第07课时 函数的单调性与最值 专项训练-2027届高考数学一轮复习

第07课时函数的单调性与最值 一、单项选择题（每小题5分，共35分） 1.下列函数中，在区间(0,1)上单调递增的是（小 [A]y=-x2+1 [B]=Vx y= [c]x [D]y=3-x 2.函数y=r+2在区间[-3,0]上() [A]单调递减 [B]单调递增 [C]先单调递减后单调递增 [D]先单调递增后单调递减 3.若函数()=(m-2027)x+1在R上是增函数，则/(m)与f(2027)的大小关系是( [Af(m)<f(2027) [®f(m）>f(2027) [gf(m)f(2027) Df(m)≥f(2027) 4.已知函数 1()-f(a-2)1 10g2x, x>1 f(x)-()o 满足对任意七≠，都有名一为 ,则实数a的取值范围为(). [A(,2) ®(2,3) g(2,3] D(2,+o) (0≤x≤8) 5.函数 N-o 的值域为(). 「11 Al8'6 B[6,8] [11 gl10'6 Dl6,10] 6.2024新高考Ⅱ卷)设函数f()=(x+)-l血(x+b),若f()20,则a2+的最小值为 () 1 [A8 1 B]4 [C]2 [D]1 7.(“可变函数”十函数单调性)如果函数y=(x)在区间1上是减函数，且函数 =) 在区间1上是增函数，那么称函数y=f()是区间1上的“可变函数”，区间1叫作“可变 区间”.若函数f()=r-4r+2是区间1上的“可变函数”，则“可变区间”1为) w（2]2,2] s2,2] g0,v2] 四v] 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 8.下列说法正确的是()· f(s)-f(>0 [A若对任意七，∈I,当<时， X1-X2 则y=f()在1上单调递增 B]函数y=在R上是增函数 [C函数 、I x在定义域上是增函数 [D]函数 x的单调递减区间是(0,0)和(0，+∞） f()=x-(a≠0) 9.已知函 则(). [A当a>0时，f()在定义域上单调递增 ®当a=-4时，f(的单调递增区间为(0，-2).(2，+） [q当a=-4时，f()的值域为∞，-4小[4，+∞） D当a>0时，f()的值域为R 10.已知函数f(x的定义域为R,对任意a,b∈R,f(a)f(b)=f(a+b),且当x>0 时，0<f)<1,财() f(x)=- 1 [A)对任意x∈R, f(-x) [B]当x<0时，f(x)>1 [Cf(x)是减函数 D]如果 2,那么不等式 三、填空题（每小题5分，共15分） 11.己知函数 f(x)= -2x+1, x<0, -x2+2x+1,x≥0 则f()的单调递增区间为 12.已知函数 f()= ax-1, x<1, x2-2ax,x21 f(x)-f(x>0 对任意，名∈R且≠龙，都有 X-2 则实数a的取值范围是 13.(“兄弟函数”+函数单调性)定义：若函数f(与8(：)在同一个区间内取同一个自变量 时，同时取得相同的最小值，则称这两个函数为“兄弟函数”.已知函数f()=x+bx+C 与81 是定义在区间2 最大值是 四、解答题（共32分） 14.已知函数 (x)=2x-1 x+1 ①试判断函数f(0在(-1，+0)上的单调性；6分) 2求函数(：)在区间B,]上的最大值和最小值，9分) 15.已知定义在R上的函数()满足：当x>0时，f()>-1,且对任意xyeR,都有 f(x+y)=f(x)+f(y)+1 ①求f(0)的值，并证明(~)是R上的增函数：7分 ②xf0=l,解关于x的不等式/(e+5)+/1-4)>4.a0分 参考答案 1.B2.C3.B4.C5.C6.C7.A 8.AD解析对于A,若对任意∈I,当<飞时， f(x)-f(>0, X1-x2 则f(:)Kf(:),由函数单调性的定义可知y=f()在1上单调递增，故A正确： 对于B,由二次函数的性质可知，y=r在（←0,0)上单调递减，在(0，+0）上单调递 增，故B错误； 对于C,由反比例函数的单调性可知， y=-x在（，0）和(0，+o）上单调递增，故c 错误： 1 y= 对于D,由反比例函数的单调性可知， 的单调递减区间是（-0,0)和(0，+0），故D 正确.故选AD. f(x)=x-a BCD解析当a>0时， 定义域为（o,0)u(0,+∞)，则f()在 (0,0),(0,+0）上单调递增，当x→+0时，f()→+0，当x→0时， f()→-0，故f()的值域为R,故A错误，D正确；当a=-4时， f(x)=x+4 为对勾函数，其单调递增区间为（0，-2)，(2，+0），故B正确：当x>0 4 时， (当且仅当x=2时取等号)，当x<0时， + (档且仅当x=-2时取等号)，故当a=4时，f()的 值碳为（，4小[4，+o), 故C正确.故选BCD. BCD解折令a=0,b=1,则f(0)f(0=),易知0<f)<1,所以f(O)=1 当x<0时，-x>0,所以0<f(x)<1,又f()f(-x)=f(x-x)=f0)=1. 所四，即了因4黄民，B 设，∈R,且<名，则 f(x)-f(x2)=f((x-x2)+x2)-f(x2) =f(x-x2)f(x2)-f(x2) =f(x)[f(x-x)-1, 因为<x,所以本-本<0，所以(：-)>1，又当x<0时，()>1，当 x>0时，0<f(<1fO)=1,所以f(G)>0,则fG)f()>0,即 f(G)>f(:),所以f(x)是减函数，c正确： s-及.m-foro-町6.r-. f(22-5t)>f(12) 3<1<4 又f()是减函数，所以22-51<12，解得 所以不等 f2r-刘小6 的解集为 ),D正确.故选BCD. 1.[0,) 解析当x<0时，f()-2x+1单调递减： 当x≥0时，f(x)=-+2x+1=-(x-+2在[0，)上单调递增，在（L,+0）上单 调递减. 12. 解析 因为对任意，名∈R,且≠名都有 f(c)-f(>0, X1-x2 所以函数f(冈)在R上单调递增， a>0, -2a ≤1， 2 a-1≤1-2a, 0<a 2 解得 3 x=} 13.2解析 ,当且仅当x,即 x=1时，等号成立， 当X=1时，8()取得最小值，8()=g)=1 :函数f(四与8（內为“兄希函数”， :函数(：在区间 上的最小值为f()=1,:点(L,)为抛物线 f(x)=x2+bx+c 的顶点， _b=1, 2 b=-2, 4c-b2 解得 1, 1c=2, 4 .f(x)=x2-2x+2 故函数y=f()在区 [ 上单调递减，在区间 [1,2]上单调递增 f912)-22 上的最大值是2. 14.解析 1)函数f()在（1，+∞) 上是增函数.证明如下： y=f(x)=2x =2-3 x+1 +1 任取，5∈(l,+0）,且为<， 则 r)-2 3 3 x2+1x+1 3(x-) (x+1)(x2+1)1 -1<x<x2, ∴.x-x3<0,(:+1)(x2+1)>0 ∴f()f(x)<0,即f()<f(), “f()在（L+o）上是增函数 ②f()在（1+o）上是增函数。 “∫(d)在[3,5]上单调递增。 -2-.n f3)= 2×3-1_5 则（四在3,5]上的最大值是 3+14 15.解析①冷x=y=0,则f(0)=2f(0)+1,解得f(0)=-1 任取，七∈R,名<x,则 f(:)-f(x,)=f(x)-f[(:-x)+x] =f(x)-[f(x-x)+f()+] =-f(x2-x)-1. :>,->0,可得f(:-x)>-1,则f(3-)1,即 -f(x2-x)-1<0 :.f(x)-f(x2)<0 :f(x)<f(x2) ∴f()是R上的增函数. 2油f0=1,得(2)=3，则f3)=5 f(r+5x+f-4x)>4,即f(x+5x+f-4x)+1>5 则(+x+)小>f3) 由Q知f()是R上的增函数， .x2+x+1>3,解得x<-2或x>1, ·原不等式的解集为（-0，-2儿U(1,+∞)