第06课时 函数的概念及其表示专项训练-2027届高三数学一轮复习

第三单元 函数 第06课时 函数的概念及其表示 一、单项选择题(每小题5分,共35分) 1.函数 的定义域是(　　 ). [A] [B] [C] [D] 2.下面四组函数中,表示同一个函数的是(　　 ). [A] [B] [C] [D] 3.已知函数 , 则 (　　 ). [A] [B] [C] [D] 4.已知函数 则 (　　 ). [A] [B] [C] [D] 5.(历史文化+函数图象)图中的文物叫作“垂鳞纹圆壶”,科研人员为了测量其容积,以恒定的流速向其内注水,恰好用了30秒注满,设注水过程中,壶中的水面高度为,注水时间为,则下列选项中,最符合关于的函数图象的是(　　 ). 6.已知函数 的定义域是,则 的定义域是(　　 ). [A] [B] [C] [D] 7.已知 实数满足 ,则的取值范围是(　　 ). [A] [B] [C] [D] 二、多项选择题(每小题6分,共18分) 8.设 ,,则(　　 ). [A] [B] [C] [D] 9.已知函数 ,则(　　 ). [A] [B] 的最小值为 [C] 的定义域为 [D] 的值域为 10.(新定义分段函数)定义运算 设函数 ,则(　　 ). [A] 的值域为 [B] 的值域为 [C] 不等式 的解集是 [D] 不等式 的解集是 三、填空题(每小题5分,共15分) 11.已知函数 满足 ,二次函数 满足 且 ,则 ________(2分),________(3分). 12.(“曼哈顿距离”分段函数)“曼哈顿距离”由19世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创,用以表示两个点在标准坐标系上的“绝对轴距离”总和.例如,在平面直角坐标系中,任意两点 的“曼哈顿距离”.已知点 ,点 在直线 上,则 的最小值是________. 13.已知函数 . 若函数 的定义域为,则实数的取值范围是________(2分);若函数 的值域是,则实数的取值范围是________(3分). 四、解答题(共32分) 14.已知函数 (1)求 ,,的值;(4分) (2)画出这个函数的图象;(5分) (3)求 的最大值.(6分) 15.(“黎曼函数”函数新定义)“黎曼函数”是一个特殊的函数,由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现并提出,该函数在数学中有着广泛的应用.“黎曼函数”的定义在上,且 (1)请描述法写出满足方程 的解集.(4分) (2)解不等式 .(6分) (3)探究是否存在非零实数,使得 为偶函数?若存在,求出应满足的条件;若不存在,请说明理由.(7分) 参考答案 1.D 2. C 3. B 4. A 5. A 6. D 7. D 8.ABD 解析 因为，所以A正确； 因为，，所以B正确； 因为，，所以C不正确； 因为，，所以D正确. 故选 ABD. 9.CD 解析 依题意知，，则 ，A错误； 当 时，，当且仅当 时取等号，B错误； 在 中，，解得 ，因此 的定义域为，C正确； 显然 ，，于是 ，因此 的值域为，D正确. 故选 CD. 10.AC 解析 对于A，B，由函数 ，得 即 作出函数 的图象，如图所示. 根据函数图象可得 的值域为，故A正确，B错误. 对于C，D，若 ，则由函数图象知，，或 解得 ，所以不等式 的解集是，故C正确，D错误. 故选 AC. 11.； 解析 已知 ， ① 用 代替上式中的 ，得 ， ② 由①②，可得 . 设 ，所以 即 ，所以 解得 由 ，得 ，所以 . 12. 解析 根据题意可设 ，因为 ， 所以 当 时，，当且仅当 时，等号成立； 当 时，； 当 时，，当且仅当 时，等号成立. 综上，，故 的最小值是 . ； 解析 若函数 的定义域为 ， 则方程 中的 且 ， 解得 ，所以实数 的取值范围是 . 令 ，若函数 的值域是 ，则 取遍所有非负数. 当 时，，值域是，满足条件. 当 时， 的图象开口向下，故 的值域不是 ，不满足条件. 当 时， 的图象开口向上， 只需方程 中的 ，即 解得 ， 又 ，所以 . 故实数 的取值范围是 . 14.解析 (1) 因为 ，所以 . 因为 ，所以 . 因为 ，所以 . 在函数 的图象上截取 的部分，在函数 的图象上截取 的部分，在函数 的图象上截取 的部分.图中实线组成的图形就是函数 的图象. (3) 由函数图象可知，当 时， 取得最大值，最大值为 . 15.解析 (1) 依题意可知 . 当 时，，则方程 无解； 当 为内的无理数时，，则方程 无解； 当 为既约真分数时，则 ， 为大于 的正整数， 则由方程 ，解得 ， 为大于 的正整数. 综上，方程 的解集为 (2) 若 或 或 为内的无理数，则 ，且 ，此时 ，不符合题意； 若 为既约真分数，则 ， 为大于 的正整数， 由 ，得 ，解得 ， 又因为 为既约真分数，所以 或 . 综上，不等式 的解为 . (3) 存在非零实数 ，使得 为偶函数，即 为偶函数.证明如下： 当 或 时， 成立，满足 ； 当 为内的无理数时， 也为内的无理数，所以 ，满足 ； 当 为既约真分数时， 为既约真分数， 所以 ，满足 . 综上，对任意 ，都有 ，所以函数 的图象关于直线 对称，即 ，则 为偶函数， 所以存在非零实数 ，使得 为偶函数. 学科网（北京）股份有限公司 $