故B正确；当 时，（当且仅当 时取等号），当 时，（当且仅当 时取等号），故当 时，的值域为，故C正确.故选． 10．已知函数的定义域为，对任意，，，且当时，，则（ ）. A. 对任意， B. 当时， C. 是减函数 D. 如果，那么不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】令，，则，易知，所以.当 时，，所以，又，所以，即，A错误，B正确； 设，，且，则，因为，所以，所以，又当 时，，当 时，，，所以，则，即，所以 是减函数，C正确； 因为，所以，所以，即， 又 是减函数，所以，解得，所以不等式 的解集为，D正确．故选． 三、填空题（每小题5分，共15分） 11．已知函数则的单调递增区间为_ _ _ _ _ _ _ _ ． 【答案】 【解析】当 时，单调递减； 当 时，在 上单调递增，在 上单调递减． 12．已知函数对任意且，都有，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为对任意，，且 都有， 所以函数 在 上单调递增， 所以 解得. 13．（“兄弟函数”函数单调性）定义：若函数与在同一个区间内取同一个自变量时，同时取得相同的最小值，则称这两个函数为"兄弟函数".已知函数与是定义在区间上的"兄弟函数"，那么在区间上的最大值是_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】，当且仅当，即 时，等号成立， 当 时，取得最小值，. 函数 与 为"兄弟函数"， 函数 在区间 上的最小值为， 点 为抛物线 的顶点， 解得 . 故函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增. ，，， 在区间 上的最大值是2. 四、解答题（共32分） 14．已知函数. （1）试判断函数在上的单调性；（6分） （2）求函数在区间上的最大值和最小值.（9分） 【解析】（1）函数 在 上是增函数.证明如下： ， 任取，，且， 则， ， ，， ，即， 在 上是增函数. （2）在 上是增函数， 在 上单调递增， 则 在 上的最大值是，最小值是. 15．已知定义在上的函数满足：当时，，且对任意，，都有. （1）求的值，并证明是上的增函数；（7分） （2）若，解关于的不等式.（10分） 【解析】（1）令，则，解得. 任取，，，则. ，，可得，则，即， ，， 是 上的增函数. （2）由，得，则. ，即， 则. 由（1）知 是 上的增函数， ，解得 或， 原不等式的解集为. 第页/共页 学科网（北京）股份有限公司 $