函数的概念及其表示方法专项训练-2027届高三数学一轮复习

函数的概念及其表示方法 一、知识点梳理 （一）函数的概念 设 、 都是非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合 中的任意一个数 ，在集合 中都有唯一确定的数 与它对应，就称 为从 到 的一个函数，记作 ，。其中 叫自变量， 叫定义域；函数值的集合 叫值域，它是 的子集。定义域、对应关系、值域称为函数的三要素，其中定义域与对应关系一定，值域随之确定。教材用集合与对应的语言定义函数，把初中的「变量依赖」提升为「两个数集之间的对应」，这样才便于研究一般的函数。 表示自变量 在对应关系 下的函数值，是一个数，不是 与 的乘积； 表示 时的函数值，是一个常数。同一个对应关系下，括号里换成什么，就把什么整体代入： 表示把 这个整体当作自变量。值域与集合 不一定相等，只能说值域是 的子集。例如 ， 的值域是 ，它只是 的一部分，并不是整个 。 判断两个函数是否为同一个函数，只看两条：定义域相同、对应关系相同。与自变量用什么字母表示无关， 与 就是同一个函数。常见错误有三类：一是先化简解析式再看外形，忽略化简会改变定义域，如 化简后是 ，但它的定义域是 ；二是把值域相同当成同一个函数；三是把定义域写成不等式，而不写成集合或区间。 （二）函数的定义域 求具体函数的定义域，就是把使解析式有意义的条件全部列出，再取交集：分式的分母不为 ；偶次根式的被开方数不小于 ；零次幂与负整数指数幂的底数不为 。解析式由几部分组成时，各部分的条件必须同时成立，取的是交集而不是并集。实际问题还要让自变量符合实际意义，比如长度为正、人数为自然数。结果写成集合或区间，并用「且」把几个条件连起来，不要写成几个互不相干的区间。 抽象函数的定义域要盯住一句话：定义域永远指自变量 的取值范围。已知 的定义域为 ，求 的定义域，就是解不等式 ，解出的 的范围才是所求；已知 的定义域为 ，求 的定义域，则先让 取遍 ，求出 的值域，这个值域就是 的定义域。两个方向的思路正好相反，动笔前先写清楚「求谁的范围」。 定义域优先是一条通用原则：求值域、解方程、比较大小，都要先把定义域定下来。最常见的错误是把内层式子的范围当成定义域，例如由 解出 之后，又把 的取值范围当成所求的范围写上去。另一类错误是漏掉端点：偶次根式可以取等号，分母不能取等号，写成区间时一端闭一端开，必须逐条核对。 （三）函数的表示法与分段函数 函数有三种表示法：解析法、列表法、图象法。解析法简明、便于运算，但不够直观；列表法直接给出对应值，适合数据不多的情形；图象法直观，能一眼看出变化趋势，但读数只能是近似的。读图时看三处：图象在 轴上的投影是定义域，在 轴上的投影是值域，最高点与最低点的纵坐标分别是最大值与最小值。 分段函数是在定义域的不同部分有不同对应关系的函数，它仍然是一个函数，不是几个函数。分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集，值域是各段值域的并集。求值时先判断自变量落在哪一段，再代入该段的解析式，这叫「对号入座」；求 要由内向外算，每一步都重新判断一次。解方程 时，要对 可能所在的每一段分别讨论，解出的结果还必须回到该段的范围内检验，不合的舍去。 画分段函数的图象，就是把各段图象画在各自的区间上再拼起来，关键是端点：区间含端点画实心点，不含端点画空心点。含绝对值的函数可以先去掉绝对值化为分段函数，如 在 时为 、在 时为 。反过来，给出图象求解析式，按「分几段、每段是什么形状、端点归谁」三步走。 （四）函数的值域 值域是所有函数值组成的集合，求值域必须在定义域内进行。常用的方法有四种：二次型用配方法，写成 再看取值范围；形如 的分式用分离常数法；含根式的用换元法，把根式整体设为新变量；规则不明显的可以画图象，看最高点与最低点。选方法之前先看解析式的形状，形状决定方法，不是凭习惯挑。 分离常数法的原理是把分子凑成分母的倍数：，于是问题变成求 的范围，再由 的范围反推。换元法的关键是写出新变量的范围：设 ，必须写 ，否则配方后得到的范围会偏大。换元之后要把原变量全部换成新变量，不能再残留 。 求值域最常见的三个错误：换元不写新变量的范围；配方法求出顶点后不检查顶点是否落在给定区间内；把值域写成不等式而不是集合或区间。另外，解析式本身带有定义域限制时，例如分母不为零、被开方数非负，求值域必须先把这些限制考虑进去，否则会把取不到的值写进值域。 自查：判断同一函数先看定义域；求定义域取交集，结果写集合或区间；分段函数求值先对号入座，解方程要回代检验；求值域时换元必写新变量的范围。 二、典型例题 例1　同一函数：先看定义域，再看对应关系 下列各组函数中，表示同一个函数的是（　　） A．， B．， C．， D．， 变式1　同一函数：自变量的字母可以不同 下列各组函数中，表示同一个函数的是（　　） A．， B．， C．， D．， 例2　具体函数的定义域：几个条件取交集 函数 的定义域是（　　） A． B． C． D． 变式2　定义域：分母含绝对值时的双挖点 函数 的定义域是（　　） A． B． C． D． 例3　抽象函数定义域：所求永远是 x 的范围 已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 变式3　已知复合函数的定义域，反求 f 的定义域 已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 例4　分段函数求复合值：由内向外，每步对号入座 已知 则 （　　） A． B． C． D． 变式4　已知函数值反求自变量：分段讨论后必须检验 已知 若 ，则 （　　） A． B． C． 或 D． 例5　分式型值域：分离常数后由分母范围反推 函数 （）的值域是（　　） A． B． C． D． 变式5　含根式的值域：换元后必须写出新变量的范围 函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 三、巩固练习 1．函数 的定义域是（　　） A． B． C． D． 2．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 3．已知 若 ，则 （　　） A． B． C． D． 4．函数 （）的值域是（　　） A． B． C． D． 5．下列各组函数中，表示同一个函数的是（　　） A．， B．， C．， D．， 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数的概念及其表示方法 一、知识点梳理 （一）函数的概念 设 、 都是非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合 中的任意一个数 ，在集合 中都有唯一确定的数 与它对应，就称 为从 到 的一个函数，记作 ，。其中 叫自变量， 叫定义域；函数值的集合 叫值域，它是 的子集。定义域、对应关系、值域称为函数的三要素，其中定义域与对应关系一定，值域随之确定。教材用集合与对应的语言定义函数，把初中的「变量依赖」提升为「两个数集之间的对应」，这样才便于研究一般的函数。 表示自变量 在对应关系 下的函数值，是一个数，不是 与 的乘积； 表示 时的函数值，是一个常数。同一个对应关系下，括号里换成什么，就把什么整体代入： 表示把 这个整体当作自变量。值域与集合 不一定相等，只能说值域是 的子集。例如 ， 的值域是 ，它只是 的一部分，并不是整个 。 判断两个函数是否为同一个函数，只看两条：定义域相同、对应关系相同。与自变量用什么字母表示无关， 与 就是同一个函数。常见错误有三类：一是先化简解析式再看外形，忽略化简会改变定义域，如 化简后是 ，但它的定义域是 ；二是把值域相同当成同一个函数；三是把定义域写成不等式，而不写成集合或区间。 （二）函数的定义域 求具体函数的定义域，就是把使解析式有意义的条件全部列出，再取交集：分式的分母不为 ；偶次根式的被开方数不小于 ；零次幂与负整数指数幂的底数不为 。解析式由几部分组成时，各部分的条件必须同时成立，取的是交集而不是并集。实际问题还要让自变量符合实际意义，比如长度为正、人数为自然数。结果写成集合或区间，并用「且」把几个条件连起来，不要写成几个互不相干的区间。 抽象函数的定义域要盯住一句话：定义域永远指自变量 的取值范围。已知 的定义域为 ，求 的定义域，就是解不等式 ，解出的 的范围才是所求；已知 的定义域为 ，求 的定义域，则先让 取遍 ，求出 的值域，这个值域就是 的定义域。两个方向的思路正好相反，动笔前先写清楚「求谁的范围」。 定义域优先是一条通用原则：求值域、解方程、比较大小，都要先把定义域定下来。最常见的错误是把内层式子的范围当成定义域，例如由 解出 之后，又把 的取值范围当成所求的范围写上去。另一类错误是漏掉端点：偶次根式可以取等号，分母不能取等号，写成区间时一端闭一端开，必须逐条核对。 （三）函数的表示法与分段函数 函数有三种表示法：解析法、列表法、图象法。解析法简明、便于运算，但不够直观；列表法直接给出对应值，适合数据不多的情形；图象法直观，能一眼看出变化趋势，但读数只能是近似的。读图时看三处：图象在 轴上的投影是定义域，在 轴上的投影是值域，最高点与最低点的纵坐标分别是最大值与最小值。 分段函数是在定义域的不同部分有不同对应关系的函数，它仍然是一个函数，不是几个函数。分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集，值域是各段值域的并集。求值时先判断自变量落在哪一段，再代入该段的解析式，这叫「对号入座」；求 要由内向外算，每一步都重新判断一次。解方程 时，要对 可能所在的每一段分别讨论，解出的结果还必须回到该段的范围内检验，不合的舍去。 画分段函数的图象，就是把各段图象画在各自的区间上再拼起来，关键是端点：区间含端点画实心点，不含端点画空心点。含绝对值的函数可以先去掉绝对值化为分段函数，如 在 时为 、在 时为 。反过来，给出图象求解析式，按「分几段、每段是什么形状、端点归谁」三步走。 （四）函数的值域 值域是所有函数值组成的集合，求值域必须在定义域内进行。常用的方法有四种：二次型用配方法，写成 再看取值范围；形如 的分式用分离常数法；含根式的用换元法，把根式整体设为新变量；规则不明显的可以画图象，看最高点与最低点。选方法之前先看解析式的形状，形状决定方法，不是凭习惯挑。 分离常数法的原理是把分子凑成分母的倍数：，于是问题变成求 的范围，再由 的范围反推。换元法的关键是写出新变量的范围：设 ，必须写 ，否则配方后得到的范围会偏大。换元之后要把原变量全部换成新变量，不能再残留 。 求值域最常见的三个错误：换元不写新变量的范围；配方法求出顶点后不检查顶点是否落在给定区间内；把值域写成不等式而不是集合或区间。另外，解析式本身带有定义域限制时，例如分母不为零、被开方数非负，求值域必须先把这些限制考虑进去，否则会把取不到的值写进值域。 自查：判断同一函数先看定义域；求定义域取交集，结果写集合或区间；分段函数求值先对号入座，解方程要回代检验；求值域时换元必写新变量的范围。 二、典型例题 例1　同一函数：先看定义域，再看对应关系 下列各组函数中，表示同一个函数的是 A．， B．， C．， D．， ①先看定义域　四组中 的定义域分别是 、、、， 的定义域分别是 、、、。 ②再看对应关系　定义域相同的只有第二组，且 ，对应关系也相同。 ③两条都满足才是同一函数　其余三组都是定义域不同；解析式化简后看着一样，也不能算同一个函数。 注：判断同一函数只有两个条件：定义域相同、对应关系相同。解析式能化简的要先化简，但化简前后定义域不能变；反过来，也不能因为解析式长得不一样就否定，比如 与 就是同一个对应关系。 【答案】B。 第一组中 的定义域是 ， 的定义域是 ，定义域不同。 第二组中两个函数的定义域都是 ，且 ，对应关系相同，是同一个函数。 第三组中 的定义域是 ， 的定义域是 ，定义域不同。 第四组中 要求 ， 要求 或 ，定义域不同。故选 B。 变式1　同一函数：自变量的字母可以不同 下列各组函数中，表示同一个函数的是 A．， B．， C．， D．， ①逐个写出定义域　第一组中 的定义域是 ；第二组中 的定义域是 ；第四组中 的定义域是 ， 的定义域是 。 ②定义域相同再看对应关系　第三组中两个函数的定义域都是 ，括号里的字母只是自变量的记号，对应关系完全一样。 ③用排除法收尾　其余三组的定义域都不相同，直接排除，不必再比对应关系。 注：自变量用 还是用 表示，不影响函数本身：函数由定义域和对应关系决定，与记号无关。但对应关系要真的相同， 与 看着像，定义域却相差一半。 【答案】C。 第一组中 ，但定义域是 ，与 的定义域 不同。 第二组中 ，但定义域是 ，与 的定义域 不同。 第四组中 的定义域是 ， 的定义域是 ，定义域不同。 第三组中两个函数的定义域都是 ，对应关系都是「平方加一」，是同一个函数。故选 C。 例2　具体函数的定义域：几个条件取交集 函数 的定义域是 A． B． C． D． ①列出全部限制条件　偶次根式要求 ；分母要求 ；零次幂要求 。三个条件缺一不可。 ②逐个解出　由 得 ；由 得 ；由 得 。 ③取交集并写成区间　把 从 中挖去左端点，再把 挖去，得 。 注：几个条件必须同时成立，取交集；各自解出的不等式只是「单独满足时的范围」，不能直接并起来。端点要分清：根式可以取等号，所以 、 都保留；分母与零次幂的底数不能取等号，所以 与 都要挖掉。 【答案】B。 由 得 。 由分母 得 ；由零次幂的底数 得 。 三个条件同时成立，取交集得 或 ，即 。故选 B。 变式2　定义域：分母含绝对值时的双挖点 函数 的定义域是 A． B． C． D． ①根式给出下界　由 得 ，端点 可以取到。 ②分母不为零　由 得 ，即 且 ，这两个点都要挖掉。 ③合并成区间　把 中的 与 挖去，得 。 注： 等价于 ，是一个「双挖点」，最容易只挖掉 。定义域被挖成三段时，段与段之间用并集符号连接，因为问的是「允许取哪些值」，段与段之间本来就是并列关系。 【答案】D。 由 得 。 由 得 且 。 两个条件同时成立，得 。故选 D。 例3　抽象函数定义域：所求永远是 x 的范围 已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为 A． B． C． D． ①把括号里的整体放进 f 的定义域　 能接受的自变量范围是 ，所以 必须落在这个范围内，即 。 ②解出 x　不等式两边加 得 ，再除以 得 。 ③确认问的是 x 的范围　所求定义域是 的取值集合 ，不是 的范围。 注：这类题只有一个动作：让括号里的整体落在 的定义域内，解出 。答案写 的范围，不写括号里那个式子的范围，否则就会错选 。 【答案】C。 的定义域是 ，所以对 要有 。 解得 。 所以 的定义域是 。故选 C。 变式3　已知复合函数的定义域，反求 f 的定义域 已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为 A． B． C． D． ①先确定 x 的范围　 的定义域是 ，指的是 。 ②求括号里整体的范围　由 得 ，即 能取遍 中的每个值。 ③把整体换成 x　 能接受的自变量就是 ，所以 的定义域是 。 注：两个方向要分清：已知 的定义域求 ，是解 ；已知 的定义域求 ，是先让 取遍已知区间、算出 的值域。前者解不等式，后者求值域，思路正好相反。 【答案】A。 的定义域为 ，即 。 此时 的取值范围是 。 所以 的自变量可以取遍 ， 的定义域为 。故选 A。 例4　分段函数求复合值：由内向外，每步对号入座 已知 则 A． B． C． D． ①先算内层的 f(-1)　，落在第一段，代入 得 。 ②再判断 2 落在哪一段　，落在第二段，应当代入 ，而不是继续用第一段的式子。 ③算出最终结果　，所以 。 注：分段函数求复合值必须由内向外，每算完一层都重新判断这个数落在哪一段。本题若把 直接代回第一段，会得 ，这是最常见的错误。 【答案】D。 因为 ，所以 。 因为 ，所以 。 故 。故选 D。 变式4　已知函数值反求自变量：分段讨论后必须检验 已知 若 ，则 A． B． C． 或 D． ①按三段分别列方程　若 ，由 得 ；若 ，由 得 或 ；若 ，由 得 。 ②回到本段范围检验　 不满足 ，舍去； 与 都不在 内，舍去； 满足 ，保留。 ③写出结论　只有第二段的 通过检验，所以 。 注：分段讨论解出的每个结果都必须回到该段的自变量范围内检验，不合的舍去。本题三段都能解出数，但只有一段的结果落在自己的范围内，这正是分段函数解方程必须检验的原因。 【答案】B。 当 时，，得 ，不满足 ，舍去。 当 时，，得 或 ，都不在 内，舍去。 当 时，，得 ，满足 。 所以 。故选 B。 例5　分式型值域：分离常数后由分母范围反推 函数 （）的值域是 A． B． C． D． ①把分子凑成分母的倍数　。这一步的目的，是把变量集中到分母上。 ②先求分母那一项的范围　由 得 ，所以 。 ③整体加 2 得值域　，即值域为 。 注：分离常数适用于分子分母都是一次的分式，目的是把变量集中到分母上。得到 后，先算 的范围再整体平移；分母可以无限大，所以 取不到，是开区间。 【答案】C。 。 因为 ，所以 ，从而 。 于是 ，值域为 。故选 C。 变式5　含根式的值域：换元后必须写出新变量的范围 函数 的值域是 A． B． C． D． ①换元并写出新变量范围　设 ，则 ，且 。这一步若漏掉 ，后面一定出错。 ②把函数写成 t 的二次函数　。 ③在 t≥0 上求最小值　 落在范围内，可取到，此时 ； 越大 越大，所以 。 注：换元法的第一步不是代换，而是写清楚新变量的范围。本题 ，顶点 恰好落在范围内，最小值才取得到；若顶点在范围外，最小值就要在端点处取。 【答案】D。 设 ，则 ，。 。 当 时 取最小值 ，且 无上界。 所以值域为 。故选 D。 三、巩固练习 1．函数 的定义域是 A． B． C． D． 【答案】A。 分子中的偶次根式要求 ，即 。 分母中的根式在分母上，要求 ，即 。 两个条件同时成立，得 ，即 。故选 A。 2．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为 A． B． C． D． 【答案】C。 的定义域为 ，即 。 此时 的取值范围是 。 所以 的定义域为 。故选 C。 3．已知 若 ，则 A． B． C． D． 【答案】B。 当 时，，得 或 ；其中 舍去， 保留。 当 时，，得 ，不满足 ，舍去。 所以 。故选 B。 4．函数 （）的值域是 A． B． C． D． 【答案】D。 ，图象开口向上，顶点为 。 顶点横坐标 落在 内，所以最小值是 。 端点处 ，，最大值是 。 所以值域为 。故选 D。 5．下列各组函数中，表示同一个函数的是 A．， B．， C．， D．， 【答案】A。 第二组中 的定义域为 ，与 的定义域 不同。 第三组中 的定义域为 ，与 的定义域 不同。 第四组中 ，与 的对应关系不同。 第一组中两个函数的定义域都是 ，且分段写出的正是 。故选 A。 学科网（北京）股份有限公司 $