第06课时 函数的概念及其表示 限时练-2027届高三数学一轮复习

课时作业（学生使用） 一、单项选择题（每小题5分，共35分） 1．函数的定义域是（ ）. A. B. C. D. 2．下面四组函数中，表示同一个函数的是（ ）. A. ， B. ， C. ， D. ， 3．已知函数，则（ ）. A. B. C. 2 D. 4 4．已知函数则（ ）. A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 5．（历史文化 函数图象）图中的文物叫作“垂鳞纹圆壶”，科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用了30秒注满，设注水过程中，壶中的水面高度为，注水时间为，则下列选项中，最符合关于的函数图象的是（ ）. A. B. C. D. 6．已知函数的定义域是，则的定义域是（ ）. A. B. C. D. 7．已知实数满足，则的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 8．设,,则（ ）. A. B. C. D. 9．已知函数，则（ ）. A. B. 的最小值为 C. 的定义域为 D. 的值域为 10．（新定义 分段函数）定义运算设函数，则（ ）. A. 的值域为 B. 的值域为 C. 不等式的解集是 D. 不等式的解集是 三、填空题（每小题5分，共15分） 11．已知函数满足,二次函数满足且,则_ _ _ _ _ _ _ _ （2分）,_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （3分）. 12．（“曼哈顿距离”分段函数）“曼哈顿距离”由19世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创，用以表示两个点在标准坐标系上的“绝对轴距”总和.例如，在平面直角坐标中，任意两点，的“曼哈顿距离”.已知点，点在直线上，则的最小值是_ _ _ _ _ _ ． 13．已知函数.若函数的定义域为，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （2分）；若函数的值域是，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （3分）. 四、解答题（共32分） 14．已知函数 （1）求,,的值;（4分） （2）画出这个函数的图象;（5分） （3）求的最大值.（6分） 15．（“黎曼函数”函数新定义）“黎曼函数”是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，该函数在数学中有着广泛的应用.“黎曼函数”的定义在上，且 （1）请用描述法写出满足方程的解集.（4分） （2）解不等式．（6分） （3）探究是否存在非零实数，，使得为偶函数？若存在，求出，应满足的条件；若不存在，请说明理由．（7分） 第页/共页 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时作业（教师使用） 一、单项选择题（每小题5分，共35分） 1．函数的定义域是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由 解得 故函数 的定义域为.故选. 2．下面四组函数中，表示同一个函数的是（ ）. A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】对于，因为 的定义域为，的定义域为，两函数的定义域不相同，所以不是同一个函数，故 错误； 对于，因为 和 的对应关系不一致，所以不是同一个函数，故 错误； 对于，因为 和 的定义域都为，且，，对应关系也一致，所以是同一个函数，故 正确； 对于，因为 的定义域为，的定义域为，两函数的定义域不相同，所以不是同一个函数，故 错误.故选． 3．已知函数，则（ ）. A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】令，得， 则.故选． 4．已知函数则（ ）. A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】依题意知，. 故选． 5．（历史文化 函数图象）图中的文物叫作“垂鳞纹圆壶”，科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用了30秒注满，设注水过程中，壶中的水面高度为，注水时间为，则下列选项中，最符合关于的函数图象的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】壶的结构为底端与上端细、中间粗，所以在注水速度恒定的情况下，水面高度增加的速度开始由快变慢，中间最慢，最后由慢变快，由图可知选项 符合.故选． 6．已知函数的定义域是，则的定义域是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为函数 的定义域是，所以，所以，故函数 的定义域为. 要使 有意义， 则需要 解得，所以 的定义域是.故选． 7．已知实数满足，则的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意可知，． 当 时，，， 所以由 可得，即，解得. 当 时，，，所以由 可得，即，解得. 所以 的取值范围是.故选. 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 8．设,,则（ ）. A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】因为,所以 正确; 因为,,所以 正确; 因为,,所以 不正确; 因为,,所以 正确.故选. 9．已知函数，则（ ）. A. B. 的最小值为 C. 的定义域为 D. 的值域为 【答案】CD 【解析】依题意知，，则，，错误； 当 时，，当且仅当 时取等号，错误； 在 中，，解得，因此 的定义域为，正确； 显然，，于是，因此 的值域为，正确．故选． 10．（新定义 分段函数）定义运算设函数，则（ ）. A. 的值域为 B. 的值域为 C. 不等式的解集是 D. 不等式的解集是 【答案】AC 【解析】对于，，由函数，得 即 作出函数 的图象，如图所示． 根据函数图象可得 的值域为，故 正确，错误. 对于，，若，则由函数图象知，，或 解得,所以不等式 的解集是，故 正确，错误．故选． 三、填空题（每小题5分，共15分） 11．已知函数满足,二次函数满足且,则_ _ _ _ _ _ _ _ （2分）,_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （3分）. 【答案】； 【解析】已知, ① 用 代替上式中的,得, ② 由,可得. 设,所以,即,所以 解得 由,得,所以. 12．（“曼哈顿距离”分段函数）“曼哈顿距离”由19世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创，用以表示两个点在标准坐标系上的“绝对轴距”总和.例如，在平面直角坐标中，任意两点，的“曼哈顿距离”.已知点，点在直线上，则的最小值是_ _ _ _ _ _ ． 【答案】 【解析】根据题意可设，因为， 所以 当 时，，当且仅当 时，等号成立；当 时，；当 时，，当且仅当 时，等号成立． 综上，，故 的最小值是3． 13．已知函数.若函数的定义域为，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （2分）；若函数的值域是，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （3分）. 【答案】，； ， 【解析】若函数 的定义域为， 则方程 中的 且， 解得，所以实数 的取值范围是，. 令，若函数 的值域是,则 取遍所有非负数. 当 时，，值域是，满足条件. 当 时，的图象开口向下，故 的值域不是，不满足条件. 当 时，的图象开口向上， 只需方程 中的，即，解得， 又，所以. 故实数 的取值范围是，. 四、解答题（共32分） 14．已知函数 （1）求,,的值;（4分） （2）画出这个函数的图象;（5分） （3）求的最大值.（6分） 【解析】（1）因为,所以. 因为,所以. 因为,所以. （2）在函数 的图象上截取 的部分,在函数 的图象上截取 的部分,在函数 的图象上截取 的部分. 图中实线组成的图形就是函数 的图象. （3）由函数图象可知,当 时,取得最大值，最大值为6. 15．（“黎曼函数”函数新定义）“黎曼函数”是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，该函数在数学中有着广泛的应用.“黎曼函数”的定义在上，且 （1）请用描述法写出满足方程的解集.（4分） （2）解不等式．（6分） （3）探究是否存在非零实数，，使得为偶函数？若存在，求出，应满足的条件；若不存在，请说明理由．（7分） 【解析】（1）依题意可知． 当 时，，则方程 无解； 当 为 内的无理数时，，则方程 无解； 当，，为既约真分数 时，则，为大于1的正整数， 则由方程，解得，为大于1的正整数． 综上，方程 的解集为，为大于1的正整数． （2）若 或 或 为 内的无理数，则，且，此时，不符合题意； 若，，为既约真分数，则，为大于1的正整数， 由，得，解得， 又因为，，为既约真分数，所以 或． 综上，不等式 的解为． （3）存在非零实数，，使得 为偶函数，即 为偶函数.证明如下： 当 或 时，成立，满足； 当 为 内的无理数时，也为 内的无理数，所以，满足； 当，，为既约真分数 时，为既约真分数， 所以，满足． 综上，对任意，都有，所以函数 的图象关于直线 对称，即，则 为偶函数， 所以存在非零实数，，使得 为偶函数. 第页/共页 学科网（北京）股份有限公司 $