第11讲 导数与极值、最值 专项训练（6大题型32题）-2027届高三数学一轮复习

高中数学·题型专项训练系列 第11讲 导数与极值、最值 专项训练（6大题型32题）（解析版） 2026-2027学年高三一轮复习 数学 题型归纳 · 内容导航 题型 定位 题号 题数 题型一　极值的概念与图象判断 基础 第1—3题 3 题型二　求函数的极值 基础 第4—9题 6 题型三　由极值（点）求参数与极值点个数 重点 第10—17题 8 题型四　闭区间上的最值 重点 第18—23题 6 题型五　已知最值求参数 难点 第24—28题 5 题型六　最值的综合应用 难点 第29—32题 4 方法索引 · 易错提示 题型 核心方法 易错点 题型一　极值的概念与图象判断 看导数变号；读导函数与原函数图象 相切零点当极值点 题型二　求函数的极值 求导、列表定号、写极值 不判两侧符号 题型三　由极值（点）求参数与极值点个数 求参后检验；数变号零点 求参后不回代检验 题型四　闭区间上的最值 极值与端点值比较 漏比较端点值 题型五　已知最值求参数 按零点位置分类；解后检验 参数不检验所属类别 题型六　最值的综合应用 建模定域；消元与设公共值 漏写变量范围 使用说明 • 本专项共 32 题，按 6 个题型编排（各题型依次 3、6、8、6、5、4 题）；每个题型先【知识积累】，再【典例】，后【变式训练】。 • 原卷版用于课堂演练与限时训练，解析版逐题给出答案与详解（部分题附分析）；解答题先独立书写，再对照解析。 • 建议先读上表“方法索引·易错提示”，做题时对照易错点自查；6 个题型与配套复习讲义同名同序，可对照使用。 题型通关 · 靶向提分 题型一　极值的概念与图象判断（共3小题） 【知识积累】 极值的定义：在 附近，若左侧 、右侧 ，则 是极大值点；若左侧 、右侧 ，则 是极小值点。极值是局部概念，极大值不一定大于极小值。 必要不充分：对可导函数， 是 为极值点的必要不充分条件。例如 满足 ，但 不变号， 不是极值点。 读导函数图象： 的图象在 轴上方， 递增；在下方， 递减。图象穿过 轴的零点是极值点，与 轴相切（不变号）的零点不是。 读原函数图象：图象的“峰”对应极大值点，“谷”对应极小值点；区间端点不是极值点。 易错：把导函数图象的最高点、最低点当成极值点；把 的点都当成极值点；把端点算作极值点。 【典例】 1．（单选题） （2026·安徽马鞍山·一模） 函数的导函数的图象如图所示，则函数在区间上的极值点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据给定的函数图象确定的变号零点个数即可. 【详解】函数的图象与轴有3个公共点，从左到右依次记为， 当时，；当时，；当时，， 当且仅当时取等号，则函数在上单调递增，在上单调递减， 因此函数在处取得极大值，在处取得极小值，所以极值点个数为2. 故选：B 【变式训练】 2．（单选题） （2025·内蒙古赤峰·模拟预测） 已知函数的导函数为，且的图象如图所示，则的极大值点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导函数图象和极值点关系即可得到答案. 【详解】由图知当时，，此时单调递增， 当时，， 当时，，此时单调递减， 则的极大值点为. 故选：C. 3．（多选题） （2026·广西南宁·一模） 已知函数，下列说法正确的是（   ） A．是函数的极大值点 B．图象的对称中心坐标为 C．当时， D．若在上存在最大值，则 【答案】ABD 【分析】求导得到函数单调区间与极值，A根据单调性判定极大值点；B利用中心对称定义验证对称中心；C结合区间单调性比较函数值大小；D结合函数单调性，列出不等式求解使开区间存在最大值的参数范围. 【详解】展开，求导得. 令 ，解得和，据此可得到函数单调性： 时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增. 选项A：根据上述单调性分析，在 左侧递增、右侧递减，符合极大值点的定义，且代入得 ，是局部最大值，A正确； 选项B：若函数关于点 对称，则满足 . 代入， 验证： ， 完全满足对称中心的性质，因此 关于中心对称，B正确； 选项C：当时，，，此时. 区间上，，在上单调递减. 自变量越大，函数值越小：，C错误； 选项D：结合函数单调性可知，函数的极大值为，解方程 ， 即，解得或 . 当 时，，函数在上单调递增，因此若区间上存在最大值， 则最大值只能是极大值 . 要使区间内取得该最大值，需要满足极大值点在区间内，且区间右端点不超过. 若，区间中将出现，此时，函数值大于极大值，区间就不存在最大值； 若时，区间为，取不到，区间上最大值仍为，满足题意. 列不等式组，解得，D正确. 题型二　求函数的极值（共6小题） 【知识积累】 步骤：求定义域 → 求 → 解 → 列表判断 在各根两侧的符号 → 写出极大值、极小值。 写法：极值点是自变量 ，极值是函数值 ；某类极值不存在时写“无极小值”或“无极大值”。 含参函数：先把 因式分解，按导数零点是否在定义域内、零点的大小关系分类，逐类写出极值。 三角、指数、对数型： 的根要在给定区间内求全；含 的函数定义域为 。 易错：漏写定义域；只解 而不检验两侧符号；把极值点写成坐标，或把极值写成点。 【典例】 4．（解答题） （26-27高三上·江西九江·开学考试） 已知函数 (1)求函数的单调区间和极值； (2)求函数在上的最值. 【答案】(1)函数的单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值． (2)最小值为，最大值为 【分析】（1）求导，结合导函数判断即可； （2）结合函数的单调性判断最值即可. 【详解】（1）对函数求导，可得， 令，即，解得， 当时，，所以函数在上单调递减； 当时，，所以函数在上单调递增； 由单调性可知，当时，函数取得极小值，将代入函数可得： ，函数无极大值. （2）由可知函数在上单调递减，在上单调递增. 所以函数在上单调递减，在上单调递增， ，， 所以函数在上的最小值为，最大值为 【变式训练】 5．（解答题） （26-27高三上·河北保定·阶段检测） 已知函数． (1)当时，求的极值； (2)若在上单调递增，求的取值范围． 【答案】(1)极大值为，无极小值． (2) 【分析】（1）函数求导得，研究函数单调性以及极值即可； （2）对原函数求导，条件可转化为恒成立，分离参数后求解的最大值即可. 【详解】（1）当时，， 则． 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 则的极大值为，无极小值． （2）由， 得． 因为在上单调递增，所以， 即在上恒成立． 又，所以． 因为，所以． 故的取值范围为． 6．（单选题） （25-26高三上·河北唐山·期中） 已知函数，则在上的极值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据极值的定义，结合导数的运算进行求解即可. 【详解】， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以在上的极值为， 故选：A 7．（单选题） （26-27高三上·四川成都·阶段检测） 函数有两个极值点，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求导得到极值条件，结合已知区间求出，进而求出的值． 【详解】求导得， 令，则，则有， 在区间内，，故， 所以 ． 8．（填空题） （26-27高三上·河南·阶段检测） 已知函数的图象关于原点对称，则的极大值点为________． 【答案】 【分析】先根据函数图象关于原点对称，判断出函数的奇偶性，从而利用函数奇偶性的性质求得，然后代入，对函数进行求导分析单调性，借助极值点的定义，即可求解． 【详解】已知函数的图象关于原点对称， 则函数为奇函数，在定义域内对任意，均满足． 由于， 则， 即在函数的定义域内对任意都成立，解得． 因为， 所以． 因为，解得，， 又有当时，，，，则，函数单调递增； 当时，，，，则，函数单调递减； 当时，，，，则，函数单调递增， 所以为函数的极大值点． 9．（填空题） （25-26高三上·上海·阶段检测） 函数在上的极大值点为__________. 【答案】 【分析】求导，利用导数分析函数的单调性并确定极值点即可. 【详解】由， 时，， 令，解得， 所以当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 则函数在上的极大值点为. 故答案为：. 题型三　由极值（点）求参数与极值点个数（共8小题） 【知识积累】 已知极值点求参：由 求出参数后，必须回代检验 在 两侧是否变号，不变号的要舍去。 已知极值求参：联立 与 等于已知值，解出参数后同样检验。 极值点个数：等于 的变号零点个数。二次型导数在 上有两个不同零点时，要同时满足 、两根之和大于 、两根之积大于 。 分离参数：把 化成 ，研究 的单调性和取值范围，看直线 与 的图象有几个交点，且在交点处两侧的大小关系要改变。 易错：求参后不检验，留下使 （不变号）的增根；“有极值”与“有两个极值点”混用；把定义域外的导数零点也算进去。 【典例】 10．（解答题） （26-27高三上·四川巴中·阶段检测） 已知：在与时都取得极值． (1)求的值； (2)若在区间，上单调，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据极值的计算方法可求参数值； （2）利用导函数求解原函数单调区间，根据在区间，上单调，根据区间包含关系求的取值范围． 【详解】（1）方法一： 因为在与时都取得极值 所以即； 解得； 方法二： 因为在与时都取得极值 所以与是方程的两根 由韦达定理得，解得； （2）由（1）得， 当或时，；当时，； 所以在上单增，在上单减； 因为在区间上单调，且， 所以，解得：． 故的取值范围为． 【变式训练】 11．（解答题） （26-27高三上·陕西榆林·阶段检测） 已知函数． (1)讨论的单调性； (2)设函数，若为的极大值点，求的取值范围． 【答案】(1)当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． (2)． 【分析】（1）求导，分，讨论导数的正负即可求解； （2）求导，再对分类讨论，根据为的极大值点，求的取值范围. 【详解】（1）由题意知， 当时，，所以在上单调递减； 当时，令，解得，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增． （2）由题意知， 所以， 当时，令，解得，当时，，当时，， 所以在处取得极大值，符合题意； 当，即时，令，解得或，令，解得，所以在处取得极小值，不符合题意； 当，即时，，所以在上单调递增，不符合题意； 当，即时，令，解得或，令，解得，所以在处取得极大值，符合题意． 综上，的取值范围是． 12．（解答题） （26-27高三上·河北承德·阶段检测） 已知函数，其中． (1)判断函数的单调性； (2)若存在两个极值点，记，求直线的斜率的最大值． 【答案】(1)函数在上单调递增；在上单调递减. (2) 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导函数的正负情况求出单调区间. （2）由（1）求得极值点及极值，利用斜率坐标公式列式，构造函数并利用导数求出最大值. 【详解】（1）函数的定义域为， 求导得，而， 当或时，；当时，， 所以函数在上单调递增；在上单调递减. （2）由（1）知，是函数的极大值点，是函数的极小值点， 依题意，，，， 因此直线的斜率， 令函数，求导得， 令函数，求导得， 函数在上单调递减，则，即， 函数在上单调递减，因此， 所以直线的斜率的最大值为. 13．（单选题） （2026·福建漳州·二模） 已知是函数的一个极值点，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由题意得：， 又是的一个极值点，所以，所以， 所以，所以. 14．（单选题） （26-27高三上·河南南阳·阶段检测） 若函数的所有极值点之和为，则的所有极值点之积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导，根据单调性求出极值点，再根据条件列方程求解. 【详解】因为，所以， 若，则，则在上单调递增，无极值点，不符合题意； 若，则得或；得； 则在上单调递增，在上单调递减， 则的所有极值点为，故，得， 故的所有极值点之积为； 同理，若，的所有极值点为，都小于0，不符合题意， 综上，的所有极值点之积为. 15．（多选题） （26-27高三上·新疆喀什·阶段检测） 若函数无极值，则的取值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先对函数求导，再令，将有无变号零点转化为方程的根问题，用导数判断函数的性质可得. 【详解】由函数，定义域为，. 令，求导得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 因此在处取得极小值也是最小值为​， 且当时，当时，的值域为. 若无极值，则无变号零点， 若：方程无解，恒成立，单调递增，无极值； 若：方程仅有唯一解，且在左右不变号， 恒成立，是的零点，但不是变号零点，函数单调递增，无极值. 若：方程有两个解，且这两个解是的变号零点，函数有两个极值； 若：方程有一个解，且这一个解是的变号零点，函数有一个极值； 因此当时，函数无极值. 显然，，，所以ABD正确，C错误. 16．（填空题） （26-27高三上·广东·阶段检测） 若函数且有且仅有一个极大值点与一个极小值点，且，则的取值范围为_________． 【答案】 【分析】求导得到极值点，判断极大、极小值点，代入不等式化简求解，进而得到参数a的取值范围． 【详解】由题意得且，由，得两个极值点分别为， 且在两侧由正变负，在两侧由负变正，故， 因为，由，得， 即，所以或，故或． 17．（填空题） （26-27高三上·福建·阶段检测） 已知函数有两个极值点，，且，则__________. 【答案】7 【分析】极值点处导数值等于零，将去掉绝对值后求解. 【详解】，由题知， 不妨设，则或时，时， 则是极大值点，是极小值点，，，， 因为，所以， 若，则，舍去； 若，则， 即， 又，所以， 解得. 题型四　闭区间上的最值（共6小题） 【知识积累】 存在性：在闭区间 上连续的函数一定有最大值和最小值。 求法：求出 在 内的极值，再与端点值 、 比较，最大的是最大值，最小的是最小值。 特殊情形： 在 上单调时，最值在端点取得；在区间内只有一个极值点时，这个极值就是相应的最值。 开区间与无穷区间：先判断单调性，再看端点附近的取值趋势；最值可能不存在。 易错：漏比较端点值；把极值直接当作最值；端点开闭看错。 【典例】 18．（解答题） （26-27高三上·北京丰台·阶段检测） 已知函数． (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1)单调递增区间是和，单调递减区间是 (2)最大值为，最小值为． 【详解】（1）函数的定义域为R， 则， 因为恒成立，令，得或， 与的变化情况如下表： x ＋ 0 － 0 ＋ ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是； （2）由（1）知在单调递增，单调递减，单调递增， 而 ，＝， ， ， 所以函数在区间[－2，4]上的最大值为，最小值为. 【变式训练】 19．（解答题） （26-27高三上·福建厦门·阶段检测） 已知在处取得极值． (1)求实数的值； (2)求的单调区间； (3)求在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1)． (2)单调递增区间为、，单调递减区间为． (3)在上的最大值为，在或时取得；最小值为，在时取得． 【分析】（1）利用极值点处导数为零求出，再检验导数是否变号． （2）根据导数的正负确定函数的单调区间． （3）方法一：比较闭区间端点和极值点的函数值．方法二：由候选值作差并因式分解，确定函数在闭区间上的上、下界． 【详解】（1）．因在处取得极值，故，解得． 此时，在两侧由正变负，确实取得极值． （2）由小问1知，当或时，； 当时，．故的单调递增区间为、，单调递减区间为． （3）方法一：由小问2知，内两个极值点的横坐标为和． 计算得，，，，所以最大值为，在或时取得； 最小值为，在时取得． 方法二：由得，计算得，，． 当时，，等号在或时成立； 又，其中，等号仅在时成立． 故最大值为，最小值为． 20．（解答题） （26-27高三上·北京海淀·阶段检测） 已知函数 (1)当时， ①求的单调区间； ②求在区间上的最小值与最大值； (2)若在区间上不单调，求的取值范围． 【答案】(1)①单调递减区间为，单调递增区间为.②最小值为，最大值为. (2) 【分析】（1）①求出函数的导函数，即可判断其单调区间，②先求函数在区间上的单调区间，然后根据单调区间求取最值. （2）将函数单调时对应的的范围去掉，剩下的范围为不单调的范围. 【详解】（1）当时，， ①， ， ，当时，，当时，. 函数的单调递减区间为，单调递增区间为. ②由①知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， ， 又 ， ， ，. （2）由题知，又 . 由恒成立， 恒成立， . 当时，恒成立，此时函数在区间上单调递增. 由恒成立， 恒成立， . 当时，恒成立，此时函数在区间上单调递减. 当时，函数在区间上不单调. 若在区间上不单调，则的取值范围为. 21．（单选题） （25-26高三上·河北保定·阶段检测） 若函数的最小值为1，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．27 【答案】D 【分析】利用换元法转化为，结合导数判断单调性可得答案. 【详解】令，因为，所以； ，，仅当时取等号，此时为增函数， 当时，有最小值，由可得， 则函数最大值为，且时取到最大值； 故选：D 22．（填空题） （2026·江苏扬州·三模） 函数在区间上的最大值为_________． 【答案】2 【详解】∵ ，， ∴ 对求导得. 令，解得，，均属于区间. 分别计算在区间端点和极值点处的函数值： 当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 比较上述函数值大小：， ∴ 函数在区间上的最大值为. 23．（填空题） （25-26高三下·海南·阶段检测） 函数在上的最小值为______． 【答案】1 【分析】对函数的导数，判断函数的单调区间和极值点，从而求出的最小值. 【详解】根据题意可得，令，解得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以是区间上的极小值点，也是最小值点， 则. 题型五　已知最值求参数（共5小题） 【知识积累】 思路：含参函数先求导，按参数分类确定单调性，写出最值关于参数的表达式，令它等于已知值解出参数，再检验是否在该类的范围内。 分类标准：导数零点是否在区间内，以及零点与区间端点的大小关系。 已知最大（小）值为 ：在定义域上求出最大（小）值 ，解方程 ；无最值的情形要先排除。 开区间上既有最大值又有最小值：区间内要同时取到极大值和极小值，并且端点附近的函数值不能超过极大值、也不能低于极小值。 易错：解出的参数不在该类条件内仍然保留；漏掉导数零点在区间外的情形；把“有最大值”误当成“有极大值”。 【典例】 24．（解答题） （26-27高三上·黑龙江·阶段检测） 已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，在上既有最小值也有最大值，求实数m的取值范围． 【答案】(1) 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； (2) 【分析】（1）求导，对分三种情况进行讨论，得到函数单调性； （2）在（1）的基础上，得到函数单调性，结合特殊点函数值，得到不等关系，得到答案 【详解】（1）由， 得， 若，则，则在上单调递增； 若，令得或，令得， 则在，上单调递增，在上单调递减； 当时，令得或，令得， 则在，上单调递增，在上单调递减； 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； （2）当时，， 由（1）知，在，上单调递增，在上单调递减， 而，，，， 因为在上既有最小值也有最大值，则，且， 故，实数m的取值范围是. 【变式训练】 25．（解答题） （26-27高三上·湖南·阶段检测） 已知函数. (1)当时，求在区间上的最大值与最小值； (2)若的极小值小于1，求的取值范围. 【答案】(1)最大值为，最小值为1. (2). 【分析】（1）方法一（导数法）,求导判断区间内单调性，找到极值点，再比较极值点、区间端点函数值，得到最值；方法二（换元法），换元把分式函数转化为对勾型函数，利用导数研究新函数单调性，再求值域； （2）先求导找临界点，结合分析单调性，确定极小值点为,代入极小值点算出极小值，列不等式，结合已知条件解不等式，舍去不符合范围的解得到的取值范围. 【详解】（1）方法一：因为，所以. 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增. 又，，， 所以在区间上的最大值为，最小值为1. 方法二：，， 令，则，， 则. 所以. 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 又，， 故在区间上的最大值为，最小值为1. （2）由，得的定义域为. 易知.令，得，得或 当时，，间断点，得，且 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 所以的极小值点为. 由，又，得或（舍去）. 故的取值范围为. 26．（单选题） （26-27高三上·广东深圳·阶段检测） 已知函数的最大值为则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据导数的正负性与函数的单调性关系判断函数的单调性，进而求出最值，再利用代入法进行求解即可. 【详解】显然该函数的定义域为全体正实数. . 当时， 当时，，所以该函数在上单调递减， 当时，，所以该函数在上单调递增， 因此该函数的最大值为. 当时， 当时，，所以该函数在上单调递增， 当时，，所以该函数在上单调递减， 因此该函数有最小值为， 当时，， 当时，，所以此时该函数没有最大值，不符合题意； 当时，，显然此时该函数的最大值为零，不符合题意， 综上所述：. 27．（单选题） （26-27高三上·辽宁·阶段检测） 已知函数在上的最小值为1，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对原函数求导并根据参数的符号分类讨论得出单调性与最小值表达式，随后构造函数并利用其单调性求出唯一解，最终确定参数的值. 【详解】， 若，当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 则， 令 因为， 所以在区间上单调递增，且，所以，符合题意； 若，显然不合题意； 若，当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以存在最大值，不存在最小值，不合题意. 28．（单选题） （26-27高三上·四川绵阳·阶段检测） 若函数在上的最大值是3，则实数的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，将问题转化为函数在上的最大值是3，求实数的值，利用导数求极值，找到函数在上的最大值点，从而建立方程求解即可. 【详解】设，则， 所以， 将问题转化为函数在上的最大值是3，求实数的值， 因为， 令，得， 令， 则， 令，得， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减； 所以， 所以当时，方程有两个解，设为 则， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增； 当时，单调递减； 所以在处取极大值，也是最大值， 所以， 即， 又因为，即， 所以， 解得或(舍), 所以，所以， 所以， 所以. 题型六　最值的综合应用（共4小题） 【知识积累】 实际问题：设自变量，由实际意义写出函数和定义域，求导找极值点，比较后得出最值，最后回到实际问题作答。 唯一极值点：实际问题中，定义域内只有一个极值点时，它就是所求的最值点。 二元最值（等式约束）：由已知等式把一个变量用另一个表示，化成一元函数求最值；常见的同构形式有 、。 型：设公共值为 ，用 表示 、，把所求式写成关于 的函数，并求出 的范围。 易错：实际问题漏写定义域；消元或换元后新变量的范围没有求；求出的极值点不判断是否在定义域内。 【典例】 29．（单选题） （26-27高三上·新疆喀什·阶段检测） 某企业的一个产品前（）个月的总产量（单位：百件）与的关系式为，则该企业这个产品前个月的月均产量的最小值为（    ） A．56件 B．6300件 C．5600件 D．63件 【答案】B 【分析】先写出月均产量，把实际问题转化为具体函数问题，利用导数即可求出函数最值. 【详解】因为总产量为，则月均产量为， 设，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以在取到最小值为百件，即6300件. 【变式训练】 30．（填空题） （25-26高三上·江西南昌·阶段检测） 如图，周长为12的五边形由一个正三角形与一个矩形组成，设该正三角形与该矩形的面积分别为，则当取得最大值时，__________ 【答案】3 【分析】根据周长的定义，结合矩形和正三角形的面积公式、导数的性质进行求解即可. 【详解】设，则，得， 则. 设函数， 则， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 则当时，取得最大值，即取得最大值. 故答案为：3 31．（单选题） （26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测） 已知函数，是的反函数．若，满足，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等式变形，再同构一个函数，满足，再由单调性去找到等式关系，最后把二元变量转化为一元变量：，再用函数思想来求最大值即可. 【详解】由题意得，因为， 所以，所以， 令，则， 因为在上单调递增，所以，所以， 令，则， 令，则， 所以在上单调递减，又， 所以当时，，即； 当时，，即， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 32．（填空题） （26-27高三上·甘肃·阶段检测） 若，且，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】方法一：把条件整理为“同构”形式，用同一函数的单调性得到，再把化为的函数求值域；方法二：由原条件得分析得到，令，则，构造求导确定单调性即可求解.. 【详解】方法一：因，分母，原条件等价于 ，即. 因右边为正，故，即. 令，则. 设，，则， 故在上单调递增，由得，即. 于是.设，，则， 故在上单调递减；当时，当时. 所以. 反之，任取，令，代入原式恒等于，故上述范围内的值都能取到. 方法二：由原条件得， 因为，所以代入并整理， 得. 因，，且与同号， 两个同号实数相加等于 0，只能两项都等于 0，故两项只能同时为零，即. 令，则，. 令，， 恒成立， 故 又时， 所以. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·题型专项训练系列 第11讲 导数与极值、最值 专项训练（6大题型32题）（原卷版） 2026-2027学年高三一轮复习 数学 题型归纳 · 内容导航 题型 定位 题号 题数 题型一　极值的概念与图象判断 基础 第1—3题 3 题型二　求函数的极值 基础 第4—9题 6 题型三　由极值（点）求参数与极值点个数 重点 第10—17题 8 题型四　闭区间上的最值 重点 第18—23题 6 题型五　已知最值求参数 难点 第24—28题 5 题型六　最值的综合应用 难点 第29—32题 4 方法索引 · 易错提示 题型 核心方法 易错点 题型一　极值的概念与图象判断 看导数变号；读导函数与原函数图象 相切零点当极值点 题型二　求函数的极值 求导、列表定号、写极值 不判两侧符号 题型三　由极值（点）求参数与极值点个数 求参后检验；数变号零点 求参后不回代检验 题型四　闭区间上的最值 极值与端点值比较 漏比较端点值 题型五　已知最值求参数 按零点位置分类；解后检验 参数不检验所属类别 题型六　最值的综合应用 建模定域；消元与设公共值 漏写变量范围 使用说明 • 本专项共 32 题，按 6 个题型编排（各题型依次 3、6、8、6、5、4 题）；每个题型先【知识积累】，再【典例】，后【变式训练】。 • 原卷版用于课堂演练与限时训练，解析版逐题给出答案与详解（部分题附分析）；解答题先独立书写，再对照解析。 • 建议先读上表“方法索引·易错提示”，做题时对照易错点自查；6 个题型与配套复习讲义同名同序，可对照使用。 题型通关 · 靶向提分 题型一　极值的概念与图象判断（共3小题） 【知识积累】 极值的定义：在 附近，若左侧 、右侧 ，则 是极大值点；若左侧 、右侧 ，则 是极小值点。极值是局部概念，极大值不一定大于极小值。 必要不充分：对可导函数， 是 为极值点的必要不充分条件。例如 满足 ，但 不变号， 不是极值点。 读导函数图象： 的图象在 轴上方， 递增；在下方， 递减。图象穿过 轴的零点是极值点，与 轴相切（不变号）的零点不是。 读原函数图象：图象的“峰”对应极大值点，“谷”对应极小值点；区间端点不是极值点。 易错：把导函数图象的最高点、最低点当成极值点；把 的点都当成极值点；把端点算作极值点。 【典例】 1．（单选题） （2026·安徽马鞍山·一模） 函数的导函数的图象如图所示，则函数在区间上的极值点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】 2．（单选题） （2025·内蒙古赤峰·模拟预测） 已知函数的导函数为，且的图象如图所示，则的极大值点为（    ） A． B． C． D． 3．（多选题） （2026·广西南宁·一模） 已知函数，下列说法正确的是（   ） A．是函数的极大值点 B．图象的对称中心坐标为 C．当时， D．若在上存在最大值，则 题型二　求函数的极值（共6小题） 【知识积累】 步骤：求定义域 → 求 → 解 → 列表判断 在各根两侧的符号 → 写出极大值、极小值。 写法：极值点是自变量 ，极值是函数值 ；某类极值不存在时写“无极小值”或“无极大值”。 含参函数：先把 因式分解，按导数零点是否在定义域内、零点的大小关系分类，逐类写出极值。 三角、指数、对数型： 的根要在给定区间内求全；含 的函数定义域为 。 易错：漏写定义域；只解 而不检验两侧符号；把极值点写成坐标，或把极值写成点。 【典例】 4．（解答题） （26-27高三上·江西九江·开学考试） 已知函数 (1)求函数的单调区间和极值； (2)求函数在上的最值. 【变式训练】 5．（解答题） （26-27高三上·河北保定·阶段检测） 已知函数． (1)当时，求的极值； (2)若在上单调递增，求的取值范围． 6．（单选题） （25-26高三上·河北唐山·期中） 已知函数，则在上的极值为（   ） A． B．1 C． D． 7．（单选题） （26-27高三上·四川成都·阶段检测） 函数有两个极值点，，则的值为（     ） A． B． C． D． 8．（填空题） （26-27高三上·河南·阶段检测） 已知函数的图象关于原点对称，则的极大值点为________． 9．（填空题） （25-26高三上·上海·阶段检测） 函数在上的极大值点为__________. 题型三　由极值（点）求参数与极值点个数（共8小题） 【知识积累】 已知极值点求参：由 求出参数后，必须回代检验 在 两侧是否变号，不变号的要舍去。 已知极值求参：联立 与 等于已知值，解出参数后同样检验。 极值点个数：等于 的变号零点个数。二次型导数在 上有两个不同零点时，要同时满足 、两根之和大于 、两根之积大于 。 分离参数：把 化成 ，研究 的单调性和取值范围，看直线 与 的图象有几个交点，且在交点处两侧的大小关系要改变。 易错：求参后不检验，留下使 （不变号）的增根；“有极值”与“有两个极值点”混用；把定义域外的导数零点也算进去。 【典例】 10．（解答题） （26-27高三上·四川巴中·阶段检测） 已知：在与时都取得极值． (1)求的值； (2)若在区间，上单调，求的取值范围． 【变式训练】 11．（解答题） （26-27高三上·陕西榆林·阶段检测） 已知函数． (1)讨论的单调性； (2)设函数，若为的极大值点，求的取值范围． 12．（解答题） （26-27高三上·河北承德·阶段检测） 已知函数，其中． (1)判断函数的单调性； (2)若存在两个极值点，记，求直线的斜率的最大值． 13．（单选题） （2026·福建漳州·二模） 已知是函数的一个极值点，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 14．（单选题） （26-27高三上·河南南阳·阶段检测） 若函数的所有极值点之和为，则的所有极值点之积为（    ） A． B． C． D． 15．（多选题） （26-27高三上·新疆喀什·阶段检测） 若函数无极值，则的取值可以为（    ） A． B． C． D． 16．（填空题） （26-27高三上·广东·阶段检测） 若函数且有且仅有一个极大值点与一个极小值点，且，则的取值范围为_________． 17．（填空题） （26-27高三上·福建·阶段检测） 已知函数有两个极值点，，且，则__________. 题型四　闭区间上的最值（共6小题） 【知识积累】 存在性：在闭区间 上连续的函数一定有最大值和最小值。 求法：求出 在 内的极值，再与端点值 、 比较，最大的是最大值，最小的是最小值。 特殊情形： 在 上单调时，最值在端点取得；在区间内只有一个极值点时，这个极值就是相应的最值。 开区间与无穷区间：先判断单调性，再看端点附近的取值趋势；最值可能不存在。 易错：漏比较端点值；把极值直接当作最值；端点开闭看错。 【典例】 18．（解答题） （26-27高三上·北京丰台·阶段检测） 已知函数． (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值和最小值． 【变式训练】 19．（解答题） （26-27高三上·福建厦门·阶段检测） 已知在处取得极值． (1)求实数的值； (2)求的单调区间； (3)求在区间上的最大值和最小值． 20．（解答题） （26-27高三上·北京海淀·阶段检测） 已知函数 (1)当时， ①求的单调区间； ②求在区间上的最小值与最大值； (2)若在区间上不单调，求的取值范围． 21．（单选题） （25-26高三上·河北保定·阶段检测） 若函数的最小值为1，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．27 22．（填空题） （2026·江苏扬州·三模） 函数在区间上的最大值为_________． 23．（填空题） （25-26高三下·海南·阶段检测） 函数在上的最小值为______． 题型五　已知最值求参数（共5小题） 【知识积累】 思路：含参函数先求导，按参数分类确定单调性，写出最值关于参数的表达式，令它等于已知值解出参数，再检验是否在该类的范围内。 分类标准：导数零点是否在区间内，以及零点与区间端点的大小关系。 已知最大（小）值为 ：在定义域上求出最大（小）值 ，解方程 ；无最值的情形要先排除。 开区间上既有最大值又有最小值：区间内要同时取到极大值和极小值，并且端点附近的函数值不能超过极大值、也不能低于极小值。 易错：解出的参数不在该类条件内仍然保留；漏掉导数零点在区间外的情形；把“有最大值”误当成“有极大值”。 【典例】 24．（解答题） （26-27高三上·黑龙江·阶段检测） 已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，在上既有最小值也有最大值，求实数m的取值范围． 【变式训练】 25．（解答题） （26-27高三上·湖南·阶段检测） 已知函数. (1)当时，求在区间上的最大值与最小值； (2)若的极小值小于1，求的取值范围. 26．（单选题） （26-27高三上·广东深圳·阶段检测） 已知函数的最大值为则（   ） A．1 B． C． D．2 27．（单选题） （26-27高三上·辽宁·阶段检测） 已知函数在上的最小值为1，则（   ） A． B． C． D． 28．（单选题） （26-27高三上·四川绵阳·阶段检测） 若函数在上的最大值是3，则实数的值是（     ） A． B． C． D． 题型六　最值的综合应用（共4小题） 【知识积累】 实际问题：设自变量，由实际意义写出函数和定义域，求导找极值点，比较后得出最值，最后回到实际问题作答。 唯一极值点：实际问题中，定义域内只有一个极值点时，它就是所求的最值点。 二元最值（等式约束）：由已知等式把一个变量用另一个表示，化成一元函数求最值；常见的同构形式有 、。 型：设公共值为 ，用 表示 、，把所求式写成关于 的函数，并求出 的范围。 易错：实际问题漏写定义域；消元或换元后新变量的范围没有求；求出的极值点不判断是否在定义域内。 【典例】 29．（单选题） （26-27高三上·新疆喀什·阶段检测） 某企业的一个产品前（）个月的总产量（单位：百件）与的关系式为，则该企业这个产品前个月的月均产量的最小值为（    ） A．56件 B．6300件 C．5600件 D．63件 【变式训练】 30．（填空题） （25-26高三上·江西南昌·阶段检测） 如图，周长为12的五边形由一个正三角形与一个矩形组成，设该正三角形与该矩形的面积分别为，则当取得最大值时，__________ 31．（单选题） （26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测） 已知函数，是的反函数．若，满足，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 32．（填空题） （26-27高三上·甘肃·阶段检测） 若，且，则的取值范围是______． 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $